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Propitionalität(propotional,antipropotional,indirekte und direkte propotionalität)

14.10.2021

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Proportionale Zuordnungen
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Wenn bei einer Zuordnung dem 2-, 3- bzw.
n-fachen der ersten Größe jeweils das 2-, 3-
bzw. n-
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Proportionale Zuordnungen Je-mehr-desto-mehr 4 Wenn bei einer Zuordnung dem 2-, 3- bzw. n-fachen der ersten Größe jeweils das 2-, 3- bzw. n-fache der zweiten Größe zugeordnet ist, dann nennt man die Zuordnung proportional. :2 2 27 4 16 :3( -5( y = p.x -3 Döner 3 1 5 -3 6 24 Es gilt Quotientengleichheit: Der Quotient aus zweiter und erster Größe ist immer gleich. Dieser Quotient wird Proportionalitätsfaktor p genannt. Art der Zuordnung 8 32 Bei dem Graph handelt es sich um eine Gerade durch den Ursprung (010). Auf beiden Seiten gleich rechnen Preis 10,50 € 3,50 € 16,50 € ):3 2.5 Definition Antiproportionale Zuordnungen Wenn bei einer Zuordnung dem 2-, 3- bzw. n- fachen der ersten Größe jeweils der 2-, 3- bzw. n-te Teil der zweiten Größe zugeordnet ist, dann nennt man die Zuordnung antiproportional. Tabelle Rechenvorschrift 1 24 Graph Je-mehr-desto-weniger :2 -2 2 12 .2 :2 -3 7 :2 4 6 1 3 y=p:x 3 Es gilt Produktgleichheit: Das Produkt aus den zwei zugehörigen Größen ist immer gleich Dreisatz Alle Angaben incl. Leerzeile in eine Tabelle eintragen. Anschließend ein geeignetes Zwischen- ergebnis suchen (oft: 1) und die Rechenregeln (Multiplikation oder Division) bestimmen. :3 6 4 60 min 120 min 40 min -4 8 Auf beiden Seiten entgegengesetzt rechnen Arbeiter Zeit 2 3 :3 1 2 3 4 5 6 F Ein Heizölvorrat reicht für 12 Stunden, wenn der Verbrauch 0,65 Liter/Stunde beträgt. Berechne, um wie viel Stunden der Ölofen länger in Betrieb sein kann, wenn der Ofen bei Sparein- stellung nur 0,2 Liter pro Stunde verbraucht. Direkte und indirekte Proportionalität 27. Indirekte Proportionalität Vier Arbeiter brauchen zum Aufstellen von Verkehrszeichen 48 Stunden. Nach 12 Stunden erkrankt ein Arbeiter, die anderen setzen die Arbeit fort. Welche Verzögerung tritt durch die Erkrankung ein? Zwölf Maschinen brauchen für einen Arbeitsvorgang 43 Stunden. Berechne die...

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Zeitersparnis, wenn nach 10 Stunden zwei zusätzliche Maschinen eingeschoben werden. Um wie viel verspätet sich die Ankunft? Bei einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 110 km/h braucht die Westbahn 4 Stunden 20 Minuten. Durch einen Schaden im Motorraum kann der Zug nach 3 Stunden Fahrzeit nur noch mit 80 km/h fahren. Berechne Wie lang ist ein Passagierflugzeug auf einer Strecke von 4 400 km unterwegs, wenn Start und Landevorgang nicht berücksichtigt werden und die Reisegeschwindigkeit 880 km/h beträgt. Wahr oder falsch? Kreuze an. Indirekte Proportionen lassen sich in einer abfallenden Gerade darstellen. Wenn die beiden Größen in indirektem Ver- hältnis zueinander stehen, werden sie im selben Verhältnis auf der einen Seite größer, auf der anderen Seite kleiner. Die Fahrzeit eines Zuges steht zum Preis für die Fahrkarte in direktem Verhältnis. Durchflussgeschwindigkeit bei Zulaufrohren und Dauer der Füllung sind indirekt proporti- onal. Fahrgeschwindigkeit und Fahrdauer sind indi- rekt proportional. ōbv wahr D wahr wahr wahr O wahr falsch ōbv falsch D falsch falsch falsch ⒸÖsterreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2012 | www.oebv.at | Mach mit Mathematik 2 | ISBN 978-3-209-07126-5 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. 1 F 1 2 3 Direkte und indirekte Proportionalität 27. Indirekte Proportionalität Probiert und zieht einen Schluss daraus. Ein Schüler trägt 6 Sessel zur Tafel. Er muss 6-mal gehen. Beim Zurückstellen hilft ihm eine Mitschülerin. Wie oft müssen die beiden mit je einem Sessel gehen, um alle Sessel wieder zurückzustellen Überlege: Wie oft müssten 3 Kinder gehen? Wie oft müssten 6 Kinder gehen? Kinder Wie oft müssen sie gehen? 1 6-mal Allgemein formuliert kannst du sagen: Je mehr Kinder, desto weniger oft müssen sie gehen. Verbinde die Aussagen sinnvoll. Je langsamer ich gehe, ... 0 Je mehr Arbeiter, ... 0 Je mehr Rehe vom Heuvorrat fressen, Je mehr Maurer am Haus arbeiten, ... 3 Bagger 1 Bagger x = 5.3= 15 x = 15 Stunden Ein Bagger braucht 15 Stunden. *ōbv 5 Stunden x Stunden 2 .......-mal 0 Schreibe die Schlussrechnung an. Drei Bagger heben eine Baugrube in 5 Stunden aus. Wie lange braucht ein Bagger dazu? b) 6 Maschinen bewältigen eine Arbeit in 14 h. Wie lange braucht eine Maschine dafür? ... HE desto schneller ist er aufgebraucht. 0 desto schneller ist das Haus gebaut. desto länger brauche ich bis ans Ziel. ...... 3 ........-mal ... desto kürzer ist die Arbeitszeit. ōbv a) Der Lebensmittelvorrat auf einer Almhütte reicht für 7 Personen 6 Tage. Wie viele Tage würde 1 Person damit auskommen? 6 ........-mal Überlege: Je weniger Bagger, desto mehr Stunden. ⒸÖsterreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2012 | www.oebv.at | Mach mit Mathematik 2 | ISBN 978-3-209-07126-2 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. 1 F 1 2 3 Direkte und indirekte Proportionalität 26. Direkte Proportionalität Überlege. Ergänze die Tabelle. Bei einem Schülertisch können jeweils 2 Kinder sitzen. a) Wie viele Schülertische braucht man für 6 Kinder? b) Wie viele Kinder sitzen an vier Schülertischen? c) Wie viele Schülertische braucht man für 14 Kinder? Schülertische Kinder 1 2 Verbinde die Aussagen sinnvoll. Je mehr Hefte ich kaufe, ... *ōbv Je mehr Hausübung ich habe, ... Je weniger Jause ich kaufe, 0 Je mehr Handyguthaben ich habe, ... 6 4 Allgemein formuliert kannst du sagen: Je mehr Kinder in der Klasse sind, desto mehr Tische braucht man. (multiplizieren) Je weniger Kinder in der Klasse sind, desto weniger Tische braucht man. (dividieren) ōbv 14 desto mehr Zeit brauche ich dafür. desto weniger muss ich bezahlen. desto länger kann ich telefonieren. b) Ein Stück Butter kostet 99 c. Wie viel kosten 7 Stück? 7 Stück kosten 6 € 93c. 7 Stück kosten 14 c. desto mehr muss ich bezahlen. Kreuze die richtige Antwort an. Überlege, ob das Ergebnis größer oder kleiner wird. a) Ein Paar Socken kostet 2 €. Markus möchte 4 Paar kaufen. Wie viel Geld braucht er? Markus braucht 2 €. Markus braucht 8 €. c) 12 Packungen Orangensaft kosten 10,44 €. Wie viel kostet eine Packung? Eine Packung kostet 125,28 €. Eine Packung kostet 87 c. ⒸÖsterreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2012 | www.oebv.at | Mach mit Mathematik 2 | ISBN 978-3-209-07126-2 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. 1 Textaufgaben zu den Proportionalitäten Direkte Proportionalität Für das Backen einer Torte braucht Karlas Mutter 4 Eier. Wie viele Eier muss sie für das Backen von vier Torten zu Hause haben? 1) 2) 3) 4) 5) 7) 8) 9) 10) 6) 1 kg Schweinefleisch zum Braten kostet € 7,90. Es werden 0,78 kg gekauft. Wie viel ist zu bezahlen? Ein Handball kostet € 24,80. Wie viel kosten 18 solcher Bälle? 12) Ein Paket enthält 32 gleiche Bücher. Ein Buch kostet € 15,90. Welchen Wert hat das Paket? 13) Aus einer Quelle sprudeln in 1 Minute 195 I Wasser. Wie viel I Wasser fließen in einer Stunde aus der Quelle? Ein Bauaufzug fährt in einer Sekunde 0,8 m und braucht vom Erdgeschoß bis zum 8. Stock 34 Sekunden. Wie viel Meter ist er hochgefahren? 10 dag Wurst kosten € 0,79. Berechne den Preis für 1 kg! 4 gleiche Winterreifen kosten € 356,- Wie viel kostet ein Reifen? Karl kauft ein Fahrrad und will die Kosten von € 633,60 in 12 gleichen Monatsraten bezahlen. Berechne eine Rate! 11) 3 gleiche Packungen Nudeln kosten € 3,78. Wie viel kosten 5 solche Packungen? Auf einem Beet werden 1426 Gemüsepflanzen in 23 Reihen gepflanzt. Wie viele Pflanzen stehen in einer Reihe? In einem Parkhaus haben in 6 gleichen Stockwerken 288 Autos Platz. Wegen Reparaturarbeiten muss das oberste Stockwerk gesperrt werden. Wie viele Autos haben nun in diesem Parkhaus Platz? In einem Restaurant wurden aus 5,25 kg Fischfilet 28 Portionen zubereitet. Wie viel kg Fisch werden für 44 Portionen benötigt? 14) 23 gleiche Fässer enthalten zusammen 575 | Fruchtsaft. Wie viele solcher Fässer braucht man zum Abfüllen von 9 hl? Gesp.: 160504 Textaufgaben.docx ⒸSG 2016 Seite 1 von 4 0 7 Zwei Pumpen leeren ein Schwimmbecken in 3 Stunden (h). Wie lange brauchen 3 Pumpen bei gleicher Leistung jeder Pumpe dazu? :2 ōbv Anzahl 2 Pumpen 1 Pumpe 3 Pumpen 8 Pumpen Zeit 3h 6h 2 h 1 h h 2 3 h A 6 1 +++ 27. Indirekte Proportionalität +++++ 12 ⒸÖsterreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2012 | www.oebv.at | Mach mit Mathematik 2 | ISBN 978-3-209-07126-5 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. 2 4 5 6 7 8 9 Entscheide, ob du multiplizieren oder dividieren musst. a) 3 kg Kartoffeln kosten 2,25 €. Wie viel kostet 1 kg? b) 1 Liter Öl kostet 1,50 €. Wie viel kosten 3 Liter Öl? c) 6 T-Shirts kosten 42 €. Wie viel kostet 1 T-Shirt? Schreibe die Schlussrechnung an. 1 Packung Chips kostet 1,20 €. Wie viel kosten 10 Packungen? 1 Packung 1,20 € x € 10 Packungen x = 1,20.10 X = 12 10 Packungen Chips kosten 12 €. a) 1 Packung Schnitten kostet 65 c. Wie viel kosten 10 Packungen? b) Eine Packung Kaugummi kostet 0,85 €. Wie viel kosten 5 Packungen? c) Eine Tafel Schokolade kostet 0,76 €. Wie viel kosten 7 Tafeln? Karins Hund frisst am Tag eine Dose Hundefutter um 1,20 €. Berechne die Kosten für ein Monat (30 Tage). Für Bananenschnitten braucht Frau Koller 2,5 kg Bananen. 1 kg Bananen kostet 1,25 €. Wie viel kosten 2,5 kg Bananen? Berechne den Stückpreis. 4 Jeans kosten 76 €. 4 Jeans 1 Jeans x = 76:4 X = 19 1 Jeans kostet 19 €. 76 € x € a) Acht Paar Socken kosten 20 €. c) 7 T-Shirts kosten 43,40 €. 26. Direkte Proportionalität Überlege: Je mehr Chips, desto teurer multiplizieren. Für einen Kuchen braucht Steffi 6 Eier. Sie bezahlt beim Bauern 1,80 €. Wie viel kostet ein Ei? ōbv Überlege: Je weniger Jeans, desto billiger ➡ dividieren. b) 6 Boxershorts kosten 32,40 €. d) 2 kg Karotten kosten 2,20 €. ⒸÖsterreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2012 | www.oebv.at | Mach mit Mathematik 2 | ISBN 978-3-209-07126-2 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. 2 Indirekte Proportionalität 15) Ein Vorrat reicht für 2 Personen für 60 Tage. Wie lange würde derselbe Vorrat für 15 Personen reichen? 16) Ein Graben kann von einem Arbeiter in 15 Stunden ausgehoben werden. Wie lange brauchen dazu 3 Arbeiter? 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) Karla plant, dass sie mit ihrem Vorrat an Süßigkeiten 27 Tage lang auskommt. Nun muss sie aber mit ihren beiden Schwestern teilen. Wie viele Tage wird der Vorrat reichen? Ein Vorraum wird mit 125 Kleinfliesen zu je 1 dm² Größe ausgelegt. Wie viele Fliesen von 3 dm² Größe wären dafür notwendig? Runde auf Ganze! Wenn je Stunde 1 Liter Heizöl verbraucht wird, reicht der Tankvorrat für einen Ofen 70 Stunden. Wie lange reicht der Vorrat, wenn je Stunde 2,5 Liter verbraucht werden? Ein Wasserbehälter wird durch 5 gleiche Öffnungen in 46 Minuten gefüllt. Wie lange dauert das Befüllen durch eine Öffnung? Mit einer bestimmten Futtermenge kann man 8 Kühe 12 Tage lang füttern. Wie viele Tage würde die Futtermenge für 3 Kühe reichen? Ein Tanker wird durch 6 Pumpen in 10 Stunden mit Öl beladen. Wie lange dauert das Betanken des Tankers, wenn von Anfang an eine Pumpe ausfällt? Eine Stiege hat 36 Stufen zu je 20 cm Höhe. Ursprünglich sollten die Stufen 18 cm hoch sein. Wie viele Stufen zu 18 cm hätte die Stiege? Um einen Schacht zu entwässern, muss eine Pumpe 17 - Stunden in Betrieb sein. Um den Vorgang zu beschleunigen, werden von Beginn an 3 weitere Pumpen gleicher Leistungsfähigkeit eingesetzt. In welcher Zeit können alle Pumpen zusammen die Arbeit schaffen? Ein Radfahrer fährt im Durchschnitt 20 km/h und erreicht sein Ziel in 4-Stunden. Bei wie viel km/h könnte ein Auto dieselbe Strecke in 1 Stunde zurücklegen? Aus einem Baumstamm können 14 Bretter von je 2,5 cm Dicke gesägt werden. Wie viele Bretter mit 3,5 cm Dicke erhält man aus demselben Stamm? Für eine Planierungsarbeit sollen 3 Bagger 15 Stunden lang eingesetzt werden. Nach 8 Stunden müssen 2 Bagger für einen Katastropheneinsatz abgezogen werden. Wie viele Stunden muss nun die eine Raupe allein zu dieser Planierungsarbeit eingesetzt werden? Gesp.: 160504 Textaufgaben.docx ⒸSG 2016 Seite 2 von 4 4 5 6 7 8 27. Indirekte Proportionalität Ein Waldarbeiter kann mit seiner Motorsäge ein Waldstück in 27 Stunden abholzen. Wie lange brauchen 3 Arbeiter für diese Arbeit? Rechne zuerst auf eine Stunde. Zwei Mähdrescher benötigen zum Abernten eines Feldes 12 Stunden. Wie lange brauchen 3 Mähdrescher? Überlege: Je mehr Mähdrescher, desto weniger Zeit benötigen sie. 2 Mähdrescher ……............. 12 Stunden 1 Mähdrescher x Stunden x = 12.2 x = 24 1 Mähdrescher braucht 24 Stunden. 1 Mähdrescher …............ 24 Stunden 3 Mähdrescher x Stunden x = 24:38 x = 8 Stunden 3 Mähdrescher brauchen 8 Stunden. a) Zum Bepflanzen einer Verkehrsinsel brauchen zwei Gärtnerinnen 6 Stunden. In welcher Zeit könnten das drei Gärtnerinnen schaffen? b) Drei Arbeiter benötigen für eine Arbeit 12 Stunden. In welcher Zeit schaffen diese Arbeit 6 Arbeiter? ................. c) Der Futtervorrat reicht für 8 Pferde 240 Tage. Zwei Pferde werden verkauft. Wie lange reicht das Futter nun? Die 2c-Klasse hat ein Aquarium in der Klasse. Für zwei Fische reicht eine Dose Futter 1 Monat (30 Tage). Die Lehrerin schenkt ihnen zwei weitere Fische. Wie lange reicht das Futter jetzt? Frau Schlegel benötigt für eine bestimmte Strecke 4 Stunden. Sie fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 80 km/h. Wie lange braucht Herr Koller mit durchschnittlich 60 km/h für die gleiche Strecke? ōbv Ein Fußgänger, der 4 km/h schnell geht, erreicht sein Ziel in 2 h 30 min. Wie lange braucht er, wenn er durchschnittlich 5 km/h geht? ⒸÖsterreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2012 | www.oebv.at | Mach mit Mathematik 2 | ISBN 978-3-209-07126-2 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. 2 10 11 12 13 14 15 Wie viel kostet eine Rolle Toilettenpapier? Zwei Packungen zu je 10 Rollen kosten 4,58 €. Ein Bauer bekommt für seine 15 000 Liter Milch 5 400 €. Wie viel bekommt er für 1 | Milch? Erkundige dich, wie viel 1 | Milch in einem Geschäft kostet. Woher, glaubst du, kommt der Preisunterschied? Rechne zuerst im Kopf. a) 3 Kiwis kosten 1 €. Wie viel kosten 6 Kiwis? b) 2 Liter Limonade kosten 1,30 €. Wie viel kosten 4 Liter? c) 3 Becher Joghurt kosten 1,20 €. Wie viel kosten 9 Becher? Rechne zuerst auf ein Kilo. 5 kg Kartoffeln kosten 4,50 €. Wie viel kosten 8 kg? 5 kg 1 kg 4,50 € x € 1 kg 8 kg x = 4,5:5 x = 0,90.8 x = 0,90 x = 7,2 1 kg Kartoffeln kostet 0,90 €. 8 kg Kartoffeln kosten 7,20 €. 26. Direkte Proportionalität Die Kinder der 2a, 2b und 2c waren gemeinsam auf Schikurs. Die 23 Kinder der 2a bezahlten insgesamt 7 498 €. a) Wie viel bezahlten die 19 Kinder der 2b? b) Wie viel bezahlten die 25 Kinder der 2c? a) 5 kg Mehl kosten 3,45 €. Wie viel kosten 12 kg? b) 500 g Reis kosten 2,34 €. Wie viel kosten 2 kg (1 kg = 1 000g)? 0,90 € x € *ōbv Der Fliesenleger schreibt für 5 Stunden Arbeit eine Rechnung über 180 €. a) Wie teuer kommen 21 Stunden Fliesenlegen? b) Wie teuer kommen 35 Stunden Fliesenlegen? c) Wie teuer kommen 56 Stunden Fliesenlegen? ⒸÖsterreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2012 | www.oebv.at | Mach mit Mathematik 2 | ISBN 978-3-209-07126-2 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. 3 Vermischte Aufgaben - erst denken! 28) 2 Eier werden 3 Minuten lang in kochendes Wasser gelegt, damit sie weichgekocht sind. Wie lange müssen 7 Eier im kochenden Wasser liegen, um weichgekocht zu werden? Ein Einhorn frisst 3,7 kg Heu pro Tag. Wie viel frisst es im Monat Mai? Mit den Solarzellen am Hausdach wird so viel Strom erzeugt, dass 40 Geräte 6 Stunden lang betrieben werden können. Wie lange könnten damit 50 Geräte betrieben werden? 29) 30) 31) 32) 35) 33) 5 Hemden brauchen in der Waschmaschine 75 Minuten Zeit. Wie lange brauchen 6 Hemden? 34) 37) 38) Ein Pferd braucht 4 Jahre um erwachsen zu werden. Wie lange brauchen dafür 2 Pferde? 39) Eine Glühbirne verbraucht 25 Watt in der Stunde und hat eine Lebensdauer von ca. 1100 Stunden. Wie viele Watt Strom hat sie in dieser Zeit verbraucht? 36) Ein Auto braucht für die Strecke Ottenschlag - Zwettl (23 km) 20 Minuten. Wie lange brauchen 2 Autos für diese Strecke? 40) Karla und ihre Freundin sortieren die Noten für eine Blaskapelle, eine Arbeit, für die sie 8 Stunden bräuchten. Durch die Hilfe weiterer Freunde sind sie zu fünft. Wie lange werden sie nun für das Sortieren der Noten brauchen? Ein Auto fährt die Strecke St. Pölten - Mariazell (78 km) in 1 h 20 Minuten. Berechne seine mittlere Geschwindigkeit in km/h (Kilometer pro Stunde)! Der Arlbergtunnel ist 14 km lang. Wie viele Minuten dauert die Durchfahrt, wenn man mit 80 km/h fährt? Auf einem Straßenstück benötigen 12 Arbeiter zur Herstellung eines Unterbaus 25 Arbeitsstunden. Nach 5 Stunden werden 2 Arbeiter abgezogen. Wie lange dauert nun die Arbeit insgesamt? 6 Politiker beraten in 6 Stunden 6 Gesetze. Wie lange brauchen 12 Politiker zur Beratung dieser 6 Gesetze? Karl und Franz laufen 60 m um die Wette. Karl legt die Strecke in 7,7 Sekunden, Franz in 8 Sekunden zurück. Berechne, wie viel m Franz noch vom Ziel entfernt war, als Karl gerade durch das Ziel lief! Gesp.: 160504 Textaufgaben.docx ⒸSG 2016 Seite 3 von 4 Lösungen 4,375 40 3,2 89 28 10 16 7 114,7 26500 75 Gesp.: 160504 Textaufgaben.docx 58,5 230 220 2,25 8 11700 6 7,90 8,25 36 240 4,8 62 6,30 29 52,80 ⒸSG 2016 1,2 20 27,2 440 90 10,5 4 11,50 27500 446,40 42 32 21 6,16 12 3 Seite 4 von 4