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Mathe LK Abitur 2022

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Definitionsmenge und Wertemenge Die Definitionsmenge einer Funktion f. enthält alle Elemente, für die Definition einer Funktion "Welcher werte darf ich für einsetzen" D: Definitionsmenge : ohne, außer außer R: Reelle Zahlen €: Element (): gehört nicht dazu []: gehört dazu Grundfunktionen 1- Grundlagen Granzrationalen Funktionen Form: f(x)= ant" + an-at- + ... • nennt man auch Polynome Der höchste Exponent nennt man Grad höchstens n Nullstellen • höchstens n-1 Extrem stellen höchsten n-2 Wendepunkte .a-Koeffizient G(N=√F f(x)-37 N - natürliche Zahlen • In ("0")-> -∞ positive, ganze Zahlen mit 0 Q-rationale Zahlen alle Brüche Wurzelfunktion • Form: f(x)/x™ (x20; ne Nj mz1, n 22 ; nk m) Nullstelle x =0 gemeinsame Punkte:(olo), (1/1) + aux^² + Qoto; neN (a)-05-2+1 Natürlicher Logarithmus • Form: f(x) = In (x) = log₂ (x) = f'(x) = = Logarithmus Gesetzen (a - b) = In (a) + In (b) In () = In (a)- In (b) In(a)= b. In (a) Merken: In (1) = 0; In (e) = 1, Inle') = x₁, c²²)=x nur für positive Werte definiert Nullstellen X = 1 Die Wertemenge einer einer Funktion f. bezeichnet die Menge aller Funktionswerte von f "Welche y-Werte werden von f erreicht" W: Wertemenge X Regeln: Inx"=n·Inx; Int= - = |nx nennt man auch Logarithmus Naturalis • Gleichungen nach y zu lösen bei e* e* = y - x - In -logey z - ganze Zahlen → alle ganzen Zahlen, auch negativ R-reelle Zahlen ➜alle Zahlen Gebrochen-rationale Funktion UG) • Form: f(x) = VES -Merken: Eine Funktion f(x) nennt man gebrochen rational, wenn ihre Funktionsterme der...

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Quotient zweier Polynome um v(x)und u(x) ist • eine Stelle X = a ist Nullstelle der Funktion f. falls g (a) = o und gleichzeitig h(a) o - v(a) - 0, ist X = a eine Definitionstücke von f v(a) = 0 und u(a) = 0 ⇒ eine hebbare Definitionslücke v(a) = 0 und u(a) # 0⇒ Definitionslücke X = a eine Polstelle von f kann asymptotisch verlaufen e-Funktion •Form:f(x) = c eulerschen Zahl e 2,71828.... es gilt: eso für alle Werte von f(x) = e*hat e* keine Nullstelle → x → gilt + gilt o geht durch (ol1) und (Ile) Regeln e***=c².cy=&c**Y = (c²) Potenzgesetze Gleiche Basis: ant"+...+ a₂x²+x+ box" ...+ b₂+² +bux + ao مه پر - * (*) arb → f'(x) = et = f(x) Unterschiedliche Basis • a"b" = (a - b)" *" :b" = = = (-)" Besondere Exponenten x²= √= x==√x 5 Negative Basis • gerader Exponent -negatives Vorzeichen weg ungeraden Exponent- negatives vorzeichen bleibt Exponentialfunktion Form: f(x) = a* Exponentialkurve oberhalb der X-Achse → X-Achse als Waagerechte Asymptote →→schneiden y-Achse bei (ol1) ⇒ aº1 Ly-Achsen abschnitt X = 1 Lkeine Nullstellen - Monotonie: o< a <1 → streng monoton fallend, a>1 → streng monoton steigend Trigonometrische Funktion Sinusfunktion f(x) = sin(x) → (¹(x) = cos(x) periodische Funktion L wiederholt sich nach 1 Periode (2) L schneidet y-Achse bei (olo). Punktsymmetrisch zum Ursprung Cosiunsfunktion f(x) = cos(x) → f'(x) = - Sin (x) L periodische Funktion (2) L schneidet y-Achse (ol1) Lachsensymmetrisch zum Ursprung Tangensfunktion f)=tan(i) = sin -> ('(4)= cos² sint) L periodische Funktion (2) Cos" (1) wiederholung in regelmäßigen Abstand a ⇒T L punktsymmetrisch zum Ursprung Der Grenzwertbegriff Verhalten im Unendlichen X-> ± 00 f sagt welche Richtung die Funktion geht also unterscheidet wie sich der y-Wert verhalt Lx immer größer oder kleiner wird Bsp: lim x²= + (y -Wert wird immer größer) (y - Wert wird immer großer) X²=+ **. (nähert sich der 1 an ) lim Definitionslücke tritt bei gebrochen rationalen Funktion meist auf Punkte einer Funktion die aus den Definitionsbereich ausgeschlossen sind L Funktion dort nicht definie hebbare Definitionslücke •Durch Kreuzung des Funktionsterms und damit erweiterter Definitionsbereich • Bedingung: f=> PH₂) = 0; Q(x₂) = 0 Buchterm gekürzt um x->keine Nullstelle der gekürzten Nenner funktion Potenz funktion 1. Form: f(x)= a.x" - 1. Fall: gerader, positiver Exponent -2. Fall: ungerader. positiver Exponent -3. Fall: gerader, negativer Exponent 4. Fall: ungerader, negativer Exponent Bogenmaß · area == b= Kreisbogenlänge r=Radius Polstellen • Funktionswerte verläuft in der Nähe gegen unendlich L. durch sie verläuft eine Gerade an die sich der Graph annähert Bedingung: f(x) Asymptote Polstelle bei x=3 L. Polstelle bei x. wenn gilt p(x-x) 0₁ 9 (x= xo) = 0 Asymptote • eine Gerade, die einer Funktion unbegrenzt annähert ⇒ nie erreicht • unterscheidet: senkrechte, waagerechten und schiefen Asymptoten • Senkrechte Asymptoten befindet sich an der Polstellen in einer Funktion L Funktionswerte gegen unendlich Wachstumsfunktion Form: f(t)=f(o) a** mit K-In (a) geben ist ein Bestand f(t) beschreibt einen Zeitpunkt t flo) ist der Anfangsbestand . Wachstumsfaktor a f((+1) Bestand vermehrt sich per Zeiteinheit um denselben Faktor K Wachstumskonstante Gleichung lösen Lösungsmöglichkeiten Äquivalenzumformung Substitution Verdopplungzeit Tv Tv = In (₂) In (2) In (0) LZunahme, wenn a> 1, bzw. K> o Exponentialgleichung nach ea**b umstellen und logarithmieren (a+b).carob=In(a) linearen Funktionen und Wurzel gleichung nach * umstellen Burchgleichungen die Gleichung erst mit größten Nennermultiplizieren, nach * auflösen trigonometrischen Funktionen: sin(x)=a<> x = sin" (a) ("RAD" rechnen → meist mehrere Lösungen Satz vom Nullprodukt 4x² + ax=> · (x +a)= 0 <-> x₁=0; x₂ = -a 2) Anwendung p-q formel für u₁² 3) Rücksubstitution Halbwertszeit t. In (2) P-q Formel Lbei quadratischen Gleichungen der Form ax²+bx+c=0 ₁₂-3√(2)²-9 t₁ = Schnittpunkte Abnahme, wenn o <a<1, bzw.. K<o biquadratischen Gleichungen der Form a + bx² + c = 0 1) Substitution: *² = u oder e² = U formel für U₁2 trigonometrischen Funktion der Form alcoe (4) )² + b· cos(x) + c =0 1) Substitution: cos(x)=u 2) Anwendung p-q 3) Rücksubstitution Berechnung von Nullstellen Y- Koordinate eines Schnittpunktes mit y -Achse immer null .x- Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der x-Achse nennt man Nullstelle • Nullstellen sind jene x-Werte, die einsetzt in die Funktion der Funktionswert Null liefern Berechnung: 1)Funktion gleich osetzen 2) Funktion nach X lösen ⇒ f(x) = 0 f(x)=2x = 01:2 trigonometrischen Funktion der Form sin(x-C) = 1) Substitution sin(n)-0 2) u x-c: Nullstellen der Sinusfunktion einsetzen 3) nach umstellen 4) prüfen, ob sich Lösung im vorgegebenen Intervall befinden Sinusfunktion: x=-2π₁ -π, 0, π, 2π, ... Lallgemein x-kit kez Kosinusfunktion: ↳ allgemein: x = (2k +1) KEZ Tangensfunktion: siehe Sinusfunktion 4 tau(t) = sin(x) wenn sin(0) - tan(x) = 0 y-Achsen Abschnitt Schnittpunkt des Funktiongraphen mit der y-Achse L. f(0) = yo L -> b als y-Achsen abschnitt y=mx+b-> Gleichungssystem lösen Gauß-Verfahren Lösen von linearen Gleichungssystem, durch verschiedene Umformung 1. Falls nötig. LGS sortieren 2. LGS auf Stufen form bringen durch Gleichung vertauschen - Gleichung-mit Zahlen multiplizieren - zwei Gleichungen addieren oder subtrahieren um eine Variable zu eliminieren 3. Löse die Gleichungen von unten nach oben Gleichsetzenverfahren zwei Gleichungen des System werden nach der selben Variablen umgestellt und gleichgesetzt Rechenweg: 1. nach gleicher Variable umstellen 2. gleichsetzen und lösen 3. Lösung in Gleichung einsetzen Geometrische Darstellung y=mx+c m= Steigung c= Schuttstelle mity-Achise 1. Gleichungssystem nach y Umstellen 2. nun die zweinlinearen Funktionen in einem Koordinatensystem einsetzen unendlich viele Lösungen die Geraden sind identisch - keine Lösung → Die Geraden verlaufen parallel Genaue Lösung → Die Geraden schneiden sich Koeffizientenmatrix • 2 dimensionale Zahlenschema 1) 3. Variable auf Koeffizient 1 bringen 2) 3. Spalte in Gleichung I und II eliminieren → 2. Variable auf Koeffizient 1 bringen 3) 2. Spalte in Gleichung I eliminieren →1. Vatabbe auf Koeffizient 1 bringen Bsp: Ix+y+z=1 Newtonsche Näherungsverfahren f: R → R Xn+A= xn- • hilft genau bestimmbare Nullstellen anzunahm L. Abteilung benötige clun f'(n) • Berechnung: *4= xo f'(xo) -> X2 = X4 - LX.erhält man durch die Mitte eines Intervalls Additionsverfahren • Die Gleichungen werden so ungeformt, dass durch gegenseitige Addition oder Subtraktion die Variablen dieser Gleichungen verschwinden -Rechenweg: Schritt 1: Gleichung Umformen Polydivision 1) dividieren 2) multiplizieren 3) subtrahieren - (5x +5x) f(x^) -> x3 2x -y +2=5 ⇒ A=1 4x +2y+32=4 Schritt 2: Gleichung von der Andern subtrahieren bzw. addieren, umstellen Schritt 3.1: Schritt 1+2 wiederholen bis nur noch eine Varible steht =[^² =A² (x-1) (+²³-6x² + 9x-4): (x-1) = x²³²-5x +4 -(x²-x²) + - 5x² + 9x Schritt 3.2. Gelöste Variable in Gleichung setzten und lösen Schritt 4: Lösungsmenge 4x -4 (4x-4) 111 2-1-1 423 L. Die Diagonalform zeigt die Lösungen aufschreiben Manipulation von Funktionen Verschiebung an der X Achse für bz 0 und den Graphen Geiner Funktion f gilt L. f(x+b)->Verschiebung nach links L fix-b) -> Verschiebung nach recht an der y-Achse für bz o und den Graphen Geeiner Funktion f gilt Lf(x) + b→ verschiebung nach oben L. f(x)-c→ verschiebung nach unten N₁ f(x)=x²+1 ((0) = 1² f(x)=x²-₁ Differentialrechnung Analysis (x+1)² You've Ja 3² f(x)=(-1)² Differenzquotiert 1. ist eine Grade die den Graphen in zwei Punkten schneidet gibt Steigung der Sekante mit: m= f(b)-f(a) b-a - mittlere Änderungsrate: m-4 (Höhe durch Länge) Spiegelung an der X- Achse f(x) -> -f(x) an der y-Achse f(x) = f(-x) am Ursprung f(x) -> -f(x) Ableitungsregel Konstante f(x) + f(x)=0 von * f(x)=x_> f'(x) = 1 Potenzregel f(x)=x"> fla)=n.xn-² Faktorenregel f(x)=c-g(x) = f'(x) = c. g'(x) Summenregel f(x) +(x) = f'(x) = g(x) + hile) Differenzregel g)- has → (²10) 9/ (1) - h'(0 Produktregel f(x) g) had -> file) = gin) has +94).hu) Kettenregel (() sh(+) = f'(x)=g" (hk) hitt Ay=f(b)-f(a), du: b-a ist der Grenzwert des Differenzenquotienten eines werdenden Intervall lokale Änderungsrate/ Tangentensteigung/ Ableitung 4 f'(x) = lim (f(n)-f(na) **0 Streckung und Stauchung y-Richtung K-f(x); K>1 → Streckung; k<1 →> Stauchung X-Richtung (m.x); m>1 → Stauchung: m< 1 → Streckung Symmetrie Achsensymmetrie zur y-Achse gerade Exponenten f(x) = f(-x) beliebige Achse x-h-> f(h-x) = f(h+x) Punktsymmetrie zum Ursprung Lungerade Exponenten f(-x) = -f(₂) beliebige Punkte P(alb) Ableitung der Grundfunktion f(x)=x">f'(x) = f(x)=√x ->f'() = ₂√ f(x) e->f'w-et f(x)-In(x) > f'(x) = 1 Tangentengleichung 1) f (x) ausrechnen LX Wert bei f (x) einsetzen → m →kein f' 0 2) y wert ausrechnen LX wert bei f(x)einsetzen 3) n- Wert berechnen X und y sowie m in y=mx+n nach n umstellen Tangenten Funktion ->y=mx+n f(a+x) = -(f(a-x) b) Steigung (m) →> f'(x) f(x) - y einsetzen Senkrechte Geraden / Normalengleichung - Normal als Gerade, die an dem Berührpunkt der Tangente senkrecht auf ihr steht 4 man = f'(xo) → mor="mian Normalenformel y(x) · (+- x0) + f(x) Gegenseitige Lage zweier Funktionsgraphen Schnittpunkt Voraussetzung: unterschiedliche Steigung 1) Funktion gleichsetzen 2) nach auflösen 3) X einsetzen um y zu bestimmen Kurvendiskussion Extrempunkt bestimmen 1) f (x) berechnen 2) f (x)=0 setzen 3) f(x) berechnen 4) Nullstellen in die 2. Ableitung 5) wenn f(x) #0 -> Extremstelle 6) x in f(x) einsetzen Lf¹¹(x) < →→ Hp L. f" (+) >0 ->Tp Grafische Ableitung Merken N N W E W N E W N E N- Nullstellen E- Extremstelle W-Wendestellen LF(x)→ Stammfunktion LF"(x) = f(x) Extrempunkt → Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel) Sattelpunkt → Berührungspunkt mit x-Achse Wendepunkte → Extremstelle Gesteigt oberhalb - Achse Gefällt → unterhalb + Achse Schnittwinkel wenn Schnittwinkel P(alf(a) ↳> x=ltan" (f'(a)) - tan " (g'(a)) | -1 · Steigung x-Achse: ∞ = tan ^ (m) Wendestelle bestimmen 1) 2.Ableitung und 3. Ableitung bestimmen 2) 2. Ableitung gleich o setzen 3) Werte in die 3. Ableitung einsetzen Wendestelle Unbestimmtes Integral . Gesamtheit aller Stammfunktionen LF(x)+c einer Funktion f(x) 4) f¹ (₂) 0 5) x in die Funktion f(x) für Wendepunkt Integralrechnung Stammfunktion . Integralrechnung (aufteilen) f (x) als gegebene Funktion Lf (k)→→ Ableitungsfunktion f(x) Schnittpunkt Y-Achse Nullstelle Grenzverhalten Berührpunkt wenn Funktionswerte an der Stelle gleich sind und sowie die Ableitungswerte L Integralfunktion | fam) = √ √ ² f4) dx = [FW)]" =|F(b)-F(a)) • bestimmtes Integral ist wenn Integrationgrenzen (Intervall) angeben sind L mit Integralfunktion lösen Yo = f(x) = g(xo) und f'(xo) = g(xo) Krümmung f" (4) 20 f"(x) >0 Monotonie f'w) 20 → monoton steigend f'so monoton fallende Extrempunkt (HP) Wendepunkt Nullstelle rechtsgekrümmt linksgekrümmt Rechenregel f(₁) = RFG) = R. x+c f(x)=x" -> Fkx) = 1 x +c ni ((x) = c²= → F(x) = c² += f(x) = In (x) > F(x) = -x+x· Inkx) +c f(x) = = = F(x)=\n(x) +C f(x)=tan(x) -> Fux) = -In (cos(x)) Ic f(x)=√x -> F(x) = 1 tc Grenzverhalten Extrempunkt (TP) Nullstelle X Flächenberechnung zwischen Graphen und x-Achse L. Nullstellen berechnen, diese als Grenzen einsetzen Lwenn Teile der bestimmenden Fläche unter der -Achse liegt, muss der Betrag der Fläche genommen werden Zwischen zwei sich schneiden den Graphen L. wenn f(x) = g(x): 1= 5° (fw) - g(x)) dx = (F(b)-G(b) F(a) - G (a) Integrationsregeln Potenzregel Faktorregel Summerregel ) (fl + g())) dr = f(x) dk + Sgh) dr Differenzregel ( (f(x) - g(e))) dr Sflr) dx - Sgwa. Lineare Substitutionsregel & flar + b) dr = £7 (ar+b) +C Konstantenregel (k)=k Fk)=√ K dr = kx+c Sx" dx = ²²² Jc.fk)dx= c.SfW) de Rotationskörper • Funktion f differenzbar über Intervall [a b], nicht negativ • Rotiert der Graph von f über [a b] um x-Asche → Rotationskörper mit Volumen (F(x)) dr G₁ L V =πT. Weiterführende Integrale 1) Formansatz ableiten 2)Koeffizienten vergleiche +c Formansatz • Produkten in einer ganzrationalen Funktion Funktionsgleichung f(x)= (ax + b).ekx f(x)= (ar²+bx+c). ekr Umkehr funktion f(x)=r 3)lineares Gleichungssystem 4)Lösung in Formansatz einsetzen Ax=A Formansatz F(x) = (artb) ex F(x) = (ax²+bx+c).ek* F²6₂) = [ax²³+ (2016) x +b+c] Der Begriff • Umkehrfunktionen ordnen X und y umgekehrt zu L Werte müssen vertauscht werde Bildung Funktion nach auflösen und Variable vertauschen · Bsp.: f(x)=2x->f"(x) =y=+* L. Kann als Spiegelung des Graphen an der Winkel halbierende interpretiert werde Ableitung: (f ¹)'(x) = ¹ Uneigentliche Integrale liegt vor wenn eine Voraussetzung für bestimmte Integrale nicht erfüllt • Unterschied. zw. um eigentliche Integral L. unbeschränkten Integrationsintervall L. unbeschränktem Integral I= [a; ∞[ Bsp. $²³x²ck = [-x*]* Berechnen: = -7³ - (-1³) 1) kritische Grenze durch Variabel ersetzen = -2-³ + 1 2)Integral in Abhängigkeiten von z berechnen 7+1 →lim / dr 3) Grenzwerte für z bestimmen sok = Integration durch Substitution Ziel komplizierter Integrant leichter umzuwandeln LX durch einen Term einsetzen Form: f (4 (x)) · u'(x) dx = f(u) du = F (ul)) -7 (100) = 1 FE Existenz • Jeden X muss min. ein gleiches y zugeordnet werden surijektiv können → • Jedem X kann nur max. ein y zugeordnet werden Jede waagerechte Gerade schneidet den Funktions graphen maximal einmal → injektiv Umkehr funktion existiert diese Bedingungen erfüllt werden (bijektiv, streng monoton steigend) Berechnen 1. Definitionsbereich der Funktion f bestimmen 2. Wertebereich der Funktion f bestimmen 3. Funktionsgleichung nach X umstellen 4. y und X vertauschen Extremwertprobleme L Prozesse optimieren (größtes/ kleinstes Volumen) 1. Hauptbedingung (was soll max. (min werden?) 2. Randbedingung (Text) → nach 1 Variablen lösen 3. Einsetzen auf Extremstellen untersuchen Steckbriefaufgaben Vorgehensweise 1. Grad der Funktion ermitteln L meist eine Bedingung mehr als Grad der Funktion 2. Überprüfen auf Symmetrie Lachsymmetrisch L. punktsymmetrisch 3. Bedingung aufstellen 4.allgemeine Funktion It Ableitungen) aufstellen 5. LGS aufstellen und lösen G. Funktionsgleichung überprüfen Wachstums-und Zerfallsprozesse Exponentielle Wachstumsprozesse proportionale Zunahme u. Abnahme zum vorhandenen Bestand kommt der prozentual gleich Anteil hinzu L Endwert Startwert Basis f(x) = A- (A> 1 →→ Wachstum, A<1 Zerfall) -A= Anfagsbestand, b= Wachstumsfaktor 6432-2 b-4 b=3 Anfangsbestand A Wachstumsfaktor b f(u)- 120- 80- Bedingungen ... geht durch den Punkt P(217) schneidet die y-Achse bei 5 ...schneidet die X-Achse bei 3 f(x) = - = -1/√x² + P(ulf(u)) Der Graph der Funktion... Beschränkte Wachstumsprozesse • Änderung proportional zu Differenz aus Bestand und Grenze ... geht durch den Ursprung ... hat an der Stelle x = 4 einen Extrempunkt ... hat einen Extrempunkt auf der y-Achse ... hat im Punkt T(113) einen Tiefpunkt (Hochpunkt) ... berührt die x-Achse an der Stelle X = 2 ... hat an der Stelle X = 1 einen Wendepunkt ... hat einen Wendepunkt auf der y-Achse ... hat im Punkt P(214) einen Sattelpunkt L proportional zu möglichen Restbestand L. f(x) (A-G).e DGL: FR (G-f(x)) + G G-Grenzwert von f: lim f(x) = G y = G als Asymptote von f ... hat an der Stelle x = 3 eine Tangente mit der Steigung 8 ... hat an der Stelle x = 4 eine waagerechte Tangente -30-e-0.51 +90 2 + 4,5 ... hat bei x = 2 eine Wendestelle, ihre Wendetangente hat die Steigung 4 Bedingung(en) f(2)=7 f(0) = 5 f(3) = 0 f(0) = 0 f'(4) = 0 (4)=0 7 (0)=0 f'(0)=0 f(1) = 3 - f(1) = 0 - f(2)=0 -0 f'(2)=0 CAS-0 f" (1) = 0 f" (0)=0 f(2)=4 f'(2) = 0 f" (2)=0 f(3) = 8 f'(4)=0 f" (2) = 0 f'(2)=4 Unbegrenzter Wachstumsprozess Wachstum: W(t) = N(x). e² L. DGL: 'It)= K - N(+) Zerfall: L. DGL: N(t) = N(0) - N'IE).-K.N(E) Ortskurve - Graph mit unterschiedlichen Funktionsgraphen eine Funktionenschar Bestimmung durch Berechnung der Koordinaten und nach x auflösen Vektoren Ortsvektor Vektoren→→ Verschiebung im Raum a parallel zur X-Achse =() verschiebt um b parallel zur y-Achse c parallel zur Z-Achse Durch einen Pfeil wenden Vektoren getrennt zeichnet L bei gleicher länge und gleicher Richtung ist es derselbe Vektor - lassen sich auch als Punkte im Koordinatensystem interpretieren L. Pfeile vom Ursprung zu P(a | b | c) so repräsentiert dieser OP- (2) den Vektor und den Punkt → - Ortsvektor Kollineare Vektoren 1. Vektoren und sind kollinear (also parallel) wenn bs mit SE R L nennt man linear unabhängig Differenz vektor Spitze minus Anfang AB= OB- OA- b-a Vektorprodukt ax B h = Kreuzprodubl Geraden ayx Geradengleichung •Punkt-Richtungsform gx²=²+ Lineare Algebra A AB ay. bz-az by az bx ax.bz ax. by by be 1(-2)-1(0) 1(4)- 5(-2) 5(0) 1 (4) mireR Stateveller Richtungs veldtor . Zwei-Punkt-Form durch A und B J: x=d+r. (6-) mitreR Shutzvektor Richtungs vektor 14 Jer axb¹a, axb¹b Rechnen mit Vektoren Länge: auch Betrag eines Vektor a = (4) |al = √²+ →>> Bsp: à= (→> | al= √5² + 3² +2² = √39 . Addition ax + bx a+b- (3) + (5) -(*) Punktprobe 1. Liegt ein Punkt P auf der Geraden? L. 1. Punkt für x einsetzen (OP) 2. Gleichungssystem aufstellen 3. Zeilenweise Parameterwert berechnen →immer-gleich Punkt liegt darauf (g: -+k. nach k Auflösen a+b · S-Multiplikation eine reale Zahl s wird mit jede komponete multipliziert s.a.s. () () = 星 Das Skalarprodukt aob=ax bx + ay by + Q₂ bz ist das Skalarprodukt von zwei Vektoren welches eine reelle Zahl ergibt Anwendung 1 Zwei Vektoren 30 und b# o sind (816) orthogonal (gojwenn dob-o 2 Winkel zwischen zwei Punkten: cosy• 181.16) do Lineare (un-) Abhängigkeit · zwei Vektoren linear abhängig, wenn der Nullvektor durch einen Linearkombination der Vektor erzeugen lässt Lwobei ke • oder e #0 - Lineare unabhängig Kein Vektor ist das vielfache vom anderen Lkein Vektor lasst sich durch eine Kombiation eines anderen Vektors erzeugen Spurpunkt Schnittpunkt mit Koordinaten ebene L min. 1 Koordinate ist null→ Parameter bereden, einsetzen Sxy →→→ z = 0. Sxzy-o. Syz - X=0 Lagebeziehungen Die Richtungsvektoren sind kollinear · 0= t- Parallel: Der Punkt p der Geraden g liegt nicht auf der Geraden j Identisch: Der Punkt P der Geraden g liegt auf der Geraden h. Schnittpunkt berechneten Parameterwert in die Geradengleichung einsetzen und ausrechnen Ebene Parameter form -Punkt-Richtunges from E: x=a+rûts.V mit 5. SER • Drei Punkt-Form durch AB und C E: air. (b-a) + 5.(2-a), risER Durch einen Punkt und zwei nicht Parallele Richtungsvektoren ist eine Ebene festgelegt Paramertform in Nomalenform L Stützvektor übernehmen Normalenvektor mit bestimmen E = 2²²² (²) + s ( ² ) + + ({}) P für Kreuzprodukt Richtungsvektoren: (0)×(6)=(CE)-(6) Koordinatenform • alle Punkte ( xlylz), die eine Gleichung der Form ax+by.cz-d genügen, liegen auf einer Ebene E mir n-der Ebene E Umwandelnder Darstellungsformen Parameterform in Koordinatenform (2) (a) 1-3) 17 (3) (1) 6 E: der II) Normalen form: E: [-(1)]- ( 1 ) = 0 smalen form: [P].20 I) x = 1 - 3r+ 15 + = +32 = II) Y = 1 + 1r - 353 3y 3 + 3r -95 12-3 II) x+3y= 4 2-3 2)x+ 3y +8₂-26 pist ein Punkt der Ebene ist Norma lenvektor. - 8 s Q+8·2·Z +1882--24 +88 Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear Schnittpunktansatz: 4 √²+r₁7 = 9+s: 7 · Schnittpunkt: Es gibt eine Lösung für rund s, sodass der Schnittpunkt ansatz erfüllt ist. • Windschief: Es gibt keine Lösung für rund s, so das der Ansatz nicht erfüllt ist Normalenform Normalenvektor L. ein Vektor, der orthogonal zu beiden Richtungedvektoren ist Normalform E-9). Normalvektor in Parameterform Lals Ortsvektor" / "Stützvektor" Lundmir Hilfe von und von LEbene ist durch Punkt a auf der Ebene und n festgelegt Lalle Punkte x für die - gilt liegen auf der Ebene bestimmen (jeweils zwei variablen ausdenken, dritte berechnen)-> darf nich Kollinear sein! Normalenform in Koordinatenform Ln an den Vorfaktor ablesen Leinem Punkt der Ebene bestimmen (2 Variablen ausdenken, dritte berechnen ¤ = [ ² - ( 1 )] · ( { ) = 0 - Normalen form Koordinaten form: ax₁ + bx₂ + c x3 = d Normalen vektor der Ebene a, b, c-> -> 5x₁ +4x₂ + 2x3 = d Um d zu bestimmen, Punkt der Ebene einsetzen! 5.1 +4.5+2·2= d -> d= 29 Koordinatenform: E= 5x₁+4x₂+2x3 = 29 Koordinatenform in Parameter E: 3x +y + 2z=6 A ( 2 1010)) IBC0 1610 CC0 1012 )) - (²) - (2²) - (7) (3) - ()--)) 3x +1+2+61-30-Y 28-6-3x-Y /12 2-3-158-0,57 x=r Y=S 2 = 3-1,5-0,55 Gegenseitliche Lage Lagebeziehung Gerade -Ebene Gerade liegt in Ebene L jeder Punkt der Gerade liegt in der Ebene → unenlich viele Schnittpunkte (für alle Parameter) . Gerade und Ebene schneiden sich L genau einen Schnittpunkt der Ebene und Gerade gemeinsam haben (für • Gerade und Ebene sind parallel genau einen Parameter) L besitzen kein gem eisarena (Schnitt-) Punkt → für keinen Parameter erfüllt auf der Ebene Parallel Lagebeziehungen Ebene-Ebene Ebenen sind identisch Jeder Punkt der Ebene ist ebenfalls auf der andere an → unendlich viele Schnittpunkte durch die Ebene keinen gemeinsam Schnittpunkt oder Schnittgerade Abstandsberechnung Punkt-Punkt L Abstand Länge des Verbindungsvektors dlA; B) = |ba| = √ (bu-ban)² + (b₂-ast (b₂-ast Punkt-Ebene -Abstand einen Punktes P (X lylz) zur Ebene E: x²=₁+they + n₂²z = a L> d (PE) - Imx+√₂-yang-2-al √ni² +₂²+1₂² Spurenpunkt List ein Schnittpunkt einer Geraden mit eine Koordinaten Ebene Ebenen schneiden sich L genau eine gemeisana Schnitt gerade-> alte Punkt die auf beiden Ebenen liegen enthält Ebenen sind parallel -> Bezeichnung S₁: Schnittpunkt X₂ X3 - Ebene S₂: Schnittpunkt X₁ X₂ - Ebene S Schnittpunkt X₁ X ₂ Ebene ->Berechnen: 1. Setze die jeweilig Koordinateder Geradengleichung g() + ^ (B²) Sn: Erste Zeile-0 S₂: zweite Zeile-o S dritte Zeile - o 2. nach X auflösen 3. Xin GeradenGleichung setzen → Ergebnis ist der Spurpunkt sle nedet Parallel Punkt-Gerade 1. Hilfsebene bestimmen mit einen Normalenvektor, der der Richtungsvektor der Geraden ist Lo Hin₁ x + m₂.yraziz = a Gerade-Gerade • Identisch/schneiden: Abstand ist null · parallel: Abstand eines beliebigen Punktes P auf der Gerden zur anderen Geraden windschief Identiek 2. xy.z durch Koordinaten des Punktes ersetzen um a zu erhalten L 1. Hilfsebene aus g und Richtungsvektor h→ Abstand Stützpunkt h-Ebene 2. orthogonalität Verbindungs Vektor→→ Parameter einsetzen 3. Schnittpunkt g und H berechnen 4. Abstand Punkt -Schnittpunkt berechnen Ebene-Ebene identisch/schneidend: Abstand null parallel: Abstand E und einen Punkt auf der Ebene F (Punkt -Ebene) Gerade-Ebene • schneidern/ drin liegend: Abstand ist null parallel: Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden zur Ebene (Punkt -Ebene) Winkelberechnungen Zwischen Geraden . Schnittwinkel -> Spitzerwinkel zwischen Richtungsvektoren (00<>900) 100 71 4) cos (oc) Tul Spiegelung Punkt an Punkt wenn P an S gespiegelt wird, so gilt für den Ortsvektor OP→: OB- OP+ 2.P³ Punkt an Gerade 1. Hilfsebene H senkrecht zu g:=tr 3. P an S spiegeln für Bildpunkt B = P + 2 PS = ( 1¹ ) + (1-²1)-(3) B(31/10) 9:* =(√) + √ ( ²³ ) (d=2 E: -2x - 2y + 2 = d 2. Schnittpunkts von g und E -2(5-2r)-2 (5-2x) + (4+r) = 2 => r = 2 → S(11116) Objekte die Schatten werfen verbinden (die durch die Eckpunkte in Richtung der Quelle verlaufen) 2. Schneide die Hilfsgraden mit der Ebene auf die die Schatten fallen Spiegelung an Ebene →1. Abstand P + E bestehen 2. Lotgrade: 3. Schnittpunkt mit Ebene bestimme →t verdoppeln Spiegelpunkt P Kugel zwischen Gerade-Ebene • Kompementärwinkel des spitzenwinkels der Ebene und der Geraden ↳ cos(x) > Kugelgleichung Kugel mit einen Mittelpunkt M/ mal mal m.) und Radius r hat die Gleichung Schattenpunkte | 1. Hilfsgerade aufstellen, welche die Lichtquelle Bsp.: L/1/214); P(21012) x-y-Ebene mit den Eckpunkt der 1. mit P(-1/1/2) in-al TÔI LỜI 2. →>> Punkt an Ebene 1. Hilfsgerade h, durch Punkt P( al-12/ 2), n als Richtungsvektor h:= (12) + × (6) 2. h mit Ebene E:x-y-5 schneiden für Schnittpunkt (9+r)-(-12-5) = 5 =) = 8 9₁² · (²) + (-2) g:* + < x-yEbene -> 2=0 Zwischen Ebenen E und F ist spitzer Winkel zwischen ihren Normalenvektoren I've frl → Cos (0) TRE-|| 3. P am Schnittpunkt spiegeln B₂³‚Ñ = ( 2² ) + 2. (1+²) {) 4-2r=0 =>=2 3- (2²) + ² (²12) - (²) 2 = Spiegelung an Gerade 9:1² = 3 + Lv ist Normalenvektor der Ebenen L. Vektorgleichung: K:1 - mor oder K: (3-√³)² = √² L. Koordinatengleichung:K: (x - m₁)² + (y -m₂)² + (z-m₂)² = r² E: (x² -P). ²-0 Schnittpunkt S von g. E bestehen h: x² =p+r+(5-8) ((11-412) Lage von Punkt und Kugel 1. Abstand d der Punkt zu Mittelpunkt M der Kugel berechnen 2. Vsl Abstand mit Radius r d> r. Punkt außerhalb der Kugel •d- r: Punkt an Kugel rund dkr: Punkt innerhalb der Kugel Lage von Kugel und Gerade Eine Gerade g in Raum kann Passante, Tangente oder Sekant einer geben Kugel seien L 1. Kugel und Gerade haben keinen gemeinsam Punkt ⇒ Passante 2. Kugel und Gerade haben genau eine gem ei sauren Punkt => Tangente 3. Kugel und Gerade haben genau zwei gemeinsame Punkt ⇒ Sekante •prüfen mithilfe der Geraden Koordinaten Lagen von Kugel und Ebene man ermittelt den Abstand d der Ebene E von Mittelpunkt M der Kugel K 1. d> r⇒ gibt keinen gemeinsamen Punkt, & Lotfußpunkt F kleinster Abstand zur Kugel 2. D= r⇒ genau einen gemeinsamen Punkt, ist Tangential Ebene 3. der schneidet die Ebene die Kugel ⇒ unendliche viele gemeinsame Punkte die einen Schnitt Kreis bilden Kreisgleichung · Form (x - ₁)² + Ly - m₂)² = μ² Wo befindt sich der Punkt? > (x-m₂)² + (y-m₂) >r² ⇒ Punkt außerhalb der Kreise ⇒ Punkt ↳ (8-mastly-² auf dem Kreis L1 (x-₁)² +ly-mj<5² genau → Punkt innerhalb Rechen Mit Matrizen 1. Addition →→Erträge auf den gleichen Position addieren A+ = B c (an an) + (bu biz = ant ben an+bez act bac ass + b₂e/ 2. S-Multiplikation jedes Element mit einer reellen Zahl multiplizieren 5 012 a1 ran r. ( ) ( ) asz azi r.az → Regeln: 1. A = 1 C·A= A·C (r+s)·A= S.A+r. A O. A = O (r.s). A = r. (s.A) r. (A+B)=√· A+r.B Ebene und Kugel schneiden sich nicht 161 Welche gerade liegt vor d> r⇒ Sekante (zwei Schnittpunkte). dr⇒ Tangente | ein Schnittpunkt). d<r⇒ Passante (keine Schnittpunkt) Matrizen Tangentialebene Ebene schneidet Kugel a44 042 943 az are a2s/ in einem Schnittkreis Schnitt einer Kugel mit einer Ebene, 3 Varianten Multiplikation zweier Matrizen bat bus bat 022 63₁ baz L Passante ambos auber tarybee Co Qubabes b₂c-Cas Bedingung Anzahl spalten (A) = Anzahl Zeilen (B) u. a buto but Our By Give AD but Inverse Matrizen • Ist A eine quadratische Matrix, so nennt man A die invers Matrix von A, wenn es gilt ↳ A・A ^^ = E=1²^· A (€: Einheitsmatrix (4) ₁ = A ·1 ↳ Esgilt: (A·B)² = B²₁. A²² → (0%) ode (190) Geraden u. Ebenschar Geradenschar Geraden, die im Stützvektor oder Richtungsvektor ein Parameter enthalten Geradenschar g(x) besteht aus unendlich vielen, parallelen Geraden, die senkrecht oder schräg über einander liegen in einer Ebene Geradenschar kam Geradenbückel bilden Ebenenschar • Punkt auf Ebenschar LP in Egeinsetzen • a rausbekomm, dann in Ebenengleichung einsetzen oder Normalgleichung: P für x einsetzen und nach a Auflösen Ebenenschar char schneidet Achse ↳ Bsp - Achse bei x=2 P/21010) Ebenenschar Schnittpunkt Gerade L. Richtigungsvektor der Gerade muss Vielfaches des Normalenvektors der Ebene sein Ra in Ebenengleichung Ebenenschar parallel zur Koordinatenachse - X-Achse ( 6 ) = 0 y-Achse (2) n = 0 = 0 - 7 - Achse (i) -b ها Ebenenschar parallel zur Geraden g R=0 ง 1 nach auflösen a = 1 = für a= 1/2 für kein a =^parallel a parallell 2 mit a-Ebenengleichung "Ebenenschar "parallel Normalenverktor bilden L Zahlen einsetzen → Vielfache voneinander zur einer an der Ebene"