Potenzen multiplizieren mit gleicher Basis

Wenn du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, kannst du das erste Potenzgesetz anwenden:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Bei dieser Regel addierst du einfach die Exponenten und behältst die Basis bei. Das funktioniert, weil du bei der Multiplikation die Faktoren zusammenfasst.

Beispiele:

• $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$
• $5 \cdot 5^2 = 5^1 \cdot 5^2 = 5^{1+2} = 5^3 = 125$

Dieses Gesetz funktioniert auch mit negativen Exponenten:

• $2^{-2} \cdot 2^{-4} = 2^{-2+(-4)} = 2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$

Bei gemischten Exponenten (positiv und negativ) rechne einfach mit der Summe:

• $3^2 \cdot 3^{-2} = 3^{2+(-2)} = 3^0 = 1$
• $5^5 \cdot 5^{-3} = 5^{5+(-3)} = 5^2 = 25$

🔍 Merke: Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert, egal ob sie positiv oder negativ sind!

Potenzgesetze im Überblick

Potenzen begegnen dir überall in der Mathematik. Sie bestehen aus einer Basis und einem Exponenten: $a^n$ bedeutet, dass du die Basis $a$ genau $n$-mal mit sich selbst multiplizierst.

Die wichtigsten Potenzgesetze, die du kennen solltest:

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (Multiplikation bei gleicher Basis)
• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (Division bei gleicher Basis)
• $(a^m)^n = a^{mn}$ (Potenz von einer Potenz)
• $(ab)^m = a^m b^m$ (Potenz eines Produkts)
• $\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$ (Potenz eines Quotienten)

Zwei besondere Fälle solltest du immer im Kopf behalten:

• $a^0 = 1$ (Jede Zahl mit Exponent 0 ist 1)
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (Negative Exponenten verschieben in den Nenner)

💡 Diese Formeln helfen dir, Potenzen zu vereinfachen und kompliziertere Aufgaben zu lösen!

Potenzen mit unterschiedlicher Basis und Exponent

Bei der Arbeit mit Potenzen unterschiedlicher Basen gibt es ein wichtiges Potenzgesetz:

$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$

Wenn die Exponenten gleich sind, aber die Basen unterschiedlich, multiplizierst du die Basen und behältst den gemeinsamen Exponenten bei.

Beispiele:

• $2^2 \cdot 4^2 = (2 \cdot 4)^2 = 8^2 = 64$
• $5^{-2} \cdot 2^{-2} = (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{10})^2 = \frac{1}{100}$

Beim Potenzieren einer Potenz gilt: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Hier werden die Exponenten multipliziert:

• $(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15.625$
• $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$

Wichtig: Für Potenzen addieren gibt es kein vergleichbares Gesetz. Man kann nur gleichartige Potenzen zusammenfassen:

• $4^3 + 4^3 = 2 \cdot 4^3$

⚠️ Nicht verwechseln: $a^n + a^n = 2a^n$, aber $a^n + b^n$ lässt sich nicht weiter vereinfachen, wenn $a ≠ b$.

Potenzen dividieren

Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis gilt:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (für $a ≠ 0$)

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis subtrahierst du die Exponenten:

Beispiele:

• $5^3 : 5^1 = 5^{3-1} = 5^2 = 25$
• $8^5 : 8^{-2} = 8^{5-(-2)} = 8^7 = 2.097.152$

Bei Potenzen mit gleichem Exponenten aber unterschiedlichen Basen gilt:

$\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$ (für $b ≠ 0$)

Hier teilst du die Basen und behältst den Exponenten bei:

Beispiele:

• $\frac{10^3}{5^3} = (\frac{10}{5})^3 = 2^3 = 8$
• $\frac{2^4}{4^4} = (\frac{2}{4})^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

💡 Denk daran: Bei negativen Exponenten im Nenner wird aus der Subtraktion eine Addition! Beispiel: $\frac{a^5}{a^{-3}} = a^{5-(-3)} = a^8$

Potenzen mit negativen Exponenten

Für jede reelle Zahl $a ≠ 0$ und natürliche Zahl $n$ gilt:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Ein negativer Exponent bedeutet, dass die Potenz in den Nenner wandert und der Exponent positiv wird:

Beispiele:

• $5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} = 0,008$
• $(-7)^{-2} = \frac{1}{(-7)^2} = \frac{1}{49}$

Bei Brüchen mit negativen Exponenten drehst du den Bruch um:

• $(\frac{3}{5})^{-3} = (\frac{5}{3})^3 = \frac{125}{27}$

Wichtig: Potenzen mit der Basis 0 und negativem Exponenten sind nicht definiert:

• $0^{-1} = \frac{1}{0}$ (Division durch 0 ist nicht möglich)

Negative Exponenten begegnen dir oft in der Bruchrechnung und bei der Arbeit mit kleinen Dezimalzahlen.

⚠️ Achte bei negativen Exponenten besonders auf das Vorzeichen und denk daran, dass $a^{-n}$ immer bedeutet, dass $a^n$ in den Nenner wandert.

Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen sind besonders wichtig, weil wir im Dezimalsystem rechnen. Sie helfen dir, sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich darzustellen.

Positive Exponenten erzeugen eine 1 mit n Nullen:

• $10^5 = 100.000$ (eine 1 mit 5 Nullen)
• $10^2 = 100$ (eine 1 mit 2 Nullen)
• $10^0 = 1$ (keine Nullen)

Mit Faktoren:

• $2 \cdot 10^3 = 2.000$
• $1,5 \cdot 10^2 = 150$

Negative Exponenten erzeugen Dezimalzahlen:

• $10^{-5} = 0,00001$ (die 1 steht an der 5. Nachkommastelle)
• $10^{-2} = 0,01$ (die 1 steht an der 2. Nachkommastelle)

Mit Faktoren:

• $3 \cdot 10^{-3} = 0,003$
• $7 \cdot 10^{-1} = 0,7$

💡 Praktische Eselsbrücke: Bei $10^n$ verschiebst du das Komma um n Stellen nach rechts, bei $10^{-n}$ um n Stellen nach links.

Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten

Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten sind eng miteinander verbunden. Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit Bruchexponenten schreiben:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Dies bedeutet, dass die n-te Wurzel aus a das Gleiche ist wie a hoch $\frac{1}{n}$.

Beispiele:

• $\sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}} = 2$
• $\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = 2$

Für rationale Exponenten gilt allgemein: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$

Beispiele:

• $16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{16^3} = \sqrt[4]{4096} = 8$
• $4^{0,2} = 4^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{4}$

⚠️ Wichtig: Bei Potenzen mit rationalen Exponenten und negativer Basis können widersprüchliche Ergebnisse entstehen. Daher beschränken wir uns auf nicht-negative Basen bei Bruchexponenten.

Wurzelgesetze

Wurzeln folgen bestimmten Gesetzen, die das Rechnen erheblich vereinfachen können:

1. Multiplikation unter der Wurzel: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ (für $a, b \geq 0$)

   Beispiel: $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2$

2. Division unter der Wurzel: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ (für $a \geq 0, b > 0$)

   Beispiel: $\frac{\sqrt[4]{56}}{\sqrt[4]{7}} = \sqrt[4]{\frac{56}{7}} = \sqrt[4]{8} = 2$

3. Wurzel einer Wurzel: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$ (für $a \geq 0$)

   Beispiel: $\sqrt[3]{\sqrt[4]{12}} = \sqrt[12]{12}$

Beachte: Wurzeln mit geradem Exponenten und negativem Radikanden sind nicht definiert. Zum Beispiel ist $\sqrt{-4}$ nicht definiert im Bereich der reellen Zahlen.

💡 Tipp: Beim Umformen von Wurzelausdrücken solltest du immer darauf achten, dass die Wurzelexponenten gleich sind, bevor du die Wurzelgesetze anwendest!