Die Potenzgesetze sind Regeln, die bei der Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion von Potenzen angewendet werden. Sie erleichtern die Berechnung von Potenzen und helfen dabei, die Gesetzmäßigkeiten in der Potenzrechnung zu verstehen.
Potenzen mit gleicher Basis
Potenzen mit gleicher Basis a (a 0) werden multipliziert (dividiert), indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert (subtrahiert). Ist n eine natürliche Zahl und a 0, so ist: a^n * a^m = a^(n+m) und außerdem gilt: a^n / a^m = a^(n-m).
Beispiele:
- 3^0,5 = 3^(3-0,5) = 1,5
- 11^(-10) = 1/11^10
Potenzen mit gleichem Exponenten
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem man die Basen multipliziert (dividiert) und den Exponenten beibehält. Das bedeutet: (a^m) * (a^n) = a^(m+n) und a^m / a^n = a^(m-n).
Beispiel:
- 3^15 / 3^4 = 3^(15-4) = 3^11
Potenzieren von Potenzen
Potenzen werden potenziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten multipliziert. Das heißt: (a^m)^n = a^(m*n).
Beispiel:
- (3^2)^3 = 3^(2*3) = 3^6
Die n-te Wurzel
Die n-te Wurzel aus a ist diejenige positive Zahl x, für die x^n = a gilt. Dabei ist n der Wurzelexponent und a der Radikant. Es gilt: √a * √a = a. Beachte: Die Wurzel aus einer Potenz ist nicht dasselbe wie eine Potenz aus der Wurzel.
Beispiel:
- √(4^2) = 4
- √(2^3) = 2
Potenzen mit rationalen Exponenten
Für Potenzen mit rationalem Exponenten gilt: a^(m/n) = n-te Wurzel aus a^m.
Beispiele:
- 5^(1/2) = √5
- 4^(2/3) = ∛4^2 - √√16
In der Potenzrechnung gibt es also verschiedene Gesetze und Regeln, die je nach Situation angewendet werden müssen. Es ist wichtig, diese Potenzgesetze zu verstehen, um Potenzen korrekt berechnen und vereinfachen zu können.
