Taschenrechner bei Binomialverteilung

Dein Taschenrechner wird bei der Binomialverteilung zu deinem wichtigsten Werkzeug. Für "genau k Treffer" verwendest du die Binomialdichte $Menü 4-4-2$, für "höchstens" oder "weniger als" die kumulative Binomialverteilung $Menü 4-V-1-2$.

Bei "mindestens" oder "mehr als" nutzt du das Gegenereignis: $P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)$. Das spart dir oft komplizierte Rechnungen.

Für Intervalle wie "mindestens 4, höchstens 8" rechnest du: $P(4 \leq X \leq 8) = P(X \leq 8) - P(X \leq 3)$. Achte darauf, dass du bei "mehr als" und "weniger als" die Grenzen richtig setzt.

Die STO-Funktion hilft dir, Zwischenergebnisse zu speichern. Das verhindert Rundungsfehler und spart Zeit bei komplexeren Aufgaben.

Zeitsparer: Lerne die Menü-Navigation auswendig - in der Prüfung zählt jede Minute!

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Baumdiagramme visualisieren mehrstufige Zufallsexperimente perfekt. Du multiplizierst Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades (Pfadregel) und addierst die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade für ein Ereignis (Summenregel).

Der Erwartungswert zeigt dir, welcher Wert langfristig zu erwarten ist: $E(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2) + ...$. Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert null ist.

Bedingte Wahrscheinlichkeit beantwortet die Frage: "Wie wahrscheinlich ist B, wenn A bereits eingetreten ist?" Die Formel lautet: $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ gilt. Das bedeutet, dass das eine Ereignis das andere nicht beeinflusst.

Eselsbrücke: Bei bedingter Wahrscheinlichkeit denkst du: "Von allen Fällen, wo A passiert ist, in wie vielen davon passiert auch B?"

Übersicht der Abiturthemen

Das Mathematik-Abitur gliedert sich in drei große Bereiche, die alle gleich wichtig sind. Analysis umfasst Differentialrechnung, Exponentialfunktionen und Integralrechnung - hier geht es um Funktionen und deren Eigenschaften.

Geometrie arbeitet mit Vektoren, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum. Du lernst, wie sich geometrische Objekte zueinander verhalten und wie du Abstände und Winkel berechnest.

Stochastik beschäftigt sich mit Wahrscheinlichkeiten und Verteilungen. Besonders wichtig sind die Binomialverteilung und Normalverteilung für das Abitur.

Strategietipp: Alle drei Bereiche bauen aufeinander auf. Verstehst du die Grundlagen gut, wird der Rest viel einfacher.

Vektoren & Geraden

Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum und bestehen aus drei Komponenten: \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1\v_2\v_3 \end{pmatrix}. Der Vektor $\vec{AB}$ verschiebt Punkt A zu Punkt B durch einfache Subtraktion der Koordinaten.

Die Länge eines Vektors berechnest du mit $|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$ - das ist im Grunde der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen.

Geraden werden in Parameterform dargestellt: $g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$. Hier ist $\vec{p}$ ein Punkt auf der Gerade und $\vec{u}$ die Richtung.

Bei der Lage von Geraden prüfst du zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Falls ja, sind die Geraden parallel oder identisch. Falls nein, schneiden sie sich oder sind windschief.

Praxistipp: Für die Punktprobe setzt du die Koordinaten eines Punktes in die Geradengleichung ein und schaust, ob eine Lösung für den Parameter t existiert.

Differentialrechnung & Grundlagen

Gleichungen lösen ist wie ein Puzzle - du musst nur wissen, welche Umkehroperationen du anwenden kannst. Bei Klammern multiplizierst du aus, bei Brüchen multiplizierst du mit dem Nenner, und bei Wurzeln quadrierst du beide Seiten.

Die binomischen Formeln sind deine besten Freunde: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ und $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Diese Formeln sparen dir viel Zeit bei quadratischen Gleichungen.

Ableiten funktioniert nach klaren Regeln. Die Potenzregel ist am wichtigsten: $x^n$ wird zu $n \cdot x^{n-1}$. Bei der Kettenregel multiplizierst du äußere und innere Ableitung, bei der Produktregel gilt: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.

Merktipp: Bei verketteten Funktionen denkst du von außen nach innen - erst die äußere Funktion ableiten, dann mit der inneren Ableitung multiplizieren.

Ebenen im Raum

Ebenen kannst du auf verschiedene Weise beschreiben: In Parameterform $E: \vec{x} = \vec{p} + r\vec{u} + s\vec{v}$ mit einem Stützvektor und zwei Spannvektoren, oder in Koordinatenform $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$.

Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene und ist der Schlüssel zum Umrechnen zwischen den Darstellungsformen. Er zeigt dir auch die "Richtung" der Ebene im Raum.

Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, bestimmen eine Ebene eindeutig. Du kannst auch eine Ebene aus einer Geraden und einem Punkt konstruieren, der nicht auf der Geraden liegt.

Die Punktprobe funktioniert wie bei Geraden: Setze die Koordinaten in die Ebenengleichung ein und prüfe, ob eine Lösung existiert.

Visualisierungstipp: Stelle dir eine Ebene wie ein unendlich großes Blatt Papier vor, das durch den Raum verläuft.

Kurvendiskussion meistern

Die Tangentengleichung an einer Stelle a lautet: $t: y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Diese Formel musst du auswendig können - sie kommt in fast jeder Analysis-Klausur vor.

Für Extremstellen suchst du zuerst Nullstellen von $f'(x)$, dann prüfst du mit $f''(x)$: Ist $f''(x) > 0$, hast du ein Minimum, ist $f''(x) < 0$, ein Maximum.

Wendestellen findest du über $f''(x) = 0$ und prüfst mit $f'''(x) \neq 0$. An Wendestellen ändert sich das Krümmungsverhalten des Graphen.

Die Monotonie erkennst du am Vorzeichen von $f'(x)$: positiv bedeutet steigend, negativ bedeutet fallend. Die Krümmung zeigt $f''(x)$: positiv ist linksgekrümmt, negativ rechtsgekrümmt.

Merkregel: Extremstellen sind die "Gipfel und Täler", Wendestellen die "Sattelpunkte" der Funktion.

Binomialverteilung verstehen

Die Binomialverteilung beschreibt Experimente mit genau zwei Ausgängen $Treffer/Niete$ bei n Wiederholungen. Die Formel $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer an.

Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ zählt, auf wie viele Arten k Treffer bei n Versuchen auftreten können. Am Taschenrechner findest du ihn unter der nCr-Taste.

Das Pascalsche Dreieck zeigt dir die Binomialkoeffizienten übersichtlich an. Jede Zahl ist die Summe der beiden darüberstehenden Zahlen.

Bei einer Bernoulli-Kette bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit p konstant, und die einzelnen Versuche sind unabhängig voneinander.

Anwendungsbeispiel: Münzwurf, Würfeln oder Multiple-Choice-Tests sind typische Binomialverteilungen.

Abstände und Lagebeziehungen

Die Lage von Gerade und Ebene erkennst du über den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Stehen sie senkrecht aufeinander, ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt in ihr.

Bei zwei Ebenen vergleichst du die Normalenvektoren: Sind sie parallel, sind auch die Ebenen parallel oder identisch. Sonst schneiden sie sich in einer Geraden.

Abstände berechnest du systematisch: Punkt-Punkt über den Verbindungsvektor, Punkt-Ebene über die Lotgerade zur Ebene. Der Abstand ist immer die kürzeste Verbindung.

Für den Abstand Punkt-Ebene stellst du eine Lotgerade durch den Punkt auf und suchst den Schnittpunkt mit der Ebene. Die Länge dieser Strecke ist der gesuchte Abstand.

Geometrische Intuition: Der Abstand ist immer der kürzeste Weg - stelle dir vor, du wirfst einen Ball senkrecht auf eine Wand.

Funktionen in Sachsituationen

Bestandsfunktionen beschreiben reale Situationen: Ist $f'(x) > 0$, wächst der Bestand, ist $f'(x) < 0$, nimmt er ab. Extremstellen zeigen maximale oder minimale Bestände.

Wendestellen sind besonders interessant: Sie zeigen, wo sich die Änderungsrate am stärksten ändert. In der Wirtschaft könnte das der Punkt maximaler Kostenzunahme sein.

Lineare Gleichungssysteme löst du mit dem Gauß-Verfahren: Bringe das System in Stufenform und löse von unten nach oben auf. Achte auf die Anzahl der Lösungen.

Ganzrationale Funktionen bestimmen funktioniert über Bedingungen: Nutze gegebene Punkte, Extremstellen oder Wendestellen, um ein LGS aufzustellen und die Parameter zu berechnen.

Praxisbezug: Diese Methoden helfen dir, mathematische Modelle für echte Probleme zu entwickeln.