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Q12/1 Mathe Klausur Bayern
19.11.2021
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INTEGRALRECHNUNG Integralrechnung Für etliche Fragestellungen des Alltags ist es interessant einen Exaktwert für eine von einem Graphen mit den Koordinatenachsen und weiteren Geraden eingeschlossene Fläche zu erhalten. Bsp: f(x)=x² 4₁ 1. Näherungsweise Bestimmung des Flächeninhaltes, welcher von Gif, den Achsen und der Geraden x = 1 eingeschlossen wird. Amin 0,25 0+ 0,25 €(0,25) + 0,25 € (0,5) + 0,25 € (0,75) = 0 + 0,25 0,0625 + 0,25 925-0,5625 Das Integral als Flächenbilanz Definition: Für eine Funktion f, die in einem Intervall [a;6] definiert ist, gilt f(x) > 0 für alle a, b Es gilt dann. f(x) dx > 0 f(x) < für alle a, b: K Es gilt dann. f(x) dx < 0 hnen & addieren Wendetagente Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente und durchsetzt den Graphen von f. Terrassenpunkt Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente ist ein Terrassenpunkt. f(x) = 0 und VZW von f(x) im Intervall [a, b] 4₁ A A₂ Es gilt dann: Für den Flächeninhalt A zwischen den Graphen zweie Funktionen gilt · A= | { [ f(x) = g(x)] dx || Für Zwer Funktionen, die sich auf [a; b] schneiden, gilt · A = { [f(x)= g(x)]dx + $Tg(x) - f(x)] dx Vorgehen Schnittstellen der Graphen berechnen Teilflächen zwischen den Stellen einzeln x sss b $fix) dhe {> 0, falls Ay > Ar dx falls A₁ A₂ f(x) dx = F(b)-F(a) a 41₁ 3. WENDEPUNKTE Wendepunkt Die Funktion f ist in einem Intervall differenzierbar. Eine Stelle x₂ € I bei...
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Alternativer Bildtext:
der der Graph von f von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung / umgekehrt übergeht, heißt Wendestelle von f. Der zugehörige Punkt WCxolf (xo)) heißt Wendepunkt. a Extremwerte 1. · gegebene Funktion: f(x)=3x³-5x4 2. erste & zweite Ableitung bilden: f'(x) = 15x4 20 x³ f"(x) = 60x³-60x² ; 4.2.3 O *4 = 3 3. NST von erster Ableitung f'(x) = 15x²-20x³ = x² (15x-20) Wendepunkt/-stelle 4. 4- • Koordinate berechnen: f(0) = 0 => P₁ (010)→lokales Maximum (weil <0) f()=-3,2 => ₂ (1-3,2) → (okales Minimum (weil > 0) NST von f" suchen & in f einsetzen: f(0) = 0 => TP f(1) = -2 => 1 ↑ Wendetangente y=mx+t y=-5x+3 eigenschaften funktionen Krümmungsverhalten f" < 0 rechts - f"> 0 → links Schnittstelle berechnen am Steigung : x-Wert von Wendepunkt in f' einsetzen: f'(1) = 15 1"-20-1³ = -5 Wendepunkt einsetzen, nach + auflösen: -2=-5·1+ t => t = 3 Graphen gleichsetzen! lesssss Merke: Anzahl NST →→NST in zweite Ableitung: f" (0) = 0 f"(4)=320 höchste Potena! Bsp.: ]-00; 1 [ Bsp.: 31; +00 [ => Pz (11-2)