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Fiona Abeln
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Die Potenzgesetze für rationale Zahlen bilden die Grundlage für das Rechnen mit Potenzen. Sie ermöglichen es, komplexe Potenzausdrücke zu vereinfachen und zu berechnen.
3.3.2021
12456
Das zweite Potenzgesetz behandelt das Multiplizieren von Potenzen mit verschiedenen Basen, aber gleichen Exponenten. Die Regel lautet:
a^n · b^n = (a · b)^n
Example: 3⁴ · 5⁴ = (3 · 5)⁴ = 15⁴ = 50.625
Der Beweis für natürliche Zahlen als Exponenten erfolgt durch Ausmultiplizieren beider Seiten der Gleichung.
Highlight: Diese Regel vereinfacht das Rechnen mit Potenzen erheblich, insbesondere bei komplexeren Ausdrücken.
Die Regel gilt auch für negative Exponenten und Brüche im Exponenten, wobei die Vorgehensweise ähnlich wie beim ersten Potenzgesetz ist.
Vocabulary: Basis: Die Grundzahl einer Potenz, die mit sich selbst multipliziert wird.
Diese Potenzregel ist besonders nützlich in der Algebra und bei der Vereinfachung von mathematischen Ausdrücken.
Potenzen sind mathematische Ausdrücke, bei denen eine Zahl (die Basis) mehrmals mit sich selbst multipliziert wird. Die allgemeine Form einer Potenz ist:
a^n = a * a * a * ... * a (n-mal)
Dabei ist:
Definition: Eine Potenz beschreibt die wiederholte Multiplikation einer Zahl (Basis) mit sich selbst, wobei der Exponent angibt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt.
Wichtige Regeln für Potenzen:
Beispiel: 7⁵ = 7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 16.807
Highlight: Potenzen vereinfachen die Darstellung von wiederholten Multiplikationen und sind grundlegend für viele Bereiche der Mathematik und Naturwissenschaften.
Potenzen können auch negative und rationale Exponenten haben, was ihre Anwendbarkeit erweitert:
Beispiel: 2^(-3) = 1 / 2³ = 1/8
Beispiel: 4^(1/2) = √4 = 2
Bei der Multiplikation von Potenzen mit rationalen Exponenten werden die Exponenten als gleichnamige Brüche dargestellt und dann addiert:
(a^(p/s)) * (a^(q/s)) = a^((p+q)/s)
Highlight: Die Erweiterung auf negative und rationale Exponenten ermöglicht es, komplexere mathematische Probleme zu lösen und Zusammenhänge in der Natur präziser zu beschreiben.
Diese erweiterten Regeln für Potenzen sind besonders wichtig in der höheren Mathematik und in wissenschaftlichen Anwendungen, wo oft mit nicht-ganzzahligen Exponenten gearbeitet wird.
Das zweite Potenzgesetz kommt zum Einsatz, wenn Potenzen mit gleichen Exponenten, aber unterschiedlichen Basen multipliziert werden. Die Vereinfachung erfolgt durch Multiplikation der Basen und Beibehaltung des gemeinsamen Exponenten:
a^n * b^n = (a * b)^n
Beispiel: 3⁴ * 5⁴ = (3 * 5)⁴ = 15⁴ = 50.625
Dieses Gesetz gilt ebenfalls für negative und rationale Exponenten. Der Beweis für natürliche Zahlen als Exponenten basiert auf der Ausmultiplikation der Faktoren.
Highlight: Bei der Anwendung dieses Gesetzes ist es wichtig, dass die Exponenten exakt gleich sind. Andernfalls muss zuerst das erste Potenzgesetz angewendet werden, um die Exponenten anzugleichen.
Das erste Potenzgesetz wird angewendet, wenn zwei Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden. Die Vereinfachung erfolgt, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert:
a^m * a^n = a^(m+n)
Beispiel: 2³ * 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128
Dieses Gesetz gilt auch für negative Exponenten und rationale Zahlen als Exponenten. Bei negativen Exponenten wird das Ergebnis als Bruch dargestellt:
Beispiel: a^(-2) * a^(-5) = a^(-2-5) = a^(-7) = 1/a⁷
Highlight: Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten immer addiert, unabhängig davon, ob sie positiv, negativ oder rational sind.
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Lernzettel ganze Zahlen (positive und negative Zahlen)
addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren ganze Zahlen; Gleichungen
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Potenzen
Potenzen, Potenzgesetze
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Ausführliche Zusammenfassung zu den Potenzgesetzen (mit Beispielen)
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Highlight: Diese Regel vereinfacht das Rechnen mit Potenzen erheblich, insbesondere bei komplexeren Ausdrücken.
Die Regel gilt auch für negative Exponenten und Brüche im Exponenten, wobei die Vorgehensweise ähnlich wie beim ersten Potenzgesetz ist.
Vocabulary: Basis: Die Grundzahl einer Potenz, die mit sich selbst multipliziert wird.
Diese Potenzregel ist besonders nützlich in der Algebra und bei der Vereinfachung von mathematischen Ausdrücken.
Potenzen sind mathematische Ausdrücke, bei denen eine Zahl (die Basis) mehrmals mit sich selbst multipliziert wird. Die allgemeine Form einer Potenz ist:
a^n = a * a * a * ... * a (n-mal)
Dabei ist:
Definition: Eine Potenz beschreibt die wiederholte Multiplikation einer Zahl (Basis) mit sich selbst, wobei der Exponent angibt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt.
Wichtige Regeln für Potenzen:
Beispiel: 7⁵ = 7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 16.807
Highlight: Potenzen vereinfachen die Darstellung von wiederholten Multiplikationen und sind grundlegend für viele Bereiche der Mathematik und Naturwissenschaften.
Potenzen können auch negative und rationale Exponenten haben, was ihre Anwendbarkeit erweitert:
Beispiel: 2^(-3) = 1 / 2³ = 1/8
Beispiel: 4^(1/2) = √4 = 2
Bei der Multiplikation von Potenzen mit rationalen Exponenten werden die Exponenten als gleichnamige Brüche dargestellt und dann addiert:
(a^(p/s)) * (a^(q/s)) = a^((p+q)/s)
Highlight: Die Erweiterung auf negative und rationale Exponenten ermöglicht es, komplexere mathematische Probleme zu lösen und Zusammenhänge in der Natur präziser zu beschreiben.
Diese erweiterten Regeln für Potenzen sind besonders wichtig in der höheren Mathematik und in wissenschaftlichen Anwendungen, wo oft mit nicht-ganzzahligen Exponenten gearbeitet wird.
Das zweite Potenzgesetz kommt zum Einsatz, wenn Potenzen mit gleichen Exponenten, aber unterschiedlichen Basen multipliziert werden. Die Vereinfachung erfolgt durch Multiplikation der Basen und Beibehaltung des gemeinsamen Exponenten:
a^n * b^n = (a * b)^n
Beispiel: 3⁴ * 5⁴ = (3 * 5)⁴ = 15⁴ = 50.625
Dieses Gesetz gilt ebenfalls für negative und rationale Exponenten. Der Beweis für natürliche Zahlen als Exponenten basiert auf der Ausmultiplikation der Faktoren.
Highlight: Bei der Anwendung dieses Gesetzes ist es wichtig, dass die Exponenten exakt gleich sind. Andernfalls muss zuerst das erste Potenzgesetz angewendet werden, um die Exponenten anzugleichen.
Das erste Potenzgesetz wird angewendet, wenn zwei Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden. Die Vereinfachung erfolgt, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert:
a^m * a^n = a^(m+n)
Beispiel: 2³ * 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128
Dieses Gesetz gilt auch für negative Exponenten und rationale Zahlen als Exponenten. Bei negativen Exponenten wird das Ergebnis als Bruch dargestellt:
Beispiel: a^(-2) * a^(-5) = a^(-2-5) = a^(-7) = 1/a⁷
Highlight: Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten immer addiert, unabhängig davon, ob sie positiv, negativ oder rational sind.
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