Mathematik

Geometrische Systeme und Modelle

Koordinatengeometrie

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Aktualisiert Mar 23, 2026

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19 Seiten

Mathe GK: Vorbereitung auf das mündliche Abitur - Analytische Geometrie und Analysis

Flora

@floramenningen

Analytische Geometrie ist überall um dich herum - vom GPS... Mehr anzeigen

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Analytische Geometrie

- Grundbegriffe 3D Koordinatensystem; Vektoren; hollinearität Shalarprodukt Winkel zwischen Vektoran

Definition Vekt

Grundlagen der Vektorrechnung

Stell dir vor, du willst jemandem den Weg beschreiben - genau das macht ein Vektor. Er zeigt dir nicht nur die Richtung, sondern auch wie weit du gehen musst. Ein Punkt hingegen ist einfach nur eine Position, wie ein Pin auf Google Maps.

Der Differenzvektor zwischen zwei Punkten A und B berechnest du mit $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ . Das ist super praktisch, wenn du wissen willst, wie du von einem Ort zum anderen kommst.

Es gibt zwei wichtige Vektor-Typen: Ortsvektoren zeigen vom Koordinatenursprung zu einem Punkt (wie eine Adresse). Richtungsvektoren zeigen einfach eine Richtung an und können frei verschoben werden (wie eine Wegbeschreibung "2km nach Norden").

Eine Geradengleichung in Punkt-Richtungsform sieht so aus: $\vec{g}: \vec{x} = \vec{a} + t\vec{v}$ . Dabei ist $\vec{a}$ dein Startpunkt und $\vec{v}$ zeigt dir die Richtung.

Merktipp: Vektor = Richtung + Länge, Punkt = nur Position

Skalarprodukt und Winkelberechnung

Das Skalarprodukt ist dein Werkzeug, um Winkel zwischen Vektoren zu berechnen. Für $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix}$ rechnest du: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$ .

Wenn das Skalarprodukt null ergibt, stehen die Vektoren orthogonal (90°) zueinander - wie die Ecke eines Zimmers.

Den Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit: $\alpha = \cos^{-1} \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$ . Die Beträge berechnest du mit $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ .

Einen Vektor zwischen zwei Punkten stellst du auf, indem du die Koordinaten des Zielpunkts minus Startpunkt rechnest. Bei $\vec{AB}$ also: B-Koordinaten minus A-Koordinaten.

Praxis-Tipp: Orthogonale Vektoren erkennst du sofort am Skalarprodukt = 0!

Kollinearität und Linearkombination

Zwei Geraden sind kollinear (liegen auf derselben Linie), wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Du prüfst das, indem du schaust, ob $\vec{v_1} = s \cdot \vec{v_2}$ für einen Faktor s gilt.

Bei der Kollinearitätsprüfung setzt du die entsprechenden Komponenten gleich und löst nach s auf. Kommt für alle drei Komponenten das gleiche s raus? Dann sind die Vektoren kollinear!

Eine Linearkombination ist wie ein Rezept: Du mischst verschiedene Vektoren mit bestimmten Faktoren zusammen. $\vec{u} = a \cdot \vec{u_1} + b \cdot \vec{u_2} + c \cdot \vec{u_3}$ bedeutet, du nimmst a-mal den ersten Vektor, plus b-mal den zweiten, etc.

Vektoren sind linear unabhängig, wenn die einzige Möglichkeit, den Nullvektor zu erhalten, darin besteht, alle Faktoren null zu setzen. Das bedeutet, keiner der Vektoren lässt sich aus den anderen zusammenbauen.

Eselsbrücke: Kollinear = "co-linear" = auf der gleichen Linie!

Geradengleichungen und Spurpunkte

Eine Geradengleichung kennst du schon aus der 2D-Welt: $y = mx + t$ . Dabei ist m die Steigung und t der y-Achsenabschnitt. Die Steigung berechnest du mit dem Differenzquotienten: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Spurpunkte sind die Stellen, wo deine Gerade die Koordinatenebenen schneidet. Du berechnest sie, indem du nacheinander jede Koordinate null setzt und das entsprechende λ bestimmst.

Für den Spurpunkt mit der xy-Ebene setzt du die z-Koordinate gleich null: $z_0 + \lambda \cdot v_z = 0$ . Dann löst du nach λ auf und setzt es in die komplette Geradengleichung ein.

Eine neue Geradengleichung stellst du auf, indem du den Richtungsvektor $\vec{u} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$ berechnest und dann $g: \vec{x} = \vec{p_1} + \lambda \cdot \vec{u}$ schreibst.

Spurpunkte-Trick: Setze immer eine Koordinate = 0, löse nach λ auf, setze λ ein!

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Zwei Geraden können sich auf vier verschiedene Arten zueinander verhalten: identisch (deckungsgleich), Schnittpunkt (treffen sich in einem Punkt), echt parallel (nie treffend, aber in einer Ebene) oder windschief $verfehlen sich im 3D-Raum$ .

Der erste Schritt ist immer die Prüfung der linearen Abhängigkeit der Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander? Dann sind die Geraden identisch oder echt parallel.

Bei linear unabhängigen Richtungsvektoren setzt du die Geraden gleich und löst das Gleichungssystem. Ist es lösbar? Dann schneiden sich die Geraden. Unlösbar bedeutet windschief.

Den Schnittpunkt findest du, indem du das berechnete λ oder t in eine der ursprünglichen Geradengleichungen einsetzt. Das Ergebnis ist der gemeinsame Punkt beider Geraden.

Logik-Check: Windschief geht nur im 3D-Raum - in 2D sind Geraden entweder parallel oder schneiden sich!

Ebenengleichungen - drei Darstellungsformen

Eine Ebene lässt sich auf drei Arten beschreiben, je nachdem was du gerade brauchst. Jede Form hat ihre Vorteile!

Die Parameterform $E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ brauchst du, wenn du Punkte auf der Ebene erzeugen willst. Mit dem Stützvektor $\vec{a}$ und zwei Richtungsvektoren $\vec{u}, \vec{v}$ kannst du jeden Punkt der Ebene erreichen.

Die Normalform $E: \vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$ ist ideal für Abstandsberechnungen. Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf der Ebene - wie ein Pfeil, der aus dem Tisch ragt.

Die Koordinatenform $E: ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ entsteht durch Ausmultiplizieren der Normalform. Super praktisch für Berechnungen, weil die Koeffizienten a, b, c direkt die Koordinaten des Normalenvektors sind.

Umwandlungs-Tipp: Koordinatenform → Normalenvektor ablesen ist der schnellste Weg!

Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

Eine Gerade und eine Ebene können drei verschiedene Beziehungen haben: Die Gerade liegt in der Ebene, sie schneidet die Ebene in einem Punkt, oder sie ist echt parallel zur Ebene.

Das Geheimrezept: Setze die Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene ein und versuche λ zu bestimmen. Je nach Ergebnis weißt du sofort, was los ist.

Wenn λ für alle Werte erfüllt ist $z.B. 1 = 1$ , liegt die Gerade komplett in der Ebene. Ist die Gleichung nie erfüllt $z.B. 5 = 3$ , sind Gerade und Ebene echt parallel.

Gibt es genau ein λ, das die Gleichung erfüllt, dann schneiden sich Gerade und Ebene in einem Punkt. Dieses λ setzt du in die Geradengleichung ein und erhältst den Schnittpunkt.

Durchblick-Garantie: Ein λ-Wert = ein Schnittpunkt, unendlich viele λ = Gerade in Ebene!

Analysis - Änderungsraten verstehen

Änderungsraten begegnen dir überall: Wie schnell wächst ein Baum? Wie steil ist eine Kurve? Das alles beschreibst du mit dem Differenzquotienten: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ .

Die Sekante verbindet zwei Punkte auf dem Graphen und ihre Steigung ist die mittlere Änderungsrate zwischen diesen Punkten. Das ist wie die Durchschnittsgeschwindigkeit auf einer Autofahrt.

Die Tangente berührt den Graphen nur in einem Punkt und beschreibt die momentane Änderungsrate - wie deine Geschwindigkeit genau in diesem Moment.

Ein Praxisbeispiel: Bei $f(x) = 2x^2$ (Baumhöhe nach x Wochen) berechnest du das durchschnittliche Wachstum von Woche 0 bis 4 mit: $\frac{f(4) - f(0)}{4 - 0} = \frac{32 - 0}{4} = 8$ Meter pro Woche.

Alltags-Bezug: Differenzquotient = Durchschnittsgeschwindigkeit, Ableitung = Momentangeschwindigkeit!

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