Potenzen+Potenzgesetze

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in Zahler & Nenner sind gleich viele Faktoren: m Faktoren a •_ a·a·a = 1=a²° = am+n 5.5 am. a^² = ₁ Faktoren a 3) m <p Im Zähler stehen weniger Faktoren, als im Nenner. Beim Kürzen bleiben p-m Faktoren im Nenner: = am. an 55. a.a.....a C.C. a.a.....a a.a Faktoren a BEISPIELE 2 1 ふ 3². 3² 2² = 3²² 3²³ = 3²+² = 3·3² = 1 = 3⁰ = 32+(-2) = 3²-2 उर સ્ડ 53 • m Faktoren a a.a.....a 2 4².4² ²³ = 4² 43 = 4²³² = 4₁.6²² = = 4 = 0,25 = 4²^²=4²+(-3) 2=3 4.4.4 ·a·a.....a m-p = a a = a.a. ' = am+ (-p) = am+n C.C.....C =Q+Qa=₁¹²² G₁Q ²...α = a^²m; ·a·a·a·a·a p Faktoren a p-m Faktoren ડ.ડ.5.5.5 5.5.5 = 25=5²²-55+(-3) 55-3 =p=m=ï(p-m² = a-p+m a n+m =am+n - Seite M. BEIDE EXPONENTEN SIND NICHTGANZE RATIONALE ZAHLEN rationale Zahlen m & n als gleichnamige Brüche: m= { & n = { mit p₁q € Z & S € N, S²1 Dann müssen wir beweisen: p+q a². a ²²=a²², d. h. a ². a S Dazu bilden wir (af. asys (af. a&js = (af) ³. (a)s =(√√√²²)³. (√) ³ = aº. aª مال : Also folgt: a³ a³ = √√₁²+a² = ²+² = £ + ² · as BEISPIELE: 2³ · 2³ = 2ª ¹² = 2*² = 2* = 2ª = 16 J 915 || 11 J 2+1 & weisen nach, dass sich a³s ap+q ergibt: (SE N₁ S21) Nach Definition der Potenz mit gebrochenen Exponenten) (Potenzieren macht das Wurzelziehen rückgängig (0.9 €Z) 2+1 3 = a P+q = 4 216 5 = 5 cated ・5√4³² - $√64¹ = "1 = 2√²49² "1 s₁= 5 WIEDERHOLUNG KOMMUTATIVGESETZ: zu Seite M Das Kommutatugesetz sagt aus, dass man bei Addition und Hultiplikation die Reihenfolge zweier Zahlen vertauschen kann, ohne dass sich das Ergebnis ändert. -Seite 12 Multiplizieren von Potenzen mit verschiedenen Basen BEWEIS FOR NATÜRLICHE ZAHLEN NEN: aba⋅a a·b·b·.·b = (a.b) · (a∙b)....·. (a∙b) = (a.b)^ In Faktoren an Faktoren b in Faktoren (a-b) Für negative Zahlen & Brüche im Exponenten muss man im Prinzip so vorgehen, wie beim ersten Potenzgesetz. POTENZGESETZ NR. 2. Die zweite Regel zum Rechnen mit Potenzen wird eingesetzt, wenn die Exponenten gleich, die Basen aber verschieden sind. Dabei werden die beiden Potenzen miteinander multipliziert. Man kann dies vereinfachen, indem man die beiden Basen multipliziert und als Exponenten die gemeinsame Hochzahl verwendet. Die Gleichung sieht dann so aus: an.bn = (a.b)^ Beispiele: 354 3·3·3·3· S·S-5.5 = (3.5) (3.5).(3.5).(3.5) = (3.5)4 = 15² - 50.625 2²-42=2.2.4.4 = (2·4) - (2-4) = (2-4)² = 8² = 64 3 7³³· 10²³ = 7 · 7 · 7 · 10 · 10 · 10 = (7·10) · (7·10)· (7·10) = (7·10)³ = 70³ = 343.000 5₁-8¹=5.8= (5-8)₁ = 40 ४ -2 S2 = 88132 1 · · · 4 = (§ - 4) · (3 · 4) = (§ · 4)² = (ú)³² - · Â0 = 100 =0,01 2 =³√√2²²³√²-³√√√√2-19 √9¹-³√29-√√29 = (329)² = (318)² = 3√18² - ³√18² = ²√ 18.18 = ²√324 - Seite 13 Potenzieren einer Potenz POTENZGESETZ NR. 3 Beim dritten Potenzgesetz geht es darum, Potenzen zu potenzieren. Dies geschieht indem man die jeweiligen Exponenten miteinander multipliziert. Die Basis bleibt erhalten. (an)m=an.m BEWEIS: (2ª)³ = 2²ª - 2³² · 2²³ = (2-2)· (2-2)· (2·2) = 2·2·2·2·2·2 = 2° = 2²:3 = 64 BEISPIELE: (5²)³ = 52.3= 5° = 5.S.S.S.S.S = 15.625 (2³)² = 27³-2=26= 2/6 = 64 2) -3.2 (8² ) ² = 8² · 2 = 8² - 8 ¹² = ²√8¹ = √8″ ( 2² )³ = 2 ² ² = 2 * = 4√2³ - 10/3413 073 -2-5 (6) = 6 -2.(-5) 10 = 6 = 60.466.176 Die Summe oder Differenz von Potenzen kann man vereinfachen, wenn dabei gleichartige Glieder zusammengefasst werden. a² + a² = 2an BEISPIELE: 7²-7²=0 4³ + 4³ = 2.4³ = (4.4.4) + (4.4.4) = 64 +64 = 128 3·2² +2²=4-2²2² = (2-·2)+(2-2) + (2·2) + (2·2) = 4+4+4+4 = 16 - Seite 14 Dividieren von Potenzen POTENZGESETZ FÜR DIE DIVISION VON POTENZEN MIT GLEICHER BASIS -POTENZGESETZ UR. 1* BEISPIELE 5²³:51 = 5³-1 = 5² = 25 S Jª ∞0100 5 8 Die Division bei gleicher Basis funktioniert, indem die Exponenten der durcheinander geteilten Potenzen voneinander subtrahiert werden. Die Basis bleibt dabei erhalten. an = am-n für a‡o دوالی ادوار = 4-7 -3 2 11 S-(-2) %∞ 2/³ = 1/2 = 0,125 = 7 = 8 = 2.097.152, da wird. an = (2)^ für b*0 BEISPIELE 3 10³ = (40) ³ = 2²³ = 8 POTENZGESETZ FÜR DIE DIVISION VON POTENZEN MIT GLEICHEM EXPONENTEN - POTENZGESETZ NR. 2* 85 Die Division bei gleichem Exponenten funktioniert, indem die Basen durcheinander geteilt werden & das Ergebnis hoch den ursprünglichen Exponenten genommen = √# (⑤)* = [(3) = = 31* I 32.768 32.768 32 1 64 -3 4² = (4)=³ = (4³² = (2) ³ = 343 3 = 32.768.64 = 2.097.152 - Seite 15 Wurzelgesetze Für natürliche Zahlen n & m gilt: 1) a·b = √a·b für az 0, b²0 ام DEISPIELE 5/5 = 2√5 = 2√7 = 3√63 1) Um das Gesetz anwenden zu dürfen, muss der Wurzelexponent gleich sein. In diesem Fall kann man die beiden Radikanden beibehalten & unter eine Wurzel mit dem selben Wurzelexponenten schreiben. BEISPIELE: अप'. 46' = 3434.6 = शुस = स्पि 45 · पर' = 4ड-2 = 4402 √√√2²-√√4-²³√√24 = ³√8¹ = 2 (2) = " 2)Das Wurzelgesetz zur Division darf eingesetzt werden, wenn der Wurzelexponent bei beiden Wurzeln gleich ist. In diesem Fall kann man daraus eine Wurzel machen. for a 0,b³0 : m.n 3) a = a for a ²0 $√3/100-5:2√/100=10√100⁰ 2412² = 24/12²=3√12² √96² = ³√√32²=2 3) Bei einer Wurzel unter einer Wurzel haben wir die m-te Wurzel aus der n-ten Wurzel von a. In diesem Fall kann man die beiden Wurzelexponenten miteinander multiplizieren. BEISPIELE - Seite 16 MATHEMATIK am. ď = am+n а Elc (ab)m = ambm m 3.2 a = 1 a = √am (am)" lamp no A Potenzgesetze 11 ان ماه mn =a" m -Fiona Abeln a= am an =am-n 1 an 1 an=a² - Seite 1 Inhaltsverzeichnis Seite Thema <४०=७°°°Fe=५५ 8,9 10,11,12 Deckblatt Inhaltsverzeichnis Potenzen - Was sind das ? Potenzen mit negativem Exponenten Zehner potenzen n-te Wurzeln Potemen mit Stammbrüchen als Exponenten Potenzen mit rationalen Exponenten Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis - Potenzgesetz Nr. 1 Multiplizieren von Potenzen mit verschiedenen Basen - Potenzgesetz Nr. 2 Potenzieren einer Potenz-Potenzgesetz Nr. 3. Dividieren von Potenzen Wurzelgesetze Potenzen - Was sind das? MERKE: Die Potenz beschreibt einen mathematischen Ausdruck, bei dem eine Zahl mehrmals mit sich selber multipliziert wird. Also Exponent (Hochzahl) n a = a·a·a..... a Basis (Grundzah!) BEISPIELE: a"= = a·a·a·a 2 a = a · a a₁-a 32=3.3=9 7° = 7·7·7·7·7 = 16.807 ACHTUNG: a* O FÜR EINE REELLE ZAHL a> 1: 2 a = a.a. a₁ = a Ja° = 1 a Die Basis a wird n mal mit sich selber multipliziert. nEN (nist Element der natürlichen Zahlen) a ER (a ist Element der reellen Zahlen) WIEDERHOLUNG: N = natürliche Zahlen → alle ganzzahligen positiven Zahlen Z = ganze Zahlen → alle ganzen Zahlen, positiv & negativ Q = rationale Zahlen → alle Bruchzahlen Irrationale Zahlen → Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, z.3. √2 oder π (pi) R = reelle Zahlen → Q + irrationale Zahlen a = 1 für alle reellen Zahlen a wenn a= 2: co :2 2²=2·2=4 2₁ = 2 2° = 1 2:2 :2 - Seite 3 Potenzen mit negativem Exponenten Für reelle Zahlen a ≈ 0 & natürliche Zahlen neN gilt: a^ = a. BEACHTE: Potenzen mit 0 als Basis & negativem Exponenten sind nicht definiert. GRUND: Durch 0 kann nicht dividiert werden. 2.B.: 0-1 == nicht definiert BEISPIELE: 5³ = 3 =15 53 125 = 0,008 (-7) ² = 1/77³² = 49 (-7) (3) ³ = ²/³ = 1. (³²) ² = 32 (√4) ² =(√41³² = 4 = 0,25 WIEDERHOLUNG BRUCH RECHNUNG a² br Zähler Wenner : Addition/Subtraktion: Brüche auf den gleichen Nenner bringen. Den Wenner übernehmen und die Zahler addieren bzw. subtrahieren. Multiplikation: Wenner mal Venner, Zähler mal Zähler. Division: mit dem Kehrwert multiplizieren. -Seite 4 Zehnerpotenzen Potenziert man 10 mit einer natürlichen Zahl, erhält man eine Stufenzahl. 10" ergibt eine 1 mit n Nullen. BEISPIELE: 5 10 = 100.000 10² = 100 10⁰ = 1 3 2·10³ = 2·1000 = 2000 1.5·10² = 1,5·100 = 150 0,25 10=0,25·100 = 25 Potenziert man 10 mit einer negativen ganzen Zahl, so erhält man Zehntel, Hundertstel.... Bei 100 steht die Ziffer 1 an der n-ten Nachkommastelle. BEISPIELE 10-5 = 105 = 100,000 = 0,0000 -2 10 10-1 A² = 100 = 0,01 10² 1/0 = 0,1 3.10³ = 3·0,001 = 0,003 = •100 bewirkt eine Kommaverschiebung um n Stellen nach rechts. 1,25 10 = 1,250,0001 = 0,000125 -2 20.10 = 20·0,01 = 0,2 7·10¯^ = 7·0₁1 = 0,7 ● 10 bewirkt eine Kommaverschiebung um n Stellen nach links. - Seite 5 n-te Wurzeln Die n-te Wurzel der Zahl a ist jene nichtnegative Zahl, die mit n potenziert die Zahl a ergibt. ALSO: Wurzelexponent a. Radikand DEISPIELE: 2√4= 2, da 2² = 2·2=4 √√32 = 2, da 25 = 2·2·2·2·2=32 410.000 = 10 da 10⁰ = 10-10-10.10 - 10.000 2. Wurzel (√) = Quadratwurzel 3. Wurzel (³√6) = Kubikwurzel +4 +4 41-16 = kann man nicht definieren, da (-2)-(-2)-(-2)-(-2) = 16 5√-32=-2 da (-2)² = (-2)-(-2) (-2)-(-2).(-2) = -32₂ möglich, wird aber trotzdem nicht definiert (s. Hasten). BEACHTE: 1. n-te Wurzeln sind stets nichtnegativ. 476 =+2. aber 476-2, obwohl (-2) = 16. Grund: Vermeidung, dass 2.B. 4/16 zwei verschiedene Zahlen bezeichnet. 2. Wurzeln mit einem geraden Exponenten & einem negativen Radikanden kann man nicht definieren. Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten & einem negativen Radikanden könnte man dagegen definieren. Um in der Definition der n-ten Wurzel keine Fallunterscheidung vornehmen zu müssen, wird die n-te Wurzel stets nur dann definiert, wenn der Radikand nichtnegativ ist. Es wird also auf die Definition, von z.B³F-8,....verzichtet, da die Definition von 2.B. 4-16;9..., prinzipiell nicht möglich ist. - Seite 6 Potenzen mit Stammbrüchen als Exponenten Für eine nichtnegative Zahl a und eine natürliche Zahl n²2 vereinbart man: a=40 Man kann die Stammbrüche auch als Dezimalbrüche schreiben. BEISPIELE: 160,25 = 16 = 4√/16 = 2 8¾= 3√8=2 273 = ³√27-3 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN POTENZIEREN & WURZELZIEHEN For alle aeR mit a≥0 gilt: 1. (a)² = a Das Biehen der n-ten Wurzel wird durch das Potenzieren mit n rückgängig gemacht: n-te Worzet ziehen a ਅਕ hoch A BEISPIELE: (18) 3 = 23 = 8 (²/16)² = 4² = 16 ³√7²)² = 15 = 1 ³3³√/8³² = ²³√512=8 ³√16³ = ²³√ √ 4096 = 16 - ³√7²³²=√√√²-1 2.²√ a^²=a Das Ziehen der n-ten Wurzel wird durch das Potenzieren mit n rückgängig gemacht: hoch n a a₁ n-te Wurzel niehen - Seite 7 Potenzen mit rationalen Exponenten m Für me Z, neN mit n=2 & reelle Zahlen a>0: a = Nam Für m ²0 ist auch a=0 zulässig. Nenner des Bruchs → Wurzelexponent Zahler des Bruchs → Exponent des Radikanden. Spezialfall: m=1 BEISPIELE: -0,35 = 16 ² 1 = 4√/163 - 4√/4096 = 8, da 84-8-8-8-8= 4096 16 7 a=a -1,75 4 0,2 - HIJ 7 = 43 = [[4" - G $√/4 41 00²² - 0 4 = 40*² = 4√²+² = 4√ = = nicht definiert -0,25 Jede rationale Zahl lässt sich in der Form n schreiben. m ist dabei eine ganze Zahl & n eine von null verschiedene Zahl. Als Basis kommen nur positive Zahlen oder 0 infrage, da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist. Zudem darf die Basis bei einem negativen Exponenten nicht sein, da die O sonst bei der Umformung im Nenner steht und man nicht durch O teilen kann. 0 h = 40m² - You Seite 8 √2²³² = √2·2·2² = √2²-√2 √2 =(√2)²³ siehe Wurzelgesetz (√₁)² = √a₁² · √α² = √√a·a = -√√a²³ UNMÖGLICHKEIT DER DEFINITION VON an FÜR NEGATIVE BASEN a Obwohl man 2.B. 8=-2 sinnvoll definieren könnte, wird darauf verzichtet. Es wäre nicht möglich, entsprechende Potenzen mit negativer Basis & gebrochenem rationalen Exponenten eindeutig zu definieren. SATE = Gilt für a>0 & me Z, peZ,n e N mit n ≥2,9 € N mit q≥1, -, so folgt: Nam 4a BEISPIELE (√4)²³ = √4 √4²√4² = √4.4.4 √√64=8 (17) = √7² · √7²-√7² · √7² = √7·7·7·-7² = √2401 = 49 - 2 = ²√√²-8² = (-81) ³ = (-8) ³ = √(-8ª² = 4√164² = 2 Ein Widerspruch, der aus dem Erweitern des Bruchs im Exponenten resultiert. Dieses Beispiel zeigt zudem die Wichtigkeit des Satzes der garantiert, dass derartige Widersprüche bei Potenzen mit positiver Basis nicht auftreten können. - Seite 9