Mathe Abitur Analysis

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 Mathe Abitur: Analysis
1. ELEMENTARE REELLE FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN
1.1 Lineare Funktionen flx)= mx + t
m=
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Mathe Abitur: Analysis 1. ELEMENTARE REELLE FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 1.1 Lineare Funktionen flx)= mx + t m= m= >> x Bsp: X 1.2 Quadratische Funktionen : f(x) = m = + B Umformungen Normal form → Bsp: flx) = Punktprobe Nachweis, ob Punkt auf dem Graphen Liegt 1. Punkt in Gleichung einsetzen 2. Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist 3= 1122+2 3= 3 - ·X₁12 = (x - 2)² Quadratische Ungleichungen = 12 1/2 x - 1/2x² L = ] -2; 3 [ Geradensteigung m = tand Achs enabschniH t Mitternachtsformel 3 < 0 Schnitpunkt zweier Gleichungen 4 X 8 flx) = x² f(x) = x² 4X fLx) = x² - 4x + ( =)² - (7) ² - 8 f(x)= x² - 4x + (2) ² − (2) ² - 8 flx) = ax² + bx + c Punkt liegt auf der Geraden D = R -6± √b² - Scheitelform mit SLX s/ Ys).: 2a Scheitelform 4.a.c I quaar. Ergānzung 8 √b² - Punkt und Steigung in Gleichung einsetzen und auflösen BSP: BSP. P, L2/3) fLx) = ¹/2 X + 2. D = R 4.. a.c 1/2 x² 1/2x-3≤0 1/2 x² 1/2 x - 30 1/2 x²-¹/2 x - 320 Scheitelform. L= 1. Bestimmung der Lösungen der zugehörigen. Gleichung. 2. Bereiche auf der x.- Achse als Lösungsmenge angeben, in denen die Parabel entweder über oder unter der x.- Achse verläuft. flx) = alx - d)² + flx) = m= = = Diskrimminante D größer 0= zwei Lösungen D kleiner 0 = keine Lösung D gleich 0= eine Lösung X (x-4)² + 5 = x² 8x + 16 + S 8x + 21 gleichsetzen und nach x auflösen flx) = x² 2 = [-2₁3]. Bsp:...

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fLx) = = = 4x² - 24X + 42 YB YA XB x Normal form 4(x-3)² + 6. 4(x² - 6x + 9) + 6 - L = ] -∞; -2 [ u ] 3₁ ∞ [ L =] -∞0; -2] U [ 3; ∞0 [ Normalparabel I binom. Formel 1 2 binom, For mel V Einfluss der Parameter in Scheitelform Öffnungsrichtung und Streckung / Stav Chung aso: Parabel nach oben offen a ≤ 0: Parabel nach unten offen. Tal < 1: Parabel Tal >^: Parabel gestaucht an y- Achse. gestreckt an y- Achse 2x² x² Grenzwerte 1/2 x² -1/2 x². Symmetrie gerade Exponenten fl-x) = f(x) achsensymmetrisch y-A. gerade Funktionen: ungerade Exponenten fl-x) = = f(x) punktsymmetrisch. flx) = 2x lim flx) = 818 1.3 Ganzrationale Funktionen / Polynomfunktion flx) = x³ - 2x² - 5x + lim f(x) = x → flx)' = FLX) = 8 verschiebung in x- Richtung B) x- do: verschiebung nach rechts d≤0: verschiebung nach links. Nullstellen. x² LX+^)² ∞ 2 ax + b a/3 x³ + b/2 x ² + cx + d Bsp: (x³ + 6x² + 0x - Lx³ - 2x²) A) C) Substitution AUSHIammern Z = 4 X₁ ==2 8x² + 0x. : कर 1 (x-1)² 1. Raten einer Nullstelle x = 0₁1₁-1 2. Polynomdivision 12 in y- Richtung. 2₂ = 9 1++ X2= 3 ungerade Funktionen: e > 0: verschiebung ↑ e< 0: verschiebung ↓ 32) : (x - 2) = x² + 8x + 16 f(x)= x4 - 13x² + 36 = 2² 137 +36 0 = ·3x³ + 2x² - 2x 0= xl-3x² + 2x ✓ Mitternachtsformel D= Mitternachtsformel lim flx). X ∞ 2) 8 x² + 2 lim flx) = + ∞ - fLx) = -1,5 x² + 4x5 - 2x³ x²-2 x² = 2 1.4 Gebrochen - Rationale Funktionen Polstelle / Asymptote Grenzwerte und Asymptoten A) senterechte Asymptoten Asymptote. B) waagerechte Asymptoten Asymptote C) Schräge Asymptoten Asymptoten * LX+2)² (x + 1)²(x+3)² F.LX).= Vielfachheit von Nullstellen Bsp: f(x) = (X+21² (x + 1)²(x+3)² einfache Nullstelle bei x = 1 VZW + Schnitpunkt Annäherung Links: lim X1±8 ungerade ordnung Nullstellen x² 2(x-2) lim X4±6 Definitionslucken und Polstellen Annäherung rechts: lim X I Fall: Grad 2 Grad N lim 5x3-4 x ±∞ 15X^-3 lim X2 - 2 2x² x2 + 3x 11 Fall: Grad z < Grad N x1 X²-1 (11 Fall: Grad 2 > Grad N = * D = R1 { Nullstellen des Nenner} N doppelte Nullstelle bei x = 1₁5 VZW + Schnittpunkt 2LX-2) = 0 D = R1 {2} gerade ordnung 2 in fLx) einsetzen X = 2 2 in flx) einsetzen = vorzeichen dividieren : 2:1=2 y = 0 Fall, wenn zāniergrad = Nennergrad + 1 + Bsp: flx) = Polynom division (x³ + 2x² + 0x + 0) : ( 2x² - 2) = x + 1 "1 keine waagerechte. Asymptote + y = 2 *3 +2x² 2x²2 1.5 Natürliche Exponential - und Logarithmusfunktion Exponentialfunktion fLx) = ax D = R \ {1} 113 114 W COL a > 1 : a < 1: streng monoton Steigend Streng monoton fallend durch Spiegelung an y-Achse : fLx) = natürliche Exponentialfunktion fLx) = ¸ex 112 ex N(X) = No: e. wichtige Grenzwerte: lim ex = 0+ limex = +∞0 8118 X➡+8 X 2 Exponentielle Wachstumsfunktion wert nach der Zeit.x Start wert für x=0 Zerfall-/Wachstumskonstante zeit ab einem best. Zeitpunkt D = R / IW=R* flx)' = ex e (台)* In x +++ to = ·X = .1 Logarithmusfunktion fLx) = logax. D.= R + \.{1} U verdopplung: 2. Zerfall: 8 K Logarithmusgesetze wichtige Grenzwerte: N/J log a Luv) = 109 au + 109 a v. 109 a = loga - 109 a V loga (u) = r. loga u a loga = log U Verdopplung u. Halbwertszeit. a > 1 : a < 1: Streng monoton steigend Streng monoton fallend durch spiegelung an x- Achse: fLx) = log / x X . in x a=2 natürliche Logarithmusfunktion: flx) = in x D = Rt. /.IW = R Nullsteue bei x = 1. f(x)' = 1/ log (u) a = 3 a=4 a= 1/3 A/2 a= 109.ax.= In a lim. x → 0+ inx = - lim X→+8 a = b X = 10g a (b) Der Logarithmus von b zur Basis a inx = + in (ex)= x in (1) = 0 In x 109 a a = ^ 109 a 1 = 0 loga u = log AU logalaº) = U Verschiebungen und Stauchung oder Streckung der Funktionen Exponentialfunktion: Logarithmus funktion: 2ex .ex+1 ex 2 lnx ex In x+1 015 ex In x. V V V V In x ex-2 In x-1 015 in x ex+a 1.6 Potenzfunktionen fa ax *¿à´× **¨ 16 ax Potenzgesetze bx = a fa to ay = wurzelgesetze: ex n=4 a n=2 n=6 fa ff (ax)) = ax y 201 a-x = a X · Y b (9.6)* (8) * = √a·b A AX Parabel gerader ordnung Parabel ungerader ordnung. Hyperbeln gerader oranung Hyperbeln ungerader ordnung x + y flx) = xn "√am² = (am) i <is .e²x V ex D = R n = 3 JE n=s 0,5x M oder In Lx+1) Inx || *² PLAIA) In (x-1) n=-6 n==4 NIS x 1.6 Wurzelfunktion & Wurzelgleichungen f(x) = x = /² flx)=√x. wurzelgleichungen: 1. Wurzel isoleren 2. quadrieren 3. Wurzelfreie Gleichung lesen 4. Probe n=-2 H *1x In(-x) ∙n=-3 D= Ro IW= RO √x - 2 + 14 = √x-2¹= x-14 2 X 2 = (x - 14) ² x-2= x²-28 X + 196 in X. X -in x je größer, desto flacher und Steiler nähern sie sich dem ursprung 1-14 !()² n=-5 n= -1 MF

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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fLx) = = = 4x² - 24X + 42 YB YA XB x Normal form 4(x-3)² + 6. 4(x² - 6x + 9) + 6 - L = ] -∞; -2 [ u ] 3₁ ∞ [ L =] -∞0; -2] U [ 3; ∞0 [ Normalparabel I binom. Formel 1 2 binom, For mel V Einfluss der Parameter in Scheitelform Öffnungsrichtung und Streckung / Stav Chung aso: Parabel nach oben offen a ≤ 0: Parabel nach unten offen. Tal < 1: Parabel Tal >^: Parabel gestaucht an y- Achse. gestreckt an y- Achse 2x² x² Grenzwerte 1/2 x² -1/2 x². Symmetrie gerade Exponenten fl-x) = f(x) achsensymmetrisch y-A. gerade Funktionen: ungerade Exponenten fl-x) = = f(x) punktsymmetrisch. flx) = 2x lim flx) = 818 1.3 Ganzrationale Funktionen / Polynomfunktion flx) = x³ - 2x² - 5x + lim f(x) = x → flx)' = FLX) = 8 verschiebung in x- Richtung B) x- do: verschiebung nach rechts d≤0: verschiebung nach links. Nullstellen. x² LX+^)² ∞ 2 ax + b a/3 x³ + b/2 x ² + cx + d Bsp: (x³ + 6x² + 0x - Lx³ - 2x²) A) C) Substitution AUSHIammern Z = 4 X₁ ==2 8x² + 0x. : कर 1 (x-1)² 1. Raten einer Nullstelle x = 0₁1₁-1 2. Polynomdivision 12 in y- Richtung. 2₂ = 9 1++ X2= 3 ungerade Funktionen: e > 0: verschiebung ↑ e< 0: verschiebung ↓ 32) : (x - 2) = x² + 8x + 16 f(x)= x4 - 13x² + 36 = 2² 137 +36 0 = ·3x³ + 2x² - 2x 0= xl-3x² + 2x ✓ Mitternachtsformel D= Mitternachtsformel lim flx). X ∞ 2) 8 x² + 2 lim flx) = + ∞ - fLx) = -1,5 x² + 4x5 - 2x³ x²-2 x² = 2 1.4 Gebrochen - Rationale Funktionen Polstelle / Asymptote Grenzwerte und Asymptoten A) senterechte Asymptoten Asymptote. B) waagerechte Asymptoten Asymptote C) Schräge Asymptoten Asymptoten * LX+2)² (x + 1)²(x+3)² F.LX).= Vielfachheit von Nullstellen Bsp: f(x) = (X+21² (x + 1)²(x+3)² einfache Nullstelle bei x = 1 VZW + Schnitpunkt Annäherung Links: lim X1±8 ungerade ordnung Nullstellen x² 2(x-2) lim X4±6 Definitionslucken und Polstellen Annäherung rechts: lim X I Fall: Grad 2 Grad N lim 5x3-4 x ±∞ 15X^-3 lim X2 - 2 2x² x2 + 3x 11 Fall: Grad z < Grad N x1 X²-1 (11 Fall: Grad 2 > Grad N = * D = R1 { Nullstellen des Nenner} N doppelte Nullstelle bei x = 1₁5 VZW + Schnittpunkt 2LX-2) = 0 D = R1 {2} gerade ordnung 2 in fLx) einsetzen X = 2 2 in flx) einsetzen = vorzeichen dividieren : 2:1=2 y = 0 Fall, wenn zāniergrad = Nennergrad + 1 + Bsp: flx) = Polynom division (x³ + 2x² + 0x + 0) : ( 2x² - 2) = x + 1 "1 keine waagerechte. Asymptote + y = 2 *3 +2x² 2x²2 1.5 Natürliche Exponential - und Logarithmusfunktion Exponentialfunktion fLx) = ax D = R \ {1} 113 114 W COL a > 1 : a < 1: streng monoton Steigend Streng monoton fallend durch Spiegelung an y-Achse : fLx) = natürliche Exponentialfunktion fLx) = ¸ex 112 ex N(X) = No: e. wichtige Grenzwerte: lim ex = 0+ limex = +∞0 8118 X➡+8 X 2 Exponentielle Wachstumsfunktion wert nach der Zeit.x Start wert für x=0 Zerfall-/Wachstumskonstante zeit ab einem best. Zeitpunkt D = R / IW=R* flx)' = ex e (台)* In x +++ to = ·X = .1 Logarithmusfunktion fLx) = logax. D.= R + \.{1} U verdopplung: 2. Zerfall: 8 K Logarithmusgesetze wichtige Grenzwerte: N/J log a Luv) = 109 au + 109 a v. 109 a = loga - 109 a V loga (u) = r. loga u a loga = log U Verdopplung u. Halbwertszeit. a > 1 : a < 1: Streng monoton steigend Streng monoton fallend durch spiegelung an x- Achse: fLx) = log / x X . in x a=2 natürliche Logarithmusfunktion: flx) = in x D = Rt. /.IW = R Nullsteue bei x = 1. f(x)' = 1/ log (u) a = 3 a=4 a= 1/3 A/2 a= 109.ax.= In a lim. x → 0+ inx = - lim X→+8 a = b X = 10g a (b) Der Logarithmus von b zur Basis a inx = + in (ex)= x in (1) = 0 In x 109 a a = ^ 109 a 1 = 0 loga u = log AU logalaº) = U Verschiebungen und Stauchung oder Streckung der Funktionen Exponentialfunktion: Logarithmus funktion: 2ex .ex+1 ex 2 lnx ex In x+1 015 ex In x. V V V V In x ex-2 In x-1 015 in x ex+a 1.6 Potenzfunktionen fa ax *¿à´× **¨ 16 ax Potenzgesetze bx = a fa to ay = wurzelgesetze: ex n=4 a n=2 n=6 fa ff (ax)) = ax y 201 a-x = a X · Y b (9.6)* (8) * = √a·b A AX Parabel gerader ordnung Parabel ungerader ordnung. Hyperbeln gerader oranung Hyperbeln ungerader ordnung x + y flx) = xn "√am² = (am) i <is .e²x V ex D = R n = 3 JE n=s 0,5x M oder In Lx+1) Inx || *² PLAIA) In (x-1) n=-6 n==4 NIS x 1.6 Wurzelfunktion & Wurzelgleichungen f(x) = x = /² flx)=√x. wurzelgleichungen: 1. Wurzel isoleren 2. quadrieren 3. Wurzelfreie Gleichung lesen 4. Probe n=-2 H *1x In(-x) ∙n=-3 D= Ro IW= RO √x - 2 + 14 = √x-2¹= x-14 2 X 2 = (x - 14) ² x-2= x²-28 X + 196 in X. X -in x je größer, desto flacher und Steiler nähern sie sich dem ursprung 1-14 !()² n=-5 n= -1 MF