Mathematik GK Abiturzusammenfassung

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p(x)*en*x mit e n R und p ganzrational Eine Funktion heißt Exponentialfunktion (zur Basis b), wenn sie die Form aufweist, wobei b eine beliebige positive Konstante bezeichnet. Falls b=e ist, spricht man im Allgemeinen von „der“ e-Funktion. Bitte lasst euch nicht von diesem ,,e" verwirren. Es handelt sich hierbei um die eulersche Zahl - eine ganz normale Zahl e = 2,718281828459045235... Die Form der Exponentialfunktion erinnert uns an die des Potenzausdrucks, wobei hier die Rolle von Basis und Exponent vertauscht wird! Zur Lösung von e-Funktionen verwendet man in der Regel ihre Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus In. Ein nützlicher Zusammenhang ist eln(x) = xbzw.ln(ex) = = X. Achtet auf die Logarithmengesetze! Es folgen einige Beispiele zum Lösen e- Funktionen: e²x. (x² − 2) = 0 - e2x = 0 V x² - 2 x² x₁ = √2 = 0| + 2 = 2√√ ^x₂ = -√2 Warum bringt e²x = 0 keine Lösung? Wenn man beide Seite logarithmiert folgt: In(2x) = ln(0). Da der natürliche Logarithmus aber für 0 nicht definiert ist (D = (0, ∞)), gibt es keine Lösung. 2.2 Ableitungsregeln Die Exponentialfunktion ableiten ist denkbar einfach. Die Ableitung der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst. Hört sich einfach an und ist auch einfach. f(x)=ex f'(x)=ex Komplizierter wird es erst, wenn der Exponent (das x) nicht mehr nur ein x ist sondern z.B.: 2x+4 oder ähnliches ist, also z.B.: f(x)=e2x+4. Dann hast du eine verkettete Funktion und du kannst das Ganze mit der Kettenregel ableiten. Julina Die Kettenregel ist für die Exponentialfunktion aber sehr einfach. Du schreibst einfach die Funktion nochmal hin und multiplizierst sie mit der Ableitung des Exponenten. Beispiel von oben: f(x)=e2x+4 f'(x)=e2x+4 • 2, denn 2 ist die Ableitung von 2x+4 f(x)=e2x+3 2x+3 abgeleitet ist 2, darum ist f'(x)=2 e2x+3 Mein Tipp: Wenn die Funktion nicht gerade exakt ex ist, leite den Exponenten ab und schreib ihn vor die Funktion. Dann bist du auf der sicheren Seite. Sollte die Ableitung tatsächlich mal „1“ sein, kannst du die ,,1" als Vorfaktor natürlich weglassen. 2.3 globale und lokale Eigenschaften Die allgemeine Exponentialfunktion Du kennst die normale Exponentialfunktion mit y=bx. -7 -6 -2 10- 9- 8- 7- 6- 10 5- 4- 3- M/GK 2- y 1 2 3 4 5 6 7 y = 2* -7 ● Durch die Verwendung von Parametern kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene exponentielle Wachstumsvorgänge zu beschreiben oder zu modellieren. Allgemein hat die Gleichung dann die Form: y=a.bx Der Parameter a wird auch Streckfaktor genannt, denn die Exponentialkurve der normalen Exponentialfunktion y=bx wird gestreckt a > 1 oder gestaucht 0 < a < 1. Ist a negativ, wird die Kurve zusätzlich an der x-Achse gespiegelt .Die Graphen der allgemeinen Exponentialfunktionenenthalten die Punkte 0 | a und 1 | b · a. Für a > Oist der kleinstmögliche Wertebereich W=]0;~[, für a < Oist W=]-~:0[. Die Graphen haben also keine Nullstellen. Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade y=0 ist die waagerechte Asymptote der Exponentialfunktion. Julina _y=2.3x y=3*-6 -5 -4 -3 y=2+1;5+2 y=21-5 -8 HS y=2+1;5 T -7 -6 -5 -4 -3 -2 8. 7- 6- 16 5- 4. N w f 3- 2. -2- -3- -4- -5- -6- -7- -8- 8- 7- 6- 160 5- 4. 3- O 1. y=-2.3* Verschiebung in y-Richtung (Beispiel unter Text) In der Funktionsgleichung y=a.bx+d bewirkt der Parameter deine Verschiebung des Funktionsgraphen der allgemeinen Exponentialfunktion_y=a·bx in y-Richtung. Für d > 0 erfolgt die Verschiebung nach oben, für d < 0 nach unten. Durch die Verschiebung ändert sich im Fall a > Oder Wertebereich W zu d; ∞. Die Asymptote wird verschoben nach y=d. Durch die Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu. 0 -1- y 2- 1 2 у 1 2 3 M/GK y= 3 4 1 NH 2 5 3* 4 5 6 7 Asymptote vonf 6 f mit f(x)=2.3x; g mit g(x)=1,5-3x; h mit h(x)=-2.3x; 7 8 mit f(x)=2.1.5×+2; G mit g(x)=2.1.5%; H mit h(x)=2.1.5×—2 Asymptote von h Verschiebung in x-Richtung (Beispiel unter Text) In der Funktionsgleichung y=a·bx+c bewirkt der Parameter c eine Verschiebung der Exponentialkurve_y=a·bx in x-Richtung. Für c> 0 erfolgt die Verschiebung nach links, für c < 0 nach rechts. Durch die Verschiebung ändert sich der Wertebereich W nicht. Julina y=2-1,5 -7 y= 2.1,5*+ -m -6 -5 -4 -3 -2 -1 8. 7 6- 5- 3- 2 1 -1 0 -2- Y M/GK y=2-1,5x-2 1 T 2 3 4 5 6 7 8 F mit f(x)=2.1.5x+2; g mit g(x)=2.1.5%; h mit h(x)=2.1.5x-2 Funktionen der Form y=a.bx+c sind auch allgemeine Exponentialfunktionen, denn eine Verschiebung in x-Richtung kann auch als Streckung oder Stauchung beschrieben werden. Für y=a.bx mit b > 1entspricht die Verschiebung um c Einheiten nach links einer Streckung mit dem Faktor bc, denn a·bx+c=a.bx.bc. Die Verschiebung um cEinheiten nach rechts entspricht einer Stauchung mit dem Faktor (1/b)c, denn a·bx-c=a.bx.b¯c=a·bx.(1/b)c. Die Verschiebung der Exponentialkurve y=2× um 3 Einheiten nach links entspricht einer Streckung mit dem Faktor 8. y=2x+3=8.2x 2.4 bestimmte Integrale mittels GTR/CAS (x+3)dx - einfach GTR starten (im Casio fx-CG 20)- auf Menue- 1 - options - F4(calc) - F4 und dann alles eingeben und Enter. Mit f→d kann Bruch zu Dezimalzahl geändert werden! 3. Ökonomische Anwendungen 3.1 Eigenschaften ertragsgesetzlicher Kostenfunktionen Grundlegendes Kostenfunktion Die Kostenfunktion beschreibt den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und den dafür anfallenden Kosten. Sie gibt also an, wie viel es in Summe kostet x-Stück zu produzieren. Die Gesamtkosten setzen sich aus den Fixkosten und den variablen Kosten zusammen. K(x)=Kf+Kv(x) Fixkosten Fixkosten sind Kosten die auch dann anfallen, wenn nicht produziert wird. Sie sind von der Höhe der Erzeugung unabhängig. Kfix=K(0)>0 Julina Variable Kosten Variable Kosten sind Kosten, die von der produzierten Mengeneinheit abhängen. K'(x)>0 daraus folgert, dass die Kosten streng monoton steigen. Deckungsbeitrag Der Deckungsbeitrag sind jene Einnahmen, die nach Abzug der variablen Kosten von den Verkaufsnettoerlösen übrig bleiben. Der Deckungsbeitrag gibt an, wie viel ein verkauftes Stück zur Deckung der Fixkosten beiträgt. Ist der Deckungsbeitrag negativ, dann verliert das Unternehmen Geld bei jedem zusätzlich verkauften Stück. D(x)=E(x)-Kv(x) M/GK Der Deckungsbeitrag ist der Beitrag der Erlöse zur Deckung der Fixkosten. Der Deckungsbeitrag ist Null, wenn man durch die Erlöse nur mehr die variablen Kosten decken kann, aber kein Beitrag zur Deckung der Fixkosten überbleibt. Erwirtschaftet ein Geschäft keinen Deckungsbeitrag, macht es wirtschaftlich keinen ursächlichen Sinn mehr, das Geschäft weiter zu betreiben. Lineare Kostenfunktion Die einfachste Modellierung ist jene mit einer linearen Kostenfunktion. Die lineare Kostenfunktion ist streng monoton steigend und hat keine Extremstellen. K(x)=kx+d Fixkosten einer linearen Kostenfunktion: Kf=K(0)=d variable Kosten einer linearen Kostenfunktion: Kv(x)=K(x)-K(0)=(kx+d)−(d)=kx Ertragsgesetzliche Kostenfunktion In der Praxis verläuft die Kostenfunktion gemäß einer Funktion 3. Grades. Die ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist streng monoton steigend, hat keine Extremstellen aber einen Wendepunkt, den man Kostenkehre nennt. K(x)=a.x3+b.x2+c.x+d ● Für die Koeffizienten einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion gilt (ohne Herleitung) a>0 weil für x→∞ strebt K(x)→→ 48 b<0 genauer: b=-3axKK c≥0 bzw. c≥b2-3a d20 Dies entspricht den Fixkosten und diese sind zumindest Null oder höher. d hat keinen Einfluss auf den Verlauf vom Graph der Funktion, sondern verschiebt diesen nur entlang der y-Achse. Xkk=-b3/a muss für die produzierte Menge an der Kostenkehre gelten Degressiver Kostenverlauf Bis zum Wendepunkt der Kostenfunktion (Kostenkehre) verläuft diese degressiv (Wegfall von Stillstandszeiten, Output steigt bei zunehmenden Arbeitseinsatz ...) K''(x) <0: Erhöht sich die Stückzahl um n%, so stiegen die Kosten um weniger als n%. Julina Progressiver Kostenverlauf Ab dem Wendepunkt der Kostenfunktion (Kostenkehre) verläuft diese progressiv (zu viele Arbeitskräfte behindern sich gegenseitig, Mangel an Facharbeitern, es wird zunehmend teurer, eine Mengeneinheit zu produzieren) K"(x)>0: Erhöht sich die Stückzahl um n%, so stiegen die Kosten um mehr als n%. In der betrieblichen Praxis kennt man die Kostenfunktion mitunter nicht. Aus der innerbetrieblichen Kostenrechnung kann man aber für bestimmte Produktionsmengen die zugehörigen Gesamtkosten erhalten ● diese in eine Punktwolke einzeichnen um dann mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate M/GK die ertragsgesetzliche Kostenfunktion bilden. Weitere Definitionen Kostenkehre Die Kostenkehre ist der Wendepunkt der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion (an der Stelle XKK) Ausgaben Ausgaben sind Abgänge an Zahlungsmittel in einer Abrechnungsperiode. Ein Gut welches ins Lager kommt, verursacht Ausgaben, aber keine Aufwendungen. Aufwendungen Aufwendungen sind der Geldwert aller verbrauchten Güter und der in Anspruch genommener Dienstleistungen in einer Abrechnungsperiode. Ein Gut, welches aus dem Lager genommen und verbraucht wird, ist eine Aufwendung, aber keine Ausgabe. Kosten Kosten sind Aufwendungen, die auf den eigentlichen Betriebszweck bezogen in der betrachteten Periode anfallen und nicht außerordentlich sind. Unternehmerlohn, Abschreibungen oder Mieten stellen zwar (kalkulatorische) Kosten, aber keine Aufwendungen dar. Stückkosten einer linearen Kostenfunktion Die Stückkosten sind die Produktionskosten einer Mengeneinheit. Man unterscheidet zwischen den ● durchschnittlichen Stückkosten, sinken bei höherer Produktion marginalen Stückkosten, konstant weil unabhängig von der Höhe der Produktion Durchschnittliche Stückkosten Die durchschnittlichen Stückkosten geben die Kosten für die Produktion von einer beliebigen Mengeneinheit an. Auch wenn die Kostenfunktion selbst linear ist, handelt es sich bei den durchschnittlichen Stückkosten um keine lineare Funktion, weil der Anteil der Fixkosten d mit der wachsenden Mengen x gemäß d/x immer kleiner wird. Julina K(x)=K(x)/x=k+x+d/x=k+d/x Marginale Stückkosten (Grenzkosten) Die marginalen Stückkosten geben die Mehrkosten für eine zusätzliche Mengeneinheit an. Die Grenzkosten sagen, um wie viel sich die Kosten erhöhen, wenn man noch zusätzlich eine (unendlich kleine ‡ 1 Stk) Mengeneinheit produziert, unabhängig davon wie viel man bereits produziert hat. K(x+1)-K(x)=[k·(x+1)+d]−[(kx+d)]=k M/GK In der Praxis ist der Verlauf der marginalen Kosten meist nicht konstant. Man erhält sie auf jeden Fall durch einmaliges Ableiten der Stückkostenfunktion. K'(x)=dK(x)/dx=(k•x+d)'=k Langfristige Preisuntergrenze Die langfristige Preisuntergrenze liegt dort wo die Stückkosten minimal sind. Es handelt sich dabei um das Betriebsoptimum Xopt. Verkauft ein Unternehmen zu einem Preis, welcher den Stückkosten im Betriebsoptimum entspricht, so deckt es seine Fixkosten und seine variablen Kosten. Wird ein höherer Preis als die langfristige Preisuntergrenze erwirtschaftet, so macht das Unternehmen Gewinn. Kurzfristige (absolute) Preisuntergrenze Die kurzfristige Preisuntergrenze entspricht den Stückkosten im Betriebsminimum Xmin. Verkauft ein Unternehmen zu einem Preis, welcher den Stückkosten im Betriebsminimum entspricht, so deckt es seine Fixkosten nicht und das Unternehmen macht Verluste. Die Verluste sind gleich hoch, als ob das Unternehmen gar nichts produzieren würde. Das macht nur Sinn, um kurzfristig Marktanteile zu halten. Wird hingegen ein höherer Preis als die kurzfristige Preisuntergrenze erwirtschaftet, so entsteht ein Deckungsbeitrag für die Fixkosten. 3.2 Modell der vollständigen Konkurrenz Das Modell basiert im Wesentlichen auf folgenden Annahmen: Es gibt im Verhältnis zur Marktgröße viele kleine Anbieter, die vielen Nachfragern gegenüberstehen (atomistische Marktstruktur[3], Polypol) Es werden homogene Güter angeboten. Erweiternd werden oft noch weitere Annahmen bzw. Charakteristika genannt: Auf dem Markt gibt es keine Markteintrittsbarrieren. Alle Akteure verfügen über vollständige Informationen. Alle Marktteilnehmer reagieren unendlich schnell auf Veränderungen. ● ● Monopol Ein monopolistischer Markt ist das extreme Gegenteil eines Marktes mit vollständiger Konkurrenz. Dieser Markt ist charakterisiert durch einen Anbieter (dem Monopolisten), einzigartigen Gütern und hohen Markteintrittsbarrieren. Unvollständige Konkurrenz Diese Marktformen sind zwischen einem monopolistischen und einem Markt mit vollständiger Konkurrenz anzusiedeln. Julina ● In einem Oligopol können sowohl homogene als auch heterogene Güter von einer kleinen Zahl von Anbietern, welche über eine beschränkte Marktmacht verfügen, angeboten werden. Auf diesem Markt gibt es Markteintrittsbarrieren, allerdings nicht in einer so hohen Ausprägung wie auf einem monopolistischen Markt. Auf einem Markt monopolistischer Konkurrenz werden heterogene Güter (unvollkommene Substitute) von vielen Anbietern mit Marktmacht angeboten. Wie bei vollständiger Konkurrenz gibt es keine Markteintrittsbarrieren. M/GK Betriebsoptimum Das Betriebsoptimum ist zugleich die langfristige Preisuntergrenze. Es liegt bei jener Produktionsmenge x, bei der die Stückkosten minimal sind. Konstruiert wird das Betriebsoptimum als Tangente aus (010) an die ertragsgesetzliche Kostenfunktion. Das Betriebsoptimum errechnet sich durch Nullsetzen der 1. Ableitung der Stückkostenfunktion. Es ist das Minimum der durchschnittlichen Kosten. Das Betriebsoptimum ist in der Regel nicht ident mit dem Gewinnmaximum. K(x)=K(x)/x K'(Xopt)=0 Betriebsminimum Das Betriebsminimum ist zugleich die kurzfristige Preisuntergrenze. Es liegt bei jener Produktionsmenge x, bei der die variablen Kosten minimal sind. Konstruiert wird das Betriebsminimum als Tangente aus (0 | Fixkosten) bzw. (0] d) an die ertragsgesetzliche Kostenfunktion. Rechnerisch bestimmt man Xmin durch Ableiten und Nullsetzen des variablen Anteils von der Stückkostenfunktion. Kvx)=Kv(x)/x Ki (Xmin)=0 Fassen wir noch einmal zusammen: Das Betriebsoptimum berechnet sich über die durchschnittlichen Stückkosten und gibt an zu welchem Preis wir die Waren verkaufen müssten um weder Gewinn noch Verlust zu machen. Es handelt sich hierbei um die langfristige Preisuntergrenze. Das Betriebsminimum wiederum lässt sich über die durchschnittlichen variablen Stückkosten berechnen und vernachlässigt kurzfristig die fixen Kosten. 3.3 Konsumentenrente Konsumentenrente handelt es sich um den Vorteil, den der Konsument erzielt, weil er für ein Produkt weniger zahlen muss als er bereit wäre dafür auszugeben. Wir betrachten also die Nachfrage. Wenn also ein Kunde des Start- Ups nur 2€ für die Flaschen zahlen muss, aber eigentlich auch bereit wäre 3€ dafür auszugeben, dann hätte er eine Konsumentenrente von 1€ erzielt. Also genau die Differenz zwischen dem tatsächlichen Preis und der Höhe der Zahlungsbereitschaft. Die Zahlungsbereitschaft des Käufers ist also höher als der eigentliche Preis. Die Dreiecksformel bzw. die Konsumentenrente Formel hilft dir bei der Berechnung. Die Konsumentenrente Formel lautet: Konsumentenrente = (Reservationspreis-Marktpreis) * Menge 2 Julina M/GK 3.4 Absatzentwicklung - Die Funktion a mit a(t) = (0, 1 t − 0, 5) · e¯0, 1t+3 beschreibt den monatlichen Absatz eines Produkts in ME/Monat zum Zeitpunkt t (t=vergangene Zeit in Monaten). a) Leite a ab (geht schriftlich mit Produktregel und Kettenregel) a´(t) = 0,1 ·e -0,1 †+3 + (0,1 † - 0,5) ·(-0,1) e -0,1 t+3 = 0,1 ·e -0,1 ++3 + (-0,01 † + 0,05) ∙e -0,1 †+3 = (-0, 01 t + 0, 15) · e-0.1t+3 b) Gib eine sinnvolle Definitionsmenge an: Rechnung schriftlich: (0, 1 t - 0, 5) · e−0,1 t+3 ≥ 0 ⇒ 0, 1 t - 0, 5 ≥ 0 ⇒ 0, 1 t≥-0,5 ⇒ t≥ 5, c) Wann ist der maximale monatliche Absatz erreicht? notwendige Bedingung: a' (t) = 0 (-0,01 t + 0,15) e -0,1 ++3 = 0 -0,01 +0,15 = 0 -0,01 t = -0,15 ⇒ t = 15 (hinreichende Bedingung: a' (t) = 0 ^ a´´ ( † ) < 0). A.: Der monatliche Absatz ist nach 15 Monaten maximal. d) Wann fällt der monatliche Absatz stärker: nach 22 Monaten oder nach 40 Monaten? Rechnerisch einsetzen a´(22) und a´(40) und lösen. 3.5 Preisdifferenzierung Eine mögliche Preisdifferenzierung Definition lautet: Die Preisdifferenzierung ist ein Instrument der Preispolitik, bei der unterschiedliche Preise für identische Sach- und Dienstleistungen verlangt werden. Dadurch kann der Anbieter die maximale Zahlungsbereitschaft seiner Kunden abschöpfen. Die Anbieter legen hierbei keinen einheitlichen Verkaufspreis für ihre Sach- und Dienstleistungen fest. Zwar kann das Produkt an sich keine nennenswerten Qualitätsunterschiede vorweisen, doch die Preise steigen oder sinken je nach Konsument bzw. Situation. Kurz gesagt: Die Preise werden so gestaltet, dass viele Kunden ihr größtmögliches Budget ausgeben, das sie bereit sind zu zahlen. Das Ziel ist es, den Gesamtgewinn für das Unternehmen zu maximieren. Die Preisdifferenzierungsstrategie ist ein beliebtes Mittel der Preispolitik des Marketing Mix. Bei der Preisdifferenzierung unterscheiden wir zwischen verschiedenen Arten: räumliche, zeitliche, sachliche, personelle Preisdifferenzierung und Preisdifferenzierung nach der Menge. Anbieter können also unterschiedliche Strategien verfolgen: Räumliche Preisdifferenzierung Ein gängiges Produkt im Inland wird im Ausland zu einem höheren Preis verkauft, z.B. kostet deutsches Bier in Südkorea deutlich mehr als im Heimatland. Julina Zeitliche Preisdifferenzierung Sachliche Preisdifferenzierung Personelle Preisdifferenzierung Preisdifferenzierung nach Menge ● ● ● ● M/GK Benzinpreise sind nicht überall gleich hoch. Hat eine Tankstelle im unmittelbaren Umkreis keine ● Konkurrenz, kann sie höhere Preise verlangen. Die Kunden haben keinen einfachen Zugang zu anderen Tankstellen und werden kaum 70km zu einem anderen Anbieter fahren, um ihr Auto zu tanken. ● Zudem unterscheiden sich Benzinpreise, je nachdem ob man sich auf dem Land oder auf der Autobahn befindet. In der Happy Hour bieten Bars ihre Getränke zu günstigeren Preisen an. Der Preis für Benzin oder sonstige Kraftstoffe variiert je nach Tageszeit bei derselben Tankstelle. Reiseportale bieten Last-Minute-Angebote an und im Sommerschlussverkauf lassen sich günstige Schnäppchen ergattern. Unterschiedliche Stromtarife für den industriellen, gewerblichen oder Haushaltsgebrauch. Genussmittel Studentenrabatt für eine Fitnessstudio-Mitgliedschaft Schüler zahlen weniger im Kino ● Stammkunden mit einer Kundenkarte erhalten Die Unterscheidung zwischen Alkohol für Reinigungs- und Desinfektionszwecke und Alkohol als Rabatte Verschiedene Rentner- und Familienpreise ● Mengenrabatte ● Kauf 3 zahl 2 Stufung der Preise je nach Menge bei mengenabhängigen Staffelpreisen Sonstige Preisdifferenzierung Bei der verdeckten Differenzierung liegen aufgrund verschiedener Nachfragetypen uneinheitliche Preise vor. Man versucht, Produktionsunterschiede vorzutäuschen. Beispielsweise wird das gleiche Waschpulver beim Discounter unter einer ,,No-Name-Marke" billiger angeboten als unter einem bekannten Markennamen. Eine weitere Art ist die sogenannte leistungsbezogene Preisdifferenzierung. Hier variieren die gesetzten Preise je nach den Bedürfnissen des Kunden. Ein 1.Klasse Bahnticket kostet z.B. deutlich mehr als eines der 2. Klasse, obwohl die Produkte sehr ähnlich sind. Wie du siehst, bieten Unternehmen in diesem Fall keine komplett identischen Produkte an, weswegen diese Form streng genommen nicht unter die enge Definition fällt. Allerdings wird sie trotzdem häufig in diesem Kontext genannt und speziell in der Marketing Praxis angewendet. Julina Stochastik 1. Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit 1.1 Vierfeldertafel und Baumdiagramm Bsp.: Liegt bei einer Person eine Glutenunverträglichkeit vor, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% positiv. Liegt bei einer Person keine Glutenunverträglichkeit vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis trotz dessen positiv ist, 4%. Bei einer Person, zufällig ausgewählt in Deutschland wird der Test durchgeführt. Baumdiagramm: G-Glutenunverträglichkeit liegt vor; Nicht G=Glutenunverträglichkeit liegt nicht vor positiv negativ positiv 0,01 0,99 10 M Nicht M G 0,98 0,02 0,04 M/GK 0,96 Vierfeldertafel: Von 50 befragten Personen fahren 13 regelmäßig mit dem Rad und 30 sind männlich. Außerdem fahren 21 Männer nicht regelmäßig mit dem Rad. R=Radfahrer = M= männlich R 0,18 0,08 0,26 negativ 2. Zufallsgrößen 2.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung Nicht R 0,42 0,32 0,74 0,6 0,4 1 Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine mathematische Funktion, bei der jedem möglichen Wert eines Zufallsexperiments eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Hierbei werden auf der x-Achse die verschiedenen Ausprägungen der Zufallsvariable und auf der y-Achse die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten abgetragen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt dir Auskunft darüber, wie wahrscheinlich bestimmte Ausprägungen oder Gruppen von Ausprägungen einer Zufallsvariable sind. Man unterscheidet bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen zwischen der Dichte- und der Verteilungsfunktion. Die Dichtefunktion einer Zufallsvariable zeigt die Wahrscheinlichkeit einzelner Ergebnisse des Zufallsexperiments. Bei der Verteilungsfunktion werden hingegen die Wahrscheinlichkeiten bis zu einer bestimmten Ausprägung aufaddiert und die Summe der Wahrscheinlichkeiten dargestellt. Julina M/GK Die Dichte- und die Verteilungsfunktion sehen unterschiedlich aus, je nachdem, ob es sich um eine diskrete oder eine stetige Zufallsvariable handelt. Bei diskreten Zufallsvariablen wird die Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt. Insgesamt unterscheiden wir bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung also vier Fälle: Diskrete Zufallsvariable: Wahrscheinlichkeitsfunktion Um zu verstehen was eine Dichtefunktion aussagt, ist es einfacher mit diskreten Zufallsvariable zu beginnen und dann zum stetigen Fall überzugehen. Um die Dichte von diskreten Zufallsvariablen zu bestimmen, betrachten wir zunächst die Zufallsvariable X. Man ordnet nun einfach jedem möglichen Ergebnis x eine Wahrscheinlichkeit zu. Betrachtet man die Wahrscheinlichkeiten bei einem Würfelwurf, so ist jede Augensumme gleich wahrscheinlich. In unserem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis 1/6, wir können also schreiben: f(x) = 1, falls = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Als Graph würde das so aussehen: x f(x) = 1, falls x € {1,2,3,4,5,6} f(x) 6 1 2 3 4 5 6 Daraus kann man ganz einfach die Werte für jedes Ereignis des Zufallsexperiment ablesen. Diese einfache Veranschaulichung der Dichte verrät dir aber nicht nur die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ergebnisse, sondern hilft dir auch bei der Berechnung, mit welcher Wahrscheinlichkeit beispielsweise eine gerade Zahl gewürfelt wird. Dazu summiert man einfach die Werte aller geradzahligen Ergebnisse auf. P(XE{2,4,6}) = P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)= 0,5 Du solltest dir jedoch merken, dass zwei wichtige Kriterien erfüllt sein müssen, damit von ,,der Dichte" im diskreten Fall die Rede sein kann. Die Wahrscheinlichkeit für ein mögliches Ergebnis darf niemals kleiner als Null sein. Folglich muss gelten: f(x)≥0 für alle xER. In unserem Beispiel handelt es sich um eine diskrete Gleichverteilung, da alle möglichen Ergebnisse gleich Julina M/GK wahrscheinlich und alle restlichen reellen Zahlen gleich Null sind. Allgemein ist es aber nicht zwingend notwendig, dass die möglichen Ergebnisse x dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Wichtig ist nur, dass die Summe aller einzelnen Wahrscheinlichkeitswerte 1 ergibt. Das ist ja auch nur logisch, da das Ergebnis bei einem Würfel Wurf zwingender Weiße eine Zahl zwischen 1 und 6 ist und man somit zu 100% entweder eine 1,2,3,4,5 oder 6 würfelt. Die Wahrscheinlichkeit eine 7 oder eine andere reelle Zahl zu würfeln ist dabei immer 0. Diskrete Zufallsvariable: Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ergebnis des Zufallsexperiments kleiner oder gleich eines bestimmten Wertes ist. Dafür werden alle Ergebnisse bis zu diesem Wert aggregiert, also „aufaddiert". Deshalb spricht man auch oft von einer kumulativen Verteilungsfunktion. Allgemein wird die Verteilungsfunktion mathematisch mit P(X≤x) dargestellt und mit F(x) abgekürzt. Klein x ist dabei der Wert, bis zu dem aggregiert wird. Um eine konkrete Verteilungsfunktion bestimmen zu können, muss man als erstes klären, ob es sich um diskrete Zufallsvariablen oder stetige Zufallsvariablen handelt. Dazu betrachtet man die möglichen Ergebnisse und deren Dichte. Liegen uns stetige Zufallsvariablen vor, so wird anhand dieser die Dichtefunktion bestimmt. Bei diskreten Zufallsvariablen hingegen, ermittelt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Im diskreten Fall wird so die Wahrscheinlichkeit für ein ganz konkretes Ergebnis angegeben. Wahrscheinlichkeitsfunktion: P(X=x) = ,,Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis/ Intervall dem Wert x entspricht" Mit der Dichtefunktion im stetigen Fall lassen sich keine konkreten Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Diese gibt lediglich die Dichte, also die Verteilung innerhalb des Intervalls an. Um die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Abschnitt des Intervalls zu bestimmen, benötigt man die Verteilungsfunktion. Die kumulative Verteilungsfunktion dagegen gibt also an, mit welcher Wahrscheinlichkeit alle Werte bis zu einem bestimmten Punkt eintreten können. Also zum Beispiel mit welcher Wahrscheinlichkeit du eine Zahl würfelst, die kleiner oder gleich 5 ist. Verteilungsfunktion: P(X≤x) ^ „Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis X kleiner gleich dem Wert x ist" Der Unterschied zwischen Dichte und Verteilungsfunktion liegt also darin, dass die Dichte aussagt, wie die Wahrscheinlichkeiten konkret verteilt sind und die Verteilungsfunktion in einem weiteren Schritt das Integral über alle diese Wahrscheinlichkeiten bildet. Wenn du also die Dichte deiner Zufallsvariablen kennst, kannst du auch ganz einfach die Verteilungsfunktion bestimmen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten P(X=x) von diskreten Variablen sind wie gesagt durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben. Um die diskrete Verteilungsfunktion zu erhalten, werden schrittweise alle Wahrscheinlichkeitswerte kumuliert. Das heißt, man bildet das Integral unter der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Julina Beispielsweise beim Würfelwurf ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Augenzahl 5 kleiner gleich 5 gewürfelt wird ☎ .Um den Funktionswert der Verteilungsfunktion an diesem Punkt zu erhalten, summierst du einfach die Wahrscheinlichkeiten für alle x von 1 bis 5. P(X=1) + P(X= 2) + P(X= 3) + P(X= 4) + P(X= 5) M/GK Um mit der diskreten Verteilungsfunktion zu rechnen, braucht man aber nicht unbedingt die Abbildung des Graphen. 5 1 + ² + ² + ² + ² = (P(X ≤ 5)_51) Du bist auf die Gartenparty eines Freundes eingeladen, auf der es unter anderem eine Glücksspielstation mit einem Lostopf gibt. Im Zuge des Spiels zieht man zwei Lose hintereinander.. Ein Los kann entweder ein Gewinn G oder eine Niete N sein. Im Lostopf befinden sich je 2 Gewinnlose (G1 und G₂) und 2 Nieten (N₁ und N₂). Die genauen Regeln des Glücksspiels sehen wie folgt aus: x₁: Zieht man 2 Nieten, muss man 2€ Strafe zahlen und macht somit 2€ Verlust. X₂: Zieht man 1 Gewinnlos und eine Niete, erhält man 1€ als Gewinn. X3: Zieht man 2 Gewinnlose, erhält man 2€ als Gewinn. Da du unter Freunden bist, gibt es keinen Grundeinsatz für das Spiel: du kannst daher nur Gewinn oder Verlust machen. Nun stellen wir uns folgende Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalte ich höchstens 1€? |2| = 4.3 |22| = 12 = = 12 = Zieht man wie in unserem Beispiel hier 2 Lose hintereinander, dann ist es essenziell, auch alle Kombinationsmöglichkeiten in den Ergebnisraum mit aufzunehmen, um das Ergebnis und die Wahrscheinlichkeiten nicht zu verfälschen. Unser Ergebnisraum mit der Mächtigkeit 12 sieht also wie folgt aus: = {N₁ N2, N₁G1, N1G2, N2N1, N2G1, N2G2, G1G2, G1N1, G1 N2, G2G1, G2N1, G2N2} Jedes der 4 Lose kann als erstes gezogen werden. Danach gibt es weitere 3 Möglichkeiten für die Ziehung des zweiten Loses. Daher muss die Mächtigkeit auch rechnerisch bei 4 mal 3 ist gleich 12 liegen. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Fälle berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass du 2€ verlierst, liegt bei 6 und damit ca. 16,7%. Dabei läuft die Berechnung folgendermaßen ab: Julina E₁ (X = − 2) = {N₁ N₂, N₂N₁} |E₁|= 2 P (X=-2) ==2=1 Der Ergebnisraum*2, welcher zu 1€ Gewinn führt, besteht aus deutlich mehr Elementen. Daher liegt die Wahrscheinlichkeit in diesem Fall auch deutlich höher, nämlich bei 3 bzw. rund 66,7%. E₂(X = 1) = {N1G₁, N1G2, N₂G1, N₂G2, G1N1, G1N2, G2N₁, G2N₂} |E₂| = 8 8 P (X=-1) == 2 = 1 Die Wahrscheinlichkeit für 3 errechnet sich analog zum ersten Fall und liegt damit ebenfalls bei 6 bzw. ca. 16,7%. E3 (X= 2) = {G1G2, G₂G₁} |E3|= 2 P (X = 2) = F(x) = |E3| 22=2²/2 = 1 ΤΩ] Da du nun die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse weißt, kannst du auch die kumulative Verteilungsfunktion bestimmen. Dazu summierst du die einzelnen Werte schrittweise auf und notierst die Verteilungsfunktion abschnittsweiße. { 0 für x < -2 0,16 für 2 < x < 1 für 1 < x < 2 M/GK 0,83 1 für > 2 Auf den ersten Blick scheint diese Schreibweise etwas verwirrend. Wenn wir jedoch 2€ verlieren zu -2€ „gewinnen“ umformulieren, wird das Ganze schon etwas verständlicher. Die Funktion sagt dir also, dass du zu 100% maximal 2 € gewinnen und maximal 2€ verlieren kannst. Die Wahrscheinlichkeit mehr als 2€ zu gewinnen oder zu verlieren ist daher immer gleich 0, da 2€ sowohl den maximalen Gewinn als auch den maximalen Verlust darstellt. Mit Hilfe dieser Funktion, lässt sich unsere Frage vom Anfang (,,Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalte ich höchstens 1€?") nun ganz einfach beantworten. Dazu addierst du die Wahrscheinlichkeit, zwei Nieten zu ziehen (also 6) zu der 1 Wahrscheinlichkeit, genau 1€ zu gewinnen (also 3). Wir machen also mit einer Gesamtwahrscheinlichkeit von +33 83,3% höchstens 1€ Gewinn. = Bei der Beantwortung solcher Fragen musst du immer genau auf die Formulierung achten. Ist nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt, genau 1€ zu erhalten, dann musst du nichts zusammenaddieren und kannst als Antwort einfach den Fall, dass ein Gewinnlos gezogen wird, angeben. Das wäre dann also die Wahrscheinlichkeit des schon oben bestimmten Ergebnisraums 2, die bei und somit ca. 66,7% liegt. Julina M/GK zwischen der Wie man anhand dieser Beispiele sehen kann, ist es im diskreten Fall möglich, Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion wählen, wenn man Wahrscheinlichkeiten berechnen will. Stetige Zufallsvariable: Dichtefunktion Im stetigen Fall sieht das etwas anders aus. Als Dichtefunktion, auch Wahrscheinlichkeitsdichte genannt, werden reelwertige Funktionen bezeichnet, welche die Dichte stetiger Variablen um einen beliebigen Punkt abbilden. Mithilfe der Dichtefunktion kann die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass ein Wert realisiert wird, der innerhalb eines vorab definierten Intervalls liegt. Nehmen wir nun an, du schätzt und misst anschließend die Zeit eines 100 Meter Läufers auf zehn Nachkommastellen genau. Da bei stetigen Zufallsvariablen rein theoretisch alle Zeiten von null bis unendlich möglich sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass du genau richtig schätzt, extrem gering. Nun kannst du aber in der Theorie nicht nur auf zehn, sondern auf unendlich viele Nachkommastellen genau messen. Deshalb ist es unmöglich für ein beliebiges x die exakte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Der Unterschied zum diskreten Fall ist also, dass man hier keine einzelnen Punkte hat, welche man aufsummieren kann, sondern über unendlich viele Werte ein Integral bildet. Die Wahrscheinlichkeit einzelner Intervalle erhalten wir nun, indem wir die Fläche unter der Dichte berechnen. Wir benötigen also das Integral. Hier wird erneut deutlich, warum wir keine Wahrscheinlichkeiten für exakte Werte bestimmen können. Die Fläche unter einem Punkt ist schließlich immer null. P (X = 0 Die Dichtefunktion vermittelt auch einen guten visuellen Eindruck über die Verteilung einer Zufallsvariable. Daher bestimmt die zugrundeliegende Verteilung auch den Verlauf der Funktion. = x) = f f(t) dt = F(x) F(x) Stetige Zufallsvariable: Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Ergebnis des Zufallsexperiments kleiner oder gleich eines bestimmten Wertes ist. Dafür werden alle Ergebnisse bis zu diesem Wert aggregiert, also „aufaddiert". Deshalb spricht man auch oft von einer kumulativen Verteilungsfunktion. Allgemein wird die Verteilungsfunktion mathematisch mit P(X≤x) dargestellt und mit F(x) abgekürzt. Klein x ist dabei der Wert, bis zu dem aggregiert wird. Um eine konkrete Verteilungsfunktion bestimmen zu können, muss man als erstes klären, ob es sich um diskrete Zufallsvariablen oder stetige Zufallsvariablen handelt. Dazu betrachtet man die möglichen Ergebnisse und deren Dichte. Julina Während eine Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung stetiger Zufallsvariablen vollständig beschreiben kann, gibt es auch sogenannte Maßzahlen, die eine lediglich punktuelle Betrachtung ermöglichen. Zu diesen Maßzahlen zählt beispielsweise der oft in der Statistik verwendete Erwartungswert. Hat man es mit stetigen Zufallsvariablen zu tun, so kann zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten nur die entsprechende Verteilungsfunktion verwendet werden, welche man durch Integration der Dichtefunktion erhält. Zur Veranschaulichung wird im Folgenden eine einfache Verteilungsfunktion gezeichnet. Es ist dieser Graph einer Dichtefunktion gegeben. Die Wahrscheinlichkeit P(X<4) entspricht der blau markierten Fläche. Stetige Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion: P(X ≤ x) = ,,Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis X kleiner gleich dem Wert x ist" f(x) M/GK P(X ≤4) 2 3 4 5 6 Integrieren F(x) = F(x) 2 3 4 5 6 Man bildet also das Integral von -∞ bis 4 und erhält so den Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle x = 4. Analog kann so jeder einzelne Punkt der kumulativen Verteilungsfunktion bestimmt werden. Allgemein gilt für Berechnungen mit stetigen Verteilungen, dass es keine Rolle spielt ob die Intervallgrenzen zum Intervall gehören oder nicht. Dies wird anhand folgender Rechenregeln deutlich, welche du auf jeden Fall im Kopf behalten solltest. 1, Es gilt P (X ≤ x) = P (X < x). Das liegt daran, dass ein einzelner Wert x die Wahrscheinlichkeit von 0 hat. 2, Außerdem gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a) = F(b) – (a). Diese Bedingung musst du beachten, wenn du Wahrscheinlichkeiten berechnen möchtest, welche zwischen zwei Werten liegen. 3, Man betrachtet das Gegenereignis, wenn man die Wahrscheinlichkeit für > Aussagen berechnen möchte: P(X > x) = 1 - P(X ≤ x) = 1 - F(x) Für unser Rechenbeispiel ist folgende stetige Verteilungsfunktion gegeben: 0 für x < 2 x-1 für 2≤x≤4 1 für x < 4 Julina M/GK Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als 3,5 ist. Um das Ergebnis zu erhalten, setzten wir die Intervallgrenze, also den konkreten Wert in die Verteilungsfunktion ein. P(X <3,5) = F (3,5) 1/3,5-1=0,75 = 75% Nun ist die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit das X zwischen 2,2 und 2,8 liegt. Hier kommt die zweite Rechenregel zur Anwendung. Wir rechnen also: P (2,2 < X < 2,8) = F (2,8) F (2, 2) = (-2,8-1)-(-2,2-1) 0,4 = 30% Als letztes wollen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass X größer als 3,6 ist. Hier greift die 3.Rechenregel. Wir rechnen also mit der Gegenwahrscheinlichkeit: P(X> 3,6)= 1- P(X ≤ 3,6) 1 - F (3,6) = 1- (-3, 6-1) = 0,1 0,3 = 10,8 0,2 20% = 2.2 Erwartungswert Stell' dir vor, du wirfst einen Würfel unendlich oft und berechnest anschließend den Mittelwert all deiner Würfe. Das Ergebnis dieser Berechnung ist der sogenannte Erwartungswert (griechisch μ (,,mü")). Der Erwartungswert ist der Mittelwert, wenn du ein Zufallsexperiment unendlich oft wiederholst. Er gibt an, mit welchem Wert du auf lange Sicht bei deinem Zufallsexperiment rechnen kannst. Bei einem Würfelwurf sagt dir der Erwartungswert also zum Beispiel, welche Augenzahl du langfristig durchschnittlich erwarten kannst, wenn du unendlich oft würfelst. Berechnen kannst du den Erwartungswert, indem du die Ausprägung der Zufallsvariable mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit multiplizierst. Anschließend summierst du alles auf. Julina Formel E(X) = x₁ P(X = x₁) + x₂ · P(X= x₂)+...n · P(X = xn) . M/GK E(X) – Erwartungswert von X Ti - erste Ausprägung der Zufallsvariable X (z.B. Augenzahl „1”) P(X = 1) - Wahrscheinlichkeit der ersten Ausprägung (z.B. 6) 1 Bei der Berechnung solltest du den Erwartungswert nicht mit dem arithmetischen Mittel verwechseln. Das arithmetische Mittel bezieht sich auf eine konkret beobachtete Anzahl an Durchgängen deines Zufallsexperiments, von denen du den Mittelwert bestimmst. Der Erwartungswert bezieht sich hingegen auf eine unendliche Zahl an Durchgängen und gibt den theoretischen Wert an, den du langfristig erwarten kannst. Das folgende Beispiel verdeutlicht den Unterschied zwischen der Berechnung des Erwartungswerts und des arithmetischen Mittels: Ein Zufallsgenerator gibt mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit den Wert 0 oder 1 aus. μ Der Erwartungswert u beträgt 0,5. Um diesen zu erhalten, multiplizierst du die Ausprägung der Zufallsgröße mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit und summierst alles. E(X) = x₁ · P(X = x₁) + x₂ · P(X= x₂) = 0·0,5+1 -0,5 0,5 Das arithmetische Mittel wird bei einer kleinen Anzahl an Wiederholungen vom Erwartungswert abweichen. Wenn du bei 5 Wiederholungen beispielsweise die Ausprägung ,,0,1,0,0,1" erhältst, ergibt sich 0,4 als arithmetisches Mittel. Du summierst hier alle Werte und dividierst durch die Anzahl. a = ¹/2x₂ = ¹ (0+1+0+0+1) = 0,4 x n Bei 20 Wiederholungen erhältst du dann zum Beispiel 11mal eine 0 und 9 mal eine 1, dies ergibt ein arithmetisches Mittel von 0,45. Du siehst also, umso größer die Anzahl der Durchgänge des Zufallsexperiment wird, desto näher rückt der Mittelwert an den Erwartungswert. Diese Beobachtung wird auch als Gesetz der großen Zahlen bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit des Zufallsgenerators war hier für alle möglichen Ergebnisse gleich. Ändert sich die Wahrscheinlichkeit jedoch, berechnet man den Erwartungswert als gewichtetes arithmetisches Mittel. Dazu setzt du einfach die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten der Ausprägungen in die Formel ein. 3. Binomialverteilung 3.1 Bernoulli-Versuch Mithilfe der Bernoulli Formel kann ohne großen Aufwand die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli Kette berechnet werden. Eine Bernoulli Kette (oder Bernoulli Prozess) ist eine Reihe von stochastisch unabhängigen Bernoulli Experimenten. Bei einem Julina solchen Experiment gibt es stets nur zwei Ausgänge, Treffer oder Niete. Zudem darf die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, p, und somit auch die für eine Niete, 1-p, nicht variieren. Die Bernoulli Formel lautet: n ( ^. ). p² . (1 − p)n-k. k Die Parameter der Bernoulli Formel haben dabei folgende Bedeutung: Die Anzahl der Versuche: n. Die Anzahl der Treffer, die dabei erzielt werden: k. Die Wahrscheinlichkeit mit der ein Treffer eintritt: p. Damit liefert die Bernoulli Formel die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bein Versuchen. P(X = k) M/GK = 3.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Erwartungswert Bei einem n-stufigen Bernoulli - Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt für den Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen X "Anzahl der Erfolge" E(X)=n p u Statt E(X) schreiben wir auch (in der mathematischen Literatur üblich). Damit ist der Erwartungswert einer binomial verteilten Zufallsgröße X |μ =n·p Varianz und Standardabweichung Die Streuung einer Zufallsvariable X um ihren Erwartungswert wird Varianz Var(X) genannt. Nimmt X die Werte X₁, X2, Xn an und hat X den Erwartungswert E, so gilt: Var(x)=(E-x₁)2 * P(x=x1)+(E-x2)² * P(x=x2)+...(E-xn)n * P(x=xn). Oftmals ist auch nach der Standardabweichung o(X) gefragt. Diese ist die Wurzel der Varianz. Es gilt also o(x)=√ √Var(x) Ist X binomialverteilt mit den Parametern n, p, so gilt E(X)=n* p Var(X)=n* p* (1-p) o(X=√√n* p* (1 − p) 3.3 Summenfunktion einer Binomialverteilung Mit Hilfe der Formel für die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Bernoulli-Kette kann man es sich ersparen, große Baumdiagramme zu zeichnen. Oft muss man allerdings trotzdem noch sehr viele einzelne Trefferwahrscheinlichkeiten ausrechnen und addieren, beispielsweise wenn man sich für eine Wahrscheinlichkeit P(X < 24) interessiert. k n n F(n; p; k) = P(x ≤ k) = Σ B(n; p; i) = Σ", * p * (p − 1)n-i i-0 i-0 Julina M/GK Lineare Algebra/Analytische Geometrie 1. Matrizenoperatoren und LGS(Mit CAS/GTR) 1.1 Matrizenverknüpfungen 1.1.1 Grundlegendes Aufbau von Matrizen Matrizen bestehen aus m Zeilen und n Spalten, weshalb sie auch (m,n)-Matrizen genannt werden. Die Dimension einer einzelnen Matrix (Matrizen ist nur der Plural vom Begriff ,,Matrix") mit m Zeilen und n Spalten ist m x n. a12 a22 : am2 Die Elemente einer Matrix bezeichnet man auch als Koeffizienten! Besondere Matrizen sind: A = ( a11 a21 : am1 Quadratische Matrizen: m=n Nullmatrix: Alle Elemente der Matrix sind Null! ain Die Nullmatrix mit der Dimension m x n ist in der Matrizenrechnung das Äquivalent zur On der reellen Zahlen. Jedes Element in einer Nullmatrix ist gleich Null. 000 0₂ = 903 = (0 (0 0 0)... On 000 Azņ) Amn 00 0 0 0 0 : : : Einheitsmatrix: Elemente der Hauptdiagonalen gleich Eins und alle anderen Elemente gleich Null! = ₁ 0 0 Die Einheitsmatrix En mit der Dimension n x n ist in der Matrizenrechnung das Äquivalent zur 1 der reellen Zahlen. Jedes Element in einer Einheitsmatrix ist gleich Null bis auf die Elemente (alles Einsen) auf der Hauptdiagonalen. 0 0 100 1 0 1 0 E₂ = ( E3 = (010). En = 0 0 1 001 : : : 200 A = (0 3 0),A = = 00e Diagonalmatrix: alle Elemente - außer die Elemente der Hauptdiagonalen - sind gleich Null. Eine Matrix erhält die Bezeichnung Diagonalmatrix, wenn auf der Hauptdiagonalen Zahlen aus R stehen und sonst jedes Element Null ist. 00 1) 5 Julina M/GK Auf der Hauptdiagonalen dürfen alle Zahlen stehen, auch Nullen. Die Nullmatrix ist also auch eine Diagonalmatrix! ● Stochastische Matrix, auch Übergangsmatrix genannt, ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen- oder Spaltensummen Eins betragen und deren Elemente zwischen Null und Eins liegen. 1.1.2 Vom LGS zur Matrix Um Schreibarbeit zu sparen, und das ganze übersichtlicher zu halten, kann man ein lineares Gleichungssystem in Kurzform angeben! Aus dem LGS: Folgt das LGS in Kurzform mit: Bzw. als erweiterte Matrix: - 1x₁ + 2x₂ + 0x3 1x₁ + 1x₂ + 1x3 10x₁ + 5x₂ + 1x3 Es folgt: -1 20 X1 0 (1 1 1) (x₂) = ( 34 ) 10 5 1 X3 100 −1 2 0 (1 1 10 5 1.2 Rechnen mit Matrizen 1. 2.1 Matrizen addieren und subtrahieren 0 1 34) 100 1 Die Addition und Subtraktion von Matrizen lässt sich durchführen, wenn die beiden Matrizen jeweils vom gleichen Typ sind. Etwas unmathematischer ausgedrückt müssen diese dieselbe ,,Gestalt" aufweisen. Man addiert oder subtrahiert jeweils die entsprechenden Komponenten der beiden Matrizen. Gegeben sind die Matrizen A und B a12 A = Ca (a₂1 9₂2); a22. = 0 = 34 = 100 A+B= a₁1 ± 6₁₁ C a21 ±b₂1 b₂₁ B = b₁₁ (₁₂ b₁2) b21 b22 α₁2 ± b₁²) a12 a22 ± b₂2 a22b22 Die Addition von Matrizen ist - ebenso wie eine normale Addition - kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Matrizen ist beliebig: A+B=B+A. Subtraktion ist analog! Eine Matrix A wird mit einer reellen Zahl r (auch Skalar genannt) multipliziert, indem man jedes Element von A mit r multipliziert: Julina Matrix mal Vektor Damit eine solche Matrix-Vektor-Multiplikation durchgeführt werden kann, muss die Spaltenzahl der Matrix mit der Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmen. Gegeben seien die reelle Matrix und der reelle (Spalten-) Vektor M/GK 2.r. r· ²² }) = 2 · ² -4,3-d2 23 2). 4.r 5.r Ă 1 A = 2) €²×3 undx = (0) €³×1 E2x3 4 3 දී 2 1 Da die Matrix A ebenso viele Spalten besitzt, wie der Vektor x lang ist, ist das Matrix- Vektor-Produkt A * x durchführbar. Nachdem A zwei Zeilen hat wird der Ergebnisvektor y ebenfalls zwei Elemente aufweisen. Um das erste Element des Ergebnisvektors zu berechnen, betrachtet man die erste Zeile von A, multipliziert die jeweils entsprechenden Einträge dieser Zeile mit denen des Ausgangsvektors und summiert die Ergebnisse auf (die Sternchen stehen für noch nicht berechnete Elemente): 3 2 `1 0 A = = 1 (0) 4 = Für das zweite Element des Ergebnisvektors betrachtet man entsprechend die zweite Zeile von A und berechnet analog: ³. 0 + 1 · 4) = (?) 3·1+2·0+ 1 * 1 7 (³² ² 2) · ( ) = (₁ ₁1 + 0 ² 0 + 2 · 4) = 3 2 10 (0) 4 3 2 Matrix mal Matrix Um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen. Gegeben seien die beiden reellen Matrizen 1. 2) €²x3 und B = (0 1 2 (0_1) €³×². 40 Da die Matrix A ebenso viele Spalten wie die Matrix B Zeilen besitzt, ist die Matrizenmultiplikation A * B durchführbar. Nachdem A zwei Zeilen und B zwei Spalten hat, wird das Matrizenprodukt ebenfalls zwei Zeilen und Spalten aufweisen. Zur Berechnung des ersten Matrixelements der Ergebnismatrix werden die Produkte der entsprechenden Einträge der ersten Zeile von A und der ersten Spalte von B aufsummiert (die Sternchen stehen für noch nicht berechnete Elemente): 12 3 2²³ 2² 2·60 D = 2²³₁ 1 0 (01) 40 3.1+2.0+ 1.4 0+1-4 * $=($) * * * Julina M/GK Für das nächste Element der Ergebnismatrix in der ersten Zeile und zweiten Spalte wird entsprechend die erste Zeile von A und die zweite Spalte von B verwendet: 1 2 22 (01) 40 3 2 0 2 1 Dieses Rechenschema 3 2 1 0 2 ● (123) 3 2 1. 1 0 2 R₂ (01) 40 = R₁ 5 8 2 7 * setzt sich nun in der zweiten Zeile und ersten Spalte fort: 1 2 R3 12 7 1) = (₁.1 +0.0 +2.4 Es wiederholt sich bei dem letzten Element in der zweiten Zeile und zweiten Spalte: 1 2 (01) 40 Das Ergebnis ist das Matrizenprodukt A * B. 1.2.3 Lösen von LGS mittels GTR/CAS Mit dem Casio fx CG-20: F3(MAT/VCT) - Dimension m xn (m ▼n ▶) - EXE - Werte einsetzen - EXIT - Options - F2(Mat) - F6 ► - F5 – Shift – 2 – Alpha – x,o,† — EXE = G N 7 3·2+2·1+1·0₂ 7 * 2. Ökonomische Anwendungen 2.1 Innerbetriebliche Verflechtungen (mehrstufige Prozesse) Achtung: Hier ist das Lesen von - nach andersrum als bisher! Jeder Knoten ist entweder 9 = (3 * * Z₁ Eingangsknoten - bei dem etwas in das System eintritt, z.B. Rohstoffe, oder Ausgangsknoten - bei dem etwas das System verlässt, z.B. Endprodukte. Z₂ 3=63 7 8 * 8 7 8 1·2+0·1+2·0) = 2 von nach * Z₁ Z₂ 8 3 12. R₁/5 V = R₂ 2 R3 \0 Die Zahlen an den Pfeilen können in einer spezifischen Verbrauchsmatrix V zusammengefasst werden. Man spricht auch von Prozessmatrix, Verflechtungsmatrix oder Technologiematrix. Interpretation der Elemente in der Matrix: V₁2 gibt z.B. den spezifischen Materialfluss von Quelle 1 (Rohstoff R₁) zum Ziel 2 (Produkt Z₂) an. Julina Wenn das Unternehmen also ein gewisses Produktionsziel erreichen will und den dazugehörigen Rohstoffbedarf ermitteln möchte, kann das durch die Beziehung ● beschrieben werden. Natürlich kann auch die umgekehrte Situation vorkommen, wenn das Unternehmen sich fragt, wie viele Endprodukte mit gegebenem r produziert werden können. Hierbei unterscheidet man Stufe 0 Produktionen mit vollständigem Rohstoffverbrauch, Produktionen mit teilweisem Rohstoffverbrauch. R₁ In der Praxis benötigen Produktionen meist zahlreiche Einzelschritte. Im einfachsten Fall können diese durch Zusammenschaltung von Einschrittmodellen beschrieben werden und wir erhalten ein Mehrschrittmodell. Die Zusammenschaltung funktioniert nur ohne zusätzliche Rechnung, wenn Brutto- und Nettoproduktion Übereinstimmen. R₂ Schritt 1 8 R₁ r = V • • z, mit r: = (R₂) und z: = R3 5 3 R3 12 Stufe 1 N Z₁ 22 N Schritt 2 M/GK 13 9 8 3 C Mit G = V01. V12 als Produktmatrix. Stufe 2 V12 Z1)4 Z₂ P₁ P₂ P3 V 01 V12 nach von R₁/5 = R₂ 2 = =Z Z₁ Z₂ nach 3 R30 12 von 83 P₁ P2 P3 Z₁/13 9 0 27/14 Z₂ 8 3 5 Vij: Verbrauchsmatrix V01 In der obigen Abbildung ist ein zweistufiger Produktionsprozess dargestellt, wobei wir diesen als zwei 1-Schritt-Modelle auffassen. Die relevanten Zusammenhänge hierbei lauten: r = V01. Z und z = V¹².p⇒ r = : V⁰¹ (V¹² . p) = G • p von Stufe i zu Stufej