Alternativer Bildtext:

V ebenso differenzierbar sind: f(x)= u(x) · v(x). Es gilt f'(x) = u(x). v(x) + v'(x).· u(x).. · Z. B. f(x) = (x² + 4). e u'(x) = 2x ´`v`(x)=e* also: f'(x) = 2x:e*+ (x²+U) ·e* = e* (2×+ײ+4). Kettenregel 1. Wenn eine Funktion mit einer anderen Funktion zusammengesetzt ist, muss die Kettenregel angewendet werden. ·let f=u°v eine Verkettung von zwei differenzierbaren Funktionen mit f(x) = u(v(x)), so ist auch f differenzierbar und es gilt: f'(x) = u(v(x))..v'(x). (7-2x)³¹) u = (7-2x)²³ u²(x)= 3x² v'(x)=-2 Z.B. f(x) = also: f'(x) = 3(7-2×) ². (-2) = -6 (7-2×)² 1.1.3 Spezielle Ableitungsregeln Ableitung Wurzel. f(x)=√x f'(x) = 21x² Ableitung Sinus und Cosinus f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x) f(x) = cos(x) f'(x) = sin(x) Ableitung Tangens f(x)= tan (x) Ableitung e-Funktionen und Logarithmus f(x)= e(x) f'(x)= e(x) f(x)= (n(x) f'(x) = = f(x)= Weitere hilfreiche Regeln f(x) = f(x) = ex f'(x) = -2x COS f(x)=e=²²* f(x)=²x = x f'(x)= -nx f'(x)= f'(x)= ex f'(x) = -2e²x f'(x) = 2e²* a n x²+4 M 1.2.1 Nullstellen berechnen Um die Nullstellen einer Funktion f. zu berechnen müssen die x-Werte gefunden werden, bei denen f(x) = 0 ist. Dazu setzt man den Funktionsterm gleich Null und löst daraufhin die Gleichung nach x auf. 1.2.2 Symmetrie 1. Achsensymmetrie wenn es eine Gerade gibt, an der sich der Graph spiegeln kann, ist die Funktion. achsensymmetrisch. Meistens soll sich der Graph an der y- Achse spiegeln. Das symmetrie lautet hierbei: f(x) = f(-x), Rechenverfahren zur Bestimmung der Man setzt in die Funktion für x Erhält man als Ergebnis die Funktion -x ein (es wird also f(-x) berechnet). f(x), so ist die Achsensymmetrie nachgewiesen. 2. Punktsymmetrie ( Eine Funktion, die an einem bestimmen Punkt gespiegelt werden kann. ist punkt- symmetrisch. Meistens soll der Graph im Ursprung punktsymmetrisch sein. Das Rechenverfahren zur Bestimmung der symmetrie rautet hierbei: f(x)=-f(x). Man setzt in die Funktion für x -x ein (es wird also f(-x) berechnet). Erhält man als Ergebnis die Funktion -f(x), so ist die Punktsymmetrie nachgewiesen. 1.2.3 Extrempunkte berechnen um die Extrempunkte einer differenzierbaren Funktion zu berechnen, muss man schritt- weise vorgenen. Notwendige Bedingung. 1. Die erste Ableitung berechnen und gleich Null setzen : f'(x)=0. man erhalt mögliche Extremstellen und schaut, ob es ein vorgegenes Intervall gibt. wenn ein Punkt außerhalb des Intervall liegt, muss dieser nicht beachtet werden. Hinreichende Bedingung 2. In die zweite Ableitung wird für x 。 eingesetzt. f"(x) *0 f"(x) < 0 → es liegt ein Hochpunkt vor f" (x) > 0 → es liegt ein Tiefpunkt vor 3. Die Ergebnisse von f'(x)=0 werden in f(x) eingesetzt um y zu berechnen. 4. Der Extrempunkt liegt in P ( x 1 f(x))