Potenzen+Potenzgesetze

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3². 3² = am. an a.a.....a a.a.....a 2) m=p In Zahler & Nenner sind gleich viele Faktoren: Im Faktoren a = Faktoren a a²₁a²==1=a² = m+n P Faktoren a 3) m<p Im Zähler stehen weniger Faktoren, als im Nenner. Beim Kürzen bleiben p-m Faktoren im Nenner: = a·a·a·a.....a m-p a·a·.·a m Faktoren a a.a.....a a.a.....a p Faktoren a 2 -3 4²₁ 4²²³ = 4². 43 = 4/² = 4.4²14₁ = = 4 = 0,25 = 4²^²= 4√²2+(-3) (12²) 2-3 1 प 55 5.5.5.5.5 -53 5.5.5 3² = ²3² ²3³² = 1 = 30 = 32+(-2) = 32-2 _m+ (-p) = ( =a =a C.C.....C = ₁·²·a·--α = ²-m=ò p-m Faktoren = 25=5²2²=55+(²-3) = 55-3 =am+n -(p-m) =a²p+m n+m = am+n = a Seite M Inhaltsverzeichnis Seite Thema Deckblatt 183456 2 7 8,9 10,11,12 14 15 16 Inhaltsverzeichnis Potenzen-Was sind das? Potenzen mit negativem Exponenten Zehnerpotenzen n-te Wurzeln Potenzen mit Stammbrüchen als Exponenten Potenzen mit rationalen Exponenten Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis - Potenzgesetz Nr. 1 Multiplizieren von Potenzen mit verschiedenen Basen - Potenzgesetz Nr. 2 Potenzieren einer Potenz-Potenzgesetz Nr. 3 Dividieren von Potenzen Wurzelgesetze BEIDE EXPONENTEN SIND NICHTGANZE RATIONALE ZAHLEN rationale Zahlen m & n als gleichnamige Brüche: m=· Dann müssen wir beweisen: p+q af.a²=a²²d.h. a£.at= $pa Dazu bilden wir (a. a&is & weisen nach, dass sich a P+Q (a²-a³j³ = (af) ³. (a²³²) ³ (se N, 521) Nach Definition der Potenz mit gebrochenen Exponenten (Potenzieren macht das Wurzelziehen rückgängig) (0.9 € Z) = // · 4 = 4 = =a²+a Also folgt: a = √² + + . =a S.S = S (খ) (ক) ও BEISPIELE: 2³ 2²=2²¹²-2²= 2 ² = 24 = 16 29 315 = 4 $√4³ - $√64¹ = S = { & n = ² mit p₁9 € Z & s € N, S²1 = ergibt: WIEDERHOLUNG KOMMUTATIVGESETZ: zu Seite M Das Kommutatugesetz sagt aus, dass man bei Addition und Multiplikation die Reihenfolge zweier Zahlen vertauschen kann, ohne dass sich das Ergebnis ändert. -Seite 12 Potenzen - Was sind das? MERKE: Die Potenz beschreibt einen mathematischen Ausdruck, bei dem eine Zahl mehrmals mit sich selber multipliziert wird. Also: Exponent (Hochzahl) n a = a·a·a..... a Basis (Grundzahl) BEISPIELE: a = = a·a·a·a 2 a = a a a = a 3-3-3-9 75=7·7·7·7·7= 16.807 ACHTUNG: #0 FÜR EINE REELLE ZAHL a>1: a = a.a a₁ = a 0 :a "Sa² = 1² :a Die Basis a wird n mal mit sich selber multipliziert. nEN (nist Element der natürlichen Zahlen) QER (a ist Element der reellen Zahlen) WIEDERHOLUNG: N = natürliche Zahlen → alle ganzzahligen positiven Zahlen Z= 1 = ganze Zahlen alle ganzen Zahlen, positiv & negativ Q = rationale Zahlen alle Bruchzahlen Irrationale Zahlen → Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, 2.3.2 oder π (pi) R=reelle Zahlen → Q + irrationale Zahlen a=1 für alle reellen Zahlen a wenn a= 2: :2 Co 2²=2·2=4 2₁=2 2° = 1 C 2 - Seite 3 Multiplizieren von Potenzen mit verschiedenen Basen POTENZGESETZ NR. 2 Die zweite Regel zum Rechnen mit Potenzen wird eingesetzt, wenn die Exponenten gleich, die Basen aber verschieden sind. Dabei werden die beiden Potenzen miteinander multipliziert. Man kann dies vereinfachen, indem man die beiden Basen multipliziert und als Exponenten die gemeinsame Hochzahl verwendet. Die Gleichung sieht dann so aus: an.bn= (a.b) BEWEIS FÜR NATÜRLICHE ZAHLEN NEN: ab=a. =a·a·a·b·b·b = (a∙b) · (a∙b).... (a∙b) = (a.b)^ In Faktoren an Faktoren b n Faktoren (a.b) Für negative Zahlen & Brüche im Exponenten muss man im Prinzip so vorgehen, wie beim ersten Potenzgesetz. Beispiele: 3.5=3·3·3·3·.S.S.S.5 = (3.5). (3.5)· (3.5)· (3.5) = (3.5)4 = 15² - 50.625 2²2-42=2.2.4.4 = (2-4) - (2-4) = (2-4)³² = 8² = 64 7²³ 10³² = 7·7·7·10-10-10 = (7·10)· (7·10)· (7·10) = (7-10)³ = 70³ = 343.000 51-8¹=5.8= (5.8)₁ = 40 5²22²=14 = (§·¼) · (3 · 4) – (4 · 1)² = (10)² = 10 · 10 = 100 = 0,01 2³ · 9³ −³√2²³ · ¾√³² - ³√2 · 2 · 39 · 49² = ³√29 · 429 = (³29)² = (318)² = 3√18² · ²√18² = ³√/18 18 = ³√324 - Seite 13 Potenzen mit negativem Exponenten Für reelle Zahlen a = 0 & natürliche Zahlen neN gilt: a =^. BEACHTE: Potenzen mit 0 als Basis & negativem Exponenten sind nicht definiert. GRUND: Durch 0 kann nicht dividiert werden. 2. B.: 0 == nicht definiert BEISPIELE ^ = 5³ = 53 = 0.008 1 (-7)2 = (-7)² = 49 -5 (³ = (²-1-(1)-32 = = -2 (√)² = 6-4 = 0,25 = WIEDERHOLUNG BRUCH RECHNUNG a² b Zähler Nenner Addition /Subtraktion: Brüche auf den gleichen Nenner bringen. Den Wenner übernehmen und die Zahler addieren bzw. subtrahieren. Multiplikation: Wenner mal Venner, zähler mal zähler. Division: mit dem Kehrwert multiplizieren. -Seite 4 Potenzieren einer Potenz POTENZGESETZ NR. 3 Beim dritten Potenzgesetz geht es darum, Potenzen zu potenzieren. Dies geschieht indem man die jeweiligen Exponenten miteinander multipliziert. Die Basis bleibt erhalten. (an)man.m BEWEIS: (2³)³ = 2² · 2²³ · 2²³ = (2-2)· (2·2)· (2·2) = 2·2·2·2·2·2 = 2º = 2²:3 = 64 BEISPIELE: (5²)³ = 52.3=5° = 5.S.S.S.S.S = 15.625 -3.2 A (2³)² = 2²³²²2² = 2 = 20 = 64 4.2 -8 0²1²2²2 973-930 '=7" 30 (6 ³ ) 5 = 6 = - -2-(-5) 10 =6 = 6 = 60.466.176 BEISPIELE 7²-7²=0 Die Summe oder Differenz von Potenzen kann man vereinfachen, wenn dabei gleichartige Glieder zusammengefasst werden. a + a² = 2a 4³ +4³ = 2.4²³ = ( = (4.4.4) + (4·4·4) = 64 +64 = 128 3.2²2 +2²=4.2²2² = (2·2)+ (2·2) + (2·2) + (2·2) = 4+4+4+4 = 16 •Seite 14 Zehnerpotenzen Potenziert man 10 mit einer natürlichen Zahl, erhält man eine Stufenzahl. 10 ergibt eine 1 mit n Nullen. BEISPIELE: 105=100.000 10² = 100 10⁰° = 1 2 10³ = 2·1000 = 2000 1.5. 10²-15 100 = 150 0,25-10²=0,25-100 = 25 Potenziert man 10 mit einer negativen ganzen Zahl, so erhält man Zehntel, Hundertstel.... Bei 10- steht die Ziffer 1 an der n-ten Nachkommastelle. BEISPIELE 10-5 = 106 = 100.000 = 0,0000 1 ^ = 10² = 100 = 0,01 •10 bewirkt eine Kommaverschiebung rum n Stellen nach rechts. 10-2 10-11/0=0,1 3.10³ = 3·0,001 = 0,003 1,25 10 = 1,25 0,0001 = 0,000125 20.10 20-0,01 = 0,2 7·10^= 7·0₁1 = 0,7 • 10h bewirkt eine Kommaverschiebung - um n Stellen nach links. - Seite 5 n-te Wurzeln Die n-te Wurzel der Zahl a ist jene nichtnegative Zahl, die mit n potenziert die Zahl a ergibt. ALSO: Wurzelexponent La Radikand BEISPIELE: 24-2, da 22=2·2=4 √32=2, do 25 = 2·2·2·2·2=32 410000 = 10, do 104 = 10.10 10.10 = 10.000 2. Wurzel (a)= Quadratwurzel 3. Wurzel (√) = Kubikwurzel +4. +9 4-16 = kann man nicht definieren, da (-2)-(-2)-(-2)-(-2) = 16 5√-32= -2, da (-2)² = (-2)-(-2)· (-2) (-2)-(-2) = -32 möglich, wird aber trotzdem nicht definiert (s. Masten). BEACHTE: 1. n-te Wurzeln sind stets nichtnegativ. 476 =+2, aber 476-2, obwohl (-2)¹ = 16. Grund: Vermeidung, dass z. B. 4/16 zwei verschiedene Zahlen bezeichnet. 2. Wurzeln mit einem geraden Exponenten & einem negativen Radikanden kann man nicht definieren. Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten & einem negativen Radikanden könnte man dagegen definieren. Um in der Definition der n-ten Wurzel keine Fallunterscheidung vornehmen zu müssen, wird die n-te Wurzel stets nur dann definiert, wenn der Radikand nichtnegativ ist. Es wird also auf die Definition, von z.B²8F1...verzichtet, da die Definition von 2.B. 4-16; ³F3;..., prinzipiell nicht möglich ist. - Seite 6 Dividieren von Potenzen POTENZGESETZ FÜR DIE DIVISION VON POTENZEN MIT GLEICHER BASIS -POTENZGESETZ UR. 1* Die Division bei gleicher Basis funktioniert, indem die Exponenten der durcheinander geteilten Potenzen voneinander subtrahiert werden. Die Basis bleibt dabei erhalten. für a#0 an =α BEISPIELE 5³:51 = 5³-1-5² = 25 24 2 4-7 = 2 m-n = 8 S-(-2) -3 = 2 = 2²³ = = 0,125 = 85 = 8=2.097.152, da 8²= 7 POTENZGESETZ FÜR DIE DIVISION VON POTENZEN MIT GLEICHEM EXPONENTEN POTENZGESETZ NR. 2* - Die Division bei gleichem Exponenten funktioniert, indem die Basen durcheinander geteilt werden & das Ergebnis hoch den ursprünglichen Exponenten genommen wird. (2) ^ für b*0 32.768 32.968 BEISPIELE 103 5³ = (5) ²³=2²³² = 8 ਵੈ = (੬) - ੬ - ਅ% = NE = 32.768.64 = 2.097.152 · (4) ³ = (4³ = (²) ³ = 344 13 - Seite 15 Wurzelgesetze Für natürliche Zahlen n&m gilt: 4) S1 • 36 - 36.6 2)=4 = für azo, b²0 √ √6=√46 = ²√√24 = √√24² 4ड · पर' = 45.2 = 40 अर. अप = अस्प = [8' = 2 1) Um das Gesetz anwenden zu dürfen, muss der Wurzelexponent gleich sein. In diesem Fall kann man die beiden Radikanden beibehalten & unter eine Wurzel mit dem selben Wurzelexponenten schreiben. BEISPIELE BEISPIELE: 2) Das Wurzelgesetz zur Division darf eingesetzt werden, wenn der Wurzelexponent bei beiden Wurzeln gleich ist. In diesem Fall kann man daraus eine Wurzel machen. 56-57-463 für a≥0,b³0 = 3) a=a for a ²0 $√3/100-$2√/100=10√100⁰ 22²=2412²=√12 36-56-32=2 3) Bei einer Wurzel unter einer Wurzel haben wir die m-te Wurzel aus der n-ten Wurzel von a. In diesem Fall kann man die beiden Wurzelexponenten miteinander multiplizieren. BEISPIELE •Seite 16 Potenzen mit Stammbrüchen als Exponenten Für eine nichtnegative Zahl a und eine natürliche Zahl n=2 vereinbart man: a= Man kann die Stammbrüche auch als Dezimalbrüche schreiben. BEISPIELE 160,25 = 16+ = 4√16 = 2 8=3√8=2 273=3√27-3 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN POTENZIEREN & WURZELZIEHEN For alle aeR mit a≥0 gilt: 1. (√√a²)² = a Das Ziehen der n-ten Wurzel wird durch das Potenzieren mit n rückgängig gemacht: n-te Wurzel ziehen a a hoch A BEISPIELE: (38)² = 2³ = 8 (316)² = 4² = 16 $√7²)² = 15 = 1 3³√√8³²=³√√512=8 3√16³-√√4096-16 √√√1 2. √²=a Das Biehen der n-ten Wurzel wird durch das Potenzieren mit n rückgängig gemacht: hoch n a an A-te Wurzel niehen - Seite 7 Potenzen mit rationalen Exponenten M Für me Z.neN mit n ≥ 2 & reelle Zahlen a>0: a = am Für m≥0 ist auch a=0 zulässig. Nenner des Bruchs → Wurzelexponent Zahler des Bruchs Exponent des Radikanden Spezialfall: m=1 a= SQ BEISPIELE: 0,75 = 16² = 4√16³ = 4√4096 = 8, da 84 = 8.8.8.8= 4096 16 -7 7 = 7 = 402 = 4³ = $√/47² = $√/4 00²-04 = 40" = 4√² = 4√√= = nicht definiert -0,25 -1,75 Jede rationale Zahl lässt sich in der Form n schreiben. m ist dabei eine ganze Zahl & n eine von null verschiedene Zahl. Als Basis kommen nur positive Zahlen oder 0 infrage, da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist. Zudem darf die Basis bei einem negativen Exponenten nicht sein, da die O sonst bei der Umformung im Nenner steht und man nicht durch O teilen kann. 55-51-3 50m² = - Seite 8 √2³ = √2·2·2= √2-√2² √2²=(√2)²³ siehe Wurzelgesetz: (√²)² = √a· √a² = √√a·a² = -√√²¹ UNMÖGLICHKEIT DER DEFINITION VON af FÜR NEGATIVE BASEN a Obwohl man 2.3.1-8=-2 sinnvoll definieren könnte, wird darauf verzichtet. Es wäre nicht möglich, entsprechende Potenzen mit negativer Basis & gebrochenem rationalen Exponenten eindeutig zu definieren. SATZ = Gilt für a>0 & mez,pe Z,n € N mit n ≥2, q € N mit q≥1,-, so folgt: a = √² BEISPIELE (√4)²³² = √4² √4² √4² = √4.4.4 = √64² = 8 (F) = -√√√7² = √2·7·7·-7² = √2101² = 49 - 2 = ²√-8' - (- 8)ª = (-8)³ = 4√ (18²ª = 4√164 - 2 Ein Widerspruch, der aus dem Erweitern des Bruchs im Exponenten resultiert. Dieses Beispiel zeigt zudem die wichtigkeit des Satzes, der garantiert, dass derartige Widersprüche bei Potenzen mit positiver Basis nicht auftreten können. - Seite 9