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 Erwartungswert
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Erwartungswert → ist der Wert, bei dem sich die Zufallsgröße bei häufiger wiedernaung einpendelt Formel: M(x) = X₁ P₁ + X₂ Pz + Standardabweichung → Maß für die Strening der zufallsgröße um den Erwartungswert fu Farmel: 0 (X) = √(x₂ - μ)² = p₁ + (x₂ -µ)² + p ₂ + ... (xn-pe. ja -pr Ха Faires Spiel auf Dauer Auszahlung = Einsatz → Erwartungswert from Gewinn = 0. ↑ XnPn ² Bernoulli-Experiment 1/ Gibt es 2 mögliche Ergebnisse 2. Ist die Wahrscheinlichkeit p immer gleich ? 3. Ist die Anzahl der wiederndungen eine feste zahl n? Binomialverteilung → Wahrscheinlichkeit für eine Bernoulli-Kette Bernoulli-Kette der Länge • ° Trefferwahrscheinlichkeit p • Wahrscheinlichkeit für einen Fehlschlag 1-p → Berechnungen: • Anzahl der Pfode der lange in mit genau K. Treffern n. (n-1) ₁ (0-K+1) (2)= 1.2. K • Wahrscheinlichkeit für jeden Pfad mit genau K-Treffern! pr. (1-p) ^-k • Wahrscheinlichkeit für genau K Treffer: P ( X = k) = (n) .pk . (4-p)n-k Normalverteilung Function: 4 M₁0 (X) = Eigenschaften der Normalverteilung: die a ठ 30 gesamte → der Erwartungswert M ist an der Stelle des Maximums vo 4 Ha →die Standardabweiching a ist der Abstand des Erwartungswertes zu einer Wendestelle 1 OTT Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung: →die gefärble Fläche von -∞ bis a entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufausgröße x höchstens gleich bist, d.h. (P(Xsa) für die kumulierte Wahrscheinlichkeit gilt: -a P(x≤ a) = Sa f(x) dx ŽU Yμ₁o existiert keine elementare Stammfunktion. Sigma - Regeln a nagelbungent Flache unter der Kurve hat den Inhalt...

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1. Runden der Intervallgrenzen: Die untere Grenze wird any den nächst kleineren, die obere Grenze any don nächst grüßeren garen weit gerunact. BRUNNEN T → Wahrscheinlichkeiten mit denen eine normalverteilte Zufallsgröße in ein bestimmtes zum Erwartungswert symmemsches intervall [μ-R・O + M+0] fall o] ↑P (X=K P(x-μ/sa) 68,3%. (x-μ)² e 20-² 95,5% 99,7% 95% P(x-μ/sa) 90% 99% a 20 30⁰ 1.640 1,960 10 10 2,580 So R Approximation einer Binomial verteilung durch eine Normalverteilung →es liegt hahe, als Erwartungswert i einer passenden Normal- verteilung den Erwartungswert n⋅p der Binomial verteilung zu nehmen und als Standardabweiching a der passenden Normal- verteilung die Standardabweichung √n.p.(4-p).. ⇒eine Binomial verteilung mit Erwartungswert M= nap und Standardabweichung = √n.p.(1-p) lässt sich durch eine Normalverteilung mit gleichem Erwartungswert und Standard- abweiching approximieren, wenn 0>3 (Laplace - Bedingung) Entscheiden mit Prognose intervallen Situation: → Angenommen, man kennt aufgrund von empirischen Untersuchungen oder theoretischen Überlegungen die Trefferwahrscheinlichkeit p in der Grundgesamtheit. Man möchte rational begründen, ob die Treffer häufigkeit h in einer Stichprobe mit der Trefferwahrscheinlichkeit p Verträglich" erscheint oder nicht. Prognose intervalls →/Mit welcher Trefferanzand ist in einer Stichprobe zu rechnen Grundgesamtheit →Binomialverteilung. → Trefferwahrscheinlichkeit p bekannt Gesucht: Stichprobe • Prognose intervall für Trefferzaul X bzw. relative Trefferuäufigkeit => Unter dem 95% - Prognose interuall verstent man das intervall [M-tjμ++] in das die Trefferhäufigkeit H in einer Stichprobe fällt. mit einer wahrscheinlichkeit von 95% → Man irrt sich bei der Entscheidung Stochastisch unverträglich "auf Grundlage des 95% Prognose intervals mit einer wahrscheinlicuteit von höchstens Entscheidungen mit Prognose intervallen: →Liegt ein Stichprobenergebnis H außerhalb des 95% - Prognose intervalls, So kann dieses Ergebrius auch zufällig aufgetreten sein. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines solenen Ereignisses ist allerdings sehr klein (≤ 5%). Daher wird es als Stochastisch unverträglich any dem 95% - Niveau mit der Trefferwahrscheinlichkeit p bezeichnet. z. B. 200-facher Monzwurf ↑P (X=X) 41 ? 904 -0,02- H=88 verträglich mitp=0,5 H= 116 unverträglich mit p=0,5 88 100 116 ل مبتسمت A. 1. Vektoren im Raum 1.2. →Ein Vektor mit drei Komponenten 9₁, 92, 93 ist ein spaltenweise = geschriebenes Zahlentripel *-(8) аз Der Vektor Of=² luißt Ortsvektor des Punktes A (anja₂jaz) az Geometrie Addition und Substraktion von Vektoren az Vervielfachen von Vektoren S-Multiplikation → Gegeben ist ein Vektor 7 und eine reele Zahl K. Es gilt: K-v=k-/v₁ →Zwei Vektoren werden komponentenweise addiert Substrahiert + = 2 2 B b₁ a2 00690 0006) b₂ b3 103-63/ 103 b3 und V2 V1 V₂ V3 K. V - 0₁ To K.V₂ Ik - V3. a+b V 7 te To bz - сз Mittelpunkt einer Strecke: → Gehören zu den Endpunkten A und B einer Strecke der Ortsvektor a und B, so hat der Strecken mittelpunkt M. den Ortsvektor: B = 2 ⋅m-a²³² Linearkombination: → Man nennt eine Summe von Vielfachen von Vektoren Linear. kombination dieser Vektoren Tal = m² = 1 ( 2² + b ) 2 Länge eines Vektors bestimmen: Vektoren 1 an az , аз = Ja² + a² 2 2 (~₂) - r. (1) + аз таз u= r.2 + s. b гал auf Parallelitat prüfen: → sind parallel, wenn es ein K gibt mit ů = K.J →Für zwei Vektoren - +S+ und ✓= b2 Kollineare Vektoren: Zwei Vektoren a und 1 sind kollinear, wenn 1 = 3.2 mit SER. Skalarprodukt von Vektoren un 62 uz (~21) heißt die Zahl U₁ V₁ + U₂ V₂ + Uz V3 das Skalarprodukt der beiden Vektoren u & v Orthogonalität von Vektoren: zwei Vektoren sind genau dann zueinander orthogonal, wenn 2. b=0 er fällt ist à Iba₁b₁ + a₂b₂ +azbz=0

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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