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5 f(x) dx k=1 a Rechteckflächen (Produktsuchmen) + fland ox MEN • VON UND 9 ● | Stuidx | + | 5 tu) dk | (1) Nulstellen bestimmen A= A= (1) Schnittstellen bestimmen (15 (102) | + | 4P(1/16 - 0+)5 | L 9. 4 Beispiel vin m/s f b 6 Geschwindigkeit. NST v (t) = get FLACHEN BERE + ins Flache zwischen zwei Kurven Sing) - Sik+ 9) - Stifts A Flache zwischen Kurve und x-Achse Von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und jeweils Betrag nehmen" HNUNG A → Differenzfunktion von Schnittstelle (1 4X f(xi) FO 20 Schnittstelle integrieren und jeweils Betrag nehmen" HNUNG Weg. som Dal AY Y 4 ANDERUNGEW (54)-79-4² 1x A OVER VOLUMING CL ROTATIONS KÖRPERN tins X₂ X2 6 VON Z x 2 XX 2 _V₁=p. (f(x;)) ²_V = πr √ (f(x)) ² ax dx C JI ONEIGENTLICHE DO √ f(x)dx a Lim 418 HEE I 1 HEE → Man unterscheidet diese Integrale, indem man überprüft, ob die Grenzwerte existieren. I Y T 1 a HAE HAE I Sf a f(x) dx LINEARE 1. Lösen mit Gauß- Algorithmus → Mit Aquivalentumformungen wird das LBS auf Dreicksform gebracht y +z = -1 2x + 3y - 2z = 0 -x+ 2y + 3x = -5 X -x +2y+3 2x+3y--22=0 Y + 2 = 1 I + 200 2x + 3y - 22=0 M: '-70 +37 =5 y +z = -1 7y + 4z = -10 2x + 3y - 2z = 0 y + z GLEICHUNGSSYSTEME = -1 a So findx a -32= -3 Lim 240 2. Losen mit Matrizen und 6TR سام f(x) dx Y xx SSYSTEME LÖSON → Die letzte Zeile liefert - 3= = -3 und damit z=1. Rückwärtseinsetzen dann y=-2 und x=4. Lösung : ( 4; -2; 1) 11 6TR: 2nd → x1 → Edit → 3x3 → cintippen → Quit → 2nd →x-1 → Math →rref enter → 2nd → x-1 "Matrix" auswählen →Enter Enter 7 9 L MODELLIERE KURVEN ANPASSUNG Ansatz. 1. Koordinatensystem festlegen 2. Punkte aus gegebener Form austesen 3. Punkte, die für die Form charakteristisch sind, festlegen und zugehörige Bedingungen notieren 4. Gantrationale Funktion mit Grad, Anzahl Bedingungen +1° Liefert f(a) NANA 5. LGS aufstellen und lösen. DEF NIT FONKTIONEN STRATEG 6. Graphen zeichnen. Passt er nicht zur gegebenen Form, dann andere Punkte und Eigenschaften nutzen. ODELLIEREN MIT A FINIERTEN J 1. Reale Kurve in Abschnitte einteilen. T W Nicht Stetig B SCHNISWEISE FUNKTIONEN 2. Notwendige Eigenschaften für jeden Abschnitt notieren 3. Sprung-und knickfreie Obergänge berücksichtigen (manchmal außerdem "Krümmungsruck" vermeichen). 4. Für jeden Abschnitt passende ganzrationale Funktion aufstellen. 5. Fertiges Modell mit Realität vergleichen. STETIGKEIT STRATEGIE → Eine Funktion of ist stetig an einer Stelle a, wenn der Links und rechtseitige Grenzwert gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist. (im f(x) = f(a) Xa 1 J STRATEGIE BUR COSUNG VON STECKBRIEF- AUFGABEN 20 GAN NZRATIONALEN FUNKTIONEN (1) Übersetzen der Beclingungen in Funktionsschreibweise und grafische Veranschaulichung (27) Ansatz: n Bedingungen: Polynom vom Grad n-1. (3) LGS aufstellen und lösen. (4) Funktionsgleichung angeben. (5) Graphen zeichnen 5) (9) fla) Bedingungen überprüfen DIFFE T + x → a FFERENZIERBARKEIT + + I a Nicht differenzierbar → Die Funktion of ist differenzierbar an der Stelle X=a (a € Dr), falls der Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle existiert. f(x) = f(a) X-a E f'(a) → Eine Funktion of wird differenzierbar genannt, falls sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. 71 ONKTIONSSCHAREN →Funktionscharen können entstehen, wenn man •Koeffizienten oder zahlen varlaber hält, . • Weniger Bedingungen für eine Funktion zur Verfügung hat als zu einer eindeutigen Bestimmung notwendig ist. Der Funktionsterm enthält dann Parameter. Beispiel: Bedingungen f(0) = 0; f(2)=2₁_f(2)=0 und f"(0) = 0 föhren mit dem Ansatz eines Polynoms vom Grad 3 zo der Funktionenschar f(x) = ax²³ - 4ax. Die vier f₁ (x) = - 10 N 식 x² V= Abschlaggeschwindigkeit X = Flugweife in m f(x)= Hughōne in m F: wie weit und wie hoch fliegt der Golfball in Abhängigkeit von v? A: Abschlagpunkt ist (010). Flugweite: Ju(x) = 0, also = - 10 x² + x = x (1 - 1²0 x ) = 0 =D X₁ = 0 X V2 x2 = V² R 2 40 10 +x Maximale Flughöhe: fv(x) = 0 f√(x) = - 20 x + 1 = 0 V² =D Xmax = 2 Die Flugweite beträgt v² m 10 V² in m/s die maximale Hohe v², also 1/4 der Flugweite. 40 ; Jv (Xmax) = - 10. v4, v² V² 200 20 (S √² 40 0,5 Maximale Höhe und Flugstrecke sind proportional 10 F: Wie weit und hoch fliegt ein Ball, der mit 30 m/s abgeschlagen wird? A Flugweite: 90m (300_80); Flughöhe: 22,5m (300 22,5) ло 40 F: Mit welcher Geschwindigkeit wurde ein Ball abgeschlagen, der 150m weit flog. 1500 38,7 : ca 38,7 m/s (150 - 10 A: Abschlaggeschwindigkeit L J مسه Neve Ableitungsregeln Produktregel: f(x) = u(x) - v(x) Beispiel: f(x) = (x³ + 4). (x² +1) u(x) = x ³ + 4 u'w = 3x² Kettenregel: f(x) = u(V(X)) V(X) = x² + 1 √(x) = 2x J '(x) = ( 3 x ²) · (x² + 1) + (x³ + 4) · (2x ) = 5x² + 3x² + 8x helanen Beispiel: f(x) = (2x+1) ³ u(x) = x³ u'(x) = 3x² f'(x) = v'(x) · u²(√(x)) v = innere Funkhon; u= außere Funktion J'(X) = 2 · 3 · (2x + 1)² BRUNNEN IN V(X) = 2X+1 V'(X) = 2 f'(x) = u²(x) = V(X) + U(X) - V(X) IL → Quotientenregel: f(x) = ex x² +4 Die natürliche Exponentialfunktion innere Ableitung mal außere Ableitung" Exponent → Die Exponential funktion f(x)= @ mit der Basis c= 2,718281.. Basis Ableiten mit der e-Funktion: → Faktorregel: f(x) = 4. ex f'(x) = 4e² 3x²+1 → Kettenregel: f(x) = (³1²1 f'(x) = 6x - 3x² +1 → Summenregel: f(x) = 4⋅ e^ + e³x²+1 f}x)=4-e² + 6x -e 3x²+1 → Produktregel: f(x) = x².ex f(x)=2x-ex +x².ex = e*. (x² + 2x) f(x) = ex. (x²+4)-ex. 2x (x²+4)² Tangentengleichung Ansatz: ((x) = m.x+b f'(x) bilden m bestimmen b bestimmen Tangentengleiching angeben Stammfunktion bilden: f(x) = a em.xtb Beispiel: f(x) = 6-e² ex 2ex √30 ex e2x Ableitungen von ex. f (20x³) 2x+5 30 e lu(x) ex 2ex √30¹e 2.e X => waagerechte Tangente =) Steigung ist 0= Nullstelle der 1) Ableiting 2x (x4) Ableitung X 3 4x² - (x²) 1800x² an der Stelle a bestimmen: fix) = 2-e³x i f'(x) = 3·2·³x = 6 - ²x =D F(X) = Ableitungen von (n(x), | f f 1 X 30- (20x³)'. (20x3) = 30-60x²20 x 3 e a. 1 X 1 20. (n(x) 20.1. 20 X 11 a. (n(x) a X lu (7-x) (7-x) - 1 7-X 4 20x3 X lu (x²-2x)/(x²-2x) 1 X²-2x m 1 68 - e 1 44 7-x 75 m.x+b P(1 12:2³) in t(x) einsetzen liefert b= -4.e³ t(x) = 6e³-x-4-e³ 2x+5 F = 2x=2 x ²²-2x 3.e 2x+5 Stelle a 1 In(...) » Ableitung von was hier Stelet mal 1 X X-7 Logarithmen → Für jede positive Basis 6 mit b# 1 gilt: Die Gleichung b²= y und x = log₂ (y) sind aquivalent Exponent 1000 = 10³ log 10 (1000) = 3 ↑ Basis die Gleichung operation, das Logarithmieren, gelöst. ex = α => x = log₂ (a) = (n(a) ⇒ der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus, er wird mit In bezeichnet. Es gilt: eln(a)= In (eª) = a Wichtige Regeln bzw. Informationen: log(a. b) = log(a) + log (b) Auch log (a: b) = log(a) - log (b) | lg (...) lu (...) ex = a (a>0) wird durch die Umkens- log (ax) = x. log (a) weg 1) 2-e³x-8=0 3x 263 X 8 lu (2-e³x) = lu (8) lu (2) + lu(e ³x) = lu (8) 3x H 1 +8 ли 11 lu (87- lu (2) lu (4) 3 Umschreiben mit ex und lu(x). lule 2²3) nur Exponent bleibt 2x luc 1 bleibt lufe lu( e³x) - lu (e³x) - lu (8x) 8x 3x BRUNNEN lu (8) + lu(x) t tu (2x) a= a · In (2a) 1:a 1 = (n (2a) e^ = e e 7-lu(2) ex = b <=> ex = b K 1:3 In(b) لاله e ↑ 2a 4 lu(x²) le anwenden = 6 1:2 x = (n (b) /anwe- nolen x = lu (b) 3 e 8. lu(2x) _ (e tu (2x))³ = (2x)³ = 2³ - x³ 8.x³ X 4 (e du (x²))² = (x²)² = x² 2 2.4 x ²4x8 2x = y lex = Y T 2 (x-1)-e ✓ X-1=0 X=1 → x = log₂ (Y) → x = (og_ (y) = (n(y) 4X V 4x e ex 0=4-2e 1-4 = -2c²1 ex to -TOX ↓ 24x #0 lu(0) = keine Lösung -10X -10x lu (2) = - 10x lu (2) -10 -ex 0= ex (e²x - 1) K Gleichungen lösen mit ex: 3x weg I lu(x) 7-4 1-(-2) Tlu (10) @²x-1=0 e²x = 1 Ilu lu (@²x) = ln (1) X In (1) 1:2 lu (1) 22 -2x 0=(x²-9)-e²²^ /e ²²x +0 0=x²-9 2 9 = x² X₁=3 weg 2 ex INT 3x e X = 3x 0=2x 1-X 1:2 Weiteres Beispiel: (x-2)-²x = 0 8·6²²x-4 = 0 2x 12 € 4x -8c² с Co lu (e-4x) -4x -6x -X де-их - бегу -X e (0 => -4x x+d → E 11 11 = O lu (e²) => Gesucht ist der Exponent x, für den gilt: ex=e² also x=2 3 e³. (n (2) = (e (n(2)) ³ = 2 ³ = 8 BRUNNEN 2x 4e ²x Ни lu (4-e²x) Verschiebung von et: 1-e² => Spiegelung an x-Achse Spiegelung an y-Achse Spiegelung an beiden Achsen -In (4) +2x (n (4) (n (4) - 6- 1 ex => Streckung Streckung 2 T+8,2x 2X 1:2 • 2 e² => Streckung um Faktor 2 um Faktor 4 ope of ea 1-2x => Verschiebung auf X-Achse •e²+C => Verschiebung auf y-Achse -X+2 Beispiel: -4e +3 f(0) = 2 · e° = 2 um Faktor 1/2 f(0) = 0,5 . eº = 0,₁5 D lu(a∙b) = lu(a) + ln (b) => Logarithmusgesetz wichtig Spiegelung an t-Achse Streckung Spiegeling an y-Achse re° = 1 2 nach rechts auf x-Achse d=+ => nach links d = - => nach rechts < = + => nach oben C = = => nach unten → 3 nach oben auf y-Achse Innermatisches zu e-Funktionen:. → Gegeben ist die Funktion of mit f(x) = 30x• e-0,4x Extremankte bestimmen: 6 Ableitungen bilden: 6 leichung f'(x)=0 lösen Mögliche Extremstellen profen Extrempunkt (XE f(x) ) angeben Wendepunkt bestimmen: Gleiching F"(x)=0 lösen I 3. Ableitung bilden Mögliche Wendestelle profen f(x)= 30 e e = 2014*- 0,4x -0,4 x f"(x) = -12° e ^-0₁4-e == e = 01 4x √(-24 + 4/8x) ·(30-12x)=0->30-12x=0=> x==2,₁5 12x c ·(30-12x) -0,4x Wendepunkt (xw / f ( x w)). angeben •Flache im Intervall [a, b] bestimmen: a = 1; b=3 Flacheninhalt A zwischen Graph und X-Achse in Intervall [a, b] bestimmen f(x)=(14,4-1,92x). e²0 f (x₁) = f (5) ≈ 0,65 +0 -0,4x f (25) ~ - 4₁41 < 0 => Hachpunkt bei XE 25 f(x) = f(2,5) = 27,6=2H (2,5127,6) e-014x- (-24 + 4,8x ) = 0 => -24 + 4,8x = 0 => Xw=5 -0,4x -0,4x ·(30-12x) f(5)=150-e~ 20₁3=2W($120,3) => A~ 51₁ 7 FE Im Intervall [1,3] verläuft der Graph oberhalb der X-Achse. S (30x-e-0,4x) dx ^ 51, 7 Exponentielles Wachstum → Die Anderungsrate f'(x) ist zu f(x) proportional DGL: f'(x) = f(x) Differenzialgleichung). Anfangsbestand = a Wachstumsfaktor = 6/ Wachstumskonstante = 1 Beispiel: 100 Borkenkäfer & jedes f (x) = 100⋅ 112^ f'(x) = x= f(x) = = (n (b). f(x) = 100 • elk (1₁2) x + 1+ = 100 e 0,1823x Anderungsrate Exponentielles Wachstum: Funktion f(x) = a₁b² X = are a e Jahr kommen 20% dazu. Nebenrechnung bei Prozentangaben: (n (1₁2) f(x) 0,1823 fax) f(0) = 100 BRUNNEN 20 1+ 100 100. - 1+0₁2 = = 1₁2 X Halbwertszeit: t₁ = (n (2) & f(t)= a.e → die prozentuale Anderung bezieht sich ist also eine mittlere Rinderungsrate/ → die Wachstumstonstante beschreibt die momentane, lu(b)x ht f(x)= a. (1+ for) - Wachstum -100 a. (1-P 100 السنة ->terfall einen Zeitraum, Exponentieller Zerfall:" ↑Y X Begrenztes Wachstum → Beschränkles Wachstum liegt vor, wenn es einen möglichen. Höchststand des Bestandes (die Kapazitāt K) gibt Anfangsbestand: a= f(0) Grenzbestand Kapazität: K Wachstums konstante: 1 Funktion: f(x) = K-(K-a).. DQL: f'(X) = A· (K-f(x)); f(0) = a Beschränktes Wachstum: TY Kapazität ↑ -XX Beschränkter Zerfall: A Beschränkter Zerfall: 1 => je größer f(x), desto deiner wird (K-f(x))/ desto steiler wird fax) Beispiel: 30 Wildschweine, Platz für 200 Wildschweine; k=0,22 Anfangsbestand a= f(0) = 30 Kapazitāt: K= 200 Wachstumskonstante: 1 = 0,22 -0,22x f(x) = 200- (200-30) · e = 170 e F'(x) = 0,22 · (200-f(x)); f(0) = 30 каражат X +200 7x Logistisches Wachstum Es gibt eine obere Schranke P für die Wachstumsfolge → Wachstumsprozesse haben einen s-förmigen Verlauf → Die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt anfänguch zu und ab einem gewissen Zeitpunkt immer mens ab, so class der Bestand sich einer Grenze nähert Anfangsbestand : a = f(0) Grenzbestand: P Wachstumskonstante: Funktion: f(x) = DGL: f'(x) = x² fax) · (P=f(x)); f(o)=a = . a.p at (P-a).e -XPX Beispiel: 10cm lang ; maximal 1,5m= 150cm; k=0,083 f(x)= 150 10 10+ (150-10) -0,003-150x BRUNNEN f'(x) = 0,003 · f(x). (150)-f(x)) = f(0) = 10 Logistisches Wachstums: TY Grenzbestand 1500 10+ 140 e-0,45X < → Wendepunkt = Hälfte der oberen Grenze Modellieren von Daten mit Exponential funktion/ 3.Sp. Eine Tierpopulation entwickelt sich folgender weise: Zeit in Jahren Anzani 18 (1) Festlegung eines Funktionstyp durch Analyse der Messwerte Quonententest: 4.S a) (im f(x) = 10⋅ 1₁9² = 10. e² X118 b) (im 8478 tim 8178 (c) (im → Quotienten sina annähernd konstant mit b≈ 1,9 Dies liegt ein expon. Modell f(x) = A= 5x = A·ckx mit k= (n (b) nahe (2) Bestimmung der notwendigen Parameter (A) Anfangswert f(0) = 10 und passender Quotient als Wachstumsfaktor lim X118 Verhalten im Unendlichen / 115 X (B) Anfangwert f(0) = 10 und ein geeigneter Messpunkt: P( 41 123) 10-6² = 123 => b f(x) = 10 1,87 * = 10^e² ^ +2 x +3 x+3 X 35 18 > 2 2 X A e 1 18 O 194 U x ex อ + lim 35 69 0,69 x + 4 "√ 12.3 01627x X146 ✓ 2 x → ∞ O 3 14 115 2 69 197 35 (et)'s A 123 234 ~ 1.87 -0 off für eine konkrete Funktion 1. Lim = e 12. lim n X→-8 e 00 1.(ص-) X-8 =0 (1 ex=0 e 80 3. e* wächst (fällt schneller ∞0.0 0 STOCHASTIK Empirische und theoretische Wahrscheinlichkeit die empirische Wahrscheinlichkeit ist ein Schätzwert der Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis eintritt. Dieser basiert häufigen any der Häufigkeit, mit der das Ereignis bei einer Wiederholung des Zufallexperiments eintritt. Beispiel: Realexperiment A Spicht 100-mal gegen Protokollieren der Ergebnisse: 2.B: gewinnt. 31-mal, 3 gewinnt 69-mai berechnen: → Relative Häufigkeiten h (A)= 0,31 h (B) = 0,69 → Schätzwerte wahrscheinlichkeiten: P(A) = 30%. P(B) = 70% B die theoretische Wahrscheinlichkeit basiert auf Annahmen, die man über die Ergebnisse eines Zufausexperimentes macht. man 2.B. an, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich der Kaplace-Wahrscheinlichkeit arbeiten Beispiel: Laplace Wahrscheinlichkeit Nimmt sind, so kann man mit Erstellen einer Ergebnistabelle: → Anzahl möglicher Ergebnisse : 36 → Anzahı günstiger Ergebnisse X A gewinnt : 12-mal x 3 BRUNNEN : 24-mal gewinnt : P(A) = 12 36 P (B) = 24 2 اله 36 3 133 L Baumdiagramme und Pfadregenn Mithilfe eines Baumdiagramms kann man alle möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Zufausversuches übersichtlich erfassen und analysieren. Zudem ist es möglich mit den Pfadregeln Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, mit denen bestimmte Ereignisse eintreten → Was sind mehrstufige Zufallsexperimente Ein Zufallsexperiment, das aus mehreren nacheinander oder gleichzeitig ausgeführten Zufalsexperimenten bestent, ist ein meurstufiges Zufallsexperiment. → Ein Ergebnis eines menistufigen Zufcuusexperiments setzt sich aus den Ergebnissen der Einzelexperimente zusammen → zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, "1. Secus" zu werfen ? genau ↳ Ein mögliches Ergebnis (Secus", keine Secus") → Mit einem Baundiagramm kann man alle möglichen vier Ergebnisse des Würfelns mit zwei Würfein gesuchte Wahrscheinlichkeit für genau eine Jedem Pfad entspricht ein Ergebnis. Die roten Ergebnis genau eine (1 16 516 eine LO 716 516 116 $16 Secus 1 6 2 6 6 6 १७ 1 5 6 ف ام 6 4 (1 1 5 74 G 36 5 6 1 36 เ 36 S 25 36 # aufschreiben und die Secus" berechnen. Pfade entsprechen dem - Berechnen von Wahrscheinlichkeiten mit den Pfadregeln ↳ Produktregel = ED P (Schwarzer Würfel tr P (genau 7 = die Wahrscheinlichkeit werden langs des Pfades P (Schwarzer Würfel keine ,, Secus" und roter Würfel keine DE Secus [p "Secus") = 1.5 6 6 multipliziert. Mit einer Summenregel = Führen mehrere Pfade zu demselben Ereignis So werden die hier: genau eine Secus"), Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Pfade T BRUNNEN 5 5 등.. 6 1 eine einmal eine Secus". addiest eine Secus " ) + 1.5 + $ 5 6 6 6 Empirisches Geselt der großen Zamien SP 11 "Sechs" und roter würfel keine 25 6 36 1 Wahrscheinlichkeit von 27,8%. kommt n - nach vielen Versuchen Stabilisiert sich die relative Häufigkeit um die Wahrscheinlichkeit p → Prognose intervale für relative Häufigkeiten 95% - Prognose intervalle => in etwa 5%. der Versuchs- reihen kann es 1 1 6 U 10 36 dass die relative. ~0,2778 genau also vorkommen, Häufigkeit außerhalb des 95%. - Prognose intervalls liegt Bedingre wahrscheinlichkeit Bedingle Wahrscheinlichkeit = P(BIA), also P(B wenn A) → Multiplikationsregel: Ereignis A und das Ereignis 8 treten ein: P(ANB) = P(A). P(BLA) A A P(BIA) = P(ANB) PA) → Vierfelder tafel B B P(ANB) P(ANB) P(A) P(ANB) P(ANB) P(A) 1 (gesamt gesamt P (B) P(B) P(A) (auch PA (B)) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis 3 eintritt, wenn bekannt ist, dass das Ereignis A eingetreten ist. Sie bezieht sich nur auf die Grundmenge A. P(A) P(ANB) = Wahrscheinlichkeit A = A ₂A = nicht A => Tafel entweder mit absoluten Zahlen oder Wahrscheinlichkeiten → Bawmeliogramm LAK DI A P(BIA) PB(A) PA) +0 "B PIBIA) B tol 100% •B P(ANB) = P(A). P(BIA) B A und B Binomial koeffizient Anzahl der Pfade der Längen mit k Treffern (₁-K)!•K! n! (1) Beispiel: (11) Anzahl der Pfade der Länge 11 mit 4 Treffern イイ! (₁₁) = (11-4)! -4! Fakultäten: n!= n⋅ (n-1) · (n-2). Auswerten von Binomialkoeffizienten (11) Sprache in der Stochastik Sprache genau k Treffer höchstens k Treffer weniger als k Treffer Mathematik *** R(X=K) P(x≤k) P(x<k) = P(X ≤K-1) 2.1 mindestens k Treffer P(X>k )= 1- P(X≤K-1) mehr als & Treffer P(X>k) = 1-P (X≤k) mindestens k Treffer P(K₁ ≤x≤ k₂ und höchstens m = P(x≤ K₂) - P(X≤K₁ -1) Treffer 11! (11-4)!-4! 71.41 " 11 GTR binompdf (n₁p₁k) binomcaf (nipik) binomcdf (npk-1) Standardabweichung einer Binomialverteilung = √n-p: (1-P) 11.10.9.8 4.3.2.1 1- binomcdf (n,₁p₁ k-- 1-bimomcaf(n, pik) binomed f (np k₁, K₂) binomcdf (n, p,K₂) - binomcdf (nipik ₁-1) Erwartungswert einer Binomialverteilung M²n⋅p => Wert, bei dem sich der Mittelwert der Trefferzahl X bei einer sehr häufigen Wiederholung der Bernoulli - Kette der Längen und Wahrscheinlichkeit p expendelt. Prognose intervalle → Han erwartet, dass die Trefferanzahl um den Erwartungswert M. Schwankt. Prognose intervalle sind zum Erwartungswert M. symmerische Intervalle, in die die Trefferanzahl mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit fällt. Prognose intervalle [M-t; mit -330 Diskrete Zufallsgrößen. → kann die möglichen Weite, welche die Zufallsgröße annehmen kann, aufzähten. Beispiel: Anzahl von Kopf" beim vierfachen Münzwurf teneberal's → bei einer diskreten Zufallsgröße X, die die Werte x1, X2 --- Xn. annehmen kann, lässt sich die Wahrscheinlichkeits verteiling durch die Angabe der Einzelwahrscheinlichkeiten P(X=X₁) | P(X=x₂) ₁ P(X=xn) beschreiben Stetige Zufaltgrößen → können alle reellen Zahlen in einem Intervall annehmen. Man kann sie nicht aufzählen. Die weite werden in Klassen aufgeteilt. Beispiel: Geschwindigkeit eines Pks, Klasseneinteilung: Intervalle der Länge 5 km/h → Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird beschrieben durch die Dicutefunktion fax). → Bei der Normalverteilung ist normpdf keine wahrscheinlichkeit, sondern der Wert der Dichte funktion an einer bestimmten Stelle J • für die wahrscheinlichkeit P(a≤x≤ b), d.h. wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufausgröße X. : in das Intervall [a; b ] fallet, gilt = P(a ≤x≤ b)=ff ^ ↳die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallgröße X den west b6 annimmt, ist P(X=b) = f fx) dx =O a die 1/ Pa< x≤ b) Thin a dx. Stochastisch unabhängige und abhängige Ereignisse -bei mehrstufigen Zufallsexperimenten treten menſere Ereignisse auf (entweder abhängig oder unabhängig) zwei oder mehr Ereignisse Stochash scu unabhängig Das Eintreten eines Ergebnisses. A macht es weder wahrscheinlicher noch unwahrscheinlicher, dass das Ergebnis 3 eintritt A: erste Kugel ist rot →ES Soll P(BIA) berechnet werden P(BIA) = P(B) Beispiel: Aus der Urne werden nacheinander zwei Rugeln gezogen, einmal mit zurücklegen und einmal ohne Zurücklegen 3: Zweite Kugel ist rot Ziehen mit Zurücklegen → Die erste gezogene Kugel wird zurückgelegt, die kugeln gut gemischt und dann die zweite Kugel gezogen P(BIA)=PB) = 1/2 A und 3 sind stochastisch unabhängige Ereignisse, wenn P(BIA) = P(B) und P(A/B) = P(A) P(A und B) = P(A). P(B) Xi P(X=Xi) P₁ Stochastisch abhängig Das Entreten eines Ergebnisses A beeinflusst die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ergebnisses 3, es kann wahrscheinlicher oder weniger wahrscheinlich auftreten P(BIA) + P(B) P₂ Zienen ohne Zurücklegen die erste gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. Die zweite Kugel wird gezogen. P(BIA) + P(B) = 1/2 S Wahrscheinlichkeitsvertellung einer Zufallsgröße → für diskrete Zufallsgrößen X gilt: Ordnet man jedem Wert X;; der Zufallsgröße X annimmt, die wahrscheinlichkeit zu, mit der er aufmitt so nennt man die Zuordnung x; → P(X= x; ) = p; Wahrscheinlichkeits- verteilung der Zufallsgröße X. BRUNNEN T = A und B sind stochastisch abhängige Ereignisse, wenn P(BIA) + P(B) PA und B) P(A) • P(B) Xn Pn. Es gilt p₁tp₂+...+Pp = 1