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mit e n R und p ganzrational Eine Funktion heißt Exponentialfunktion (zur Basis b), wenn sie die Form aufweist, wobei b eine beliebige positive Konstante bezeichnet. Falls b=e ist, spricht man im Allgemeinen von ,,der“ e-Funktion. Bitte lasst euch nicht von diesem ,,e" verwirren. Es handelt sich hierbei um die eulersche Zahl - eine ganz normale Zahl e = 2,718281828459045235... Die Form der Exponentialfunktion erinnert uns an die des Potenzausdrucks, wobei hier die Rolle von Basis und Exponent vertauscht wird! Zur Lösung von e-Funktionen verwendet man in der Regel ihre Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus In. Ein nützlicher Zusammenhang ist eln(x) = xbzw.ln(ex) = x. Achtet auf die Logarithmengesetze! Es folgen einige Beispiele zum Lösen e- Funktionen: e²x. (x² − 2) = 0 - e2x = 0 V x² - 2 x² x₁ = √2 = 0| + 2 = 2√√ ^x₂ = -√2 Warum bringt e²x = 0 keine Lösung? Wenn man beide Seite logarithmiert folgt: In(2x) = ln(0). Da der natürliche Logarithmus aber für 0 nicht definiert ist (D = (0, ∞)), gibt es keine Lösung. 2.2 Ableitungsregeln Die Exponentialfunktion ableiten ist denkbar einfach. Die Ableitung der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst. Hört sich einfach an und ist auch einfach. f(x)=ex f'(x)=ex Komplizierter wird es erst, wenn der Exponent (das x) nicht mehr nur ein x ist sondern z.B.: 2x+4 oder ähnliches ist, also z.B.: f(x)=e2x+4. Dann hast du eine verkettete Funktion und du kannst das Ganze mit der Kettenregel ableiten. Julina Die Kettenregel ist für die Exponentialfunktion aber sehr einfach. Du schreibst einfach die Funktion nochmal hin und multiplizierst sie mit der Ableitung des Exponenten. Beispiel von oben: f(x)=e2x+4 f'(x)=e2x+4 • 2, denn 2 ist die Ableitung von 2x+4 f(x)=e2x+3 2x+3 abgeleitet ist 2, darum ist f'(x)=2 e2x+3 Mein Tipp: Wenn die Funktion nicht gerade exakt ex ist, leite den Exponenten ab und schreib ihn vor die Funktion. Dann bist du auf der sicheren Seite. Sollte die Ableitung tatsächlich mal „1“ sein, kannst du die ,,1" als Vorfaktor natürlich weglassen. 2.3 globale und lokale Eigenschaften Die allgemeine Exponentialfunktion Du kennst die normale Exponentialfunktion mit y=bx. -7 -6 -2 10- 9- 8- 7- 6- 5- 4- 3- M/GK 2- y 1 2 3 4 5 6 7 y = 2* -7 ● Durch die Verwendung von Parametern kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene exponentielle Wachstumsvorgänge zu beschreiben oder zu modellieren. Allgemein hat die Gleichung dann die Form: y=a.bx Der Parameter a wird auch Streckfaktor genannt, denn die Exponentialkurve der normalen Exponentialfunktion y=bx wird gestreckt a > 1 oder gestaucht 0 < a < 1. Ist a negativ, wird die Kurve zusätzlich an der x-Achse gespiegelt .Die Graphen der allgemeinen Exponentialfunktionenenthalten die Punkte 0 | a und 1 | b · a. Für a > Oist der kleinstmögliche Wertebereich W=]0;~[, für a < Oist W=]-~;0[. Die Graphen haben also keine Nullstellen. Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade y=0 ist die waagerechte Asymptote der Exponentialfunktion. Julina _y=2.3x y=3*-6 -5 -4 -3 y=2+1;5+2 y=21-5 -8 HS y=2+1;5 T -7 -6 -5 -4 -3 -2 8. 7- 6- 10 5- 4. N w f 3- 2. -2- -3- -4- -5- -6- -7- -8- 8- 7- 6- 160 5- 4. 3- O 1. y=-2.3* Verschiebung in y-Richtung (Beispiel unter Text) In der Funktionsgleichung y=a.bx+d bewirkt der Parameter deine Verschiebung des Funktionsgraphen der allgemeinen Exponentialfunktion_y=a·bx in y-Richtung. Für d > 0 erfolgt die Verschiebung nach oben, für d < 0 nach unten. Durch die Verschiebung ändert sich im Fall a > Oder Wertebereich W zu d; ∞. Die Asymptote wird verschoben nach y=d. Durch die Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu. 0 -1- y 2- 1 2 у 1 2 3 M/GK y= 3 4 1 NH 2 5 3* 4 5 6 7 Asymptote vonf 6 f mit f(x)=2.3x; g mit g(x)=1,5-3x; h mit h(x)=-2.3×; 7 8 mit f(x)=2.1.5×+2; G mit g(x)=2.1.5%; H mit h(x)=2.1.5×-2 Asymptote von h Verschiebung in x-Richtung (Beispiel unter Text) In der Funktionsgleichung y=a·bx+c bewirkt der Parameter c eine Verschiebung der Exponentialkurve_y=a·bx in x-Richtung. Für c> 0 erfolgt die Verschiebung nach links, für c < 0 nach rechts. Durch die Verschiebung ändert sich der Wertebereich W nicht.