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Potenzen+Potenzgesetze

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Potenzen + Potenzgesetze Note: 1 Generelles über Potenzen Potenzen mit negativem Exponenten Zehnerpotenzen n-te Wurzel Potenzen mit Stammbrüchen als Exponenten Potenzen mit rationalen Exponenten Potenzgesetze Dividieren von Potenzen Wurzelgesetze

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MATHEMATIK am. a = am+n (ab)m = ambm a = 1 a = Nam (am)n ● Elc =a" ia Potenzgesetze ● m • • · (2) واه واه m || mn m -Fiona Abeln a = am an =am-n 7/8 8 1 an 1 An = αº an - Seite 1 Inhaltsverzeichnis Seite Thema Deckblatt Inhaltsverzeichnis Potenzen - Was sind das ? Potenzen mit negativem Exponenten Zehner potenzen <तल=७ळत<<=७५ 8,9 10.11.12 n-te Wurzeln Potemen mit Stammbrüchen als Exponenten Potenzen mit rationalen Exponenten Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis - Potenzgesetz Nr. 1 Multiplizieren von Potenzen mit verschiedenen Basen - Potemgesetz Nr. 2 Potenzieren einer Potenz-Potenzgesetz Nr. 3. Dividieren von Potenzen Wurzelgesetze Potenzen - Was sind das? MERKE: Die Potenz beschreibt einen mathematischen Ausdruck, bei dem eine Zahl mehrmals mit sich selber multipliziert wird. Also: Exponent (Hochzahl) a = a·a·a..... a Basis (Grundzahl) BEISPIELE: a = a·a·a·a 2 a = a a a₁ = a 2 3= 3·3=9 75 = 7·7·7·7· 7 = 16.807 ACHTUNG: a*0 ao FÜR EINE REELLE ZAHL a>1: 2 a = a⋅a. a₁ = a Ja° = 1 a Die Basis a wird n mal mit sich selber multipliziert. nEN (nist Element der natürlichen Zahlen) QER (a ist Element der reellen Zahlen) WIEDERHOLUNG: N= natürliche Zahlen → alle ganzzahligen positiven Zahlen Z = ganze Zahlen alle ganzen Zahlen, positiv & negativ Q = rationale Zahlen → alle Bruchzahlen Irrationale Zahlen → Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, z.3. √2 oder π (pi) R = reelle Zahlen → Q + irrationale Zahlen a = 1 für alle reellen Zahlen a wenn a= 2: 2²=2·2=4 2₁=2 2° = 1 :2 (1 :2 1:2 2 - Seite 3 Potenzen mit negativem Exponenten Für reelle Zahlen a ≈ 0 & natürliche Zahlen neN gilt: a^= BEACHTE: Potenzen...

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mit 0 als Basis & negativem Exponenten sind nicht definiert. GRUND: Durch 0 kann nicht dividiert werden. 2.B.: 0-1 == nicht definiert BEISPIELE: 5²³3³ =²³ = 125 125 = 0,008 (-7)² = (-71² = 49 243 (U²³ = (²)³ = 1. (²³7²) 5 = 32 (√4) ² =(√4)² = 4 = 0,25 WIEDERHOLUNG BRUCH RECHNUNG Zähler a² bx Wenner : Addition/Subtraktion: Brüche auf den gleichen Nenner bringen. Den Wenner übernehmen und die Zahler addieren bzw. subtrahieren. Multiplikation: Wenner mal Venner, Zähler mal Zähler. Division: mit dem Kehrwert multiplizieren. -Seite 4 Zehnerpotenzen Potenziert man 10 mit einer natürlichen Zahl, erhält man eine Stufenzahl. 10" ergibt eine 1 mit n Nullen. BEISPIELE: 10 = 100.000 2 10ª = 100 10⁰ = 1 3 2·10³ = 2·1000 = 2000 1.5·10² = 1,5·100 = 150 0,25 10=0,25·100 = 25 Potenziert man 10 mit einer negativen ganzen Zahl, so erhält man Zehntel, Hundertstel.... Bei 10-n steht die Ziffer 1 an der n-ten Nachkommastelle. BEISPIELE 105 10⁰ -2 106 = 100.000 = 0,0000 ㅅ 100 -0,01 10-1 1/² = 0,1 3·10 = 3·0,001 = 0,003 1,25 10 = 1,25 0,0001 = 0,000125 •100 bewirkt eine Kommaverschiebung um n Stellen nach rechts. = 10 = -2 2010 = 20·0,01 = 0,2 7·10¯^ = 7·0₁1 = 0,7 10 bewirkt eine Kommaverschiebung ● um n Stellen nach links. - Seite 5 Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis POTENZGESETZ NR. 1. Die erste Potenzregel wird verwendet, wenn zwei Potenzen miteinander multipliziert werden. Dabei muss die Basis jeweils gleich sein. Die Vereinfachung sieht so aus, dass man die Basis beibehalt & die beiden Exponenten addiert: am. an = m+n BEISPIELE 2³ 24 = 2³+4 = 2² = 2·2·2·2·2·2·2= 128 · ·2-2-2-2 2-2-2 3 42.4²° = 4²° 42+3 1+2 5.5²5₁ 5² = 5^ 2 7². 7° = 7² · 1 = 7² = 7-7=49 -2 = 45 = 4.4.4.4.4 = 1024 : = BEISPIELE: -4 2 = aman = a ².a -P-9 = BEIDE EXPONENTEN SIND NEGATIVE ZAHLEN m=-p,n=-q mit p.q € N dann gilt: ^ ^ A = a.a....a a. a.....a • Faktoren a a Faktoren a p+a Faktorena -2 -5 1². 15 = 1² 5³= 5.5.5=125 = A =a² aª 2-2 2-2-2-2 2-2 2-2-2-2 = 70°= 1 −2+ (-5) 1/2 - 1 = 1²0 = 1-(2²+5) = 1² A 64 2・·2·2·2·2·2, 64 = 2 ņ ^ ·a·a·.·a - (2+4) -7 A = 7/7 = 1/2 = 1 슈 = 2-2 + (-4)= 2²² -6 = a(pra) = a-p+(-a) =am+n -Seite 10 DER EINE EXPONENT IST EINE POSITIVE NATÜRLICHE ZAHL, DER ANDERE EINE NEGATIVE Siehe Selte a wegen des Kommutativgesetzes können wir ohne Einschränkung annehmen: meN & n=-p mit pe N. Dann folgt: m Faktoren a a.a.....a a. a.....a p Faktoren a Zum Vereinfachen werden drei Fälle unterschieden für m₁p²1: 1)m>p: Im Zähler stehen mehr Faktoren, als im Nenner. Dadurch lassen sich alle Faktoren aus dem Nenner wegkürzen & es bleiben m-p Faktoren im Zähler. Also: m Faktoren a m-p Faktoren a.a.....a a.a....·a·a…….. aª a·a.....a a Faktoren a am. an am. =ama-p 5 5 2) m=p in Zahler & Nenner sind gleich viele Faktoren: m Faktoren a am₁ a² = ₁·₁·²= 1 = a° = am+n . Faktoren a 3) m<p Im Zähler stehen weniger Faktoren, als im Nenner. Beim Kürzen bleiben p-m Faktoren im Nenner: = 4².4 ²³3 = 4² · 4/3 = 2-3 am. a^= 55. = 1 m faktoren a am. an = a.a.....a P Faktoren a BEISPIELE 2 3³² · 32² = 3². 3/² = 3²+² = 33²-3³ = 1 = 30 - 32+(-2) = 3²-2 C.CA.....C ·a·a·a·a·a S 5.5.5.1.5 53 = = 9.9 4³ = 4₁ 4²-41 = = 4 = 0,25 = 4²^²= 4²2+6-3) (2-3 _S+(-3) = 5.5.5 = 25=5²² = 55 am-p = m+ (-p) = am+n =a p-m Faktoren 55-3 =p=m=ï(p-m²_-a-p+m n+m =am+n - Seite M BEIDE EXPONENTEN SIND NICHTGANZE RATIONALE ZAHLEN rationale Zahlen m &n als gleichnamige Brüche: m= & & n= { mit p₁9 € Z & s € N, S²1 Dann müssen wir beweisen: af. a ² = a ²+², d.h. a£. 7 = 2√²+² वडे, Sapta S quito लाफ Dazu bilden wir (af. a&js & weisen nach, dass sich a (af. adj³ = (af) ³. (a&j ³ (S & N₁ S21) =(√√√²)³. (24) ² Noch Definition der Potenz mit gebrochenen Exponenten) ap 9 (Potenzieren macht das Wurzelziehen rückgängig (0.9 € Z) =a²+a Also folgt: a² a³ = √√₁²+a² = ²+ = £ + ² a BEISPIELE: 2³ · 2² = 2ª + ² 2 = 24 = 16 लाल . J 5 $³.55 S || J I 2+1 2+1 3 = 4 34585 316 = 5 = 5 cole || I JV 5√4³- $√64¹ s₁= 5 P+Q ergibt: WIEDERHOLUNG KOMMUTATIVGESETZ: w Seite M Das Kommutatugesetz sagt aus, dass man bei Addition und Multiplikation die Reihenfolge zweier Zahlen vertauschen kann, ohne dass sich das Ergebnis ändert. -Seite 12 Multiplizieren von Potenzen mit verschiedenen Basen BEWEIS FOR NATÜRLICHE ZAHLEN DEN: a baa a·b·b....·.b = (a.b) · (a∙b)....· (a∙b) = (a⋅b)^ n Faktoren an Faktoren b in Faktoren (a∙b). Für negative Zahlen & Brüche im Exponenten muss man im Prinzip so vorgehen, wie beim ersten Potenzgesetz. POTENZGESETZ NR. 2. Die zweite Regel zum Rechnen mit Potenzen wird eingesetzt, wenn die Exponenten gleich, die Basen aber verschieden sind. Dabei werden die beiden Potenzen miteinander multipliziert. Man kann dies vereinfachen, indem man die beiden Basen multipliziert und als Exponenten die gemeinsame Hochzahl verwendet. Die Gleichung sieht dann so aus: an.bn = (a.b)^ Beispiele: 354 3·3·3·3·S.S.S.5 = (3.5) (3.5)·(3.5).(3-5) = (3.5)4 = 15² = 50.625 2².4² -2.2.4.4 = (2-4)-(2-4) = (2-4)² = 8² = 64 3 7²³ · 10³² = 7·7·7· 10 · 10 · 10 = (7·10) · (7.10)· (7·10) = (7·10)³ = 70³ = 343.000 5¹-8¹= S. 8 = (5-8)^= 40 -2 -2 S 2 = ४ 2/8 20 15 SIX ¼ = (§^ - ^^ ) · ( 3 · 4 ) – (§^ · 1)² = (16)² = 1·10 - 100 =0,01 2 √√2²√²-√√√√239 · 3√9² = ³√√2·9·√√29 = (429)² = (√18)² = √√18 - ²³-√18² = ³√ 18.18 = ²√324 = - Seite 13 Potenzieren einer Potenz POTENZGESETZ NR. 3 Beim dritten Potenzgesetz geht es darum, Potenzen zu potenzieren. Dies geschieht indem man die jeweiligen Exponenten miteinander multipliziert. Die Basis bleibt erhalten. (an) m = an-m BEWEIS: २ (2²) ²³ = 2²³ · 2² · 2²³ = (2-2)-(2·2)· (2·2) = 2·2·2·2·2·2 = 2º = 2²:³3 = 64 BEISPIELE: (5²)³ = 52.3 = 5° = S.S.S.S.S.S = 15.625 -6 A (2)² = 2-3³-2² - 26 = 2 = 64 = 18 (8²) ² = 8²¹ ² = 8² - 8²¹² = ²√8²′ = √8² = ( 24 )³ = 2² § - 2* = 4√7³ - 10/340 -2.-5 (6) = 6 -2.(-5) 10 = 6 = 60.466.176 Die Summe oder Differenz von Potenzen kann man vereinfachen, wenn dabei gleichartige Glieder zusammengefasst werden. a² + a² = 2a² BEISPIELE 7²-7² = 0 4³ +4³ = 2.4³ = (4.4.4) + (4.4.4) = 64 +64 = 128 3·2² +2²=4.2²2² = (2·2)+ (2-2) + (2-2) + (2·2) = 4+4+4+4=16 - Seite 14

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mit 0 als Basis & negativem Exponenten sind nicht definiert. GRUND: Durch 0 kann nicht dividiert werden. 2.B.: 0-1 == nicht definiert BEISPIELE: 5²³3³ =²³ = 125 125 = 0,008 (-7)² = (-71² = 49 243 (U²³ = (²)³ = 1. (²³7²) 5 = 32 (√4) ² =(√4)² = 4 = 0,25 WIEDERHOLUNG BRUCH RECHNUNG Zähler a² bx Wenner : Addition/Subtraktion: Brüche auf den gleichen Nenner bringen. Den Wenner übernehmen und die Zahler addieren bzw. subtrahieren. Multiplikation: Wenner mal Venner, Zähler mal Zähler. Division: mit dem Kehrwert multiplizieren. -Seite 4 Zehnerpotenzen Potenziert man 10 mit einer natürlichen Zahl, erhält man eine Stufenzahl. 10" ergibt eine 1 mit n Nullen. BEISPIELE: 10 = 100.000 2 10ª = 100 10⁰ = 1 3 2·10³ = 2·1000 = 2000 1.5·10² = 1,5·100 = 150 0,25 10=0,25·100 = 25 Potenziert man 10 mit einer negativen ganzen Zahl, so erhält man Zehntel, Hundertstel.... Bei 10-n steht die Ziffer 1 an der n-ten Nachkommastelle. BEISPIELE 105 10⁰ -2 106 = 100.000 = 0,0000 ㅅ 100 -0,01 10-1 1/² = 0,1 3·10 = 3·0,001 = 0,003 1,25 10 = 1,25 0,0001 = 0,000125 •100 bewirkt eine Kommaverschiebung um n Stellen nach rechts. = 10 = -2 2010 = 20·0,01 = 0,2 7·10¯^ = 7·0₁1 = 0,7 10 bewirkt eine Kommaverschiebung ● um n Stellen nach links. - Seite 5 Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis POTENZGESETZ NR. 1. Die erste Potenzregel wird verwendet, wenn zwei Potenzen miteinander multipliziert werden. Dabei muss die Basis jeweils gleich sein. Die Vereinfachung sieht so aus, dass man die Basis beibehalt & die beiden Exponenten addiert: am. an = m+n BEISPIELE 2³ 24 = 2³+4 = 2² = 2·2·2·2·2·2·2= 128 · ·2-2-2-2 2-2-2 3 42.4²° = 4²° 42+3 1+2 5.5²5₁ 5² = 5^ 2 7². 7° = 7² · 1 = 7² = 7-7=49 -2 = 45 = 4.4.4.4.4 = 1024 : = BEISPIELE: -4 2 = aman = a ².a -P-9 = BEIDE EXPONENTEN SIND NEGATIVE ZAHLEN m=-p,n=-q mit p.q € N dann gilt: ^ ^ A = a.a....a a. a.....a • Faktoren a a Faktoren a p+a Faktorena -2 -5 1². 15 = 1² 5³= 5.5.5=125 = A =a² aª 2-2 2-2-2-2 2-2 2-2-2-2 = 70°= 1 −2+ (-5) 1/2 - 1 = 1²0 = 1-(2²+5) = 1² A 64 2・·2·2·2·2·2, 64 = 2 ņ ^ ·a·a·.·a - (2+4) -7 A = 7/7 = 1/2 = 1 슈 = 2-2 + (-4)= 2²² -6 = a(pra) = a-p+(-a) =am+n -Seite 10 DER EINE EXPONENT IST EINE POSITIVE NATÜRLICHE ZAHL, DER ANDERE EINE NEGATIVE Siehe Selte a wegen des Kommutativgesetzes können wir ohne Einschränkung annehmen: meN & n=-p mit pe N. Dann folgt: m Faktoren a a.a.....a a. a.....a p Faktoren a Zum Vereinfachen werden drei Fälle unterschieden für m₁p²1: 1)m>p: Im Zähler stehen mehr Faktoren, als im Nenner. Dadurch lassen sich alle Faktoren aus dem Nenner wegkürzen & es bleiben m-p Faktoren im Zähler. Also: m Faktoren a m-p Faktoren a.a.....a a.a....·a·a…….. aª a·a.....a a Faktoren a am. an am. =ama-p 5 5 2) m=p in Zahler & Nenner sind gleich viele Faktoren: m Faktoren a am₁ a² = ₁·₁·²= 1 = a° = am+n . Faktoren a 3) m<p Im Zähler stehen weniger Faktoren, als im Nenner. Beim Kürzen bleiben p-m Faktoren im Nenner: = 4².4 ²³3 = 4² · 4/3 = 2-3 am. a^= 55. = 1 m faktoren a am. an = a.a.....a P Faktoren a BEISPIELE 2 3³² · 32² = 3². 3/² = 3²+² = 33²-3³ = 1 = 30 - 32+(-2) = 3²-2 C.CA.....C ·a·a·a·a·a S 5.5.5.1.5 53 = = 9.9 4³ = 4₁ 4²-41 = = 4 = 0,25 = 4²^²= 4²2+6-3) (2-3 _S+(-3) = 5.5.5 = 25=5²² = 55 am-p = m+ (-p) = am+n =a p-m Faktoren 55-3 =p=m=ï(p-m²_-a-p+m n+m =am+n - Seite M BEIDE EXPONENTEN SIND NICHTGANZE RATIONALE ZAHLEN rationale Zahlen m &n als gleichnamige Brüche: m= & & n= { mit p₁9 € Z & s € N, S²1 Dann müssen wir beweisen: af. a ² = a ²+², d.h. a£. 7 = 2√²+² वडे, Sapta S quito लाफ Dazu bilden wir (af. a&js & weisen nach, dass sich a (af. adj³ = (af) ³. (a&j ³ (S & N₁ S21) =(√√√²)³. (24) ² Noch Definition der Potenz mit gebrochenen Exponenten) ap 9 (Potenzieren macht das Wurzelziehen rückgängig (0.9 € Z) =a²+a Also folgt: a² a³ = √√₁²+a² = ²+ = £ + ² a BEISPIELE: 2³ · 2² = 2ª + ² 2 = 24 = 16 लाल . J 5 $³.55 S || J I 2+1 2+1 3 = 4 34585 316 = 5 = 5 cole || I JV 5√4³- $√64¹ s₁= 5 P+Q ergibt: WIEDERHOLUNG KOMMUTATIVGESETZ: w Seite M Das Kommutatugesetz sagt aus, dass man bei Addition und Multiplikation die Reihenfolge zweier Zahlen vertauschen kann, ohne dass sich das Ergebnis ändert. -Seite 12 Multiplizieren von Potenzen mit verschiedenen Basen BEWEIS FOR NATÜRLICHE ZAHLEN DEN: a baa a·b·b....·.b = (a.b) · (a∙b)....· (a∙b) = (a⋅b)^ n Faktoren an Faktoren b in Faktoren (a∙b). Für negative Zahlen & Brüche im Exponenten muss man im Prinzip so vorgehen, wie beim ersten Potenzgesetz. POTENZGESETZ NR. 2. Die zweite Regel zum Rechnen mit Potenzen wird eingesetzt, wenn die Exponenten gleich, die Basen aber verschieden sind. Dabei werden die beiden Potenzen miteinander multipliziert. Man kann dies vereinfachen, indem man die beiden Basen multipliziert und als Exponenten die gemeinsame Hochzahl verwendet. Die Gleichung sieht dann so aus: an.bn = (a.b)^ Beispiele: 354 3·3·3·3·S.S.S.5 = (3.5) (3.5)·(3.5).(3-5) = (3.5)4 = 15² = 50.625 2².4² -2.2.4.4 = (2-4)-(2-4) = (2-4)² = 8² = 64 3 7²³ · 10³² = 7·7·7· 10 · 10 · 10 = (7·10) · (7.10)· (7·10) = (7·10)³ = 70³ = 343.000 5¹-8¹= S. 8 = (5-8)^= 40 -2 -2 S 2 = ४ 2/8 20 15 SIX ¼ = (§^ - ^^ ) · ( 3 · 4 ) – (§^ · 1)² = (16)² = 1·10 - 100 =0,01 2 √√2²√²-√√√√239 · 3√9² = ³√√2·9·√√29 = (429)² = (√18)² = √√18 - ²³-√18² = ³√ 18.18 = ²√324 = - Seite 13 Potenzieren einer Potenz POTENZGESETZ NR. 3 Beim dritten Potenzgesetz geht es darum, Potenzen zu potenzieren. Dies geschieht indem man die jeweiligen Exponenten miteinander multipliziert. Die Basis bleibt erhalten. (an) m = an-m BEWEIS: २ (2²) ²³ = 2²³ · 2² · 2²³ = (2-2)-(2·2)· (2·2) = 2·2·2·2·2·2 = 2º = 2²:³3 = 64 BEISPIELE: (5²)³ = 52.3 = 5° = S.S.S.S.S.S = 15.625 -6 A (2)² = 2-3³-2² - 26 = 2 = 64 = 18 (8²) ² = 8²¹ ² = 8² - 8²¹² = ²√8²′ = √8² = ( 24 )³ = 2² § - 2* = 4√7³ - 10/340 -2.-5 (6) = 6 -2.(-5) 10 = 6 = 60.466.176 Die Summe oder Differenz von Potenzen kann man vereinfachen, wenn dabei gleichartige Glieder zusammengefasst werden. a² + a² = 2a² BEISPIELE 7²-7² = 0 4³ +4³ = 2.4³ = (4.4.4) + (4.4.4) = 64 +64 = 128 3·2² +2²=4.2²2² = (2·2)+ (2-2) + (2-2) + (2·2) = 4+4+4+4=16 - Seite 14