Mathe Abi Lernzettel

Alternativer Bildtext:

und C(-2|1|4) enthält. 3 Ebenen-Gleichungen in Parameterform 2 -4 1 hat. 6 3 3. Überprüfe, ob die Punkte P(4|6|-3) und Q(1|0|2) auf der Ebene E: x= 0 0 (1) 1 1. Bestimme die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A(01111) und B(3|4|-1) verläuft und den Richtungsvektor (₁ 2. Bestimme die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt 3 hat. P(41312) verläuft und die Gerade g: x = 3 +r0 enthält. 4 3. Bestimme die Gleichung der Ebene, die die Geraden '3 4. Bestimme eine Parametergleichung der Ebene E. Erläutere jeweils deinen Ansatz. Mache dazu eine Skizze. g: x 1+r1 und h: x=1+r-2 enthält. 6 -8 4. Bestimme die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A(11218) und B(21516) verläuft und den Richtungsvektor g: x=r 0 und h: x= 3+r. 1 2 enthält. 6. Bestimme die Gleichung der Ebene, die die Geraden (3 -(1)-(.*). 0 5. Bestimme die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt P(111-217) verläuft und die Gerade g: x = 19+r. 5 (3) 10 enthält. Datum: -4 1 +S. 2 -2 +t 1 1 1 liegen. 08 Ebenengleichungen-Parameterform.docx Das ,,c" einer Funktion bestimmen z. B. bestimme,c so, dass der Punkt P(2/5) auf dem Graphen f(x)=x²+3 1. Stammfunktion berechnen Fcx = + x³ + 3x + c 2.Punkte einpetzen: F(2)=4-2³ +3·2+c=5 +6+c=5 1-6 ²/² + ₁ = -11 - 8² C = -7 3. Finale Funktion: Fx-x³²+ 3x - 1²/2 von F liegt Gleichung einer Wendetangente eine lineare Funktion, die die Funktion f an einem Punkt berührt Tangentengleichung: y = m.x+b ↳ f'(x), f"(x) und f"C) bilden 1 f(x=0 setzen یا und Nullstellen bzw. x-Wert ermitteln. 2. X-Wert in die 3. Ableitung einsetzen, wenn das Ergebnis #0 ist liegt ein WP vor. 3. X-Wert in fcx einsetzen" • für beide WP-Koordinaten 4. um m" (Steigung) zu ermitteln, den X-Wert in f'(x) einsetzen 5. WP-Koordinaten, und Steigury einsetzen und zu b um stellen 6. In die Form der Wendetangentengleichung bringen. -Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig aber nicht gleichseitig ist. 1. Die einzelnen Langeneinheiten der Seiten ermitteln, indem man die Verbindungsvektoren dann den ermittelten Vektor in folgender Weise (2)=√ata²-a³ in eine LE berechnet und umwandelt. → sind zwei Seiten gleich lang, ist das Dreieck gleich schenklig. Ergänze das Dreieck durch den Punkt D, sodass ein Rechteck entsteht. D(4/314) d = a + BC = ( ³ ) + ( ³3 ) - (4) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ikein h gegeben AC A BC Allgemein: A=h B 1.g" ermitteln g=AB=√14²5 3,74 LE 2. Mittelpunkt von AB berechnen: = (1) + ¼·(3) - (2) ⇒>> m² - 2 + 1 AB M liegt bei M (217,5/2,5) 3. Verbindungsvektor von M zu C berechnen. MC-m-2-(¹)-(2)-(-) 4. Vektor MC in h umwandeln h = MC = √(4₁5) + 1,5²² x 4,743 LE 5. alles einsetzen A=gh - Der Punkt D soll durch Spieglung des Punktes ( am Mittelpunkt der Strecke AB hervorgehen. L= m + CM - () - () - (²³) D (2/12/1) 3,74.4,743-8,86 FE 2 Punkte A (31711), B(11814), C (2/3/4) - Gegeben sind die Vektoren 2 · (2²) und 65 - (63) a) Wert für z ermitteln, sodass a und bo orthogonal sind. Skalarprodukt auf die Vektoren anwenden und -0 stellen a·b = (²1¹) · (²¹) = 2 + 8 + 2z = 0 10+ 2z 01-10 2z = -10 1:2 7 = -5 Maria Sibylla Merian Gesamtschule Lösungen: 1.-4. 2 -3 1. A beschreibt keine Ebene, da die Vektoren -4 und -6 linear abhängig (Vielfache voneinander) sind, 6 9 denn: -1,5 -4 2 ·()-(-) = -6 9 3. 2. Einer der Ortsvektoren wird als Stützvektor gewählt, z.B. a; die Richtungsvektoren ergeben sich aus den Verbindungsvektoren. Punktprobe für P: 1+ s- Als LGS: (1) (II) (III) (1) (1)-(II) (1)-(III) S. E: x = a + s AB + t AC = + t. s+t= 3 2s+t= 5 -2s+t=-3 s+t= 3 -S = -2 3s = 6 Ebenen-Gleichungen in Parameterform Die beiden letzten Gleichungen ergeben s = 2 und damit t = 1. Das LGS hat also genau eine Lösung; d.h. der Punkt P liegt auf der Ebene E. Alternativ: GTR (linsolve) verwenden 3 -2 +s2 + t Punktprobe für Q: Als LGS: (1) (II) (III) (1) (1)-(11) (1)-(II) (3). +S. -S 3s -5 3 3 s+t= 0 2s+t=-1 -2s+t=-2 s+t= 0 1 2 s+t= 0 -1 + t. Datum: 1.(-1) 1:3 S S Widerspruch in den letzten beiden Zeilen; d.h. Q liegt nicht auf der Ebene E. 08 Ebenengleichungen-Parameterform.docx Bernoulli- Kette: ↳> werden Bernoulli-Experiment ↳ Zufallsexperiment mit 2 Ausgängen: Erfolg (Treffer) und Misserfolg (Niete) یا n Bernoulli-Versuche hintereinander ausgeführt, spricht man Bernoulli-Kette der Länge n. ist bei jedem Experiment gleich. ↳ Experimente sind unabhängig, d.h. p bleibt immer gleich. n übe k P Merken Treffer Ziel/Erfolg X: Zufallsvariable → Anzahl der Treffer /Erfolge (binomialverteilte Zufallsvariabel) h: Anzahl der Durchführungen » Länge der Bernoulli-Kette P: Erfolgswahrscheinlichkeit q=1-p: Misserfolgswahrscheinlichkeit دا (S Binomial verteilung •2 Ergebnisausgange {(n): Anzahl der Plade mit k Erfolgen (Binomialkoeffizient) P(X=K) : Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer P(X=k) Größe der Stichprobe ↓ Anzahl der Pfade mit k Treffern (T Stochastik GTR ↳binom Polf (n, p, w) k Erfolge genau 0 Anzahl der Pfade ·(1-P)," mit k Trefter (> Anzahl der Erfolge im Zufallsexperiment Erfolgswahrscheinlichkeit des Ereignisses binom Cdf (n, p, a, b) (zwischen a und b Erfolge) von einer beim einmaligen Durchführen b) Erwartungswert der Auszahlung 111 E(Aunzahluny) - 1000 10€ + 100 0·5€ = 0,565 Erwarteter Auszahlungsbetrag beträgt 0,57€ pro Spiel Einsatz beträgt 1, somit ist der Gewinn des Veranstaltern 0,43€ pro Spiel. 1-0,565-0,43€ pro Spiel c) Um wieviel & müsste man den Auszahlungsbetrag für das Ereignin, zwei gleiche Farben" ändern, damit das Spiel fair wird? XE =1 ^ 1000 10€ + ^^^ 1000 1. Graph zeichnen 2. Gerade mit Wert 1 3. Schnittpunkt berechnen Erwartungswert E(X) ү= пір n:? P: 0,15 h: 12 Standardabweichung durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert o=√x₁²x³².h(x₂)+(x₂-x)².h(x₂)+ + (xn-X)³².hxn M=Ex=x₁p (x=x₁) + x₂° p(x=x₂)+... Xn°p (x= xn) n=66 Binom Pdf (66, 0.15, 12) = 0,0986% n=67 Binom Poll (67, 0.15, 12)-0, 102 % ✓ P(x=12) ≤0,1 n=53 Binom Cdf (53,0.15, 12,53) = 0,09% (noch zu klein n-54 Binom (df (54,0.15, 12,54) = 0,10% 54 Wiederholungen n? P(x = 0,4) = 0,9 k=5 n=17 Binom (df (17, 0.4, 5, 17) = 0, 874001 h=18 Binom Cdf (18, 0.4,5,18)= 0, 505831 Maria Sibylla Merian Graphen: Verschieben - Strecken - Stauchen - Spiegeln Die sogenannten Transformationen von Graphen haben wir uns schon bei den Potenzfunktionen angeschaut, bei den ganzrationalen Funktionen gelten die gleichen Regeln. Wir schauen uns alles an dieser Funktion an: f(x) = x³ - 4x + 1 I. II. Transformationen von ganzrationalen Funktionen III. IV. Spiegeln an der x-Achse: g(x) = -f(x) Die nebenstehende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen g (durchgezogene Linie) und f (gestrichelte Linie). Der Graph von g ist durch Spiegelung des Graphen von f an der x-Achse hervor gegangen. Es gilt daher: g(x) = -f(x) = −(x³ − 4x + 1) = -x³+4x - 1 Verschiebungen in y-Richtung: h(x) = f(x) + b Die nebenstehende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen h (durchgezogene Linie) und f (gestrichelte Linie). Der Graph von h ist durch Verschiebung des Graphen von f um zwei Einheiten nach unten hervor gegangen. Es gilt daher: h(x) = f(x) - 2 = x³-4x+1-2= x³-4x-1 Verschiebungen in x-Richtung: i(x) = f(x + b) Die nebenstehende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen i (durchgezogene Linie) und f (gestrichelte Linie). D er Graph von i ist durch Verschiebung des Graphen von f um zwei Einheiten nach rechts hervor gegangen. Es gilt daher: i(x) = f(x − 2) = (x − 2)³ − 4(x − 2) + 1 Datum: 18.03.21 Streckungen/Stauchungen in y-Richtung: k(x) = f(x) Die nebenstehende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen k (durchgezogene Linie) und f (gestrichelte Linie). Der Graph von k ist durch Stauchung des Graphen von f mit dem Faktor hervor gegangen. Es gilt daher: k(x) = f(x) = (x³ − 4x + 1) = ²x³ − 3x + ² Steckbriefaufgaben Bei ganzrationalen Funktionen Funktion 1. Grades f(x)=mx+b Funktion 2.Grades f(x) = ax² + bx +c Funktion 3. Grades f(x) = ax³ + bx² + cx + d Funktion 4. Grades f(x)= ax² + bx³ + cx² + axte T(0/3), W(1/5) 1. Was ist gegeben? 2. Bedingungen aufstellen f(0) = 3 for=0 f(₁) = 5 f"(₁1)=0 3. Funktion aufstellen bzw. ableiten Bop: Funktion 3. Grades f(x) = ax³ + bx² + cx+d f'(x)=3ax² + 2bx+c f"(x)=6ax+2b 4. Rechnung anhand der Funktionenen f(0)=3 a.0³ + b.0² + c⋅0+ d = 3 f'(o)=0 f(-1)=5 f" (1)-0 ·3·a·0²+2·b·0+ C = 0 1:a. 1³ + b⋅ 1² + c·1+d=5 ·6·a·1+2·∙b=0 (in Solve - => 5. GTR Ergebnin 6. Funktionsgleichung a = -1 b=3 f(x)= -1x³+3x²+3 C =0 d-3 Maria Sibylla Merian Gesamtschule mit et e im ата ● Berechnung möglicher Wendestellen: f'(x) = 0: (-x4 + 6x² − 3) · e-0,5x² = 0 |:e-0,5x² = 0 -x4 + 6x² - 3 = 0 GTR: x₁ -2,33 oder x₂-0,74 oder x3≈ 0,74 oder x4 ~ 2,33 Überprüfung der möglichen Wendestellen mit dem VZW-Kriterium X₁ -2,33: f"(-3) = -0,33 f"(-2) = 0,68 f"(-2) = 0,68 f'(0) = -3 f(0) = -3 f'(2) = 0,68 f"(2) = 0,68 f''(3) = -0,33 ● X₂ -0,74: Produktfunktionen - Innermathematische Untersuchung 1 X3≈ 0,74: X4 2,33 ● y-Werte f(-2,33) = -0,29 f(-0,74) = 0,34 f(0,74) = 0,34 f(2,33) = -0,29 d) x →→∞0 x →∞ f(x) → 0, f(x) → 0, Fläche: da e-0,5-(-x)² → W₁(-2,331-0,29) → W₂(-0,7410,34) → W3(0,7410,34) → W4 (2,331-0,29) f) ¹₂ f(x) dx = F(1) - F(-2) = -0,33586 [ f(x) dx = f(x) dx = F(1) - F(-1) = 1,21306 VZW von nach + und daher ein re-li-WP VZW von + nach- und daher ein li-re-WP da e-0,5-(-x)² → 0 VZW von - nach + und daher ein re-li-WP → 0 g) G(x) = f(x) dx = F(a) — F(1) = a ·∙e-0,5a². Datum: VZW von + nach - und daher ein LR-WP. Bei der Benutzung des GTR nur das Polynom in polyRoots eingeben: polyRoots(-x + 6x² -3,x) e) Achsensymmetrie: f(-x) = (1-(-x)²) · e-0,5-(-x)² = (1-x²). e-0,5x² = f(x) A = 0,33586 +1,21306 +0,33586 = 1,88478 FE -e-0,5 Achtung: Wenn man die Achsensymmetrie bereits nachgewiesen hat, genügt es, nur die Stellen X₁ -2,33 und x₂ -0,74 zu untersuchen. f(x)dx = F(2) — F(1) = −0,33586 Größen bei Bemoulli-Experimenten I. Bestimmung P P(X-K) ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nach n Wiederholungen genau & Erfolge hat. gesucht gegeben: n, p,k X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit gesucht. (1) P (genau 12 Erfolge) = P(X=12) (2) P (mind. 4 Erfolge) - P(7 ≤X) = P(x ≥7) =P (M≤x≤35) Rechnung: Ereignis (1) P(x = 12) = binom Pdf (35; 0,25, 12) (2) P (4≤X) = binom Cdt (35; 0,25; 7;35) ~ 0808022 0,066541 genau k Erfolge höchstens k Erfolge weniger als k Erfolge mehr als k Erfolge mindestens k Erfolge mindestens a und höchstens b Erfolge mehr als a und weniger als b Erfolge Die Anzahl der Erfolge ... ist genau k liegt zwischen 0 und k liegt zwischen 0 und k-1 liegt zwischen k+ 1 und n liegt zwischen k und n liegt zwischen a und b liegt zwischen a + 1 und b-1 Berechnung P(X= k) P(X ≤ k) = P(0 ≤x≤k) P(X<k)=P(0 ≤ x ≤ k-1) P(X> k) = P(k+1 ≤ x ≤ n) P(X 2 k) = P(k ≤ x ≤ n) P(a ≤ x ≤ b) P(a +1≤x≤b-1) n = 35 GTR binomPdf(n,p,k) binomCdf(n,p,0,k) binomCdf(n,p,0,k-1) binomCdf(n,p,k+1,n) binomCdf(n,p,k,n) binomCdf(n,p,a,b) binomCdf(n,p,a +1,b-1) I. Bestimmung von n" bei genau k Erfolgen n-die Anzahl der Wiederholungen des Zufallsexperiments p=0,25 geg: p= 15% = 0,15 Wie oft muss das Experiment mind. wiederholt werden, damit man genau 12 Erfolge hat? von mind. 10% ges: n mit P(x= 12) ²0₁1 mit einer Wahrscheinlichkeit Rechnung: Systematisches Probieren mit GTR: hier mit binom Pdf Setze für n verschiedene Werte ein, bin der gesuchte Wert für P erreicht ist: n = 66 PCX = 12) = binom Pdf (66; 0,15; 12) ~ 0,098631 (noch zu kleiner Wert) n=674 PCX=12) = binom Pdf (67; 0,15; 12) ≈ 0, 102 11 = 0, 1 das Experiment muss mind. 64-mal wiederholt werden. 2 => 10% (passt) II Bestimmung von .n" bei mind. k Erfolgen Wie oft muss das Experiment mind. wiederholt werden, damit man von mind. 10% mindestens 12 Erfolge hat? дед: 0,15 ges: n mit PCX = 12) = 0,1 Rechnung: Systematisches Probieren mit binom (df, ↳> Jetze verschiedene Werte ein, bis der gesuchte für P erreicht ist s.O. Oder: mindestens 0,9 Erfolge Bop: x²15 p = 0,6 GTR 1. Graphenfunktion aufrufen 2. [tab] Binom Cdf (x; 0,6; 0; 15) definieren 3. [ctrl] und [t] Tabelle wird aufgerufen 4. Gucken wo die Wahrscheinlichkeit 0,9 annimmt 5. n=29 Binom Cdf (x, 0,6, 0, 15) ≈ 0,8637 zu klein n=30 Binom Cdf (x; 0,6; 0; 15) x 0,9029 = passend! Bestimmung von p=> ist die Erfolgswahrscheinlichkeit (d.h. die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von Erfolg bei einmaligem Durchführen des Experiments) 3 Beispiel: Wie groß darf die Erfolgswahrscheinlichkeit p höchstens sein, damit die Wahrscheinlichkeit höchstens 12 Erfolge zu erzielen mindestens 70% beträgt. P(X≤12) 20,7 geg: n=50 деде р Graphische Bestimmung mit GTR -> Graphen-Fenster öffnen -> f₁(x)= binom Cdf (50; x; 0; 12) (p wird als Variable x aufgefasst) f(x)-0,4 definieren Schitt punkt bestimmen SP(0,221/0,7) → p= 0,221 > Die Erfolgswahrscheinlichkeit p= 0,221 1.1 1.21y 0.1 -0.10.05 *Dok f(x)-binom Cdf(50,x,0,12) (0.221,0.7) mit einer Wahrscheinlichkeit RAD她凶 12(x)-0.7 Bei Probieren menu->5-> 5-dam auswählen Analysin im Sachkontext . . Aufgabenstellung - Was ist Berechnen sie den Funktionswert zu Beginn.... f(0) = 0,2 zu Beginn beträgt die Anzahl/ Höhe..." 20cm. Geben sie an zu welchem Zeitpunkt die Höhe 50cm beträgt 1. an In denken! h(t)=0,5 Rechnung: 0,1€ - 9,9 0₁2-e = 0,5 - 2,5 0₁1-0,9 = (n (2,5) 1 + 0,9 0₁1t =(n (2,5) + 0,9 1:0,1 t= Ln (2,5) +0,9 = 18, 1629 ⇒ nach 18 Tagen eine Höhe von 50cm. 0₁1 e 9ft-ag zu tun? Geben sie den Zeitpunkt mit dem schnellsten Wachstum in den ersten 20 Tagen an. h' (t)=0,02 e Ableitung h' hat keine NST, h also keine WP Randuntersuchung: h'(0) 0,008 h'(20) = 0,06 0,14 -0,9 = normale Funktion 1:0,2 Iln (das e fällt weg) 6cm I am 20. Tag mit 6cm Durchschnittlichen Wachstum während der ersten drei Tage (Änderungsrate) (3) - n(0) 3-0 ~ 842 ungefähr 842 pro Tag momentane Temperaturänderungsrate nach einer Minute Caus Abkühlungsprozess) T'(60) -0, out T' (t) = -0₁8. e T'(60) -0,439049 >>> L> Normalfunktion <o I Ableitung bilden und vergleichen • Temperatur fällt um 0,44% pro Sekunde. • maximale und minimale Temperatur in den ersten 120 Sekunden gen: Extrempunkte (Randuntersuchung) keine Extrempunkte vorhanden, derhalb... T(0)=100, T120) = 44,0955 max. minimale Temperatur Geometrie (Vektoren) Allgemein Punkte ins 3D-Koordinatensystem einzeichnen Ortsvektor: • Beginnt in (0/0) ↳Vektor 4x₂ 5 von (0/0) bis zu einem Punkt ↳ kann auch wieder in (0/0) enden > 8 = (8) Verbindungsvektor: verbindet zwei Punkte miteinander ما Beim einzeichen: bein schrages Kästchen auf der X₁-Achse, ist so lang wie zwei Kästchen auf den anderen beiden Achsen. Länge eines Vektors: a = (a Koordinaten Gegenvektor: • der Gegenvektor von AB = (-4) int BA (+5) ↳ Vorzeichen werden umgekehrt. Beispiel: |u²| = |(0)| = √ 4² +0²² = 4 LE 11-1)=√²+3²¹ = 3LE Вор Den 3. Vektor ermitteln: nur u und ✓ bekannt gen: = + (aul Richtung der Vektoren achten!) 6-(8) 5 ជ Länge von à 121=√₁-á A(317) ૦૯૪૦) b = (3²) AB= 6 -α = (§ ) − ( ²) = (5) Berechnung eines Vektors AB=(5) W1=1 (3)=√√²+3=5LE 4 Die Längeneinheiten ergeben addiert den Umfans. B(8/3) Maria Sibylla Marian Gesamtschule Lösung Starteraufgabe Eigenschaften des Funktionsgraphen ... ... der Ableitungsfunktionen f' bzw. f" Für 0 ≤ x ≤ 10 gilt f''(x) < 0. f' hat an der Stelle x = 3 eine Nullstelle mit VZW von - nach +. *** f' hat an der Stelle x = 4 eine doppelte Nullstelle. Text berührt die x-Achse an der Stelle x = 5. hat einen Tiefpunkt bei T(21-7). besitzt im Punkt P(21-3) die Steigung 4. hat einen Wendepunkt bei P(-12). ... besitzt an der Stelle x = - 2 eine Wendetangente mit Steigung 1. schneidet die Gerade mit y = 3x - 7 auf der y-Achse. ... der Funktion f Für 0 ≤ x ≤ 10 ist der Graph von f rechtsgekrümmt. P(3|4) ist Tiefpunkt von f. f hat an der Stelle x = 4 einen Sattelpunkt. Datum: Bedingungen = 0 und f'(5) = 0 f(5)= f(2)= -7 und f'(2) = 0 f(2)= -3 und f'(2) = 4- f(-1) = 2 und f''(-1) = 0 f'(-2) = 1 und f'(-2) = 0 f(0) = -7 bestimme einen Wert b) Vielfache voneinander ka = b K →k (¹4) - (-) - · Gib einen Vektor an, der die gleiche Richtung die gleiche Länge wie a hat: al 1²+2²+2=3LE ✓= (8) Den Winkel zwinchen zwei Vektoren bestimmen Sualarprodukt 1. für den Parameter z, so dass die Vektoren å und b sind. x= con¹ (215) Länge -K-2 →K=2 -2k=-4 →k=2 2k = z 2·2=Z=4 a = √ 4²+0+ (-3)² 6² = √5 + 14² +2²² = 15 Bop: berechne den Winkel zwischen den Vektoren a=($) und b-(5) b = 4.5+ 0·14+ (-3)·2=14 = 5 => 2. wie die Con (515) = 179,2° GTR [trig] y - Achse besitzt und Achtung: bei Winkeln zwischen zwei Geraden, den Richtungs- vektor nutzen. Histogramme + Beispiele: a) n = 5; p = 0,5 E(X)=5 0,5 2,5 p (X=k) + 0,4 0,3 0,2 0,1 0,4 c) n = 5; p = 0,7 p (X=k) + 0,3 0,2 0 0,1 0 1 Aufgaben: 1 2 2 [wenn Darstellung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen 3 4 3 E (x) = 5-0,7 = 3,5 Erwartungswert ermitteln м-п.р P 5 4 5 Histogramme k Enwant استفسلم ممسسة links k rechts b) n = 5; p= 0,2 E(x) = 5-0,2 = 1 p (X=k)+ 0,4 0,3 0,2 0,1 p (X=k) + 0,4 0,3 0,2 0 0,1 0 1. Ergänze die folgenden Sätze: Die Höhen der Säulen ergeben in der Summe den Wert Bei p = 0,5 ist das Diagramm Bei p < 0,5 liegt die größte Säule Bei p>0,5 liegt die größte Säule Je größer n ist, desto kleiner werden die Säule Der Erwartungswert liegt immer in der Nähe der größten Säule. symmetrisch zur r Mitte bei 2,5 1 d) n = 10; p = 0,6. E(X)= 10 0,6=6 1 2 3 45 6 7 8 9 10 von der Mitte. 2 3 4 5 von der Mitte. Datum: rechts/links bezogen auf die Höhe der Säulen nicht vorhanden, dann einsetzen und umstellen.] k k Mehrstufige Zufallsversuche, Erwartungswert und Standard abweichung Pfadregel: die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Cam Ende einer Pfades) ist dan Produkt der Wahrscheinlichkeit diesen Pfaden • multiplizieren => Summenregel die Wahrscheinlichkeit einen Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebninne, die zu diesem Ereignin führen => addieren Beispielaufgabe البا النا Baumdiagramm 0,2 W 0.7 (> Ⓒ Ⓒ 01 0.2 Glücksrad Bedingungen für nach der ersten Drehung: " ist das erste Ergebnis Weiß, ist das Spiel beendet ist das erste Ergebnis Grün, darf nochmal gedreht werden ist das erste Ergebnis rot, darf insgesamt dreimal gedreht werden." O M OOO 0.1 0.2 0.7 as 0.2 0.7 as 0.2 0,7 Ⓒ150 0% 49 Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: (RWW)-0,1 0,7 0,7 = 0,049 Rot, Weiß, weiß": 3mal gleiche Farbe: (RRR) = 0,1·0,1-0,1 = 0,001 mindestens 1 mal weiß" (Gegenwahrscheinlichkeit -Kein weiß): 1- -(RRR, RRG, RGR, RGG, GR, GG) L> 1-₁00+500 +500 + = 0, 931 Glücksrad wird nun mit einem Gewinnspiel kombiniert Einsatz pro Spiel = 1 € 11 •Ereignin dreimal gleiche Farbe" - Erhalt von 10€ für den Spieler > Ereignin zweimal gleiche Farbe". Erhalt von 11 5€ für den Spieler >>sonst erhält der Spieler nichts a Weisen sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler einen Gewinn erzielt, genau 0,112 beträgt: P (Gewinn) = P(RRR) + P(2mal gleiche Farbe) =1000+10000 -=A245= -= 0,112 Maria Sibylla Merian 1.-6. (Klapptest Ebenen in Parameterform) 2. 1. Bestimme die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A(01111) und B(3141-1) verläuft und den Richtungsvektor 1 hat. (1) 2. Bestimme die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt P(41312) verläuft und die Gerade g: x = 3 +r. 0 enthält. 4 2 Ebenen-Gleichungen in Parameterform 3. Bestimme die Gleichung der Ebene, die die Geraden g: x = 1 2 E. 3 hat. 1 und h: x = +r 4. Bestimme die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A(11218) und B(21516) verläuft und den Richtungsvektor enthält. 5. Bestimme die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt 1+r. -2 enthält. -8 P(111-217) verläuft und die Gerade g: x = 19 +r. 5 (-21314) (4) 6. Bestimme die Gleichung der Ebene, die die Geraden 4 -1)-(2) 0 g: x=r0 und h: x= 3+r. P(41312) 3. enthält. (2/12) (9) (21911) g h 3 --0-0-0 E: X = 1+r. 3 3 11 -13 -6-0 -0-0-0 21 10 7 6. Datum: E: X = 3+r. 2 H-9- +S 2 E: --0-0-0 E: X= +r +S 1 E:X=2+r. (3131) (01010) 2 3 + s. 3 4 08 Ebenengleichungen-Parameterform.docx ---0-0) E: x = r. + S h 5 7 Nachweis des rechten Winkels: > Skalarprodukt: a = (a²₂), b² = (6₂) √² = 4·0+ 0·3 = 0 = 4.0+3·3=9 Schreibweise: u=0ul v √40 XV a b = a₁ b₁ + a₂ bz =a En gilt: Zwei Vektoren sind orthogonal, genau dann wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Flacheninhalt Formel Agh A = ₁·lul·=·4·3=6FE Zeige rechnerisch, dass das Dreieck gleichschenklig ist, aber nicht gleichseitig Beispiel: AB=B-a (9) - ()~ (4) AC-2-2-(6)-(ö) * (6) BC - - ()-(9) * (9) IABI=14²+4² = √32*5,66 LE IACI-√√2+6¹-√40¹6,32 LE 1BC1-√6 +2²=√40¹ * 6,32 LE = Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks Mittelpunkt von AB m = a + / AB = (y) + 1/2 · (~) = (²) Verbindungsvektor ² h = MC - C²²-m = (6)-(2) - (4) h-IMCI-√4²+4²¹ = √32 = 5,66 LE Agh M (2/2) IABIIMCI · √32² · √32² = 16 FE Vielfaches eines Vektors verkürzt / verlängert ↳ Vektor wird ha = (4:01) 2 (0) KER Bop: 2 = (0²³) k=2 22² =2. (₁,₁²³²) = (5) Bestimme die Koordinaten einen Punkten D, der das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ergänzt. zB d=a + BC = (6) - (5) - (1) → C²+ BA L = + AB=()+(Y) = (₁²) ⇒ b + AC α = b + CA = (9) + (-2²) = (-²) => ã + CB e-Funktionen e = 2₁ 7182...,,eulerische Zahl" ex ist für alle reellen Zahlen definiert => D=R • streng monoton steigend berührt nicht die X-Achse (Asymptote) Ableitung der e-Funktionen . Form Cohne Funktionsgleichung im Exponent): f(x)= a ·ekx +c | f'(x)= a · k· ehx e(x)=5e³x+20 -3x 0,1x g(x) = -20 e h(x) = 4-e-8x i(x)=30-10-e-9,1x Form (mit Funktionsgleichung....) f(x) =a · e vcx) + C f'(x) = a. v'(x) · ev(x) x³+2x+4 g(x)=x²+2x+4 h(x)=2 e ³x² + 4x_ -10 i(x) = 4+ 5 e 6x³+4x² 1x)= 5-05-e -x²-x-1 0₁Ax e'(x) = 5(-3) e3+ g'(x) = -2.eº h'(x) = -2-e-8× i'(x) = €²0, 1x Beispiel: fox-(3x²-4) ²x u V f'(x)=u'•v +u⋅v' Produktregel die Funktion f ist ein Produkt von zwei Funktionen u und v bei der Ableitung von solchen Produkten verwendet man die Produktregel: 1st f(x) = u(x). V(x), so gilt für die Ableitung f' von f: f'(x)=U'(X) - U(X) +U(X) - V'(x) Kettenregel f(x)=u (v (x)) f'(x)=u' (v(x)) v'(x) · f(x)= ex» f'(x) = ex J²x) = (3x²+2). et hcx) = 2(6x + 4). e3x² + 4x i '(x) = 5⋅ (18x² + 8x) e 6x³+4x² (90x² + 40x)- e6x³+4x² ||(x) = -9,5· (-2x-1) ·-*²-x-1 = 6x e²x + (3x²-4). 2. e²x =e²x + (3x²-4) + 6x 2 =e²x + (3x²-4) + 12x -e²x + 3x² + 8x • tahlen vor oder nach dem," ohne Summand fallen weg Analysis Graphen zuordnen "vor dem x=> Parabel nach unten geöffnet. FER Begründung mit: Symmetrie, Globalverhalten, Nullstellen Symmetrie alle Exponenten sind gerade alle Exponenten sind ungerade gemischte Exponenten keine Symmetrie Symmetrie nachweisen: Achsensymmetrie "allgemein f(-x) = f(x) Beispiel: f(x)= 8x - x² f(-x)=8-(-x)-(-x)² = 8-x²-x² = f(x) Globalverhalten nach links": X4-0 nach rechts" : x² +∞ - "nach oben": f(x) →+8 -.nach unten": f(x)->-- • von links nach rechts! Streckung Streckung und Stauchung Punktsymmetrie allgemein f(-x) = -f(x) Beispiel: f(x)= x5 - 6x f(-x) =(-x) 5-6-(-x) ~=-x5 + 6x = -(xs-6x) = -f(x) => Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse. →> Funktion int punktsymmetrisch zum Ursprung. Strauchung X4-8 f(x) → + f(x) f(x) = ax². a gibt an · wenn a größer als 1 ES wenn a kleiner als 1 · a=1 oder a=-1 > Normalparapel => wie eine Funktion gestreckt/gentaucht ist Streckung Stauchury linsolve 1. zwei g: x-(;) - k. (3) x= 2. ein LGS aufstellen und im GTR linsolve benutzen 24+ k·2+ (4) r *(-1)+3k=5 1+ (−1)k=0+r Parametergleichungen k = 2 r = -1 Lage → zwei Werte h:x-(3) +- ()-(3) tr h:X-(³) + r. (7) sind gegeben {k,r} von Geraden im 3D ermittelt 3. Die Werte als Parameter einsetzen gx - (²) - k-(5)-(3)) D=CA Drei weitere Ergebnisse anstatt ein Schnittpunkt könnten sein: 1. GTR hat keine Lösung • Gleichen Ergebnis ein Schnittpunkt liegt vor bei S(6/5/-1) die Richtungsvektoren sind keine vielfachen voneinander die beiden Geraden sind windschief →nicht parallel und kein Schnittpunkt Beispiel: k = (-2)*(-3) (Richtungsvektoren) # 2. GTR hat keine Lösung -1,5-(3¹)-(3) ist ein der Richtungsvektor von 93 vielfachen des Richtungsvektors von g₁ → sie sind parallel is gell ga linear abhängig gleiche Richtuns, parallel, vielfache voneinander 3. Ergebnis des LGS {2:₁-2, c₁} ceine Konstante → eine beliebige reelle Zahl k=2·c₁-2 =2s-2 => jeder Punkt von g₁ ist auch ein Punkt von → die Geraden sind ди identisch (Schnitt gerade) linsolve aufrufen: : 1. menü 2. Algebra (3) 3. System linear... (2) X₂ Parallele Geraden Gerade g Gerade h -0,5x2 f(x) = (1-x²) -@-95x² исх) ux votu(x). V'(x) u'(x) = 2x Vcx)= (-x) -0,5x2 . Zeitpunkt, an dem die Temperatur am stärksten zu- bzw. abnimmt. gen: zunächst Wendepunkte also zweite Ableitung: T"(t)=0,008 -0,01€ 0 keine Wendepunkte vorhanden, deshalb Randuntersuchung mit 1. Ableitung: T'(0)-0,8 stärksten Gefälle / Abnahme T'(120) = -0,2409 nur Abnahme, da T'(t) <0 langfristige Entwicklung der Temperatur (Global verhalten) X→∞ T(x) → 20, -0, out da 80-e -0 gen: Wachstum in den folgenden 10 Tagen, also vom 20. bis zum 30. Tag (Änderungsrate) Stammfunktion von z bin von 20 z(t)dt = 7 (30) - Z (20) 0,38 ↳ungefähr 38 cm wird benötigt z(t) = -0,₁2 · e- Rechnung: 0,1x-0,9 h₂(x)=0,2 e Funktionsterm für Höhe des Strauch nach x Tagen h₂ (x) = h (20) + z(t) dt = 0,2 0,1-0,9+ (-0,2). ₂-0₁1x +3,1- (-0,2). e -0, 1t +3,1 : + Z (x) - Zczo) | Achtung Stammfunktion = 0,2 e^¹,1-0,2-e-0, 1x + 3,1 +0,2. e^,^1 -0,4-e¹,1 - 0,2-e-0₁1x + 3,1 = 1,20-0,2-e-0, 1x +3,1 ↳der Strauch wird maximal 1,20 m -0,1-20+3,1 | Vorzeichen! ↳h (20) in x eingesetzt Izusammenfassen 10,4-e berechnen hoch. Funktionsscharen Funktionsschar eine Funktion mit einem Parameter (oder a, b, c....) ↳ entsteht, wenn man für Parameter in einer Funktion verschiedene Werte einsetzt. Funktionpochar →Menge verschiedener Kurven. 5 eine mögliche Gleichung int fa (x)= x² + a oder fa(x)=a.x²-a Werden verschiedene Werte für den Parameter a eingesetzt, verändert sich die Funktion: ·a> → schmaler (gestreckt) • 0<a<1 → breiter (gentaucht) • a>0 (nach oben), a<0 (nach unten) → Verschiebung entlang der y-Achne · a>0 (nach links), a ≤0 (nach rechts) => Verschiebung entlang der x-Achse fa(x)=x+2a.x² fa'(x)= x³ + 4a²-x fa"(x)=-3x² + 4a² der Parameter bleibt bestehen Definieren im GTR f(x₁) = - 4x²+2·a²-x² 3 auf das Mal-Zeichen zwirschen a und x achten Nullstellen berechnen fa(x)=0 -x+2a²-x² = 0 x² (x²+2·a²) = 0 x₁=0 a#0 -4x²+2·a²=0 -2.a² - x² = -2a² | (-¹) x² = -8a²² √ X₂₁3= ± √8a²¹±2,8a + ja Lagebeziehungen Richtungsvektoren linear abhängig? ja erfüllt Stützrektor der einen Geraden die andere (Punktprobe des Stülevekters auf der anderen Gerade) identisch propotional-steigung ist konstant nein parallel nein Geraden gleichsetzen, LGS läsbar Ja schneidet nein Windischief Integralrechnung Schnittpunkt mit den koordinaten achsen 1. y-Achne (3 f(0) = -1 SP (01-1) 2. x-Achse ↳> f(x) = 0; GTR -polyroots mit Normal funktion Зор X*1,75 SP (1,75/0) => Nullstellen berechnen (immer erst - 0² setzen) b) Quadratische Funktion →P-9-Formel Beispiel XA/X₂ x² + 4x-12 = 0; p = 4 a) Lineare Funktionen →nach x auflösen Beispiel f(x)=2x+4 f(x) = 0 2x+4 = 0 1-4 2x = -4 1:2 x = -2 Ableiten Впр: X₁ x₂ = -24 : X₁/X₂ = = = = 7 (²) ² - (-12) 2² +12 X₁/X₂=-2 ± Ха/Хz = -2 +7 ль = -2 + 4 = 2 --6 f(x)=x6-11x4 - 6x³ +28x²+24x >f'(x)=6x5-44x³-18x² +56x+24 f"(x)=30x4-132x²= 36x+56 = - ²/2 ± √ ( ² ) ² - 9 ² I 9 = -12 → Satz vom Nullprodukt Das Produkt ab zweier Zahlen int 0, wenn a=0 oder b=0 gilt. f(x)=0 x-(2x-10) = 0 ↓ X₁=0 x₁ = 0 2x-10=0 + 10 • 101:2 2x X X₂=5 Wozu dienen die Ableitungen? f(x) =>y-Werte f'cx)=> Extremstellen (HP/TP) ausrechnen, Steigung an einem Punkt f"(x) > Wendestellen, Sattelpunkte, Krümmung Was passiert beim ableiten? -WP/Schnittpunkte von fcx) werden in f'x zu Extrempunkten - Extrempunkte von f(x) werden in f'(x) zu Nullstellen = 5 Extrempunkte berechnen 1. Ableitung bilden: f'(x)=3x²-4x+1 2. Nullstellen der Ableitung berechnen: f'(x)=0-GTR (polyroots): x₁= 1 x₂ = 1/-0,333 3. Vorzeichen-Wechsel-kriterium mit X₁ = 1 f'(0,9) = 0,17 = f'(0,2)-0,32 x₂ = 0,33 f'(0,4)= -0,12 4. Y-Werte berechnen. Die NST in fcx) einsetzen um y-Werte zu ermitteln. f(₁) = -1 →T (11-1) f(0,33)= -0,9 H (0,33/-0,9) VZW + TP Wendepunkte und Sattelpunkte. 1. Ableitungen bilden f(x)=x+1,5x²+2x+0,75 f(x) = -x³ + 3x + 2 f"(x)=-3x²+3 VZW / HP 2. NST berechnen. f"(x)=0 GTR (polyroots) x₁=-1; X₂=1 X₁1₁=1 f(0) = 3 3. VZW zur Überprüfung des Krūmmungswechsels {"(-2) = -9 } VZW • VZW -/+ WP mit re-li-krūmmurg x₂=1 f*(0) -3 3√₂0 +/- f" } vzw f(-1)=0 W₁ (-1/0) f(1) = 4 W₂ (114) 4. ·y-h -Werte berechnen f'(-1)=0 f(₁) = 4 +0 VZW +/- WP mit li-re-Krūmmung 5. Überprüfung auf Sattelpunkte W₁ (-110) ist ein Sattelpunkt W2 (114) 1st kein Sattelpunkt man erkennt einen Sattelpunkt an: keinem krümmungswechsel z.B +/+ oder 7- > Wenn f'(x)=0 int دا Graphen zuordnen Y ex * X ex -ex Die Zahl e 2,718281... ist nach dem Schweizer Mathematiker, Physiker, Geograph und Ingenieur Leonhard Euler benannt. Sie heißt deshalb Eulersche Zahl. Die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x)=e* heißt natürliche Exponentialfunktion, kurz e-Funktion. Die Ableitung der e-Funktion: f(x)=f(x)=e* Eine Stammfunktion der e-Funktion: F(x) = f(x) = ex Der Graph der e-Funktion ist streng monoton steigend und es gilt: Ergänze die Tabelle: Graph f(x) ex 7 -- 4 f'(x) ex -(-) f(0) *** -eº f(1) e1e¹ me 42 1-2 e-0 x und D(f) IR Mono tonie streng monoton steigend streng monoton fallend streng monoton fallend streng monoton steigend i -e² of -00 x → +∞ { ex-0 1. Ebenen Parameter darstellung einer Ebene r. V +D.w E: X = a + ↑ Stützvektor Richtungsvektoren Ebenengleichung (wenn nicht gegeben) E₁ x = i ·()+D · ()+t() r₁D ER und i und w keine Vielfachen voneinander. Welche Gleichung, benchreibt keine Ebene?: s A: X=(1) + · + ·B· X = (1) + D·() + · (1) → Linear abhängig (keine Ebene) G • (2²) + (-1,5) (²) ›() + (-2)·() () • linear unabhängig (Ebene) 4 =1+ +t 6=1+1·2+t {Linsolve -3=(-2) + t {s, t} ↳>=2 t=1 Dind Linear unabhängig d.h. überprüfe, ob der Punkt P(4161-3) auf der Ebene E. X=(1) + ‚· (-1) + t⋅ (1) 2. Bestimme eine Parametergleichung der Ebene, die die Punkte A (31-211), B(41011) und ((2/114). AB=b-a-(-)-(1) AC-C-a = (-)-( Ex(+r()+($) Werte einsetzen, dann kommt der Punkt raus: E· × = (3) + ₂ · (¹) +₁·(1) - ( Extremwert auf gaben Maria Sibylla Marian Gesamtschule Schema zur Untersuchung der Lagebeziehung Gerade - Ebene: keine Lösung Bie/Pyk g und E haben keine Schnittpunkte g ist parallel zu E gllE g₁ und E haben keinen Schnittpunkt G • Gerade + Ebene Lagebeziehung Gerade - Ebene Ansatz: g = E LGS 3 Gleichungen mit 3 Variablen (r, s, t) eine Lösung (r = ..., s = ..., t= ...) g und E haben einen Schnittpunkt 82 und E haben einen Schnittpunkt S(1|0|0) gleichnetzen Datum: auf unterschiedliche Parameter achten!! is wind schiel nicht, da sie aufeinander treffen. •Gerade liegt in der Ebene •Gerade ist parallel zur Ebene ∞viele Lösungen g und E haben co viele Schnittpunkte g liegt in E gCE g3 liegt in der Ebene E können nicht identisch oder windschief sein. 09 Lage Ebene-Gerade mit dem GTR-mit Lösung.docx Maria Sibylla Merian Gesamtschule Produktfunktionen - Innermathematische Untersuchung 1 Eine Funktion f ist gegeben durch die Funktionsgleichung f(x) = (1 − x²) · e−0,5x² Der Graph der Funktion ist in der folgenden Ableitung dargestellt. -2.5 -2 -1.5 41 -0.5 2 1.5 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 f(x) 0.5 1.5 e-0,5x²] 2 2,5 a) Berechne die Schnittpunkte der Funktion f mit den Koordinatenachsen. b) Bestimme rechnerisch die Extrempunkte der Funktion f. Datum: [Zur Kontrolle: f'(x) = (x³ 3x) · e c) Berechne die Wendepunkte der Funktion f. [Zur Kontrolle: f'(x) = (−xª + 6x² − 3) · e´ e-0,5x²] d) Untersuche das Verhalten der Funktionswerte für x → +∞. e) Weise nach, dass der Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse ist. f) Bestimme den Inhalt der Fläche, die der Graph mit der x-Achse im Intervall [-2; 2] einschließt. g) Die Funktion F mit F(x) = x · e-0,5x² ist eine Stammfunktion von f (Nachweis nicht erforderlich!). Ermittle eine Gleichung der Funktion G, mit der du den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [1; a] für a > 1 berechnen kannst. Geometrie im Sachkontext Schatten berechnen 1) Der Vektor - () gibt die Richtung der Sonnenstrahlen um 12 Uhr Mittags an. Bestimme die Koordinaten den Schattenpunktes der Blüte R auf die x-y-Ebene und berechne die Länge des Schattens. R(21713) F-(3) g₁x² - (3) + + -(3) X₁ X₂-Ebene: x = r. (3) + ₁ · (3) - (2) 1. Gleichsetzen + t 2. Las aufstellen 2+t=r 7 + 2t p 3+ (-3)t 0 ATR: r=3 D=9 t=1 Schattenpunkt ()+(₁)-(₂) Initir einsetzen t (3)-₁-(4) - (5) R (31910) Lange den Schattens √1² +2²³ +0² = 2,24 LE Maria Sibylla Merian Gesamtschule a) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: y-Achse: f(0) = (1-0²)e-0,5-0² = 1 f(x) = 0 =(1-x²).e-0,5x² x-Achse: (1-x²).e-0,5x² = 0 1- x² = 0 1+x² ● Produktfunktionen - Innermathematische Untersuchung 1 b) Extrempunkte: 1. Ableitung (mit Produkt- und Kettenregel): ● x² = 1 I√ X1,2 = +1 f'(x) = -2xe-0,5x² + (1 − x²).(-x)e-0,5x² Berechnung möglicher Extremstellen f'(x) = 0: e-0,5x² ● x₁ = 0 oder x₂ = -√3-1,7321: ≈ x3 = √3 1,7321: 1: e-0,5x² c) Wendepunkte: (x³ - 3x) = 0 x³ - 3x = 0 x²-3=0 1+ 3 y-Werte f(0) = 1 f(-1,7321) = -0,4463 f(1,7321) = -0,4463 S(0|1) #0 x₂ = -√3-1,7321 Überprüfung der möglichen Extremstellen mit dem VZW-Kriterium x₁ = 0: f'(-1) = 1,2131 f'(1) -1,2131 u(x) = (1-x²) v(x) = e-0,5x² H(0|1) =e-0,5x² 1:e-0,5x² f'(-2) = -0,2707 f'(-1) = 1,2131 f'(1) = -1,2131 f'(2) = 0,2707 ²(-2x = x + x³) = e-0,5x²(x³ - 3x) #0 T₁(-1,7321|-0,4463) T₂(1,7321|-0,4463) u'(x) = 2x v'(x) = (-x)e-0,5x² x3 = √3 1,7321 Datum: Bei der Benutzung des GTR nur das Polynom in polyRoots eingeben: polyRoots(x³ - 3x, x) VZW von + nach- und daher ein HP. 2. Ableitung (mit Produkt- und Kettenregel) f''(x) = (3x² − 3) 0,5x² + (x³ - 3x) · (-x) ·~0,5x² è -0,5x² (3x²-3 + x² + 3x²) VZW von - nach + und daher ein TP. VZW von - nach + und daher ein TP. u(x) = x³ - 3x v(x) = e-0,5x² = (3x²-3-x² + 3x²) · e e-0,5x²) = e-0,5x²(x4 + 6x² − 3) e-0,5x² (x4 +6x²-3) u'(x) = 3x² - 3 v'(x) = (-x)e-0,5x² 1. Teil Stammfunktionen bilden Berechnungs formel F(x)=1/44₁1 + x^²+1 f'(x) Ableitung 1 2 × 3x² 4x³ ⠀ ableiten h. E G Wwwwwwww Fläche integrieren f(x) x=x" ^ N X htl F(x) Stammfunktion 1 x Orientierter Flächeninhalt L ht/ + Flächenbilanz Ableitung der SF ergibt, F'(x)=f(x) foo Fläche. "Stoode - | Starda [ - A₂ = >0 weglassen A = A₁ + A2 < R Flacheninhalt zwischen zwei Funktion graphen Gen Inhalt A der eingeschlossenen Fläche Merken: x=1x hoch Null int immer 1 ↳ Ableitung von 0 = 0 Steigung A Funktionsgleichung aller Funktionen gesucht: f(x)=x²³-6x² + 9x F(x)=x-6x³+9. 1/2x² F'(x)= ", +5 bzw + C I also jede reele Zahl TRE, fällt bei Ableitung weg. • bei Berechnung des Flacheninhalts addiert man der Teilflächen. positiv/negativ orientierte Fläche: Fläche die oberhalb /unterhalb verläuft. gesamte Fläche "1 Flächenbilanz: Inhalt der negativen Fläche subtrahiert von der positiven ↳die Differenz von der Fläche oberhalb der X-Achse und der Fläche unterhalb der x-Achse. 6. Stammfunktion von dx) also D(x) bilden 7. Mit GTR den Integral berechnen, durch nutzen der SP die Beträge 1. f(x) = g(x) umstellen und Null setzen. 2. GTR polyroots (f(x)-g(x), x) um Schnittpunkte zu ermitteln 3. dcx) = f(x) - g(x) berechnen durch einsetzen; an klammern denken! 4. Vorzeichen andem Cinnerhalb der Klammer) 5. Gleiche Exponenten zusammenfassen, den „Rest" addieren/subtrahieren, sodass dcx entsteht. b(bin) social afw.dx a (von) = F(b)-F(a) Parameter gleichung X g atr vre ↑ Stutzvektor Richtungsvektor Gerade Parameter Von der Ebene in den Raum 2D-3D -Punktprobe überprüfe, ob der Punkt Q (31-31-12) auf der auf der geraden g liegt. x=+r AB=(₂¹) + r) (1) gi 1. ² - (²2) - (²³) + r. (¹4) } Ortsvektor den Punktes wird mit g-Parameter gleichung gleichgerstellt q 2. LGS: 3= -1+2r Rechnung -3-3 geht nicht auf -12 =2-7r Q liegt auf g, denn - (²¹)+2 (1)-(²) a • 2.8. g. x² - ()+c. -Rechten Winkel nachweisen: A(2/0/1), B(1/2/1), ((1/5/4) •Flächeninhalt berechnen Leines Dreiecks A,B,C 1. Ortsvektoren 2-(3) b- () 2-(3) 2. Der Winkel, müsste sich bei den Punkt B befinden, deshalb die Verbindungsvektoren berechnen. AB= 6-a² = (²³) BC = 2-6 = (3) AB BC = (²) (3) = -3·2+2·3+ 0·3-0 >>> rechter Winkel bei b LABI-√√3² +2²+0²=√13²=3,6055 LE |BC| = √2²+3²+3² -√22 = 4,6904 LE ↳ eines Rechtecks Beispiel: 3--1+r.2 1+1 4=r.2 1:2 2=r |BA| = (²²)| = -√2²7²-42³² +4²² =6 |3²| = |(²7²) = √² 6³² + 3²+ 6²² = 9 ✓ Skalarprodukt 2 b = (a)(1)-a₁.b₁ + a₂-b₂ + az· 63 wenn das Skalarprodukt 0 ist, hat das Dreieck einen rechten Winkel und ist orthogonal. AB -6-a - ()-(1)-(2) Verbindungsvektoren berechnen BC = 2²-6 = () - () = (1) A-gh! 6-9=54 FE IABI. BC 2 8,455 FE