Mathe ABI Karteikarten

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(²³4) 1 S.(31412) ges: I sodass ST = PQ- A -dösung 1: OS + PQ 3 (₁) 2 + + til _t = OT = + ₂ 1+3 _Lösung 2: ST = PQ (1₁-31 3 +2-4 1+3=2/ = BRUNNEN Nr. 22 501.. 1 4. = T(6/3/3). + OT (3+3) 4-1 |--2-+-1/- -3-1 4 :-($) 6 2-- 4 Ortsvektor = Vektor vom Orsprung zum Punkt I t ist der Ortsvektor von Punkt I Vektoren Alle Pfeile die zu einem Vektor gehöron. - Sind gleich lang f9₁-P₁² PQ = 192-P² 93-P3 haben die gleiche Richtung - sind parallel ! Reihenfolge wichtig ! - 3 Betrag / Länge eines Vektors (Abstand der Punktej * Q Q (91/92-193)- _P(p₁/pz-/P3)- PQ = √ (9₁-P₁)² + (92=P₂)² + (93-P-3) ² Die Länge eines Vektors AB wird auch Betrag des Vektors AB genannt. Schreibweise. | ABI BSP ₁ AB = ( 3² ) = √² 2 10²1 = √√√₁₂²³² + 0₂ ²³² + U₁₂ ²² BRUNNEN Nr. 22 501.. 1AB1 = √√(-2) ² + 1 ² + 8²² = √14² 2 P(3/4/6) X X₂ X3 kartesische koordinatensystem Ebenei *** A **₂ Ebene Spiegeln : an X₁X₂ -Ebene : X₂-Wert verändert sich an X₁ X3-Ebene: X₂-Wert verändert sich an X₂ X3 - Ebene: A₁-Wert verändert sich G.STE kosinusfunktion 210 240 30 66 90 120° 156° 150° sit 360 7,5€ 3,5TC 5₁ ( 11410) S₂ (-1)0) S3 ( 3³/1² /0 ) S4 ( - ³14 7/0) H1 (2TC/1) H₂ (2TL /^) H₂ (0/1) T₁₁ (-TU/-1) T₂ (TU/-1) T3 (-3TC (-1) T₁ (3πC (-1) Q (Deg) Gradmaß Bogenmaß (Raa) 30° 90° Grad 0° BRUNNEN Nr. 22 501.. O TC X = d.² 27C 360° - und Bogenmaß 30 TC 270 O Sinusfunktion 45 60 TC TC -4 = 2. tic π -180- BIL 90° 180° πC Bogenmaß x_ im Einheitskreis heißt Bogenmaß & des Winkels : PIN GTF 2.70° / 360° 3TC 2 TC 2 54 (-TC10) SS (-2TC/0) 56(-3TC/0) S1 (TC/0) S2 (2π/0) S3 (3π/0). H₁ (TC /^) H ₂ (-3TC |- 1) H₂ (2, STC (1) T₁ (³=² / -1) T₂ ( === / - 1) T3 (-2, STC (-1) Symmetrie bei Funktionen Symmetrie zum Ursprung: f(x) = -f(-x) LJ bei Funktionen mist ungeraden Hochzahlen (3,5.7..) und sin (x) liegt eine Symmetrie zum Ursprung vor! 3 Bsp: f(x) = x² + X f(-x) = -x²³² - X - f(-x) = -(-x³-x.) = x³ + x i keins von beiden Hoci zahlen? f(x) Symmetrie zur y-Achse = f(x) = f(-x) ↳ bei Funktionen wit geraden Hochzahlen (2,4,6) 0. bei cos(x) u. bet rationalen Zahlen liegt eine Symmetrie zur y-Adse vor! Bsp: _f(x) = x² +4_ f(-x) = (²x)² + 4 BRUNNEN = x² +4 = f(x) Bei Wurzelfunktionen u. Exporential funktionen keine Symmetrie! Nr. 22 501.. Gerade and ungeack Funktionen Verhalten für x --> +∞0; X -> 0 In Unendlich dowiniert Summand mit dem höchsten Exponenten- f(x) = 3x²³² - 4x³²_x 2 Für X-> +∞ geht f(x) gegen -∞ Für X->-∞ gent fix) gegen. + ∞0 A- Für X nahe O wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion. von den Summarden mit den niedrigsten x-Potenzen bestiment T ( Einfach O einsetzen) f(x)= x²+(- x ² + (x - 5) + 3 x ² BRUNNEN Nr. 22 501.. Exponentialfunktion Exponentialfunktion f(x) = c.a² a>1: exponentielles Wachstum (Wachstumsfaktor a=1+p) a<1: exponentieller Zerfall c = f(0) = Anfangsbestand. unterschieds. Anfangsbestände unterschiedl. Wachstumsfaktor a : Je größer a desto steiler Qraph j a> 1 :smw X-> +∞ gilt: f(x) -> +∞0; für X-> = ∞ -∞ gilt: f(x) -> O a<^: smf x-> + ∞0 gilt: f(x) > 0); $(x->-00 gilt = f(x) → +∞0 C = unterschiedliche Streckung in y-Richtung keine Ust Keine Symmetrie Y(0/() = Schmitt Bank) mity-Aase -nähern sich &-douse an, &- Achse = Asymptote Erwartung swart Man multipliziest jeden wert von X mit seiner Wahrscheinlichkeit P(X). and addiert die Produkte. BRUNNEN Nr. 22 501.. Mittelpunkt einer Strecke AB 31 gey: Alan (9₂193); B.(b₁/b₂/b3) ges: MAB- MAB- a+b₁ 2 79² az+bz 03 +603 7 g₁ R² = P² +5 - 1² p Bsp: X = £3! 2 Geraden (unwichtig) + r BRUNNEN Nr. 22 501.. 4 Richtungsvektor: gibt Richtung der Geraden an Stützvektor: Ortsvektor des Punktes P(3/1/2), der auf I liegt FEⓇR: jedes r führt zu einem Punkt auf g Jede Gleichung der Form R = P²+r. u baschreibt eine Gerade im Raum ist der Stützuektor ist der Richtungsvektor 8 Ⓒ Geradengleichhung aufstellen. geg: A (1/2/3); B (5/-1(0) g⋅ X²³² = a +r. AB -71 14) 2 8 9 (1) 2 3 Ⓒ liegt Pauf g P.(-7.18.19) +5=11. +r. 1-1-2 10-3 tr.1-3 Geraden 1 2 +1 3 14 -3 -3 3) aller müssen gleichen Wert haben oder: _x² = b ² + r · BA λ² = 2² + r· BA a X²=b²+r₁AB²² -7=1+r. 4-1 -8= 45 1:4 -2= r 9=3+r-(-3) | -3 6 = (-3) -r | : (-3). - 2 = r 8=2+r. 1-3) 1-2 6 = -3r 1:1-3) -2=+ 99. Lage von Geraden (parallel) Geradon sind parallel, wenn Richtungsvektoren das Vielfache voneinander sind 5 per²₁ (1) + r. (3) Bsp: gix ²² K⋅U=V 9:7. (8) + r. (3) hix = ( ²2 ) + 5-(1) k. BRUNNEN Nr. 22 501.. g=h₂₁_ (3). (1)-(3) + s (3) V 5 - 10 2 h: x = 7 12 k=2 Schnitt von Geraden. 22 + S 1+5= 3 +25 0-1r= -2+3t 2+1=4 3 -10 Auflösen: 2+5=41-2₁ r = 2 9 ₁ ² = ( 3 ) + 2 -(²-1) = ( 2² ) -2 ді प Schnittpunkt 10 Einsetzen: 1+2= 3+2s_ | -3 |:2 0 = t S/31-214) дед: gih g=h Windschiefe Geraden -1 (3) +5 (2) 2 2 4 ^__^ + 2 r = -1 + 45. 2. r = / 3₁ 2 = 3+5 Einsetzen: 1+ 2·1 = − 1 + 45 = S 2=3.1 2=4 (5 in 1) (s in 3). => Widerspruch = Windschief Lineares Gleichungssystem (LGS) LGS. _^) Vektorengleichung in L65 umformen 00-0 Mr-3s = 0 ♫ +O 四 Ar as 0 zahlen 3) GTR liefert : [100] 010 Looo. BRUNNEN Nr. 22 501.. Zahlen wichtig 11007-> 1·1+0.5=0 4) Interpretieren 0-16 20.5 +1.5 =0 -> Wahle Aussage keine Lösung gith ↓ -Parallel U. verschieden gitth Windschief 2) Eingabe in RUN-MENU 73 (3x3) -> OPTN -> F2 (MAT) → 76 ->75 (Rref) -> F6 -> F₁ (MAT) -> (ALPHA) A eine Lösung ↓ Schnittpunkt ∞0-viele Lösungen ↓ -identisch -> ES gibt Schnittpunkt 12 3 geg: £₂(x) = x³ + x - 7 Polynamdivision -ges: X mit f(x) = 3 x³ + x-7=31-3 -x ²³ + x = 10 = 0 (x²³² + - (x²³-2x²) NST erraten: f (2) = 2²°² + 2-10 =0 ✓ umgekehrte +X-10) : (x-2) = x² + 2x + 5 +2x²+x -1-2x²-4x) teilbare Zahlen 5X-10 -158-10) -> MNT mit x²+2x+5 شا Strategie 3: Satz vom Nullprodukt. Typ: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. (X - 5) · (X + 3) · X ² = 0 2 _A._ _X-5=0|+5_2₁_X+3=01-3. -3₁ X²³² = 0 X₁₂₁=S X₂ = -3 X₂=0 -Strategie 4: Mitternachtsformel. Typ: ax² +bx+C =0 X112 = -6± √√6²-4.a.c za 2 x² + 3x - 10:0 X₁12 = - 3 ± √√√√3²-4.1- (-10) 2 = -3± √ 49 √49 2 X₁₁₁= -5 x₂ = 2 -3 ± 7 2 3 Strategie 5 Substitution, (Rücksubstitution). 2x-8x²-90=0 sub: x²³²= 7 x² = z² 27²²-82-90-0 8 ± √(-81²-4-2-1-90) 8+ √64-4.2.1-907 8± √784 2-2 MUF: Z.₁12. Z₁₁₁=9 Z BRUNNEN Nr. 22 501.. -22²-5 -Rücksub: x²=91√ X₁12 = ± √√5²² X112 = ±3 = x² = -51√² - keine weitere Lösung. 4 Eigenschaften von Funktionen Charakteristische Punkte: Hoch-, Tief- und Sattelpunkte, Schnittpunkte mit Achsen. Extremstellen (x-Stellen) Extremwerte (y-werte). X=0 (Nullstelle, Schnittpunkt mit y-Achse). y = 3x + 2 O= 3x +21-2 -2= 3x1:3 -=X f(x) = 0 Strategie 1: Nullstellen (Schnittpunkte mit X-Achse) BRUNNEN Nr. 22 501.. nach x auflösen (Wurzel ziehen) Typ: ax² +c=0 2x² - 50 =0 | + 50 2x² = 501/12 x² = 251-√ X112 = ± √√/25² X₁12 = ± 5 Strategie 2: Ausklammern Typ: ax² + bx = 0 x²³-2x²=0 x²(x-2) = 0 .__x2=0 _X₂₁₂=0 2. X-2 = 0·1+2 x₂=2 2 Verhalten für x gegen + ∞ f(x) = -6x² + für x-> gilt: f(x) => + ∞ -∞ für & -> +∞ gilt: f(x) →).-∞ X², X², 3X² - x ²₁-x²-3x ² ∞0 + +1 A 7 XX²³.32² t∞ S 7 -X²³₁ - ² - 3x² -x3 +∞ Extremas - lokal und global Der größte Wort under allen Maxima ist das globale Maximum Der Kleinste Wert unter allen Minima ist das globale Minimum (Der höchste Wert des Randes Randextrema) Minimum lokales lokales Maximum Tiefpunkt Hochpunkt Bsp: geg: f(x) = x² D₁ = [-2, 1) Extrema: f'(x) = 2x f'(x) = 0 2x=01:2 X=0 2 BRUNNEN Nr. 22 501... Rand extrema: f(-2) = (÷2} = 4 <? VZW von fl £¹ (-1) = 2 · (-1) = -2 f'(^)=2-1=2 gehört dazu gehört nicht dazu -> x = 0 -> Tiefpunkt f(0) = 0²=0 T(0.10). R₁ (-2/4). glob Max = R₁ (-2/4) 3 Von glob Min = I (0/0) -- 26 + 9 Beispiel: f(x) = -x²³² + 4x -1 →Ableitung: f'(x) = -2x +4. -> f'(x) = Ŏ -2x+4=01-4. = 2x = -41 (-2) x = 2 x < 2 2.B. X=0 f'(0) = 4(>0) - fist smw x > 2 2.8₁_X = 4 f'(4) = -4/20) -> f ist smf 6 Monotonie Die Funktion f sei auf einem Intervall I definiert. Für X₁, X₂ € I mit x₁ < X₂_gilt : 1st f(x₁) < f(x₂) so ist f streng monoton wachsend U x x₂ Ableitung überhalb x-Achse f'(x) >0 smw. BRUNNEN Nr. 22 501.. 1st f(x₁) = f(x₂) So ist f streng monoton fallend konstante Funktionen sind monoton wachsend X₂ Ableitung unterhalb x-Achse f'(x) <0 smf und fallend. Bsp:2: X f(x) = - ₁₁ x² + x² - 4 f'(x) = = x³ + 3x² f'(x) = 0 0 = -x²³² + 3 x ² VZW: 1. f' (-1) = 4 />0) f'(1) 2 (>0) VZW: 2. انبعاثه von Sattelpunkt (beides positiv oder beides negativ) Sattelpunkt (01-4). 1₁ X ² = 0. X₂₁=0 f'(2) = 2. f'(4) = -16 Ⓒ zu O Hochpunkt (3/4) 2₁ -X+3=01-3 x₂ = 3 8 Extrempunkte Der Punkt H(Xo/f(xo)) I (Xo/f (xo)) eines Graphen der Funktion f heißt Hochpunkt Tiefpunkt, wenn alle umliegenden Funktionswerte kleiner größer sind. Man spricht von einem lokalen Maximum Minimum 2 _Bsp 1: f(x) = 3x²³² - 2x + 1 f'(x)=6x-2 f'(x) = 0 = 6x-2 = 6x 1:6 = X Vorzeichen der Ableitung in der Umgebung von x = 1/2 bestimmen f'(0) = 6·0-2 = -21≤0) 2 --£² (1) = 6-1-2 = 4 (20) Y => VZW _von O nach + f hat einen Tiefpunkt T (3/³) f(x) = 3 ⋅ ² ² - 2 - 3²³² + 1² = BRUNNEN Nr. 22 501.. NIMI Begriffe bei : Funktionen und Begriffe 1. linearen Funktionen Y=2X+1 2. quadratischen Funktionen y = 2 x² + 3 Graph ist eine Gerade - m = 2 (Steigung) - C= 1 (Y-Achsen abschnit 7 Graph ist eine Parabel - (x² = Normalparabel) 1 3 -> Verschiebung um 3 in y-Richting -2 -> Streckfaktor allg: Form: y = ax² +bx+c 1) (Normalform) y = 2x² - 12x +20 2⋅ (x² - 6x + 10) 2 = 2 · (x² - 6x +9+1) 2·((x-3)² + 1) 2⋅ (x-3)² +2 (Scheite(form) Scheitel bestimmen durch quadr. Ergänzen S(3/2) 7 immer das Gegenteil Binomische Formel: BRUNNEN Nr. 22 501.. (a+b). (a+b) Scheitelform: y = a (x-d)² +e 2 -(a−b)² (a+b) ² = a² - 2ab + b² _a² + 2ab + b² _a²-6² 2 Punktprobe : P(1/6) auf dem Graphen y=2x² + 3. -_X = 1 einsetzen: y = 2+3 = 5 + 6 -> nicht auf dem Graphen 2) Nullstellen berechnen: Mitternachtsformel: X₁+2 = - b ± √b² - 4ac 2a Bsp: y = 0,5x² = 3x - 2 X₁12 = 3± √√9-4.0,5-(-2) 3 ± √√.13 x₁ = 3 + √√13 x₂ = 3-√√₁3² 3) Funktionswert berechnen: Bsp: Berechne den Funktionswert an der Stelle 2 (x=2) _Y = 0₁5.x²-3x - 2 f(2)=0₁5-2²-3·2-2 = -6 Ⓒ An welcher Stelle nimmt f den Wert asan? y = 0,5x²-3x-2 -> f(x) = 0,₁S -> Nullsetzen 0.5 = 0,5x²-3x_-2-1-0.5 -) Mitternachts- 0 = 0,5x²-3x -2.5 formel f (x₁) = 4 Funktionswert an der Stelle to ist 4 X-Wert / Stelle ist 2 Xo = 2 f(x) = x² + 3x P(x₂ / f(xo)) oder BRUNNEN Nr. 22 501.. Funktionsgleichung der Funktion f P(X/Y). Punkt des Graphen der Funktion f kp ist der Graph von f GTR-KARTE Funktionen: 1) Schreibe Scheitelform + gib Scheitel an. 2) Berechne O Stellen 3) Schmittpunkte mit den Achsen 4) Berechne den Funktionswert an der Stelle 2 5) An welcher Stelle nimmt. f den Wert 20 an ? [(zoom - Auto) 75CG-Solv) - F3 (Min). GTR liefert: X=-3₁ Y = -16 FS (6-Solu) - F1 (Root). 6TR liefert: x₁= -7_x₂=1² Î ges= f(2) GTR liefert: f(₂)= 9 X-Achse Y-Achse ges: Ust von f |_ ges: f(0) = (x=0). GTR liefert: x₁ = -7₁ X ₂ = 1 GTR liefert : f(0) = -7 N₁ (-710) N₂(1/0) ges: f(x₁12) = 20 GIR liefert: x₁=3. *2=-9 f(x) = (x + 3)² - 16. (1-4) Y(01-7). F5 (6-Sou) - F6 - F1 (y-cal) 75-F6 - F^_ FS-F6-72. Definitionsbereich Dp : Menge aller Zahlen (x-Werte), die in die Funktionsgleichung eingesetz werden dürfen Bsp: f(x) = x² Of = ₁R f(x) = 7₁ X=0 ist verboten g(x) = -√√2-x² IntervallSchreibweise. [a,b] [a, b] [a, b] (a, b) 2-X <0 ist verboten 2-X <0 1 + x 2 <X Erlaubt ist x ≤2 bedentet a ≤ x ≤ b a< x≤ b. a ≤ x z b асусы ohne Dp = 1R \ {0} Dg= (-∞0,2] S ( zaht gehört nicht dazu Zah, gehört dazu [ Y flat frastf(b) -flot! b Q(blf(b) Anderungsrate BRUNNEN Nr. 22 501.. Mittlere Anderungsrate #Platf(a) "a Bsp: f(x) im Intervall [^;S] _a= 5 → f(s) = 5² = 25 P(5/25) b = 1 -> f(1) = 1² = 1 Q (1/1) Mittlere Anderungsrate: f(a) f(b) a-b 24-6 = 25-1 - Differenzenquotient f(a) f(b) Differenzenquotient von f im Intervall [b, a] a-b & Differenzenquotient = mittlere Anderungsrate Geometrisch: Der Quotient ist die Steigung der geraden durch die Punkte I und a. -flňoth) f(xo) Y t Momentane Änderungsrate Differenzenquotient (für h) хоты Bsp: f(x)=x²³²_ x0=2; h=1 f(x6+h) = f(3) = 3² = 9 f(x₁) = f(2)= 2² = 4 f(xo+h)-f(xo). 9-4 К f(xoth)-f(xo). =5 7 Momentane Anderungsrate Wenn der Differenzen quotient f(xoth) - f(xo) für h-20 einen Grenzwert h besitzt, dann heißt dieser Ableitung von f an der Stelle to kurz: f'(Xo) Ber Anwendungen wird die Ableitung auch als momentano Anderungsrate bezeichnet. flæot Fo хо BRUNNEN Nr. 22 501.. ■ Die Gerade mit der Steigung f'(d.o.)_ ist die Tangente an dem Graph von f im Punkt P -(xalf(x₂). P = Berühspunkt Grenzwert: f(x) = x³²,₂x₁=2 h=0₂₁₂₁² : f(2,1)-f(2)= 12,61 h=0,0₁ = f(2,01₁) -f(2)_ 0,1 = A21006 0,01 für h-50 gilt f(xoth)-f(ta) > 12 h 8 Ableitung f 2 f(x) = x² Bestimme f'(1). f' von f an der Stelle X. berechnen Xo f(xoth)-f(x₂) = £ (1+h)-f(^) h 2h+h²_ K (2th) = 2th. म h 20 gilt 2th ->2 f² (1)=2 -- 2 . (1+h)² = (₁)² = 1+2b + b² - 1 A h h g geg; f(x) = 2x²-x ges: Tangente in P t: mx + c Berechne ci Tangentengleichung P(-3/f(-3)) Berechnung von m= f'(-3) f(x₁+h)-f(xo). h BRUNNEN Nr. 22 501.. XG k(2h-13) = 2h-13 für h> 0 gilt Punktprobe mit P xp = -3_₁ f(-3) = 2 · (-3)² - (-3) = 2^ t:mx +c 21= -13 · (-3.) + C 21 = 39 +c [-39 - 18 =C 2h-13 1 2 (-3+h) ² (-3+h) - (2 (-3) ²= (-3)) h -> -13. Steigung P(-3/21) 10 + ² y = -13.X - 18 Ableitung: V f'(xo) Run - Menu OPTN - 74 Ccalc) - F2 (d/dx.) GTR-KARTE Bsp: x(x²) | X=2 Graph - Menü Y₁ = f(x) -> Zeichnen -> 74 (Sketch) → F2 (Tang). Bsp: x=2 £²(2). _dy/dx =4 Tangentengleichung nochmal Exe drücken (8-10) -> Zahl eingeben. 2. f(x) = x² Skizze Ableitungsfunktion f'(x) = 2:X- -2 2 3 Mit GTR: GRAPH - MENU 1₁:1² Y2 Optn-F2-FA : dx (₁), X=X_ ! (sel) -> Y₁ zeichnen. F1 _[Y] = (auf dy/dx schauen) - •Steigung ist negativ Sleigung ist positiv Steigung ist Null - Graph steigt langsam - Graph steigt schnell) - Zusammenhänge (Graph von) f ✓ f'(x) = ax²°² a-1 -5 f(x) = x BRUNNEN Nr. 22 501.. Ableitungsfunktion von of <-) f) (Graph von) f' 15 Bsp: f(1) X²S =) f'(x) = 15X²" => f'(x) = -5x² ((Y-Wert ist negativ) liegt under der X-Achre (Y-Wert ist positiv) liegt überhalb du X-Adse Graph Schneidet die x-Achse (f¹(x) =0) kleine Funktionswerte die langsam größer werden große Funktionswerte 12 Faktorregel: Faktorreges geg: f(x) = r·g(x) und g Weise nach dass.... 2. 1. f(xoth) = f(xo). rog (xo+h) - r.g(xo). h h f(x)=r·gck) auch f'(x) = rog² (x) gist to g(xo+h)- g(x₂). h für fi -10 gilt : f'(x) = r • g² (x) 43 Sunonsentegel Für die Funktion of mit f(x) = g(x) + h(x) gilt: f'(x) = g'cx) +h'(x) 2 Bsp: 1) f(x) = x² + x f'(x) = 2x + 1 Pararmeter: 2 f(x) = +· x² f'(x) = t·2x 2tx Extremstellen = X-Werte Extremwerte: Y-Werte ·Nullstellen: X-Werfe BRUNNEN Nr. 22 501.. (X²° = 1) I zani, Buchstabe, Variable). -Hochpunkte Tiefpunkte Sattelpunkt. 14 Unabhängigkeit Wenn zwei Ereignisse unabhängig sind, kann man die Warscheinlichkeit für das Ereignis Ent als der Warscheinlichkeiten E und F Produkt berechnen PIENT) = P(E). P(F) Additionssatz Für zwei Ereignisse E und F P(EUF) = P(E) + PCF) - P (EnF) P(EU7) + P(ENT) = P(E) + P(7) BRUNNEN Nr. 22 501.. Gegenereignis - Vereinigung - Schnitt B = AZ größer 4 £5.6} Bsp: Spielwürfel. U1x würfeln A = AZ gerade {2,4,6} Gegenereighis: Ā= 12 cingerade {1,3,5} 1 Vereinigungsmenge: : Lodes vereinigt mit) AUB = {2,4,5,6} Schnittmenge (und geschnitten wit) AnB {6} BRUNNEN Nr. 22 501.. : + = Vierfeldertafel Mit einer Vierfeldertafel lassen sich bei einem (aplace - Versuch die Anzahl der Ergebnisse von zwei Ereignissen und ihren Gegenereignissen übersichtlich darstellen und Warschein- lichkeiten berechnen P 295 P 290 Ges. 1585 Ges. 255 SSO 160 საბ uis 1080 P (6) } Laplace Anzahl der für 6 günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse DIE Erwartungswert Eine Zufalls variable X ordnet jedem Ereignis eines zufallsversuchs eine Zahl zu Bsp: X: Anzahl der Wappen P(X=0) = P(0 geworfene Weippen) = 1/3 P ( X = 1) = 3/1/² 8 Der Erwartungsivert & E(X) = μ (mi) wird berechnet inclein jeder wert der zufallsvariablen mit seiner Warscheinlichkeit multipliziert und dann diese Produkte addiert werden BRONJEN Nr. 22 501.. BRONNEN Nr. 22 501.. Satz des Pythagoras 1 _c² = a² + b² 3 a kathate & Hypotenuse B tan & = Tangens Ankathete L Gegentcathate Hypotenuse Gegankathete von 2 (a) Ankathete von & (b). 3 3 cos a: BRUNNEN Nr. 22 501.. kasinus a Gegankathete C Hypotenuse. Ankathete von d (b) Hypotenuse (c) B 2 ( Sind Sinus Ankathete Gegenkathete_von_d_ (a). Hypotenuse -(C)- •Gegenkathete a Hypotenuse B ¡ 3. 2 10 ! 10° = 1 BRUNNEN Nr. 22 501.. - Basis. Hochzahl / Exponent 10 → A 10 6. 105 © 10 10 10 10 10 = 1:00_008. × Tera (T) = Giga (6) = Mega (M) Kilo (k) x hekto (h) 10² + deka (da): 10ª = : piko (p) = 1012 109 103 : Zehnerpotenzen = 10⁰ = 1 000 000 = $ 1000 000 000 000 1 000 000 000 dezi (d) = 10°^ = 0,1 zenti (c) 10°2 0,01 xmilli (m) = 10-³ : 0.001 mikro (N) = 10° 0,000 001 nano (n) = 1000 100 = 10 -9 10 : 0,000 000 001 = 10^2 = 0,000 000 000.001 10⁰ Multiplikationen (.) a. 10⁰. 6·109 ·a·b· 10⁰. Divisionen (:)_ S BRUNNEN Nr. 22 501.. # : # Bsp: 4·10³·5·10 ² = 4·5·10³+2 = 20. 105 = 20 1.00_000. • 2000 000 Bsp: P+9 . (a. 10⁰) : (b.10⁰) 음 10. P-9 = (4·10³) : (5-10²) ·103-2 40² = 8 8 A Exponenten werden_addier+_ (+)__ A Exponenten werden subtrahier | 1-1. Summen (+) Rechnen mit Zehnerpotenzen a. 10° + b.. 10° = (a + b) · 10² Bsp: 4·10² + 3..10². = (4+3). 10² · 10² 7-100 = 700 = 7 = Differenzen (-) : a. 10° - b.10⁰ = (a=b) · 10² Bsp: 1.9 · 108 6.108 =(19-6). 108 = 13 · 108 = 13. 100 000 000 = 130 000 000 A exponenten müssen. gleich sein 4 7 GTR : Graph Zeichnen: - Window (STO (F3) Graph Untersuchen: - BRUNNEN Nr. 22 501.. Zoom (in/ouT (AUTO) - Root: Nullstellen Max / Min: Hach/Tiefpunkt - ISCT: Schnittpunkt zweier Graphen. ▶y-cal: berechnet y-werte. x-cal: berechnet & -werte - Table - Menu: Wertetabelle (#5) SET Start: -10 Ende: 10 Schnittwerte = 1 : Umfangswinkelsätz. Ein Winkel heißt Umfungswinkel, wenn sein- Scheitel auf dem Kreis liegt und seine Schenkel den kreis schneiden. Mittelpunktswinkelsatz: Ein Winkel heißt Mittelpunkts winkel, wenn. sein Scheitelpunkt der Mittelpunkt des Kreises ist... - - Mittelpunktswinkel ist Doppelt so groß wie der dazugehörige Undangswinkel. - Satz _des Thales =) Umfangswinkelsatz spezialfall Sekante Trennt ein Stück des Kreises ab- passante. Gerade außerhalb des Kreises. : U = 2πL·r A = π:r² [EXIME Nr 22 501.. kreis ->r = ₂²00 -> t a kreisausschnitt a kreisbogen • Mittelpunktswinkel 2 10 T. r² 360° a b= 27C 360* d Addition (+) ³ Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponent ар тар = 2. ap BRUNNEN Nr. 22 501.. Bsp: 5³ + 5³ = 2.5³ Subtraktion (-) Bsp: 3.249.24 = (3-9) 24 6.24 Bsp 2₁ 0.3.5³ + 0,6.5³. = (0,3 +0,6). 5³ 96 0,9 5.5.5 = 0,9 · 125 = 112,5 . Umformen_zur gleichen Basis / Exponent : 4.2² + 1².2² oder g. 28 + 1/².2.2² ·28 = . + Multiplikation (:) : Division_(:) Potenzen mit gleicher Basis. MA aª. a. = a : Bsp: 3" · 3* . an : m Bsp: 5² 54 5² 54 1 * ntm 5.5 S.S.S.S 4+7 3 5² 2-4 = 3^^ =52² 25 tl = ❤ 습으싫 Pontenzierung mit gleichem Exponent Multiplikation (:) : an.b Division (:): Bsp: 3 ² 2 ² = 6² a" (a.b)^ = fajna b" Bsp: 3² 2² = (§)² = 4,5² : A klammer setzen Potenzierung von Potenzen (a^) m = a n.m FRUNNEN Nr. 22 501.. 2.4 Bsp: (3²)² = 3² = 3° 1 Rechnen mit Wurzeln Umformung in Potenzen. = (42) = पई पि:2 4' ha'. अळ = (a)(a) = हे 2 ● ಠMO 25 a (²√ α²)² = a a an -3 a nam 20 va BRUNNEN Nr. 22 501.. = a Wurzeln ! 2. Wurzel ist die übliche Quadratwurzel Bsp: ²√16 = 4; ² √ 9²² Bsp: √a база ● 12 Wurzelexponent i Radikant Bsp: va = 3ª = √35¹ Bsp: ته Bsp: (√10 ) ³²³ = 10² · (10²) ³ = Prismen Prisma besteht aus zwei zueinander kongruenten und parallelen. Viesecken Sowie von Rechtecken begrenzt ist. 0 = 26 +_ M_ = V: G.h +33 videote ziliz-Fläcnem a * 26 +h. U 145m: ( Prijmuj Kantenlänge K = 2 • U₂ + 2 • h 고 (Anzallk) Zylinder Oberfläche: 0= 2 · G + M = 2 · (T•F²²) + U.. kantenlänge: K 2.0 = 2 · (2.πl.r) = 4TC.r Volumen ™ BONNE Nr. 22 501.. : V = 6₁h = πL.x².h. Mantelfläche : U.K Aufgabentypen in gesucht: B (n) = B(0) · (p+1)^. P Bsp: B.(n) = 10 000, B(0) = 5000, p = 4,8 10.000 = 5000 - 1,048h 1:5000 215X1,048 n = log (2) 109(1,048) 2 2=2-1=P 0,059 = p -p gesucht: Bsp: B (0) = 3000, 6000 = 3000 12 2 = (1 + p) ^² | potenzieren mit 1/12. 72 (1+p)_ / -1 = BRUNNEN Nr. 22 501.. 14,78 B(n) B(0) · (1+p) ^ B.(n) = 6000, n = 12 12 / 1 + p) ¹² 1:3000 ( 4: Es dauert 15 Jahre A: Zinssatz muss ca 61. Sein B(0) gesucht: B.(n) = B(0) · [P+^) Sp - Bsp: B(n) = 10.000, n = 25, p = 4,5% (0,045) 25 10000= B(0) 1,045) 1.1,045 25 25 10000:1, 045. B (0) 3327,31 B (0). B(n) gesucht: Bsp: BIO) = 1000, B (8) = 1000 = p = 5₁,2%, n=8.. 1,0528 ≈. 1500,12 R A: Sie muss_3327% anlegen. 4: Guthaben beträgt 1500,12€. Logarithmus Y x = log₂ (x) (~_~> 6² = y oder log!! Tag! Gleichung 2x=8 2* = √2 3* 3* = ²³²√81² 10=1 10 E 0,01 100 BRUNNEN Nr. 22 501.. Lösung x=3 A x = 1/2 x = -1; ² x=4 (og 6 (0) = existiert nicht logb (1) = 0 loga (a) = 1 x:0 X÷-2 x = ²² Begründung 2 = 8 23= √2 EX : 3 33 =²³-√√81¹:²³√34¹ 10° = 1 10²=0,01 10². 10. 1 1 Neu log₂ (8) = 3 log₂ (√2) = 1/2 log3 (3/3)=-1 logz (²3√√67) = 1/ log₁0 (^)=0 log:10 (0,011 = -2 log 10 (100. √10 ) = √ GTR : a · Run - Math: 1. F4 (MATH) 2. F2 (logab) Logarithmus von Potenzen logb (y²) = p. lagoly) logs (1252) = -2・ log5 (125) = -2 3 -6_ Extra: loga (6) a =b Z.B... log₂ (100) 2. = 100 Lineares M = B (+ + 1) = B.(t) Z.B M = B (2) - B(1) = B(1) - B(0) Darstellungsarten: 1.1. B (t+1) = B(t) + m₂. 1 2 B (t) = (B10) + t・m 7 ļ K = 1+p= VEST k B1++1) B(+) Wachstum Darstellungsarten: 1₁ B (+ + 1) = K • B(t) 2₁ B(+) = B(0) - K² she Änderung. Exponentielles Wachstum rekursive Darstellung explizite Darstellung e konstant rekursive Darstellung explizite Durstellung { B (t+1)= B(+) : absolute Änderung B(t+1) B(t): relative/prozentuale B (+) Änderung 44 Beschränktes Wachstum absolute Änderung Sättigungsmanko 22 501. = Rekursive Darstellung: B(t+1) - B(t) = konstante c S-B (t) B (t+1) = B(+) + C · (S= B(+)) Ähnlichkeit Def: Zwei Victecke heißen ähnlich, wenn die Längenverhältnisse einander entsprechender Seiten und einander entsprechende Winkel gleich sind. a' к = c' - d' d Vergrößerungsfaktor b = c b BRUNNEN Nr. 22 501.. k d=d²; B = B²; y = y'. Zentrische Streckung Def: Eine Abbildung, die jedem Punkt einen Bildpunkt so zuordnet, dass gilt: 1. P' liegt auf der von einem festen Punkt s ausgehenden gerade durch P. 2 SP¹ = k· SP heißt zentrische Streckung mit dem Streckzentrum S und Streckfaktor k. Eigenschaften. 1) Ausgangsstrecke und zugehörige Strecke sind parallell (2) Entsprechendo Winkel in Ausgangs- und Bildfigur sind gleich groß. 3.) Seitenlängen der Bildfigur und mit dem Streck- faktor k gestreckt. und Bildfigur sind ähnlich zueinander Merke: Ausgangs Satz des Pythagoras Für y = 90° gilt. BRUNNEN Nr. 22 501.. : Kathete Kathete b Hypotenuse e 2 a + b² + b² = c² S SB -SB² B SA - SA' -AB- A'B' = 8 AB A²B² h 2.. Strahlensatz gith SA -A-B- B S₂ -SB² -_-4¹B² SA SB -A'B' AB S h -gith . SA' SA -S SA AA' SB SB- SB BB² BRUNNEN Nr. 22 501.. B. A SA³ AA¹ Strahlensätze - Erweiterungen 1. strahlensatz B. SB' BB² a g||h b B A SA SB -SB²³² SA AB' SB² Z - BA' SA" B BA AB' BS -AS- quadratische Funktionen. Y= x ² Normalparabel. a>0 Parabel oben geöffnet Parabel unten geöffnet. a lo lal 21 enge öffnung {- ^ <ac^) weite öffnung класа tials Wenn die Parabel positiv" ist, ist der Scheitel s (0/0) der tiefste Punk Wenn die Parabel, negativ" ist, ist der Scheitel S (010) der höchste Punkt 77 Wenn X=0 dann ist y = y-Achsenabschnitt x und y immer 10101 Bei Parabel sind Draw →→ F5 BRUNNEN Art-Nr. 10-22501.. F6 Floder F2 0-Stelle 520,13 = 400 52:13 = 52°013. = 6.26 52.43 = 676 1,25 0,05 25 Hebt sich auf 1,35 0,05 حبك BRUNNEN Art-Nr. 10-22501.. = = 125 S = 25 * 2√ab + 3a-√√b²-a-√√ab² + √a²b² 2a √ab ² + 3a -√√b²-adab ta √b² a √ab +49-√ D a (√ab + 4√6²) = 3:14 = 0,21 003 ÷0 4y= 4x4 = 4 2х2 = 4 3x3 = 9 4х4 = 16 5×5 - 25 6х6 = 36 7x7 = 49 8x8 = 64 txt V8= 6×6 10x10 = 100 nv=vVxVV 12 х 12 = 144 13х13=169 лихли = 196 15x15 = 22225 16×16 = 256 17x17=289 18 × 18 = 324 Quadratzahlen 19x 19 = 361 20×20 = 400 441 22 × 22 = 484 23. x23 - 529 24 x 24 = 576 25 × 25 = 625 26 × 26 = 676. = nxуг = 27 × 27 = 72.9 hst = 817 81 29 x29 = 844 30x30: 900 40 x 40=1600 50x50=2500 60 х 60 -3600 70 ×70 = 4900 80 × 80 = 6400 90x90 = 8100 400 x 400 :10000