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Elisa Michels

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Mathe 2021 Elisa Michels → Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen ( Lineare Gleichungen Lösen: | wenn in einer Gleichung die Lösungsvariabel, meist x, nur in der ersten Potenz vorkommt, dann handelt es sich um eine lineare Gleichung 3 Fälle bei der Lösung : (1. OX = O L= R 2.B X=6 die Gleichung hat eine bestimmte lösung (2.) (3.) 2.B 0x = 6 Lineare Gleichungssysteme Einsetzungsverfahren: Gleichsetzungsverfahren: Additionsverfahren: 4. 2. I und II gleichsetzen H Lineare Algebra H E TI der Gauß'sche Algorithmus: H H IL X ax X + + 3x + → Die Gleichung ist unerfüllbar, es gibt keine Lösung für x + -2.I y 3y ay y I y ५ I X : I ax + 3b = 1² I 2 x X I a x + ㅍ X 6 - 1₁,5 b = - + 2 + 32 - 2 x + 42 2 2 5 2 → die Gleichung ist allgemeingültig und hat jede reelle Zahl als Lösung. 2 = b b = b + 3b = 1² 1 + b 2.5 b + 3b = 1² = 1 Mathe Abi b + 2b = -a 2 = 1 = S 1 O а b + 1 Eine Variabel (muss eleminiert werden Ooo 1-1 1: 2.5 | 2.1 -I 1 + b Gleichungen nach selben Variabeln umformen ! | II · (-2) | 3.I-II | I + I Tin I einsetzen 1+ 1,5 b R 4 3. H in I oder einsetzen H A ㅍ H I I X = A +(-2). I X X + HH 1 I 5 y = -2 y -y + (-2) ax = III H X sb b 2. (b + 1) 2b + 2 42 = - 2- 2 = ·(2) 2= 2 = + 2 = 12 - 22 = -2 1 + b = 10 = 2 1 0 2 O ^ -3b 12 + 3b = 12 3b = Sb +a b 11 ro co in I 2 Schritt I: 1:2 → I X = 6-A,Sb in I oder I einsetzen Schritt I: 1-2 1:5 →in I oder I einsetzen x (erste Variabel) aus I und...

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II weg I in I bekommen y aus der Dreiecksform II Gleichung weg bekommen. ⇒y= -2 x = 1 → u { ₁, -2,2} (Lösung alphabetisch ordnen) 1 3 Schritt: I in I einsetzen und I nach I - 1- überbestimmtes LGS: → mehr Gleichungen als Variabeln • man benutzt zum rechnen nur Gleichungen wie nötig die übrige wird am Ende als kontrolle genutzt Wenn das Ergebnis von einem LGS Grundlagen Vektoren Nullvektor: ỏ A Analytische Geometrie => AB = →>> BA = der Weg von A nach B Ortsvektor : Der Ortsvektor OP ist der Vektor vom Koordinaten ursprung zum Punkt P Verbindungsvektoren Verbindung zwischen zwei Punkten (A und B) Grundrechenarten mit Vektoren: Beispiele Langen von Vektoren: Ortsvektor → Mittelpunkt von Vektoren: 3↓ = Soviele ² </06 Für 2 Die Länge ist O 2. B 0=6 ist dann hat das LGS keine Lösung - b DV → Vektoren sind Geraden im 3- dimensionalem Raum Addieren von Vektoren → Subtrahieren von Vektoren → 21 2a gilt Verbindungsvektor → Unterbestimmtes LGS : → weniger Gleichungen als Variabeln Für die fehlenden Variabeln nutzt man bestimmte andere Variabeln shalare Multiplikation → (mit einer Zahl) 2. 2 121 m der Betrag 3.b. (;) + (:) - (3) = = + √an. 22 2 ал + 2 3 -- (2) - (2) =(-3) = 50 = + AB B) + = 2. 23 a (2) = (2) I Ħ H H I Seien x - 2y + 2 -2x + 5y - 42 x - 2y + 2 und t in I: in I: 2= C ५ - २२ (Betrag von Vektoren) 2 + und + + P (31415) + X t at t y - 2c + 4 d = 4t t = d ac + 4 d y = = 0 ५ 1 -a x 2 (2c4d) +c + d 1 O | 21+ I I in I in I 3c-9d + 1 Parameterform von Geraden : 9 Geraden : AB 2. B ő (³) (3) I kolline are Geraden → Ja g=h ⇒ identisch + r. I 8r Punktproben → Gerade in Parameterform mit Punkt gleichsetzen (59) und Beispiel: Gerade durch 12r g III 6-4r ܘܘܟ → wenn das r bei allen 3 Gleichungen gleich ist liegt der Punkt auf der Gerade = = 4 (?) = 12 s von AB Schnittpunkte zwischen Geraden : Lagebeziehungen von Geraden (3) (³) + r 2 + 45 તજ RV₁ = r. Ra + r. Parallel, echt parralel, identisch schneidend oder windschief? → → S= sind kollinear, da A und B : · (=â) 9 X Ja Punktprobe gilt g = h liegt der Stützvektor von h auf g ? 4 = 4 (( 2) - (3) ) kollinearität. wenn zwei Vektoren das Vielfache von einander sind, dann heißen sie kollinear →kollineare Vektoren sind parallel Beispiel → ↑ in I A (3/3) I g=h Stützventor I à I Is und r in II ✓ Sind + r. 8 (3) (!) . 2 3 + 3 + RV von h 2 + (6-2) bein Richtungs vektor von g B (2/1) gl|h; gh ⇒echt parallel Beispiel P(6/2/2) -av = or 3 = or 6 2 2 →Parallel sind Geraden, wenn sie auf einer Ebene Liegen und h parallel ? 9 sind die Richtungsvektoren kollinear r. RV von g Ja (8) · · (²2) = (:) + r. mit GTR oder 9 nh = {s} schneidend + S per Hand 8 13 5 (₁2) ·4 Dein schneiden sich 9 Schnittpunkt und sin hund teinsetzen g (@)-:[email protected]) [email protected] (@) (8). + 14 12 4 ( ) und h ? und h gleichsetzen Nein 9 und h sind ⇒ windschiel Spurpunkte → Beispiel Gerade → Schnittpunkt mit der : 0 = 2 2 = Y ← Ebenen: 2 2 - (8³) 3 € Spurpunkt mit der yz - Ebene → દઃ 7 = Schnittpunkt mit der x2 Achse → Sxz = Punkt → Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinaten ebenen 9: x = xy-Ebene + r .(-1) HH I 0 Beispiel: E= Punkt probe auf einer Ebene: → zum aufstellen einer Ebene benötigt man 3 Punkte + r Beispiel: A (21013) B (31410) c (01313) (3) ・・・ (1) · + r. 0 + AB - (1) AC = ( 13 ) = (4) (³3) તા → Sxy LGS: I 2 + r - 2s 4r + 35 4 Syz 3+ -3r Parameterform von Ebenen : E: 7 = + r. + X = X = 4 => X (4 10/0). Beispiel: = +3 16586 s . (3) = 3 2 = 1 + Für ihn gilt x = 0 Für Achsenabschnitt x gilt (x 1010) Für Achsenabschnitt 2 gilt (0/0/2) Achsen abschnitte und Spurgeraden einer Ebene: 6 · ² · ( 3³ ) + × · (¯ 3 ) · ² · (8) +r. +S 2 Für ihn gilt 2= 0 Für ihn gilt y = 0 - 2 - 8 r + OS Ir einsetzen S 2. Für Achsenabschnitt y gilt (0/y 10) (-4) - Say (8) H = 4 I O Stützvektor 3s = => keine Lösung: hein Schnittpunkt 0 = 1 + 2r + 2s S = + → r. u Richtungsvelitor + oder Lösung dann r und s einsetzen ૩ +3v 3 + 3r - 3s A + V + S (3) . w Richtungsvektor a Punkt: +35 X, Y, und 2 Punkte der Ebene, die auf der Koordinaten achse liegen 1: 3 swe lin I A I Ad O AB →Stütz- vektor - 4r 0 = 0 = A Y = 1 = 3 S23 Nach Orthogonalitätskriterium: → Auf Gerade : → Auf Ebene : y2-Ebene 3 Normalen vektor: → Vektor der senkrecht auf einer Geraden oder Ebene steht 4 S13 → AB und AC sind Richtungsvektoren -x2-Ebene + ar + 2 (1 + r) +ar+ 2 + ar Ixy-Ebene S12 1: (-4) AB = 0 • AB = 0 und · AC = 0

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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II weg I in I bekommen y aus der Dreiecksform II Gleichung weg bekommen. ⇒y= -2 x = 1 → u { ₁, -2,2} (Lösung alphabetisch ordnen) 1 3 Schritt: I in I einsetzen und I nach I - 1- überbestimmtes LGS: → mehr Gleichungen als Variabeln • man benutzt zum rechnen nur Gleichungen wie nötig die übrige wird am Ende als kontrolle genutzt Wenn das Ergebnis von einem LGS Grundlagen Vektoren Nullvektor: ỏ A Analytische Geometrie => AB = →>> BA = der Weg von A nach B Ortsvektor : Der Ortsvektor OP ist der Vektor vom Koordinaten ursprung zum Punkt P Verbindungsvektoren Verbindung zwischen zwei Punkten (A und B) Grundrechenarten mit Vektoren: Beispiele Langen von Vektoren: Ortsvektor → Mittelpunkt von Vektoren: 3↓ = Soviele ² </06 Für 2 Die Länge ist O 2. B 0=6 ist dann hat das LGS keine Lösung - b DV → Vektoren sind Geraden im 3- dimensionalem Raum Addieren von Vektoren → Subtrahieren von Vektoren → 21 2a gilt Verbindungsvektor → Unterbestimmtes LGS : → weniger Gleichungen als Variabeln Für die fehlenden Variabeln nutzt man bestimmte andere Variabeln shalare Multiplikation → (mit einer Zahl) 2. 2 121 m der Betrag 3.b. (;) + (:) - (3) = = + √an. 22 2 ал + 2 3 -- (2) - (2) =(-3) = 50 = + AB B) + = 2. 23 a (2) = (2) I Ħ H H I Seien x - 2y + 2 -2x + 5y - 42 x - 2y + 2 und t in I: in I: 2= C ५ - २२ (Betrag von Vektoren) 2 + und + + P (31415) + X t at t y - 2c + 4 d = 4t t = d ac + 4 d y = = 0 ५ 1 -a x 2 (2c4d) +c + d 1 O | 21+ I I in I in I 3c-9d + 1 Parameterform von Geraden : 9 Geraden : AB 2. B ő (³) (3) I kolline are Geraden → Ja g=h ⇒ identisch + r. I 8r Punktproben → Gerade in Parameterform mit Punkt gleichsetzen (59) und Beispiel: Gerade durch 12r g III 6-4r ܘܘܟ → wenn das r bei allen 3 Gleichungen gleich ist liegt der Punkt auf der Gerade = = 4 (?) = 12 s von AB Schnittpunkte zwischen Geraden : Lagebeziehungen von Geraden (3) (³) + r 2 + 45 તજ RV₁ = r. Ra + r. Parallel, echt parralel, identisch schneidend oder windschief? → → S= sind kollinear, da A und B : · (=â) 9 X Ja Punktprobe gilt g = h liegt der Stützvektor von h auf g ? 4 = 4 (( 2) - (3) ) kollinearität. wenn zwei Vektoren das Vielfache von einander sind, dann heißen sie kollinear →kollineare Vektoren sind parallel Beispiel → ↑ in I A (3/3) I g=h Stützventor I à I Is und r in II ✓ Sind + r. 8 (3) (!) . 2 3 + 3 + RV von h 2 + (6-2) bein Richtungs vektor von g B (2/1) gl|h; gh ⇒echt parallel Beispiel P(6/2/2) -av = or 3 = or 6 2 2 →Parallel sind Geraden, wenn sie auf einer Ebene Liegen und h parallel ? 9 sind die Richtungsvektoren kollinear r. RV von g Ja (8) · · (²2) = (:) + r. mit GTR oder 9 nh = {s} schneidend + S per Hand 8 13 5 (₁2) ·4 Dein schneiden sich 9 Schnittpunkt und sin hund teinsetzen g (@)-:[email protected]) [email protected] (@) (8). + 14 12 4 ( ) und h ? und h gleichsetzen Nein 9 und h sind ⇒ windschiel Spurpunkte → Beispiel Gerade → Schnittpunkt mit der : 0 = 2 2 = Y ← Ebenen: 2 2 - (8³) 3 € Spurpunkt mit der yz - Ebene → દઃ 7 = Schnittpunkt mit der x2 Achse → Sxz = Punkt → Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinaten ebenen 9: x = xy-Ebene + r .(-1) HH I 0 Beispiel: E= Punkt probe auf einer Ebene: → zum aufstellen einer Ebene benötigt man 3 Punkte + r Beispiel: A (21013) B (31410) c (01313) (3) ・・・ (1) · + r. 0 + AB - (1) AC = ( 13 ) = (4) (³3) તા → Sxy LGS: I 2 + r - 2s 4r + 35 4 Syz 3+ -3r Parameterform von Ebenen : E: 7 = + r. + X = X = 4 => X (4 10/0). Beispiel: = +3 16586 s . (3) = 3 2 = 1 + Für ihn gilt x = 0 Für Achsenabschnitt x gilt (x 1010) Für Achsenabschnitt 2 gilt (0/0/2) Achsen abschnitte und Spurgeraden einer Ebene: 6 · ² · ( 3³ ) + × · (¯ 3 ) · ² · (8) +r. +S 2 Für ihn gilt 2= 0 Für ihn gilt y = 0 - 2 - 8 r + OS Ir einsetzen S 2. Für Achsenabschnitt y gilt (0/y 10) (-4) - Say (8) H = 4 I O Stützvektor 3s = => keine Lösung: hein Schnittpunkt 0 = 1 + 2r + 2s S = + → r. u Richtungsvelitor + oder Lösung dann r und s einsetzen ૩ +3v 3 + 3r - 3s A + V + S (3) . w Richtungsvektor a Punkt: +35 X, Y, und 2 Punkte der Ebene, die auf der Koordinaten achse liegen 1: 3 swe lin I A I Ad O AB →Stütz- vektor - 4r 0 = 0 = A Y = 1 = 3 S23 Nach Orthogonalitätskriterium: → Auf Gerade : → Auf Ebene : y2-Ebene 3 Normalen vektor: → Vektor der senkrecht auf einer Geraden oder Ebene steht 4 S13 → AB und AC sind Richtungsvektoren -x2-Ebene + ar + 2 (1 + r) +ar+ 2 + ar Ixy-Ebene S12 1: (-4) AB = 0 • AB = 0 und · AC = 0