Mathe Analysis Abitur 2022

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gilt f'(x) = u(x) · v(x) + v'(x). u.(x).. ·Z.B. f(x) = (x² + 4).ex "(x) = 2 x v²(x) = ex 2x also f'(x) = 2x.e*+ (x² + U). e^ u¹(x)= 3x² u und V ebenso differenzierbar * (2×+ײ+4). Ketten regel Wenn eine Funktion mit einer anderen Funktion zusammengesetzt ist, muss die Kettenregel angewendet werden. let f=uᵒv eine Verkettung von zwei differenzierbaren Funktionen mit f(x) = u(v(x)), so ist auch of differenzierbar und es gilt: f'(x) = u(v(x)). v'(x). Z.B f(x) = ) = ( 7 - 2 x ) ) ) v'(x)=-2 also: f'(x) = 3(7-2x)² (-2) = -6 (7-2x)² SM₂ 1.1.3 Spezielle Ableitungsregeln Ableitung Wurzel f(x)=√x f'(x) = 2x Ableitung Sinus und Cosinus f(x) = sin(x) f(x) = cos(x) Ableitung Tangens f'(x) = cos(x) f(x)= tan (x) f'(x) = cos(x) f'(x) = sin(x) Ableitung e-Funktionen und Logarithmus f(x) = e(x) f'(x)= e(x) f(x) = (n (x) f'(x) = f(x) = Weitere hilfreiche Regeln f(x) = ex f(x) = ²x f(x) = = = x ²7 f(x) = ²x 슾 -0-1 f'(x)= -nx f'(x)= x² = f'(x)= ex f'(x)=-262x f'(x) = 2e² ma T 1.2.1 Nullstellen berechnen Um die Nullstellen einer Funktion f. zu berechnen müssen die x-Werte gefunden werden, bei denen f(x) = 0 ist. Dazu setzt man den Funktionsterm gleich Null und löst daraufhin die Gleichung nach x auf 1.2.2 Symmetrie 1. Achsensymmetrie wenn es eine Gerade gibt, an der sich der Graph spiegeln kann, ist die Funktion. achsensymmetrisch. Meistens soll sich der Graph an der y- Achse spiegeln. Das Rechenverfahren zur Bestimmung der symmetrie lautet hierbei: f(x) = f(-x). Man setzt in die Funktion für x ein (es wind also f(-x) berechnet). Erhält man als Ergebnis die Funktion f(x), so ist die Achsensymmetrie nachgewiesen. 2. Punktsymmetrie Eine Funktion, die an einem bestimmen Punkt gespiegelt werden kann, ist punkt- symmetrisch. Meistens soll der Graph im Ursprung punktsymmetrisch sein. Das Rechenverfahren zur Bestimmung der symmetrie lautet hierbei: f(x) = -f(x). Man setzt in die Funktion für x ein (es wird also f(-x) berechnet). Erhält man als Ergebnis die Funktion -f(x), so ist die Punkt symmetrie nachgewiesen. 1.2.3 Extrempunkte berechnen Um die Extrempunkte einer differenzierbaren Funktion zu berechnen, muss man schritt- weise vorgenen. Notwendige Bedingung 1. Die erste Ableitung berechnen und gleich Null setzen : f'(x)=0 man erhält mögliche Extremstellen und schaut, ob es ein vorgegenes Intervall gibt. wenn ein Punkt außerhallo des intervall liegt, muss dieser nicht beachtet werden. Hinreichende Bedingung 2. In die zweite Ableitung wird für x o eingesetzt. f"(x) #0 • f" (x) <0 → es liegt ein Hochpunkt vor •f"(x) > 0 → es liegt ein Tiefpunkt vor 3. Die Ergebnisse von f'(x)=0 werden in f(x) eingesetzt um y zu berechnen 4. Der Extrempunkt liegt in P ( x 1 f(x)) 1.2.4 Wendestellen berechnen Berechnung von wendestellen Notwendige Bedingung 1. Die zweite Ableitung berechnen und gleich Null setzen: f"(x) = 0 man erhält mögliche Wendestellen und schaut, ob es ein vorgegenes Intervall gibt. wenn ein Punkt außerhalb des intervall liegt, muss dieser nicht beachtet werden. Hinreichende Bedingung 2. In die dritte Ableitung wird für x 10 eingesetzt. f!"(x) *0. 4 wenn für fa (0) nicht Null 3. Die Ergebnisse von f"(x)=0 1.2.5 Tangenten Berechnung der Tangente raus kommt, so liegt ein Wendepunkt vor. Eine Tangente ist eine Gerade, die die selbe Steigung und Funktionswert f an einer bestimmten Stelle x hat. sie berührt den Punkt, schneidet ihn aber nicht. werden in f(x) eingesetzt um y zu berechnen 1. Die erste Ableitung muss berechnet werden. 2. Der x-Wert wird in f'(x) eingesetet, man erhält die Steigung m der Tangente 1.2.6 Monotonie 3. Um den y- wert zu berechnen, muss x in f(x) eingesetzt werden. 4. Die Tangentengleichung lautet f(x) = m⋅ x + n und die Gleichung wird nach n aufgelöst. 5. m und n werden in die Tangentengleichung eingesetzt. Es werden ym and x eingesetzt Mit dem Monotonie verhalten kann man herausfinden, wie sloh ein Graph in einem bestimmten Bereich. verhält. wenn für X₁. > X₂₁ f(x₁) > f(x₂) gilt, dann ist die Funktion dort monoton steigend. wenn für x₁.>x₂, f(x₁) < f(x₂) gilt, dann ist die Funktion dort monoton fallend. Berechnen kann man das Monotonieverhalten, indem man die Extremstellen bestimmt und dann auf das Monotonieverhalten schließt.. m₂ 1.2.7 Grenzwerte Um herauszufinden, wie sich der Graph außerhalb des koordinatensystems verhält, muss man folgendes berechnen. Um den Grenzwert für x gegen + 00 zu bestimmen, setzt man in die Funktionsgleichung immer größer werdene Zahlen ein. Wenn das Ergebnis ebenso größer wird, weiß man, does X ∞o gegen + verläuft. Man schreibt: lim f(x) = +00 x →8 Wenn die y-werte bei immer größer werdenen Zahlen, sich einer bestimmten Zahl k (z. B. 0) annähern zu scheinen, dann schreibt man: lim f(x) = k X18 Um den Grenzwert für x gegen - ∞o zu bestimmen, setzt man in die Funktionsgleichung immer kleiner werdene Zahlen ein. Wenn das Ergelonis ebenso kleiner wird, weiß man, doss x gegen - ∞o verläuft. Man schreibt : lim f(x) = -00 Wenn die y-Werte bei immer kleiner werdenen Zahlen, sich einer bestimmten Zahl k (z. B. 0) annähern zu scheinen, dann schreibt man: lim f(x) = k X118 1.2.8 Funktionenschar 8-7x Eine Funktionschar hängt nicht nur von einem Variablen x alo, sondern auch von einem Parameter (z. B. a). Für diesen Parameter kann man eine frei gewählte Zahl festlegen. Mit einsetzen jeder anderen zahl, erhält man sowohl einen neuen Funktionsterm, als auch einen anderen Funktionsgraphen. Die koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphens einer Funktionenschar hängen häufig von dem Parameter ab. So kann sich z. B. ein Tiefpunkt für zunehmende Werte. des parameters a, immer weiter nach unten rechts verschieben. Für die Berechnung der Punkte werden die Parameter wie eine Zahl behandelt. Ortskurve Durchläuft der Parameter alle zugelassene Werte, so liegen alle Hoch- bzw. Tiefpunkte auf einer kurve, die sogenannte Ortskurve.. Die Ortskurve kann man folgendermaßen berechnen: 1. Die X-Koordinate des Hoch- bzw. Tiefpunktes nach dem Parameter um formen (aus x= 4a erhält man beispielsweise a= =). 2. a in die y-koordinate des Hoch- bzw. Tiefpunktes einsetzen. 3. Das Ergebnis ist die Funktion der Ortskurve: g(x)= y(x) M₂₂ 1.3.1 Exponentialfunktion Exponentiale Funktionen spielen bei der Beschreibung von Wachstumsvorgängen eine wichtige Rolle. Allgemein kann man exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall mit der Funktion f(x) = a·b* Der Parameter a beschreibt den Anfangswert. Die Bosts to zeigt an, wie Steil die Kurve verläuft. a kann jeden wert außer Null annehmen. b muss größer wull sein (a *0,6 ER*) Bei a> 1 handelt es sich um eine exponentielle zunahme und für a≤ 1 exponentielle Abnahme. um eine Die Lösung einer Exponentialgleichung a = b bezeichnet man als loga (b) Für die Ableitung von Exponentialfunktionen der Art f(x) = a* (a ²o) gilt: f'(x) = f'(0) · a* Für die Exponentialfunktion f(x) = e* (die natürliche Exponentialfunktion) gilt: f'(x) = e* sowie F(x)= ex 1.3.2 Logarithmus Um die Ableitung von Exponential funktionen mit beliebiger Basis zu bestimmen, benötigt man. den natürlichen Logarithmus. Für eine positive Zahl b heißt die Lösung der Exponentialgleichung e-b der natürliche Logarithmus von b. Man schreibt x = In (b). Es gilt: ein (6) = b und (n (eº) = c. 1.3.3 Beschränktes Wachstum Bei dem beschränkten wachstum wird, wie bei allen Wachstumsprozessen eine Zeitliche Entwicklung einer Population beschrieben. Beschränktes Wachstum nat eine Schranke s, die solch eine Popula- tion nach oben oder unten beschränken kann. Beschränktes Wachstum liegt also dann vor, wenn die Differenzen zwischen einer Schranke S und dem Bestand zum Zeitpunkt + exponentiell abnehmen. Mit Hilfe einer Funktion f(t) = S-c·a² (0<a < 1) bzw. f(t) = S-c.ekt (k < 0) hann der Bestand zum Zeitpunkt t ermittelt werden. Dabei ist C= S(0) und k = (n (a) m₂ 1.4.1 Integrale Grundlagen Stammfunktionen Stammfunktionen zu biblen ist ein zentrates Thema der Integralrechnung. Eine Stammfunktion wird als F(x) geschrieben. F'(x) iot = f(x) Die sogenannte Aufleitung muss mit Hilfe des Hauptsatzes der Differenzial- und Integral- rechnung bestimmt werden. Man muss dafür quasi die Ableitung rücgängig machen. Dazu muss man die Ableitungs- regeln beachten. Soll z. B. die Stammfunktion von f(x) = 3x² bestimmt werden, so ist diese F(x)=x² denn das ist alogeleitet wiederum F'(x) = 3x². 1.4.2 Bestimmte Integrale Um eine bestimmte Fläche in einem Intervall zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse zu berechnen verwendet man das Integral, wenn f eine Funktion auf dem Intervall [a; b] ist, n die Anzahl der Teilintervalle ist und Un bzw. On eine Untersumme von orientierten Rechtecksflächen, dann heißt der Grenzwert ·lim Un = lim On Integral der Funktion & zwischen den Grenzen a und b. 316 Es wird geschrieben: {f(x) dx I Um ein Integral zu berechnen, muss man zunächst die Stammfunktion bilden. (f(x) dx = [F(x)]. Dannach rechnet man: F (6) - F(a). Wenn das Integral aus mehreren Teilintrvallen bestent, z. B. so : Dann muss man wie folgt vorgehen: 1. Man bestimmt die Nullstellen der Funktion f auf [a; b]. 2. Man untersucht welches Vorzeichen f in den verschiedenen Teilintervallen hat. 3. Man bestimmt die Teilintervalle und addiert sie. 1.4.3 Unbestimmte Integrale (4l < wenn ein Integral statt zwei festgelegten Grenzen, eine festgelegte und eine spricht man von unbestimmten oder uneigentlichen Integralen. Man untersucht dann das Integral auf einen Grenzwert für = ± 00 bzw. für zc, falls f für x=c eine Definitionslücke not. wenn die Grenzwerte existieren, schreibt man: lim Z∞ 1 f(x) dx = {(x) dx bzw. lim f(x) dx = VIC W and Variable hat, ma 1.4.4 Rotationskörper Mit dem Integral können heben Flöcheninhalten auch Rauminhalte bestimmt werden. wenn eine Funktion f über dem Intervall [a, b] gegeben ist, die um die x-Achse rotiert, so entstent ein Rotationskörper. Das Volumen beträgt V=JT. · [(xXx » ². dx 1.4.5 Rechenregeln bei Integralen Wenn die obere und die untere Grenze gleich sind: Wenn die Grenzen vertauscht werden sollen: [fie) dox + 1 scade Secundar f(x) f(x) dx Integrale addieren: Skif k. ff(x) dx ·f(x) dx = k· {f(x) dx = - ffkx) dx Sexdx =0 f(x)= Faktorregel: Summenregel: (4(x) + g(x) dx = {fux) dx + √gu), g(x) dx m