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monoton steigend f'(x) ≤0 monoton fallend Tangentengleichung: 1. + (x) = m.x+h 2. m= f'(xo) 3. n berechnen →f linksgekrümmt (pos: ☺) → f rechtsgekrümmt (neg: ☹) gem. Punkte: fan (x) = faz (x), an # a₂ ↳ Umformen, auflösen Exponential funktion: Multiplikationsschritte LD Awahl der f(x)= c.ax start- wert. 40 a>0 Zunahme a=0 : (a >0₁ a 1) Wachstumsfactor a <o: Abnahme Anfangsbestand lineare Funktionen: f(x) = m.x+n allg. Formen: y-f(x₂) f'(x₂) = X - XB y = f'(x₂)⋅ (x = x₂) + f(xB) Quadratische Funktionen: f(x) = y² +C Verschiebungen: g(x) = f(x) + ( -> verschiebung nach oben (+c) oder nach unten (-c) (Streckungen: g(x)= k· f(x) -> von der x-Achse in Richtung y g(x) = f(a.x) -> von der y-Achse in Richtung x • Stauchung um den Faktor 1 Hochpunkt m=0 1 monoton steigend f(x) monoton fallend Null- •Wendepunkt 1 1 " 1 Stelle e-Funktionen: M=O f'(x) Steigungsverhalten 1 1 Tiefpunkt M=O I 1 1 1 1 Vullstelle f"(x) Krümmungsverhalten ableiten: f(x) = 10e² g(x) = e = ³x^2+7 aufleiten: f(x) = [email protected]+n ⇒ F(x) = a. ZUSAM M E N HAN Ableitungen skizzieren - f'(x) = 20e² →g'(x) = -10e bleibt! -5na247 ^ m.emx+n NEE DER ABLEITUNG +C e ≈ 2,7 -> Wendepunkt: es ändert sich die Richtung der Kurve ->stärkste Steigung -> Vorzeichenwechselkriterium für Extremstellen. ->lok. max: f' eine Nullstelle 2 vzw von - lok. min: f" eine Vullstelle & vzw von E FUNKTIONEN →f"(x) Krümmungsverhalten → positiv, linksgekrümmt negativ, rechtsgekrümmt → Produktregels u'•v + v₁.u Kettenregel: innere. äußere Ableitung + nach - nach + Vektoren: 0² = (8) Nulluektor ✓= (?) and (²³) Betrag: lại vải tại tuy = Lagebeziehungen: : parallel 1. g 11 h 2. g x h 3. g =h : identisch 9 In 4. Gegenvektor : schneiden sich : windschief Kreuzprodukt: OxQ - x (1) } Ebenen: E: x Spurpunkte: Lo Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen skalarprodukt: orthogonal / senkrecht wenn das skalarprodukt = 0 ist a₁.b₁ + a₂b₂ + az.bz Mitte zwischen zwei Punksten: MAC (arter artes astes) = (4 : 1) (2) (3) ** (9) ¹* (3) - ² ܚ • g = € setzen • LGS hat keine Lösung 2. Gerade liegt in Ebene • g = € setzen ANALY T. GEOMETRIE → RV müssen parallel sein, kein Punkt gleich - ein Punkt gleich -alle Punkte gleich -→ kein Punkt gleich •Durchstoppunkt ermitteln. 3. Gerade schneidet Ebene & ( ² : : ) - ( ² ) Ortsuektor OP • g = € setzen • LGS hat eine Lösung •Durchstoppunkt ermitteln. Lagebeziehungen von. Gerade + Ebene: 1. Gerade parallel zur Ebene Stütevektor Parameterform: E: x²= P ++. u + s. v Spannbektoren Normalen form: €: [P]. ja g=h identisch = 0 Koordinaten form: E₁ M₁x₁ + 1₂×₂ + 13 x3 =d ja gem. Punkt? 4 Punktprobe X₁ Logebeziehungen Punkt + Ebene 1. Punkt liegt in Ebene • P= E setzen • LGS hat eine Lösung 2. Punkt liegt auperhalb der Ebene • P= E setzen • LGS hat keine Lösung x2 Richtungsvektoren parallel? *3 nein 9 "h parallel nein Schnittpkt.? LD gleichsetzen ja 9 xh Schneiden sich nein 9 xh windschief
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Formeln nk (n+k-^)! (n-1) n! (n-k)! (2) Anzahl Versuche → mit Reihenfolge, mit zurücklegen -> ohne Reihenfolge, ohne zurücklegen Erwartungswert: n⋅p = x → mit Reihenfolge, ohne zurücklegen Wahrscheinlichkeit → ohne Reihenfolge, ohne zurücklegen Bernoulli: > es gibt nur 2 Ausgänge (Treffer, Niete) Treffer P (x=3) = (r) pk. (^-p)` 1 Sigma Intervall : BPD BCD 2-√n.p.9 Pfade mit r Treffern, n Durchführungen n.p.q (2) = n! 1. Sigma ≈ 65% Binomialkoeffizient: I wahrscheinlichkeit k! (n-k)! Binomialverteilung: → einzeln →>kumuliert Gegenwahrscheinlichkeit 2. Sigma 95% Standardabweichung: P(x=) = Gegenwahrscheinlichkeit Geteiltes Urnenmodell: n-k Tros •Nieten froke). Goog (wickey (Ges.) => Es gibt nicht nur Ja oder Nein 3. Sigma ≈ 99.7% Produktregel entlang der Pfade multiplizieren Nieten- STOCH ASTIK wahrscheinlichkeit KAnzahl stellen n Anzahl mögl. Zeichen Erwartungswert Standardabweichung Mittelwert: Durchschnitt Median: mittlerer Wert fair: man erhält seinen ↳ BPD = (k₁n₁p) (einzeln) ↳> BCD= (k₁n₁ p) (kumuliert) (Treffer, versuche, wahrscheinlichkeit) Laplace: Anzahl günstige Fälle Anzahl aller Möglichkeiten Fakultät: bsp. 5! = 1.2.3.4.5 = 120 Baumdiagramm: Einsatz mind. zurück nicht Treffer Treffer Versuch A Versuch 2 Ableiten: f(x)=xn f'(x) = n.x² f"(x) ("(x) Stammfunktion: f(x)=x² n-^ Funktionenscharen: hinr. Steigung -> krommung fa (x) es gibt für jedes a eine Funktion Wendepunkte notw. Bed: f'(x) = 0 wenn... -> F(x)==-=₁ ·x' Symmetrie achsensymmetrie →nur gerade Exponenten. punktsymmetrie →nur ungerade Exponenten Hoch + Tiefpunkte 4. Punkte in Bed: f'(x)=0, f" (a) *0 •f" (a) >0 →lok. min. f" (a) co - lok. max. -Sattelpkt. f" (a) = 0 1. f" (x) + f(x) bilden 2. f"(x) = 0 setzen. 3. Punkte in full (x) einsetzen Integrale: 5+^ Extrema: 1. f'(x) bilden 2. f"(x) bilden 3. f'(x) = 0 setzen + XEA +xE₂ f" (x) einsetzen ausrechnen f(x) dx = [F (1)] = F(b)-F(a) ANALY SIS Symmetrie Achsensymmetrie: eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn alle Exponenten gerade sind. Punktsymmetrie: eine Funktion ist punktsymmetrisch zum ursprung, wenn alle Exponenten ungerade sind. Krümmungsverhalten: f"(x) > 0 ("(x) < 0 Monotonie: f'(x) = 0 ->...
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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!