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Mathe
1. Dez. 2025
1.297
11 Seiten
Laura @_laura2605
Diese Mathe-Klausur aus der Q1 behandelt ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften. Du lernst hier, wie du Hoch-, Tief-... Mehr anzeigen
Die erste Aufgabe testet dein Verständnis von Funktionseigenschaften. Wenn f(5) = 8 ist, bedeutet das einfach Der Graph geht durch den Punkt (5|8). Bei f'(5) = 0 und f''(5) < 0 hast du einen Hochpunkt bei x = 5, weil die erste Ableitung null ist (waagerechte Tangente) und die zweite Ableitung negativ (Krümmung nach unten).
Für ganzrationale Funktionen 5. Grades mit Punktsymmetrie zum Ursprung fallen alle geraden Exponenten weg. Die allgemeine Form wird zu f(x) = ax⁵ + cx³ + ex. Aus der Punktsymmetrie und dem Hochpunkt H(1|1) ergeben sich nur zwei Bedingungen für drei Unbekannte - das reicht nicht für eine eindeutige Bestimmung.
Das lineare Gleichungssystem löst du mit dem Additionsverfahren Aus den drei Gleichungen erhältst du z = 10, x = 15 und y = 12.
Merke Bei Funktionsuntersuchungen immer zuerst die notwendige Bedingung prüfen, dann die hinreichende Bedingung (zweite Ableitung) anwenden.
Für die Funktion f(x) = x³ - 9x² + 15x - 3 findest du Extrempunkte durch Nullsetzen der ersten Ableitung. Die p-q-Formel liefert x₁ = 5 und x₂ = 1. Mit der zweiten Ableitung prüfst du f''(5) = 12 > 0 ergibt einen Tiefpunkt bei (5|-28), f''(1) = -12 < 0 einen Hochpunkt bei (1|4).
Wendepunkte findest du, indem du die zweite Ableitung null setzt f''(x) = 6x - 18 = 0 führt zu x = 3. Da f'''(3) = 6 > 0 ist, handelt es sich um die Stelle mit der lokal niedrigsten Steigung.
Bei Aufgabe 6 stellst du aus den gegebenen Bedingungen ein Gleichungssystem auf. Der Wendepunkt W(0|3) und Tiefpunkt T(-1|1) liefern vier Bedingungen für die vier Unbekannten der Funktion 3. Grades.
Tipp Verwende immer beide Ableitungstests - die erste Ableitung für Extremstellen, die zweite für Wendepunkte und zur Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkten.
Die Sauna-Aufgabe modelliert einen Temperaturverlauf über 20 Minuten. Aus den Bedingungen f(0) = 20°C, f(20) = 60°C, f'(10) = 3°C/min und f''(10) = 0 erstellst du ein Gleichungssystem für eine Funktion 3. Grades.
Bei der Herzfrequenz-Aufgabe analysierst du f(t) = 0,03t³ - 1,5t² + 21t + 80 für einen 30-minütigen Trainingsabschnitt. Die momentane Änderungsrate bei t = 5 berechnest du mit der ersten Ableitung f'(5) = 14,25 Schläge/min².
Für die stärkste Abnahme suchst du das Minimum der ersten Ableitung. Du setzt f''(t) = 0 und erhältst den Wendepunkt bei t ≈ 16,67 Minuten. Die Funktion wird für t > 32 unrealistisch, da die Herzfrequenz dann über biologisch sinnvolle Werte steigen würde.
Praxistipp Bei Sachaufgaben immer die Einheiten mitführen und das Ergebnis im Kontext der Aufgabe interpretieren.
Die Extremwertberechnung für f(x) = x³ - 9x² + 15x - 3 erfolgt systematisch f'(x) = 3x² - 18x + 15 = 0 führt zur vereinfachten Form x² - 6x + 5 = 0. Mit p = -6 und q = 5 ergeben sich die Lösungen x₁ = 5 und x₂ = 1.
Für Wendestellen setzt du f''(x) = 6x - 18 = 0, was x = 3 liefert. Da f'''(3) = 6 ≠ 0 ist, liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor. Die negative zweite Ableitung links und positive rechts von x = 3 bestätigen den Krümmungswechsel.
Bei der Funktionsbestimmung aus gegebenen Eigenschaften ordnest du systematisch zu Wendepunkt W(0|3) bedeutet f(0) = 3 und f''(0) = 0, Tiefpunkt T(-1|1) bedeutet f(-1) = 1 und f'(-1) = 0. Diese vier Bedingungen reichen für eine Funktion 3. Grades aus.
Erfolgsrezept Arbeite immer schrittweise - erst notwendige, dann hinreichende Bedingungen prüfen und alle Ergebnisse durch Einsetzen kontrollieren.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Erlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheDiese Zusammenstellung umfasst die Aufgaben und Lösungen der zentralen Klausur im Fach Mathematik für das Jahr 2018. Die Themen beinhalten multistufige Zufallsexperimente, Funktionen und deren Ableitungen, Gewinnwahrscheinlichkeiten, sowie die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in Stochastik und Analysis vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Kosten- und Preistheorie, einschließlich Kostenverläufe, Grenzkostenfunktionen, Durchschnittskosten und Marktgleichgewicht. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie die Berechnung von Extremstellen, Wendepunkten und die Preisbildung durch Angebot und Nachfrage. Ideal für Studierende der Wirtschaftswissenschaften, die sich auf Kostenrechnung und Marktanalysen vorbereiten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst auch die Berechnung von Laktatkonzentrationen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sowie die Modellierung von Flugbahnen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die sich auf Klausuren vorbereiten.
MatheUmfassende Vorbereitung auf die Mathematikprüfung mit Fokus auf Funktionen, Ableitungen, Nullstellen und stochastische Konzepte. Erlerne die Grundlagen der Funktionsuntersuchung, einschließlich rationaler und Wurzelfunktionen, sowie die Anwendung von Baumdiagrammen und Wahrscheinlichkeitsregeln. Ideal für Schüler der EF, die sich auf ihre Klausur vorbereiten.
MatheErforschen Sie die Konzepte der Grenzwerte und das Grenzverhalten von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Grenzwerten, Konvergenz und Divergenz sowie spezifische Beispiele für Grenzwerte im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Analysis vertiefen möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Laura
@_laura2605
Diese Mathe-Klausur aus der Q1 behandelt ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften. Du lernst hier, wie du Hoch-, Tief- und Wendepunkte berechnest und Funktionen aus gegebenen Bedingungen aufstellst.
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Die erste Aufgabe testet dein Verständnis von Funktionseigenschaften. Wenn f(5) = 8 ist, bedeutet das einfach: Der Graph geht durch den Punkt (5|8). Bei f'(5) = 0 und f''(5) < 0 hast du einen Hochpunkt bei x = 5, weil die erste Ableitung null ist (waagerechte Tangente) und die zweite Ableitung negativ (Krümmung nach unten).
Für ganzrationale Funktionen 5. Grades mit Punktsymmetrie zum Ursprung fallen alle geraden Exponenten weg. Die allgemeine Form wird zu f(x) = ax⁵ + cx³ + ex. Aus der Punktsymmetrie und dem Hochpunkt H(1|1) ergeben sich nur zwei Bedingungen für drei Unbekannte - das reicht nicht für eine eindeutige Bestimmung.
Das lineare Gleichungssystem löst du mit dem Additionsverfahren: Aus den drei Gleichungen erhältst du z = 10, x = 15 und y = 12.
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Für die Funktion f(x) = x³ - 9x² + 15x - 3 findest du Extrempunkte durch Nullsetzen der ersten Ableitung. Die p-q-Formel liefert x₁ = 5 und x₂ = 1. Mit der zweiten Ableitung prüfst du: f''(5) = 12 > 0 ergibt einen Tiefpunkt bei (5|-28), f''(1) = -12 < 0 einen Hochpunkt bei (1|4).
Wendepunkte findest du, indem du die zweite Ableitung null setzt: f''(x) = 6x - 18 = 0 führt zu x = 3. Da f'''(3) = 6 > 0 ist, handelt es sich um die Stelle mit der lokal niedrigsten Steigung.
Bei Aufgabe 6 stellst du aus den gegebenen Bedingungen ein Gleichungssystem auf. Der Wendepunkt W(0|3) und Tiefpunkt T(-1|1) liefern vier Bedingungen für die vier Unbekannten der Funktion 3. Grades.
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Erlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
MatheDiese Zusammenstellung umfasst die Aufgaben und Lösungen der zentralen Klausur im Fach Mathematik für das Jahr 2018. Die Themen beinhalten multistufige Zufallsexperimente, Funktionen und deren Ableitungen, Gewinnwahrscheinlichkeiten, sowie die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten und ihre Kenntnisse in Stochastik und Analysis vertiefen möchten.
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MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst auch die Berechnung von Laktatkonzentrationen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sowie die Modellierung von Flugbahnen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die sich auf Klausuren vorbereiten.
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MatheErforschen Sie die Konzepte der Grenzwerte und das Grenzverhalten von Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition von Grenzwerten, Konvergenz und Divergenz sowie spezifische Beispiele für Grenzwerte im Unendlichen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Analysis vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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