Mathe Lernzettel

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1. Runden der Intervallgrenzen: Die untere Grenze wird any den nächst kleineren, die obere Grenze any don nächst grüßeren garen weit gerunact. BRUNNEN T → Wahrscheinlichkeiten mit denen eine normalverteilte Zufallsgröße in ein bestimmtes zum Erwartungswert symmemsches intervall [μ-R・O + M+0] fall o] ↑P (X=K P(x-μ/sa) 68,3%. (x-μ)² e 20-² 95,5% 99,7% 95% P(x-μ/sa) 90% 99% a 20 30⁰ 1.640 1,960 10 10 2,580 So R Approximation einer Binomial verteilung durch eine Normalverteilung →es liegt hahe, als Erwartungswert i einer passenden Normal- verteilung den Erwartungswert n⋅p der Binomial verteilung zu nehmen und als Standardabweiching a der passenden Normal- verteilung die Standardabweichung √n.p.(4-p).. ⇒eine Binomial verteilung mit Erwartungswert M= nap und Standardabweichung = √n.p.(1-p) lässt sich durch eine Normalverteilung mit gleichem Erwartungswert und Standard- abweiching approximieren, wenn 0>3 (Laplace - Bedingung) Entscheiden mit Prognose intervallen Situation: → Angenommen, man kennt aufgrund von empirischen Untersuchungen oder theoretischen Überlegungen die Trefferwahrscheinlichkeit p in der Grundgesamtheit. Man möchte rational begründen, ob die Treffer häufigkeit h in einer Stichprobe mit der Trefferwahrscheinlichkeit p Verträglich" erscheint oder nicht. Prognose intervalls →/Mit welcher Trefferanzand ist in einer Stichprobe zu rechnen Grundgesamtheit →Binomialverteilung. → Trefferwahrscheinlichkeit p bekannt Gesucht: Stichprobe • Prognose intervall für Trefferzaul X bzw. relative Trefferuäufigkeit => Unter dem 95% - Prognose interuall verstent man das intervall [M-tjμ++] in das die Trefferhäufigkeit H in einer Stichprobe fällt. mit einer wahrscheinlichkeit von 95% → Man irrt sich bei der Entscheidung Stochastisch unverträglich "auf Grundlage des 95% Prognose intervals mit einer wahrscheinlicuteit von höchstens Entscheidungen mit Prognose intervallen: →Liegt ein Stichprobenergebnis H außerhalb des 95% - Prognose intervalls, So kann dieses Ergebrius auch zufällig aufgetreten sein. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines solenen Ereignisses ist allerdings sehr klein (≤ 5%). Daher wird es als Stochastisch unvertraglich any dem 95%. - Niveau mit der Trefferwahrscheinlichkeit p bezeichnet. z. B. 200-facher Monzwurf ↑P (X=X) ? 904 -0,02- H=88 verträglich mitp=0,5 H= 116 unverträglich mit p=0,5 88 100 116 على منتهاست A. 1. Vektoren im Raum 1.2. → Ein Vektor mit drei Komponenten 9₁, 92, 93 ist ein spaltenweise = geschriebenes Zahlentripel *-(8) аз Der Vektor Of=² luißt Ortsvektor des Punktes A (anja₂jaz) az Geometrie Addition und Substraktion von Vektoren a3 Vervielfachen von Vektoren S-Multiplikation → Gegeben ist ein Vektor 7 und eine reele Zahl K. Es gilt: k-vk-/v₁ und →Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert Substrahiert + = 2 2 B b₁ a2 00690 0006) b₂ b3 103-63/ 103 b3 V2 V1 V₂ V3 K. V - 0₁ To K.V₂ Ik - V3. a+b V 7 te To bz - сз Mittelpunkt einer Strecke: → Gehören zu den Endpunkten A und B einer Strecke der Ortsvektor a und B, so hat der Strecken mittelpunkt M. den Ortsvektor: B = 2 ⋅m-a²³² Linearkombination: → Man nennt eine Summe von Vielfachen von Vektoren Linear. kombination dieser Vektoren Tal = m² = 1 ( 2² + b ) 2 Länge eines Vektors bestimmen: Vektoren 1 an az , аз = Ja² + a² 2 2 (~₂) - r. (1) + аз таз u= r.2 + s. b гал auf Parallelitat prüfen: → sind parallel, wenn es ein K gibt mit ů = K.J →Für zwei Vektoren - +S+ und ✓= b2 Kollineare Vektoren: Zwei Vektoren a und 1 sind kollinear, wenn 1 = 3.2 mit SER. Skalarprodukt von Vektoren un 62 uz (~21) heißt die Zahl U₁ V₁ + U₂ V₂ + Uz V3 das Skalarprodukt der beiden Vektoren u & v Orthogonalität von Vektoren: zwei Vektoren sind genau dann zueinander orthogonal, wenn 2. b=0 er fällt ist à Iba₁b₁ + a₂b₂ +azbz=0 Winkel zwischen zwei Vektoren: cos(j) ab = 121.161 a₁b₁ + a₂b₂ + Qz bz 2 a² + a² + a²² • √√b₂ ² + b₂²² + b₂² 2 Parametergleichung einer Ebene Punkt-Richtungs - Form → Gegeben sind der Punkt A und zwei Linear unabhängige Vektoren und 2. E: R² = 2² +rü + 8V mit riSER (a heißt Stützvektor der Ebene; Koordinatengleichung einer Ebene und heißen Richtungsvektoren der Ebene; runds heißen Parameter.) J.J Beispiel: 18 E B - (1) -((1)) - 0 E: Beispiel: Ex= ات اخراج ماخ 7² - (x - 9 ) = 0 q √xxxxX tr =ñ-q² d · (8). Eine Ebene E kann durch die lineare Gleichung "ax +by+cz =d beschrieben werden. Beispiel: E: 2x+y+22=4 Normalform einer Ebenengleichung 9 +2 -O → Eine Ebene È mit dem Punkt Pund dem Normalvektor nist durch die Gleichung gegeben. +S 1. Von Parameterform zur Normalform: Normal vektor: (3) NR: 2- -{{{} {\T (5) Stovektor nutzen: ES O 2 A 3-( 3. Von Normal form zu koordinaten Normal vektor nutzen: P₁E: 22=4 Z=2 1 € = 2x+y +22= d PE 2.(-2) + 4 + 2·2=4 P2₂ (Oly 10) P₂ (x1010) 2x=4 3 P₁ P₂-P₁ E: X= L ; P(-21412) einsetzen 5. Koordinaten form zu Parameter form Tipp: einfache Punkte nutzen P₁ (01012); E: 2x +y +22=4 1:2 y = 4 P₂ (01410) = + So 2 2-0 1+2 0+2/ ten form:/ P₁ (01012) P₁ (01012) P₁ →E: 27=4 Z=122 E: €. (1)-( *- 8 ) - 0 E: 2x + y +22=4 x=2 P3 (21010) P3-P₁ 4. Koordinaten form zur Normal form: nablesen! R= R. (2) Umwandlung von verschiedenen Darstellung einer Ebene Parameter form 9 Koordinatenfum P₁ (01012) Normal form 7! Lagebeziehung passt identisch L Kallinear von Geraden Stützlektor von gond h einsetzen (oder andersrum) ✓ 1. Kollinearitat profen passt nicht parallel Parametergleichung einer Geraden / Parameter form g₁x²=a²+₁²V rERB 2-Stutzvektor ✓²= Richtungsvektor Der Sturzvektor ist der Ortsvektor zu einem Punkt P der auf dir Geraden liegt nicht kollinear Gleichsetzen X6S aufstellen umstellen nach X₁²5 = y₁₁ ⋅ t = 21 X₂ r = y ₂ t = z₂ X₂ • r = Y3 ⋅ t = zz Matrix aufstellen GTR: 2nd →x1 → Edit →3x3 eintippen →Quit → 2nd →x¹→ Math →rref Penter → 2nd →x-¹1 →→₁, Matrix ausw. →Enter Enter Diagonalmatrix aufschreiben interpretieren wahre Aussage ir" und "it" notieren Schneiden sich Schnitpunkt berechnen, r (odert) in gloder u) einsetzen falsche Aussage auffindbar ↓ windschief 9! 1. Beispiel identisch g₁ h: ; -1 + 9* () () ** (3) ¹() 1 1,5 3 kollinear: (-3) Storzuektor in g 1=-1+t => x=2 2 = 3 + (-0₁S) t => += 2 -1=-4 + 1,5t => t = 2 2 Beispiel parallel: 9:*(3)*(3) R /1 kollinear: -2 1 1 = 2.-0,5 1115 Stützvektor von g→l: 1= 3-4t => t = 0,₁5 2= 6 + 2t = 2 + + 05 -1-6-6t => t = 0₁5 r Matrix: 2 3 -1 t -1 3 TO 3 3. Beispiel Windischief R = 9:²₁( 3 )* (3) + 4^ R (8) + (13) +r/2 X= + 6 kollinear: u = 2 => kollinear Gleichsetzen von 9 und h: g=l : يلد + LGS 1+2r = 3++ |-t; -1 2- r = 6-3t -1 +3r=6 ; : X = (3 6 Zahl y 7 => kollinear Antwort: Der Stützvektor 9 liegt auf M. Daraus folgt, dass beide Geraden identisch sind. Antwort: Die Richtungslektoren sind offensichtlich nicht kollinear rref +t Antwort: Der Stützvektor von g liegt nicht auf l. Daraus folgt, dass die beiden Geraden echt parallel sind. 1+3t; -2 1+1 Umstellen: 2r + t = 2 -r + 3t = 4 3r + Ot rt zahl 100 0 1 0 0 0 1, T 17 J 7 Or + Ot = 1 =D FALSCH 3. Zeile Falsche Aussage. Daraus folgt, dass die Geraden gund u windselief zueinander sind. 4. Beispiel Schneiden sich: *- ()* (3) 9= x² = kollinear : Gleichsetzen von g LGS aufstellen: 1 + 2r = 3-2t 2- r 6 +6t 1+3r= 6 + t 4 = /2 1 Umstellen: 2r+2=2 -r-6t = 4 3r t = 7 Matrix: = 4 222 -1-6 4 ·3-17 ; h: x = √=2; t = -1 = 3 gah (3) (3) (?) (?) g=u = ** 6 und li 1+ 2t ; -1 1+6t; -2 1-t ; +1 rref (?) ₁ Antwort: Die Vektoren sind offensichtlich nicht kollinear лог 01-1 0 0 0 Die Geraden Schneiden Sich Schnittpunkt: →g, r+ Ot = 2 Ort t Or + Ot wahre + t = Aussage 1-2 03 (2) 2(3) -(8) Schreinet (51015) (§) +2/2 Schnittpunkt Lagebeziehung von Geraden und Ebenen 1. Ebene in Koordinatenform oder Normalen form → Durch Einsetzen der Komponentengleichungen" in die Ebenengleichung erhält man die Gleichung für r. a (p₁ trv₁) + b (p₂ + rv₂) + C (P3 + rv3 ) = d 2 2. Ebene in Parameterform → Schnittpunktansatz: Die Geradengleichung a² + tu²=b+ry² +SW³²³ gleichgesetzt. t 10-1 [89-14] 0 Tipp: Stenen Normalvektor(der und Richtungsvektor (der Geroden) senkrecht aufeinander (Skala product =0) So sind Ebene und Gerade entweder parallil oder die Gerade liegt in der Ebene -> Punktprobe pasir diegtie wird mit der Ebenengleichung in 01 O unendlich viele Lösungen genau Stichtige Lösung ohne, Spurpunkte SO - 1 2 ^ -1 [01-201 9₁ Liegt in der Ebene E 92 schneidet die Ebene E 93 verläuft parallel zu im Punkt D Ebene E eine Lösung 10 Spurpunkte einer Geraden G →Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenbereichen. Mindestens eine Koordinate ist O. passt richt =parale Ebene keine Lösung => falsche gosing сплект G Gerade durch zwei Punkte bestimmen P(41012) Q(01214) 7 es müssen ein Stützvektor und ein Richtung Siektor bestimmt werden Stützuektor: OP³-P² = ( 4₂ ) Richtungswektor : P = 3 - P² - ( 2 - 2 ) (1) Punkt - Richtungs-Form : ( 2 ) + r. ( 2² ); « i rer 2 Punkt auf einer Geraden Koordinaten bestimmen r liefert x² = <= 2 bifer 2. (3) Liegt P auf der Geraden g ? P₁ (81-418) P₂ (31112) r=0 2 no liefer R. (3) (4) (3), 9(.51215) 2 5 S Für P₁ gilt: 8 8 → Wenn Pauf g: R = a² +ru liegt, dann gibt es ein r, sodass OP = 2² +ry² Wenn man auf g. (3) (20) P(117101-1) 10 T ein solches r nicht. /4-4r (d) 4-4r N Die Gerade aufstellen = g*-(1)-(3) tr For Begit (1) (rr) P₂ /4-4r gill: findet, dann liegt P nicht lässt sich in der Form g: X²= g Dies liefert die Gleichungen =>Es gibt einr, dass alle Gleichungen erfült auf Die liefert die Gleichungen 8 = 4-4r -4 = Otur 8 = 4-ur 14-4r 8+4r (4-4r. Es gibt kein ridas alle Gleichungen erfürlt. liegt auf g. => -1 r => -1 r => -1 3=4-4r_r=) 0,25 1 = @ +¶r r = 20,25 2 =4-4r r=20₁5 Lagebeziehung von Geroden awnand Matrix erkennen Die Geraden Schneiden sich: اد O O 1 1 O 15 1 2 O O 9 Die Geraden sind windschief zueinander. 1 O 2 O O O O r H O r = -1 TS=2 III wahre Aussage H Die Geraden sind parallel zueinander: O beben mögliche S=0 ㅍ III falsche Aussage Die Geraden sind identisch: O I r + 25 =0 1 I falsche Aussage wahre Aussage } Geben mögliche Werte für ris an I wahre werte für r&san gibt durch wahre Aussage an, dass r& s auch III erfüllen => gibt => gibt durch falsche Class 7 es Aussage and keine Lösungen gibt → Richtungsvektoren kollinear => gibt an, dass r&s abhängig sind. → Richtungsvektoren kollinear -0,5 1 I r-OSS = -1 => gibt an, dass r&s abhängig sind. o I wahre Aussage bahie Aussage gibt durch falsche Aussage an, dass es keine Lösungen gibt geben durch wahre Aussagen an, dass es unenallich viele Lösungen gibt Direkt an der Geradengleichung erkennen, wie sie zueinander stehen: →haben beide Geraden den gleichen Stützuektor 5 => Schneiden sich haben beide Geraden den gleichen Richtungsvektor => parallel zueinander Abstand eines Punktes von einer Geraden von einer → der Abstand d (P; g) eines Punktes P von einer Geraden g₁x²= 2² +√ ist die kürzeste Entfernung des Punktes P zu allen Punkten der Geraden, also die Länge der zu g orthogonalen Strecke PQ, wobei Q auf g liegt (Qeg). Es gilt: (1) QEg, also 2 - 2 + rv (2) PQ also PQ-7=0 ед, Abstand eines Punktes von einer Ebene → Gegegeben sind ein Punkt P(p₁1 pz lps ) und eine Ebene E: n. (p²-2²)-0 (Gleichung in Normaten form). Dann gilt der Abstand d (PE) des Punktes von der Ebene d(P₁E) = 2.3-2). Imp₁ + n₂p₂+n₂p3 +cl mit c = - √n₁²₁² + 1² + n²³²" 2 2 2 из Bsp: P (#1011); 9:7² ( 3₂ ) + (3₂) E₁ R² = (²₂₁) E= x + ²y + z = d p⇒ E= 4+2.0+1=d S=d Schnitipunkt von gund E (3+r) + 2 (-1 +25) +²42 +1)=5 3+ 6r=5 6r = 2 r = (79 : 37 - ( 2 ) - 15 ( ² ) ( 75 ) + Ex+2y+z=5 d (SP₁P) = √(1-4)² + (-1/2-0) ² +(713-1)² x 1,528 7! 1. Fall: Eine Ebenengleichung in Parameterform, eine in Koordinatenform Beispiel: E: x= 0 +r. 5+s und F: 3x, +4x₂ - 2x3 = 13 https://www.youtube.com/watch?v=2Qld1Jcangl https://www.youtube.com/watch?v=vUcO8Rsli Ec Schritt 1: Ebenenvektor x als Komponenten (x₁,x₂ und x) darstellen (,,allgemeiner Ebenenpunkt"). x₁ =15+2r-s; x₂ = 5r; x = 3+5s P(15+2r-s|5r|3+5s) Schritt 2: Einsetzen in die Koordinatengleichung. Umformen. 3x₁ +4x₂-2x3 = 133.(15+2r-s)+4.5r-2-(3+5s) = 132r-s=-2 Schritt 3: Interpretation anhand der nachfolgenden Übersicht. Z.B. 2r-s=-2 (Gleichung enthält Parameter) Ebenen schneidem sich in einer Geraden. E und F schneiden sich also in einer Geraden. +(2r+2). Z.B. 0=0 (wahre Aussage, Parameter ,,fallen raus") Ebenen sind identisch. 5 Schritt 4 (bei ,,schneiden sich"): Gleichung der Schnittgeraden bestimmen. Gleichung nach einem Parameter auflösen: s=2r+2. Einsetzen in Parametergleichung: (3) +- (3)+(² +r. Z.B.0=1 (falsche Aussage, Parameter ,,fallen raus") Ebenen sind parallel. (13) ⇒g:x= 0 +r 5 (Schnittgerade) 13) Abkürzung": Stehen Normalenvektor und beide Spannvektoren senkrecht aufeinander (Skalarprodukt-0), so sind die Ebenen entweder parallel oder identisch. Eine Punktprobe klärt auf. Lagebeziehung vou 2 you 2 Ebener Beispiel: E: X= 4+r 3. Fall: Beide Ebenengleichungen in Parameterform (1)+(3) +r -2 0-0-0-0-0-0 5 Schritt 2: LGS in r, s, t und u ordnen. 2+r+s=3 -4u 4-2r-s=5-21+7u 1+3r+5s=12-61-10u 0 Tipp: Umgehen Sie das nachfolgende Verfahren unbedingt, indem Sie eine der beiden Ebenengleichungen in Koordinatenform umwandeln und dann wie im 1. Fall vorgehen. Schritt 1: Gleichsetzen. 0 0 0 0 0 0 https://www.youtube.com/watch?reload=9&v=HI1rFLpq dl +S. 0 https://www.youtube.com/watch?v=uUhSDFkNaAg 0 0 Schritt 3: Durch Gauß-Verfahren,,in Richtung" untere Dreiecksform umformen. 1 1 04 1 104 1 1 0 4 1 -2 -1 2-7 1 ~0 1 21 3 ~ 01 21 3 3 5 6 10 11 0-2-6 2-8 0 0 -2 4-2) O 0 Schritt 4: Interpretation anhand der nachfolgenden Übersicht. (Da nur 3 Gleichungen aber 4 Unbekannte vorliegen, ist LGS niemals eindeutig lösbar.) 0 。 3 und F:x= 5 +1. 12 -2 +u r +s +4u=1 (1) -2r-s+21-7u = 1 (2) 3r+5s +6t+10u=11 (3) 0 0 0 O 0 0 0 (2)+ 0 0 0 0 0 +u. 000 LGS hat unendlich viele Lösungen, zwei Parameter sind frei wählbar. Ebenen sind identisch. LGS hat unendlich viele Lösungen, ein Parameter ist frei wählbar. Ebenen schneiden sich in einer Geraden. E und F schneiden sich also in einer Schnittgeraden. 0 O O O 0 0 0 0 0 0 0 LGS hat keine Lösung. 0 0 Schritt 5 (bei ,,schneiden sich"): Gleichung der Schnittgeraden bestimmen. Gleichung (3): -21+4u=-2 wird nach aufgelöst: =2u+1. Einsetzen. -(1)------- () ---- () +(2+1). ++ -22 0 Ebenen sind parallel. 3 (Schnittgerade) O 2. Fall: Beide Ebenengleichungen in Koordinatenform Beispiel: E: x+3x₂+2x3 = -5 und F: x₁ + 2x₂ + 3x₂ = -2 Schritt 1: Die beiden Ebenengleichungen als LGS auffassen. x₁ +3x₂+2x₂ = -5 x₁ + 2x₂ + 3x₂ = -2 Schritt 2: Durch Gauß-Verfahren,,in Richtung" untere Dreiecksform umformen. (1 3 2-5) 123 -2 13 2 -5 0 1 -1 -3 O Schritt 3: Interpretation anhand der nachfolgenden Übersicht. (Da nur 2 Gleichungen aber 3 Unbekannte vorliegen, ist LGS niemals eindeutig lösbar.) O 0 O 0 J- O https://www.youtube.com/watch?v=YhQphAm9ci4 LGS hat unendlich viele Lösungen, ein Parameter ist frei wählbar. O (1 O O 0 1 1 Ebenen schmeiden sich in einer Geraden. E und F schneiden sich also in einer Geraden. (0 LGS hat unendlich viele Lösungen, zwei Parameter sind frei wählbar. Ebenen sind identisch. O (-58+4) 1 In Vektorform notieren und sortieren: g: x= -3 4 O 1 0 O LGS hat keine Lösung. Ebenen sind parallel. Schritt 4 (bei ,,schneiden sich"): Gleichung der Schnittgeraden bestimmen. In Gleichung (2)x₁=1 setzen: x₂-x₁ =-3x₂-1=-31;=1-3; In Gleichung (1) einsetzen: x₁ +3x₂+2x₁ = -5x₁+3·(1-3)+2·8 = −S ⇒ x₁ = −S8 + 4 *)-(1)-(1) (Schnittgerade) Abkürzung: Sind die beiden Normalenvektoren Vielfache voneinander, so sind die Ebenen entweder parallel oder identisch. Eine Punktprobe klärt auf.