Fächer

Fächer

Mehr

Mathe Abi Lernzettel

13.10.2021

5982

184

Teilen

Speichern

Herunterladen


L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris
L
B
all
ESTAND A Us
REKONSTRUIEREN
alyses
Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2
"Aufleiten"
Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x
m=
→ Rechneris

L B all ESTAND A Us REKONSTRUIEREN alyses Anderungsfunktion fux) = - 0,SX + 2 "Aufleiten" Bestandsfunktion BW) = -0,25x² + 2x m= → Rechnerisch erhält man die Bestandsfunktion durch das Ungkehrte des Ableitens („Aufleiten"). Dabei gilt B (0) = 0. 1 •Sofas dx => momentane b-a a Geschwindigkeit →Bestände können aus Anderung Bestand Geschwindigkeit zurückgelegter weg. Zuflussrate Wassermenge Gewinnzufluss Gesamtgewinn xn .. STA M N FUNKTION f(x) k F(X) K-X1 ANDERONG n+1 xn+1 1 X² 1 Funktion Konstanter g(x) = a-f(x) Faktor → Eine Funktion F heißt Stammfunktion zu f wenn F(x) = f(x) gilt. K → Ftc sind alle Stammfunktionen zu f wichtige Stammfunktionen / ↑ √X sin(x) cos(x) √x²²cosk) sin(x) Regeln für Stammfunktionen →F.6, H ist jeweils Stammfunktion zu fig.h. Stammfunktion 6(x)= a F(x) Sommen - n(x) = f(x) + g(x) + (x) = F(x) + 6(x) regel durchschnittlich Beschwindigkeit Уг-ул x2-x1 3 V Steigung Tangente bekannten Anderungen rekonstruiert werden. Geometrisch kann man Werte B(a) der Bestands- funktion 3 als orientiesten Flacheninhalt unter dem Graphen der Anderungs- funktion un 0 bis a interpretieren a der Wendstelle The joubt V f(x) f"x Nitisille fall L BESTIN → Der orientierte Flächeninhalt unter einer Randfunktion of im interval [a, b] heißt bestimmtes integical Sfandx (integrou fix) von au von a bis b. dx). INTEGRAL FUNKTION → Die Funktion die jedeus zuordnet, die f(x) mit der X-Achse zwischen a und x f(t)dt = 0 heißt Integralfunktion 20 pao. Ia (x) = S^fitlat --> NTEGRAL HAUPTSATZ Teil 1: Ia (X) = f(x) X den orientierten Inhalt der Fläche f(t)dt = {^f(t) at +K DER NTEGRAL f= Integrand; a= untere Grenze; b= obere Grenze INTEGRALRECHNUNG Integral funktionen sind Stammfunktionen Tell 21. I (b) = 5° fkx) dx = F(b)- Fla) ALS DIFFERENTIAL- UND F(X) ist eine Stammfunktion von fix). GREN Z WERT PRODUKT SUM No MEN Somme von Rechteckflächen (Produkt...

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Alternativer Bildtext:

summen ) -S₂ = f(x₂) · 0x + f(x₂). Ox+. + flan) ・ox Bestimmies integral. Grenzwert der Produktsomme: Lim > (f (xx). ox) = -S f(x) dx 318 k=1 a einschließt, VON DI - (1) Nulstellen bestimmer | Stridx | + | 5 tunda | A = √ √ (tw-g()da |+|-| -(1) Schnittstellen JI 3. Beispiel vin mis N N REKONSTFORtion Nos Acearanger LA fhk Geschwindigkeit b v (t) = get +ins 1- 27 Sig Six - Str's Flache zwischen zwei Kurven → HENBERECHNUNG Fläche zwischen Kurve und x-Achse. Von Nullstelle zu Wullstelle integrieren. und jeweils Betrag nehmen" Differenzfunktion von Schnittstelle zu Schnittstelle integrieren und jeweils Betrag nehmen" We (siam Dal AX f(xi) FOO AY /s) - 9² tins f AV 1X₂ x3 BERECHNUNG DER VOLUMINA MON x₁ ROTATIONSKÖRPERN Va+p (f(x;})² _V=P ["(© G'))* au DI JI L ff(x)dx a Lim Sfax dx f(x) (18 ONEIGENTLICHE LINEARE HEEHHE → Han unterscheidet diese Integrale, indem man überprüft, ob die I T I T HRE Grenzwerte existieren. T I X 1. Lösen mit Gauß- Algorithmus → Mit Aquivalentumformungen wird das LBS auf Dreicks form gebracht y + z = 1 2x+3y-22 = 0 --x+ 2y + 3z = -5 m²:42 2x + 3y - 22 = 0 Y + 2 = 1 -X + 2√ +3z = -5 2x+3y-22=0 y +z = -1 7y + 4z = -10 II 1²: 11¹-700 NTEGRALE 2x + 3y - 2z = 0 y + z = -1 -32= -3 a S fixndx a GLEICHUNGSSYSTEME JANG 55 55 a 2. Losen mit Matrizen und GTR f(x) dx. Goorsiene LOSEN → Die letzte zeile liefert - 3+ = -3 und damit z=1. Rückwärtseinsetzen dann y=-2 und x=4. Lösung : (4; -2; 1) 6TR: 2nd →x1 → Edit → 3x3 →→ cintippen → Quit → 2nd →x-^ → Nath →rref > enter → 2nd → x^→ Matrix" auswänien →Enter Enter ום r MODELLIEREN M IT KURVEN ANPASSUNG Ansatz. f(a) 1. Koordinatensystem festlegen. 2. Punkte aus gegebener Form austesen 3. Punkte, die für die Form charakteristisch sind, festlegen und zugehörige Bedingungen notieren 4. Gantrationale Funktion mit Grad, Anzahl Bedingungen + 1 1. Recue Kurve in Abschnittle einteren. STETIGKEIT FUNKTIONEN 5. LGS aufstellen und lösen. 6. Graphen zeichnen. Passt er nicht zur gegebenen Form, dann andere Punkte und Eigenschaften nutzen. MODELLIEREN HIT ABSCHNI+SWEISE DEFINIERTEN FUNKTIONEN Nicht Stetig STRATEGIE → K 2. Notwendige Eigenschaften für jeden Abschnitt notieren 3. Sprung-und -und Knickfreie übergänge berücksichtigen (manchmal außerdem "Krümmungsruck" vermeidler), 4. Für jeden Abschnitt passende ganzrationale Funktion aufstellen. 5. Fertiges Modell mit Realität vergleichen. +1° Liefert STRATEGIE → Eine Funktion of ist stetig an einer Stelle a, wenn der Links und rechtseitige Grenzwert gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist. (im f(x) = f(a) Xa 1 71 JI STRATEGIE ZUR LÖSUNG VON STECKBRIEF AUFGABEN FUNKTIONEN (27) Ansatz: n (1) Übersetzen der Bedingungen in Funktionsschreibweise und grafische. Veranschaulichung A (3) LGS aufstellen und Casen fla) 20 (4) Funktionsgleichung angeben (5) Graphen zeichnen. (6) Bedingungen überprüfen • Bedingungen: Polynom vom Brad n-1. Lim x→a GANZRATIONALEN + DIFFERENZIERBARKEIT a Night differenzierbar → Die Funktion of ist differenzierbar an der Stelle x=a (a € Dr), falls der Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle existiert f(x) = f(a) = f'(a) x-a → Eine Funktion of wird differenzierbar genannt, falls sie an jeder Stelle inces Definitionsbereichs differenzierbar ist. O ● CH FONCTIONSSCHAREN INTECT →Funktionscharen können entstehen, wenn man Koeffizienten oder Zahlen variabel hält, - Weniger Bedingungen für eine Funktion zur Verfügung hat als zu einer eindeutigen Bestimmung notwendig ist. Der Funktionsterm enthalt dann Parameter. Beispiel: Die vier Bedingungen f(0) = 0; f(2)=2₁ f(2)=0 und f"(0)=0 föhren mit dem Ansatz eines Polynor Funktionenschar fa(x) = ax²³-4ax. f₁₁ (x) = 10 V² 2 +x noms vom Grad 3 zo der V= Abschlaggeschwindigkeit in m/s X = Flugweite in m fv(x) = Hughōne in m F: wie weit und wie hoch fliegt der Golfball A: Abschlagpunkt ist (010). Maximale Flughöhe: fv(x) = 0 f√(x) = - 20 x + 1 = 0 = x max ² V² Die Flugweite beträgt v² m, 10 Flugweite: fv. (X) = 0,₂ also : - 10 x² + x = x : x ( 1 - 1 x ) = 0 => V2 V² 2 in Abhängigkeit von v die maximale Hone v², also 1/4 der Flugweite. + 40 =0=DM = 0₂ X2= 10 Jv (Xmax) = -10 = v² v4 V² 200 20 V² : ca. 38,7 m/s (150 - YO -0,5 Maximale Höhe und Flug Strecke sind proportional √² 40 40 10 Fiwie weit und noch fliegt ein Ball, der mit 30 m/s abgeschlagen wird? A: Flugweite: 90m (300_go), Flughöhe: 22,5 m (300 - 22,5) 40 Fi Mit weicher Geschwindigkeit wurde ein Ball abgeschlagen, der 180m weit floger A: Abschlaggeschwindigkeit => V 1500 38,7 71 سمين منبه Neve Ableitungsregeln Produktregel: f(x) = u(x) · V(x) Beispiel: f(x) = (x³ + 4). (x² + 1) u(x) = x³ + 4/ u'w = 3x² V'(X) = 2X 1 ² ( x ) = (3x ²) · (x² + 1) + (x³ + 4) · (2x ) = 5x² + 3x² + 8x Kettenregel el: f(x) = u(v(x)) Beispiel: f(x) = (2x+1) ³ u(x)= x³ u'(x) = 3x² BRUNNEN I f'(x) = u²(x) = V(X) + U(X) - V(X) = innere Funktion; u= außere Funktion f'(x) = v'(x) • u ₁ (v(x)) innere Ableitung mal "außere Ableitung" V(x) = 2x + 1 U'(X) = 2 J'(X) = 2 · 3 · (2x + 1)² Die natürliche Exponenticufunktion سعد >Exponent → Die Exponentialfunktion fx) = @ mit der Basis c = 2₁718281... Basis Ableiten mit der e-Funktion: f'(x) = 4₁ ex f'(x) = → Faktorregel: f(x) = 4. ex → Kettenregel: f(x) = @ ³1²1 → Summenregel: f(x) = 4. e^+ €3x²+1 → Produktregel: f(x) = x². ex → Quotientenregell: f(x) = ex x2+4 3x²+1 6x - e² 3x²+1 f'(x) = 4 · e²^² + 6x-e² f(x)=2x-ex + x² • ex = ex. (x² + 2x). f(x) = ex⋅ (x²+4) -ex. 2x (x²+ (²+4)² Tangentergleichung an der Stelle a bestimmen: Ansatz: ((x) = m.xtb fix) = 2-³x f'wx) bilden. f'(x) = 3·2-e³x = 6-c³^ Im bestimmen m= f(1) = 6° e ³ b bestimmen P(1/2.6³) in +(x) einsetzen liefert b= -4.c³ t(x) = 6-e²³-x-4-c³ Tangentengleichung angeben Stamm funktion bilden: f(x) = a∙em.x+b =D F(x) = a m Beispiel: "f(x) = 6-e² 2x+5 ex 2ex Ableitungen von ex f e²x Volty) => waagerechte Tangente =) Steigung ist 0 => Nullstelle der 1) Ableitung (20x³) 30 e f" ex 2ex √30¹e* =D FKX) = 6 - ²x+5 = 3₁e2x + 5 2x 7 (14) Ableitung 30- (20x3). (20x³) 20x3 = 30-60x²e 20x3 1800 x²- e Ableitungen von (n(x), f lu(x) X 20- Inx) 20.1.20 X X a. Inx) a X lu (7-x) (7-x)² - 1 7-X a. 1 X lu (x²-2x), (x²-2x) 1 ♥ m.x+6 1 X 7-x ; Stelle a = 1 In(...)-> Ableitung von was liver Stelet mal X X-7 x²x2x2x2x Logarithmen → Für jede positive Basis 6 mit b & 1 gilt: Die breichung b²= y und x = log₂ (y) sind aquivalent. Exponent ↓ 1000 = 10³ log 10 (1000) = 3 Basis → die Gleichung ex = a (a>0) wird durch die Umkenr- operation, das Logarithmieren, gelöst. => x = log₂ (a) = (n(a) => der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus, er wird mit In bezeichnet. Es gilt: eln(a) = n(eª) = a Wichtige Regeln bzw. Informationen: log(a. b) = log(a) + log (b). log (a: 6) = log(a) - log (b) log (a²) = x. log (a) weg 1) 2° e ³x-8=0 2e3x = 8 lu (2-e³x) = lu (8) lu (2) + lu(e ³x) = lu (8) ex = a 1+8 Ilu nur Exponent bleibt 2x ✓ bleibt 1 Auch lg(...) lu (...) 3x = lu(87- lu (2) x = lu (4) 3 Umschreiben mit e² und lu(x) lu(e) = 2x • lu( 2²² ) - lu (2³4)- lu (3x) 8x BRUNNEN T 3x lu (8) + lu(x) a= a. In (2a) 1 = (n (2a) e^ = 2a 1-lu(2) ex ≤ b <=> ex = b 1:3 e In (b) = 6 ↑ le anwenden 1:2 (4 lu(x²) x = (n (b) /anwe- nolen x = lu (b) elu (2x). e 3·lu(2x) = (e tu (2x))³ = (2x)³ = 2³. x³ = (e du (x²)) " = (x²)² = x² 4 2.4 ₁2 ² = y → x = log₂ (Y) ex = y (x-1)-e4x = 0 ✓ X-1=0 ex et 0=ex V exto te-* 0= 4-2e - 4 = -26-10x 2 = -10x lu (2) = - 10x 14(2) -10 टपर ↓ e4x #0 lu(0) = keine Lösung -10x 2x ↑ [(y) = (n(y) =0 Gleichungen lösen mit ex: 0-e³x-ex weg t lu (x) → 1-4 F(-2) lu 1. (10) > c²x-1=0 e²x = 1 Ilu X lu (@2x) = ln (1) = In (1) 1:2 = lu (1) 2 0=(x²-9)-e-²x /e ²x 40 0=x²-9 9 = x² X₂₁=3 INT x₂ = -3 weg 2 3x x = 3x 0=2x Ilu (-x O Weiteres Beispiel: (x - 2)²x = 0 8·6²²x -4 = 0 264x -8c²x =0 . e-ux -8e²x = 4e²x Ни lu(e-4x) = lu (4-e²x) - 4x -In (4) +2x Det lu (c²) x+d e -4x C -6x = (n (4) e³. (n (2) - (e (~(2)) ³ = 2³² = 8 Verschiebung von e 1-e² => Spiegelung an X-Achse Spiegelung an y-Achse T+8e2x (n (4) -6 BRUNNEN •Spiegelung an beiden Achsen eº=1 - 2 ex => Streckung um Faktor 2 f(0) = 2 · e° = 2 • 1 ex -> Streckung 1-2x => Gesucht ist der Exporent x, für den gilt: ex=e² also x=2 um Faktor 4 lu(a∙b) = lu(a) + ln (b) => Logarithmusgesetz wichtig => Verschiebung auf X-Achse Spiegelung an t-Achse Streckung Spiegelung um Faktor 1/2 f(0) = 0₁5 - e° = 0,₁5 • e²+C => Verschiebung auf y-Achse Beispiel: +3 -4e7x+2 2 nach rechts auf x-Achse Das an y-Achse d=+ => nach links. d=-=> nach rechts. < = + => nach oben C = = => nach unten. →3 nach oben auf y-Achse Innermatisches zu e-Funktionen: → Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 80x• e-0,4x • Extrempunkte bestimmen: Abeitungen bilden: 6 leichung f(x)=0 lösen Mögliche Extremstellen profen Extrempunkt (XE f(x₂)) angeben • Wendepunkt bestimmen: Gleichung f(x)=0 (ösen 3. Ableitung bilden Mögliche Wendestelle profen -0,4x f(x) = 30 e ²° 1-12x c le-0,₁4 x - (30-12x) E f"(x) = - 12.₂ -014x- -0,4x x ^-0₁4-e-0¹ · (30-12x) =e04x (-24+418x) 6-94x *·(30-12x)=0 => 30-12x = 0 => x==2,₁5 f" (2,5) = -4,41 < 0 => Hochpunkt bei XE 25 f(x) = f(2,5) = 27,6=2H (2/5/27,6) e-01 4x ( - 24 +4₁8x) = 0 => -24 + 4,8x = 0 => X₁₁₂=5 f(x)=(14₁ 4-1,92x). e²-0,4x f"(XW) = f" (5) ≈ 0,65 TO Wendepunkt (xw/f(kw)) angeben • Flache im Intervall [a, b] bestimmen: α = 1; b = 3 Flächeninhalt A zwischen Graph und X-Achse in Intervall [a, b] bestimmen f(5)=150-e²² ~ 20₁3-> w($120,3) Im Intervall [1₁3] verläuft der Graph oberhalb der x-Achse. S²(80x²e-0,¹x) dx = 51, 7 => A~ 51₁ 7 FE Exponentielles Wachstum → Die Anderungsrate f'(x) ist zu f(x) proportional DGL f'(x) = f(x) (Differenzialgleichung) Anfangsbestand #a Wachstumsfaktor = b Wachstumskonstante= | f'(x) = 2 · f(x) = 100% e = 100-e Beispiel: 100 Borkenkäfer & jedes Jahr kommen 20% dazu. f (x) = 100 · 112^ in (1₁2) X 0,1823x (n (b). fax) = (n (1₁2) f(x). = 0,1823 f(x) Anderungsrate BRUNNEN T Exponentielles Wachstum: y 20 → 1+ 100. Funktion fox) = a. - 1+0,2 = 1₁2 f(0) = 100 7x Halbwertszeit: t₁ = (n(Q) & b₁ -At _f(t)= a.e = a e = a e → die prozentuale Anderung bezieht sich auf einen Zeitraum, ist also eine mittlere Anderungsrate! die Wachstumstonstante beschreibt die momentane, lu(b)x XX Nebenrechnung bei Prozentangaben: f(x) = a. (1+ fou) -> wachstum 100 P a. (₁- 100 ) ->terfall Exponentieller Zerfall: →→x Begrenztes Wachstum → Beschränkles Wachstum liegt vor, wenn es einen möglichen Hochststand des Bestandes (die Kapazität K) gibt. Anfangsbestand: a= f(o) Grenzbestand Kapazität: K Wachstums konstante: 1 Funktion: f(x)= K-(K-a) · e DGL: f'(x) = X · (K- f(x)); f(0) =a Beschränktes Wachstum: TY Kapazität -xx -->x => je größer f(x), desto kleiner wird (k-f(x))/ desto steiler wird for) Wachstumskonstante: 1 = 0,22 -0,22 Beschränkter Zerfall: TX Beispiel: 30 Wildschweine, Platz für 200 wildschweine ; K=0,22 a= f(0) = 30 Anfangsbestand -Kapazitāt: K= 200 f(x) = 200-(200-30). f'(x) = 0,22. (200-f(x)) ; f(0) = 30 ↑ Beschränkter Zerfall: 1 e Kapazität = 170 e -0,22x +200 > →x Logistisches Wachstum Es gibt eine obere Schranke P für die Wachstumsfolge → Wachstumsprozesse haben einen S-förmigen Verlauf → Die Wachstumsgeschwindigkeit nimmet anfänglich zu und ab einem gewissen Zeitpunkt immer mehr ab, so dass der Bestand sich einer Grenze nähert Anfangsbestand. : a = f(0) Grenzbestand: P Wachstumskonstante: 1 Funktion: f(x) = a.P. at (P-a)·e": DGL: f'(x)= x-fix) · (P-f(x)); Beispiel: 10cm lang; maximal 1,5m= 150cm ; k=0,083 f(x) = BRUNNEN 。-XPX 150 10 (500 10+ (150-10)-0,003-150x 10+ 140 -0,45X f'(x) = 0,003 · f(x) · (150-f(x)); f(0) = 10 Logistisches Wachstums: TY Grenzbestand. f(0) = a x → Wendepunkt = Hälfte der oberen Grenze Modelleren von Daten mit Exponential funktion / Bsp. Eine Tierpopulation entwickelt sich folgender weise: 3 Zeit in Jahren Anzani 0 1 4 15 10 18 35 69 123 234 (1) Festlegung eines Funktionstyp durch Analyse der Messwerte Quoriententest: 18 10 f(x) = 10⋅ 1₁9² = → Quotienten sina annähernd konstant mit b = 1,9. Dies liegt ein expon. Modell f(x) = A= 5x = A·ckx mit k= (n (b) nahe (2) Bestimmung der notwendigen Parameter für eine konkrete Funktion (A) Anfangswert f(0) = 10 und wachstumsfaktor passender Quotient als A.S (B) Anfangwert f(0) = P( 41123) (a) (im X118 b) (im X-480 10.5 = 123 => b f(x) = 40 1,87 * = 10∙e 135 194 18 lim X1±8 c) (im X76 Verhalten im Unendlichen/ 115 X lim 8118 ^ x+3 ^ x+3 A e 10. e -2 d x².ex 0,69 x 10 und O + 4 =∞ = lim X-X 01627x lim X→± so ✓ O 69 35 12.3 x 1,87 115 ein geeigneter Messpunkt: (er) s 2 -00 -1.97 e =0 12. Live e 1. Lim X4-8 </8 (-∞)². A é o X-0 =0 12 ex=0 3 ex wächst ( fällt. Schneller ∞ O O O ● سلميلي متر Empirische und theoretische Wahrscheinlichkeit. -die empirische Wahrscheinlichkeit ist ein Schätzwert der Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis eintritt. Dieser basiert any der Häufigkeit, mit der das Ereignis bei einer häufigen Wiederholung des Zufallexperiments eintritt. Beispiel: Realexperiment A Spicht 100-mal Protokollieren der Ergebnisse: 2.B: → A gewinnt 31-mal, 3 gewinnt 69-mal → Relative Häufigkeiten berechnen: h (A) = 0,31 h (B) = 0,69 → Schätzwerte wahrscheinlichkeiten: P(A) = 30%- P (B) = 70% sind, so kann man mit - die theoretische Wahrscheinlichkeit basiert auf Annahmen, die man über die Ergebnisse eines zujausexperimenties macht. Nimmt man 2.B. an, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich der Kaplace-Wahrscheinlichkeit arbeiten Beispiel Kaplace wahrscheinlichkeit Erstellen einer Ergebnistabelle: → Anzahl möglicher Ergebnisse : 36 → Anzahl günstiger Ergebnisse X A gewinnt: 12-mal X 3 gewinnt : 24-mal BRUNNEN 3 P (A) - 12 - 36 P(B) = 24 36 2 3 3 Baumdiagramme -Mithilfe eines Baumdiagramms kann man alle möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Zufalsversuches übersichtlich erfassen und eintreten analysieren. Zudem ist es möglich mit den Pfadregeln" Wahrscheinlichkeiten zu berecmen, mit denen bestimmte Ereignisse → Was sind mehrstufige Zufallsexperimente ? Ein Zufallsexperiment, das aus mehreren nacheinander. gleichzeitig ausgeführten Zufalsexperimenten bestent, ist genau ? ↳ Ein mögliches Ergebnis (Secus", keine Secus" ein meurstufiges Zufallsexperiment. Ein Ergebnis eines mehrstufigen zufausexperiments setzt sich aus den Ergebnissen der Einzelexperimente zusammen → zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 1. Secus" zu werfen eine 16 516 → Mit einem Baundiagramm kann man alle möglichen vier Ergebnisse des Würfelns mit zwei Würfein aufschreiben und die gesuchte wahrscheinlichkeit für genau einen Secus" berechnen. Jedem Pfad entspricht ein Ergebnis. Die roten Pfade entsprechen dem Ergebnis genau eine Secus LO und Pfadregenn 6 16 116 516 116 5/6 6 +6 6. 6 5/50 5 6 S G into 516 1 36 " S 36 +1 5 G 36 oder 25 36 -Berechnen von Wahrscheinlichkeiten mit den Pfadregeln ↳ Produktregel = die Wahrscheinlichkeit werden. des Pfades. langs multipliziert. P (Schwarzer Würfel eine Sechs" und roter 11 Secus) = 1 6 ED P (Schwarzer Würfel keine Secus" und roter Würfel keine Secus 5.5-25 6 P(genau 6 Mit einer Summenregel = Führen mehrere Pfade zu demselben Ereignis (hier: genau eine Secus"), so werden die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Pfade addiest 96 eine Secus"). einmal eine BRUNNEN 36 11.Secus" Wahrscheinlichkeit. **[P²ª;p²^] 1 √n² Empirisches Geseft der großen = 1 1 6 5 6 6 würfel keine 5 Zamien 승 von 27,8%. kommt - nach vielen Versuchen stabilisiert sich die relative Häufigkeit um die Wahrscheinlichkeit p → Prognose intervalle für relative Häufigkeiten. 95% - Prognose intervalle => in etwa 5%. der Versuchs- reihen kann es 1 dass die relative Häufigkeit außerhalb des 95%. - Prognose intervalls liegt 10 36 ≈0,2778 genau also vorkommen, Bedingre Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit = P(BIA), also P(B wenn A) → Multiplikationsregel: Ereignis A und das Ereignis & treten ein P(ANB) = P(A). P(BIA) A DI A P (B) P(BIA) = P(ANB) P(A) → Vierfeldertafel B B P(ANB) P(ANB) P(A) P(ANB) P(ANB) P(A) 1 ↑ (gesamt 1007.) (auch PA (B)) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis & eintritt, wenn bekannt ist, dass das Ereignis A eingetreten ist. Sie bezieht sich nur -gesamt- D P(A) A. P(A) P(A NB) = Wahrscheinlichkeit für A und B A = A ₂ A = nicht A LA => Tafel entweder mit absoluten Zahlen oder Wahrscheinlichkeiten → Bawneliogramm P(BIA) PB(A) $ ∙B "B PIBIA) B PIBIA) PA) +0 B auf die 1. Grundmenge P(A MB) = P(A). P(BIA) Binomial koeffizient Anzahl der Pface der länge n mit k Treffern (n) (3) Beispiel: (11) Anzahl der Prade der Länge 11 mit 4 Treffern (11) 11! (₁4₁²) = (1-4)! ・Y! Fakultäten: n!= n⋅ (n-1)·(n-2). Auswerten von Binomialkoeffizienten (11) 4 Sprache in der Stochastik Sprache genau k Treffer höchstens & Treffer Hathematik R(X=K) P(x≤k). P(X<k) = P(X ≤K-1) 2.1 weniger als k Treffer mindestens k Treffer P(X2k )= 1- P(X≤K-1) mehr als & Treffer P(X>k) = 1-P (X≤k) mindestens i Treffer P (kn≤x≤ k₂ ) und höchstens m = P(x≤ K₂) - P(X≤K₁-1) Treffer (2)= (-k)! • K! n! (11-4)!-4! 71.41 GTR binompdf (nip,k) binomcaf (nip,k) binomcdf (nipik-1) 11-10-9-8-330 4.3.2.1 1- bioomedf (n₁p, k-1) 1-bimomcaf(n, pik) binomed f (nipik 1k₂) binomcdf (n₁p,K₂) - binomcaf (nipik-^) Standardabweichung einer Binomialverteilung -= √n-p: (1-P). Erwartungswert einer Binomialverteilung M²n⋅p => Welt, bei dem sich der Mittelwert der Trefferzahl X bei einer sehr häufigen Wiederholung der Bernoulli - Kette der Längen und Wahrscheinlichkeit p expendelt Prognose intervalle → Man erwartet, dass die Trefferanzahl um den Erwartungswert M. Schwankt. Prognose interval vervalle sind zum Erwartungswert M. symmen sche Intervalle, in die die trefferanzahl mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit fällt. Prognose intervalle [M-C; ; mit ] Diskrete Zufallsgrößen → kann die möglichen Werte, welche die Zufallsgröße annehmen kann, aufzählen. Beispiel: Anzahl von Kopf" beim vierfachen Münzwurf Seneben d's → bei einer diskreten Zufallsgröße X, die die Werte x1, X2--- Xn. annehmen kann, lässt sich die Wahrscheinlichkeits verteilung durch die Angabe der Einzelwahrscheinlichkeiten P(X=X₁) ₁ P(X=x₂) ₁ P(X=Xn) beschreiben Stetige Zufallgrößen → können alle reellen zahten in einem Intervall annehmen. Man kann sie nicht aufzählen. Die weite werden in Klassen aufgeteilt. Beispiel: Geschwindigkeit eines Pks, Klasseneinteilung: Intervalle der Länge 5 km/h → Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird beschrieben durch die Dicutefunktion fax) → Bei der Normalverteilung ist normpdf keine wahrscheinlichkeit, sondern der Wert der Dichte funktion an einer bestimmten Stelle → für die wahrscheinlichkeit P(a≤x≤ b), a.h. wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsgröße X in das Intervall [a; b ] fällt, gut: P(a ≤x≤ b) = f(x) dx. ^ die (Jim (asxs p) a die Wahrscheinlichkeit, dass eine stenige Zufaligröße X den Wert 1 annimmt, ist P(X=b) = [² fx dx=0 b Stuchastisch unabhängige und abhängige Ereignisse - bei mehrstufigen Zufalls experimenten treten mehrere Ereignisse auf (entweder abhängig oder unabhängig. zwei oder mehr Ereignisse Stochashsche unabhängig Das Eintreten eines Ergebnisses. A macht es weder wahrscheinlicher noch unwahrscheinlicher, dass das Ergebnis 3 eintrit A: erste Kugel ist rot P(BIA) = P(B) Beispiel: Aus der Urne werden nacheinander zwei Rugeln gezogen, einmal mit zurücklegen und einmal ohne Zurücklegen 3: zweite Kugel ist rot es Soll P(BIA) berechnet werden Ziehen mit Zurücklegen Die erste gezogene Kugel wird zurückgelegt, die Kugeln gut gemischt und dann die zweite Kugel gezogen P(BIA)=PB) = 1/2 => A und 3 sind stochastisch. Unabhängige Ereignisse, wenn P(BIA) = PCB) und P(A/B) = P(A) PA und B) = P(A). P(B) Wahrscheinlichkeitsvert er Stochastisch abhängig Das Entreten eines Ergebnisses A beeinflusst die Wahrscheinlichkeit des cintretens des Ergebnisses 3, es kann wahrscheinlicher oder weniger wahrscheinlich auftreten P(BIA) = P(B). Xi Xi | P(X=Xi) P₁ P₂ Ziehen ohne Zurücklegen Adie erste gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. Die zweite Kugel wird gezogen. vertellung einer Zufallsgröße → für diskrete Zufallsgrößen X gilt: Ordnet man jedem Wert X;; der Zufallsgröße X annimmt, die wahrscheinlichkeit zu, mit der P(BIA) = 2 + P(B) = 1/2 5 auftritt, so + so nennt man die Zuordnung x; → P(X= x₁) = p; Wahrscheinlichkeits- verteilung der Zufallsgröße X. BRUNNEN T = A und 3 sind stochastisch abhängige Ereignisse, wenn P(BIA) + P(BY PA und B P(A)• P(B) Xn Pn Es gilt p₁tp₂+...+P₁ = 1