Einfach erklärt: Normalverteilung und Gaußsche Glockenkurve - mit Beispielen und Formeln

Dichtefunktion

Eine Funktion f heißt Wahrscheinlichkeitsdichte über einem Intervall [a, b], wenn gilt:
(1) f(x) ≥ 0 für alle x ∈ I
(2) ∫f(x) dx = 1 über das gesamte Intervall

Stochastische Zufallsgrößen

Stetige Zufallsvariable Beispiel
Eine Zufallsgröße x heißt exponentialverteilt, wenn sie durch die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = λ * e^(-λx) beschrieben wird.

Gaußsche Glockenkurve

Die Funktion einer glockenförmigen Verteilung ist gegeben durch die Gaußsche Glockenkurve:
f(x) = 1/σ * √(2π) * e^((-(x-μ)²)/(2σ²))

Eigenschaften der Normalverteilung

Die Normalverteilung ist eine stetige Zufallsvariable X, die durch ihre Dichte mit den Parametern μ und σ als normalverteilt gekennzeichnet ist. Die Standardabweichung σ bestimmt die Breite und die Erwartungswert μ die Lage der Glockenkurve. Die Wahrscheinlichkeiten innerhalb bestimmter Abstände um den Erwartungswert sind charakteristisch für die Normalverteilung:

• 1σ-Regel: 68,3%
• 2σ-Regel: 95,4%
• 3σ-Regel: 99,7%

Satz von de Moivre-Laplace

Für binomiale Zufallsgrößen x mit µ=n⋅p und σ=√(n⋅p⋅(1-p)) gilt:
P(x=k) ≈ Φ((k+0,5-µ)/(σ))

Ableitungsregeln

Es gelten die üblichen Ableitungsregeln, wie die Produktregel und die Kettenregel.

Checkliste Stetige Zufallsgrößen - Normalverteilung

1. Überprüfen, ob eine Funktion eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
2. Wahrscheinlichkeiten sowie Erwartungswert und Standardabweichung für eine stetig verteilte Zufallsgröße berechnen.
3. Gleichung und Graph einer Gaußschen Glockenfunktion anwenden.
4. Wahrscheinlichkeiten für normalverteilte Daten berechnen.
5. Glockenförmig verteilte Daten mithilfe einer Normalverteilung beschreiben.
6. Eine ganzzahlige Zufallsgröße unter Beachtung der Stetigkeitskorrektur durch eine Normalverteilung annähern.
7. Eine Binomialverteilung mithilfe des Satzes von Moivre-Laplace durch eine Normalverteilung annähern.
8. Die Sigma-Regeln bei einer Normalverteilung anwenden.

Test- und Trainingsaufgaben

1. Untersuchen Sie, ob die Funktion f eine Wahrscheinlichkeitsdichte über dem Intervall I ist.
2. Weisen Sie nach, dass f(x) = 1,5x² über [-1; 1] eine Wahrscheinlichkeitsdichte zu einer Zufallsgröße X beschreibt.
3. Berechnen Sie verschiedene Wahrscheinlichkeiten für die exponentialverteilte Zufallsgröße T und bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung.
4. Geben Sie die Funktionsgleichung sowie die Hoch- und Wendepunkte der Gaußschen Glockenfunktion an und skizzieren Sie den Graphen.
5. Berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten für normalverteilt Längen von Schrauben, gegeben Mittelwert und empirische Standardabweichung.

Selbstbewertung und Lösungen

Die Selbstbewertung hilft, den eigenen Kenntnisstand zu überprüfen und Problemfelder zu identifizieren. Zudem bieten die Lösungen zu den Test- und Trainingsaufgaben die Möglichkeit, Verständnisfragen nachzuarbeiten und zu vertiefen.