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Normalverteilung

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Charlotte Marie Schwarzfeller

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 Dichte funktion
Eine Funktion f heißt Wahrscheinlichkeitsdichte über einem intervall 1e [a; b] (la; b)), wenn gilt:
(1) fix) 20 für alle xe

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Lernzettel zur Normalverteilung und der Gaußschen Glockenkurve

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Dichte funktion Eine Funktion f heißt Wahrscheinlichkeitsdichte über einem intervall 1e [a; b] (la; b)), wenn gilt: (1) fix) 20 für alle xe I (2) 1 femar-n Stochastische kergrößen empirisch: X=√(x₁+x₂+.+x) 0 = √ √ · ( x ₁ + 7 ) 7 .. (x₂ + ²) ² und PLO≤x≤ b) = Gaußische Glocken kurve "μ₁0 (x) = 0 + 211¹ ·e रत Maximalstelle: μ=X Wendestelle: x=yto (x-μ)² 202 Exponentialverteilte Zufallsgrößen Eine Zufallsgröße x heißt exponential verteilt, wenn sie durch die Wahrscheinlichkeitsdichle f mit fix)= 2.e-* beschrieben wird. Es gitt: M=O=1² binominal. P(X=K)= Bnp (k) 24.. 'M₁0 b+0,5 fami a-os Plasx≤ b) x u=n·p on-p-q b fare** 0 Klausur Statige Zufallsgrössen (k) μ₁0 (x) dx aus klammern -Ab dx=1-e normalverteilt Achsensymmetrisch zu u=x Eigenschaften je größer u desto weiter wird die kurve nach rechts verschoben •je größer o desto flacher verläuft die Kurve 40 M=√x. f(x) dx • Erwartungswert = HP(μIFTTT) -Standard abweichung & Abstand EW zu WP (μ ±ol OT-²2) ·e 15₁x. Normal verteilung 1₂0 Eine stetige Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern u und 0, wenn sie ein 4. Sigma Abstände 10 = 68,3%. 20 = 95,4% 30 = 99,7%. (x-μ)² fixidx Sarz von de Moivre - Laplace Für binominale Zufallsgrößen x mit u=n⋅p und o=1n.p.q gilt. Ableitungsregeln Produktregel Sind die Funktionen u und v differenzierbar, So ist auch die Funktion f=u•v mit (lx) = u(x)-v(x) differenzierbar es gilt: f'(x) = u(x)- v²lx) +4'(x) · V(x) ↳ek.x Iais Dichte besitzt Kettenregel Gegeben sind 2 Funktionen u und v. Die Funktionen uov mit uov(x) = u(v(x) heißt Verkettung u (v(x) = f(x) f'(x) = v'(x) · U² (v(x)) Merkregel: innere...

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x äußere Ableitung & die innere Mitnehmen Stetige Zufallsgrößen - Normalverteilung Check-out: Klausurvorbereitung - Selbsteinschätzung Checkliste Stetige Zufallsgrößen- Testauf- Kann Normalverteilung" gaben ich 1. Ich kann überprüfen, ob eine Funktion eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. 2. Ich kann für eine Zufallsgröße X mit einer Wahrscheinlich- keitsdichte Wahrscheinlich- keiten sowie Erwartungswert und Standardabweichung berechnen. 3. Ich kann stetig verteilte Zufallsgrößen im Sach- zusammenhang anwenden. 4. Ich kann Gleichung und Graph einer Gaußschen Glockenfunktion mit den Parametern μ und angeben und kenne charakteristische Eigenschaften. 5. Ich kann Wahrscheinlichkeiten für normalverteilte Daten berechnen. 6. Ich kann glockenförmig verteilte Daten mithilfe einer Normalverteilung beschreiben. 7. Ich kann die Sigma-Regeln bei einer Normalverteilung anwenden. 8. Ich kann eine ganzzahlige Zufallsgröße unter Beachtung der Stetigkeitskorrektur durch eine Normalverteilung annähern. 9. Ich kann eine Binomialver- teilung mithilfe des Satzes von Moivre-Laplace durch eine Normalverteilung annähern. 100 92 Klett 1 2 3 4 5 6 7 43,8 17,5 93,5 8 9 schon Da bin ich fast sicher HP+ WP ausrechnen Ich bin noch un- sicher Emat Kelt Verlag GmbH, Stuttgart 2015| www.left.de | Ale Rechte vorbehalten Autor: Dieter Brandt Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfatigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet Die Kopiergebühren sind abgegolten Kann ich noch nicht Hilfen im Buch, die man bei Problemen nacharbeiten kann (LE= Lemneinheit) Lemneinheit 1 Kasten Beispiel 1a Lerneinheit 1 Kasten Beispiel 1 Lerneinheit 1 Einführung Lerneinheit 2 Kasten und Beispiel 1 Lerneinheit 3 Beispiel 1 Lerneinheit 3 Einführung Lerneinheit 3 Einführung (Tabelle am Rand) Lerneinheit 3 Beispiel 2 Lerneinheit 3 Einführung (2. Seite) Trainingsaufgaben (Ww= Wiederholen, Vertiefen, Vernetzen) Lerneinheit 1 A 1 a 3 a Lerneinheit 1 A 1,3 Lerneinheit 1 A 4-6 Lerneinheit 2 A 1,3 Lerneinheit 3 A 1-2 Lerneinheit 3 A 1-2 Lerneinheit 3 A. 10 Lerneinheit 3 A. 4-5 Lerneinheit 4 A 1-3 Lerneinheit 5 A 1-4 S224 Stetige Zufallsgrößen - Normalverteilung Check-out: Klausurvorbereitung - Test- und Trainingsaufgaben 1 Untersuchen Sie, ob die Funktion f eine Wahrscheinlichkeitsdichte über dem intervall I ist. b) f(x) = 1,25-2,25x²; 1=[-1; 1] c) f(x) = sin(x); 1 = [0, 1] a) f(x) = 2-2x; 1= [0; 1] 2 a) Weisen Sie nach, dass f (x) = 1,5x² über [-1; 1] eine Wahrscheinlichkeitsdichte zu einer Zufallsgröße X beschreibt. b) Berechnen Sie P(X= 1), P(X ≤ 0) und P (0 < X < 0,5). c) Bestimmen Sie die positive Zahl a, für die gilt: P(-a < X <a) = 0,5. d) Berechnen Sie den Erwartungswert μ und die Standardabweichung ở von X. 3 Die exponentialverteilte Zufallsgröße T mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)=3e ³* über 1 = [0; ∞] beschreibt modellhaft die Zeit (in Jahren) für die Haltbarkeit eines schnell verschleißenden Bauteils. a) Berechnen Sie den Erwartungswert μ und die Standardabweichung ở von T. b) Berechnen Sie P(T≤ 1), P (T> 2), P(T <H), P (2 ≤ T <3) c) Berechnen Sie P(|T-μ|so), P(|T-μ|≤20) d) Für welche t ist P (T> t) <0,1? 4 Geben Sie die Funktionsgleichung sowie die Hoch- und Wendepunkte der Gaußschen Glockenfunktion 95,2 an und skizzieren Sie den Graphen. Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit dem GTR. 5 Beim Nachmessen von 100 Schrauben aus einem Baumarkt ergab sich für die Länge (in mm) der Mittelwert 40,1 und die empirische Standardabweichung 0,35. Nehmen Sie an, die Länge X der Schrauben sei normalverteilt. Geben Sie die Dichtefunktion an, mit der Sie die Zufallsgröße „Schraubenlänge X" beschreiben können. Berechnen Sie damit die Wahrscheinlichkeiten a) P (X < 40) b) P (39 ≤ x ≤ 41) c) P(X> 41) d) P(X= 40,1). 6 Die Abbildung gibt die Verteilung von Schoko- ladeneiern auf Gewichtsklassen in Prozent an. Berechnen Sie Mittelwert und empirische Standard- abweichung der Daten und mithilfe der zugehörigen Normalverteilung die Wahrscheinlichkeiten P(X<5,3), P (5,2 ≤ x ≤ 5,4) und P(X ≥ 5,4), wobei die Zufallsgröße X das Gewicht in g angibt. 30%- 25%- 20%- 92 Klett -15%- -10%- -5%- 6,4% 28,8% 25,6% 12% Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2015 | www.kett.de | Alle Rechte vorbehalten Autor: Dieter Brandt Von deser Druckvorlage ist die Verviell tigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet Die Kopiergebühren sind abgegolten 16% 6 -9,6%- 1,6% ▬ 5,1 5,15 5,2 5,25 5,3 5,35 5,4 5,45 5,5 Gewicht in g 7 Die Regenmenge in einem Land beträgt im Durchschnitt 735 mm mit einer Standardabweichung von 92 mm. In welchem Bereich liegt die Niederschlagsmenge a) in 90% der Jahre. b) in 50% der Jahre ? XBei einer Tafel Nussschokolade der Firma Milli schwankt die Anzahl der Haselnüsse. Sie lässt sich durch eine Normalverteilung mit u= 8,7 und a= 3,1 näherungsweise beschreiben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgesuchte Tafel a) genau 9 Nüsse enthält, b) mindestens 5 und höchstens 10 Nüsse, c) mehr als 10 Nüsse enthält? 9 Geben Sie für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n = 150 und p = 0,34 die Dichtefunktion an, mit der Sie diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern können und berechnen Sie exakt und mit der Näherung a) P(X < 50) b) P (40 ≤ x ≤ 60) c) P(X 250) d) P(X= 50). S225 ^ 2) Graph I kann nicht zu einer dichte gehören aufgrund von negativen Fict. Werten 0₁ S = ₁ Graph II genört zu einer Dichte: Fkt < 0;. Graph III gehört nicht zu einer Dichte S<1 a) fix)=2-2x = [0, 1] √2-2x dx [2x.x²] = (2-1 -1² 1-0 = 1 " ✓ Ableitung 13,8 8√2TT (x-3)² ·e 82.2 b) fix) = 1,25-2,25x² I = [-1,1] [₁1,25-2,25ײdx [1,25x-²x³] 4=1 Übungen ✓ 1) flxl-2-2x = [0,1] 0=2-2x 1+2x 2x = 21:2 K = A 2=2-2x 112x 2x+2=21-2 #2x=0 1:2 @x=0 {2-2« [2x-x*²] · [2x-x² ] 2·1-1² = 1 nr. 8 a) Plx=9) b) Dichte funktion, da alle Fkt + und 8,pl9) 12,80 % 10 M = 8₁7 O = 3,1 c) PIX< 10) C 10,5 J S4,82 0,634 2 63,1% 4,5 ₁0=39,81% and fre 40 ohne Stetigkeitskorrektur 1 Teil leichte Dichte funktion 44.0 254,6%.

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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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Ich kann eine ganzzahlige Zufallsgröße unter Beachtung der Stetigkeitskorrektur durch eine Normalverteilung annähern. 9. Ich kann eine Binomialver- teilung mithilfe des Satzes von Moivre-Laplace durch eine Normalverteilung annähern. 100 92 Klett 1 2 3 4 5 6 7 43,8 17,5 93,5 8 9 schon Da bin ich fast sicher HP+ WP ausrechnen Ich bin noch un- sicher Emat Kelt Verlag GmbH, Stuttgart 2015| www.left.de | Ale Rechte vorbehalten Autor: Dieter Brandt Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfatigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet Die Kopiergebühren sind abgegolten Kann ich noch nicht Hilfen im Buch, die man bei Problemen nacharbeiten kann (LE= Lemneinheit) Lemneinheit 1 Kasten Beispiel 1a Lerneinheit 1 Kasten Beispiel 1 Lerneinheit 1 Einführung Lerneinheit 2 Kasten und Beispiel 1 Lerneinheit 3 Beispiel 1 Lerneinheit 3 Einführung Lerneinheit 3 Einführung (Tabelle am Rand) Lerneinheit 3 Beispiel 2 Lerneinheit 3 Einführung (2. Seite) Trainingsaufgaben (Ww= Wiederholen, Vertiefen, Vernetzen) Lerneinheit 1 A 1 a 3 a Lerneinheit 1 A 1,3 Lerneinheit 1 A 4-6 Lerneinheit 2 A 1,3 Lerneinheit 3 A 1-2 Lerneinheit 3 A 1-2 Lerneinheit 3 A. 10 Lerneinheit 3 A. 4-5 Lerneinheit 4 A 1-3 Lerneinheit 5 A 1-4 S224 Stetige Zufallsgrößen - Normalverteilung Check-out: Klausurvorbereitung - Test- und Trainingsaufgaben 1 Untersuchen Sie, ob die Funktion f eine Wahrscheinlichkeitsdichte über dem intervall I ist. b) f(x) = 1,25-2,25x²; 1=[-1; 1] c) f(x) = sin(x); 1 = [0, 1] a) f(x) = 2-2x; 1= [0; 1] 2 a) Weisen Sie nach, dass f (x) = 1,5x² über [-1; 1] eine Wahrscheinlichkeitsdichte zu einer Zufallsgröße X beschreibt. b) Berechnen Sie P(X= 1), P(X ≤ 0) und P (0 < X < 0,5). c) Bestimmen Sie die positive Zahl a, für die gilt: P(-a < X <a) = 0,5. d) Berechnen Sie den Erwartungswert μ und die Standardabweichung ở von X. 3 Die exponentialverteilte Zufallsgröße T mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)=3e ³* über 1 = [0; ∞] beschreibt modellhaft die Zeit (in Jahren) für die Haltbarkeit eines schnell verschleißenden Bauteils. a) Berechnen Sie den Erwartungswert μ und die Standardabweichung ở von T. b) Berechnen Sie P(T≤ 1), P (T> 2), P(T <H), P (2 ≤ T <3) c) Berechnen Sie P(|T-μ|so), P(|T-μ|≤20) d) Für welche t ist P (T> t) <0,1? 4 Geben Sie die Funktionsgleichung sowie die Hoch- und Wendepunkte der Gaußschen Glockenfunktion 95,2 an und skizzieren Sie den Graphen. Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit dem GTR. 5 Beim Nachmessen von 100 Schrauben aus einem Baumarkt ergab sich für die Länge (in mm) der Mittelwert 40,1 und die empirische Standardabweichung 0,35. Nehmen Sie an, die Länge X der Schrauben sei normalverteilt. Geben Sie die Dichtefunktion an, mit der Sie die Zufallsgröße „Schraubenlänge X" beschreiben können. Berechnen Sie damit die Wahrscheinlichkeiten a) P (X < 40) b) P (39 ≤ x ≤ 41) c) P(X> 41) d) P(X= 40,1). 6 Die Abbildung gibt die Verteilung von Schoko- ladeneiern auf Gewichtsklassen in Prozent an. Berechnen Sie Mittelwert und empirische Standard- abweichung der Daten und mithilfe der zugehörigen Normalverteilung die Wahrscheinlichkeiten P(X<5,3), P (5,2 ≤ x ≤ 5,4) und P(X ≥ 5,4), wobei die Zufallsgröße X das Gewicht in g angibt. 30%- 25%- 20%- 92 Klett -15%- -10%- -5%- 6,4% 28,8% 25,6% 12% Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2015 | www.kett.de | Alle Rechte vorbehalten Autor: Dieter Brandt Von deser Druckvorlage ist die Verviell tigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet Die Kopiergebühren sind abgegolten 16% 6 -9,6%- 1,6% ▬ 5,1 5,15 5,2 5,25 5,3 5,35 5,4 5,45 5,5 Gewicht in g 7 Die Regenmenge in einem Land beträgt im Durchschnitt 735 mm mit einer Standardabweichung von 92 mm. In welchem Bereich liegt die Niederschlagsmenge a) in 90% der Jahre. b) in 50% der Jahre ? XBei einer Tafel Nussschokolade der Firma Milli schwankt die Anzahl der Haselnüsse. Sie lässt sich durch eine Normalverteilung mit u= 8,7 und a= 3,1 näherungsweise beschreiben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgesuchte Tafel a) genau 9 Nüsse enthält, b) mindestens 5 und höchstens 10 Nüsse, c) mehr als 10 Nüsse enthält? 9 Geben Sie für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n = 150 und p = 0,34 die Dichtefunktion an, mit der Sie diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern können und berechnen Sie exakt und mit der Näherung a) P(X < 50) b) P (40 ≤ x ≤ 60) c) P(X 250) d) P(X= 50). S225 ^ 2) Graph I kann nicht zu einer dichte gehören aufgrund von negativen Fict. Werten 0₁ S = ₁ Graph II genört zu einer Dichte: Fkt < 0;. Graph III gehört nicht zu einer Dichte S<1 a) fix)=2-2x = [0, 1] √2-2x dx [2x.x²] = (2-1 -1² 1-0 = 1 " ✓ Ableitung 13,8 8√2TT (x-3)² ·e 82.2 b) fix) = 1,25-2,25x² I = [-1,1] [₁1,25-2,25ײdx [1,25x-²x³] 4=1 Übungen ✓ 1) flxl-2-2x = [0,1] 0=2-2x 1+2x 2x = 21:2 K = A 2=2-2x 112x 2x+2=21-2 #2x=0 1:2 @x=0 {2-2« [2x-x*²] · [2x-x² ] 2·1-1² = 1 nr. 8 a) Plx=9) b) Dichte funktion, da alle Fkt + und 8,pl9) 12,80 % 10 M = 8₁7 O = 3,1 c) PIX< 10) C 10,5 J S4,82 0,634 2 63,1% 4,5 ₁0=39,81% and fre 40 ohne Stetigkeitskorrektur 1 Teil leichte Dichte funktion 44.0 254,6%.