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Mathe

Funktionen und analysis

Krümmungsverhalten

Wendetangente berechnen

756

•

19. Nov. 2021

•

2 Seiten

Integralrechnung und Kurvendiskussion: Mathe Lösungen für die 12. Klasse

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Stela K

@stela.106

Integralrechnung und Kurvendiskussion sind zentrale Themen der Analysis im Mathematik-Abitur.... Mehr anzeigen

INTEGRALRECHNUNG
Integralrechnung
Für etliche Fragestellungen des Alltags ist es interessant einen Exaktwert für eine von einem Graphen mit

Extremwerte und Kurvendiskussion

Funktion aufstellen: f $x$ = 3x³ - 5x⁴
Erste und zweite Ableitung bilden: f' $x$ = 15x² - 20x³ f" $x$ = 60x² - 60x²
Nullstellen der ersten Ableitung finden: f' $x$ = x² $15 - 20x$ = 0 x = 0 oder x = 3/4
Extrempunkte bestimmen: P₁ $0|0$ ist ein lokales Maximum $f"(0$ < 0) P₂ $3/4|-3,2$ ist ein lokales Minimum $f"(3/4$ > 0)

Highlight: Die Anzahl der Nullstellen der höchsten Potenz in f" gibt Aufschluss über die Anzahl der Wendepunkte.

Für die Berechnung von Wendepunkten:

Nullstellen von f" suchen: f" $x$ = 0
x-Werte in f einsetzen für y-Koordinaten
Wendetangente berechnen: y = mx + t m = f' $Wendestelle$ t durch Einsetzen des Wendepunkts bestimmen

Example: Für den Wendepunkt W $1|-2$ : Steigung: f' $1$ = -5 Wendetangente: y = -5x + 3

Diese Zusammenfassung bietet eine solide Grundlage für Mathe Klausur 12 2 Bayern und hilft bei der Vorbereitung auf Abituraufgaben Integralrechnung pdf.

Integralrechnung und Flächenberechnung

Definition: Das bestimmte Integral ∫ $a,b$ f $x$ dx repräsentiert die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f $x$ , der x-Achse und den vertikalen Linien x=a und x=b.

Die Vorgehensweise zur Flächenberechnung wird anhand eines Beispiels mit f $x$ =x² erläutert. Dabei wird zunächst eine Näherung durch Rechtecke vorgenommen, bevor das exakte Integral berechnet wird.

Example: Für f $x$ =x² wird die Fläche zwischen dem Graphen, den Achsen und der Geraden x=1 näherungsweise bestimmt: A ≈ 0,25 · $0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625$ = 0,21875.

Es ist wichtig zu beachten, dass das Vorzeichen des Integrals von der Lage der Funktion zur x-Achse abhängt:

Wenn f $x$ > 0 im Intervall $a,b$ , dann ist ∫ $a,b$ f $x$ dx > 0
Wenn f $x$ < 0 im Intervall $a,b$ , dann ist ∫ $a,b$ f $x$ dx < 0

Für die Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen gilt:

Highlight: A = |∫ $a,b$ $f(x) - g(x)$ dx|

Bei Funktionen, die sich im Intervall $a,b$ schneiden, muss man die Teilflächen getrennt berechnen:

A = ∫ $a,c$ $f(x) - g(x)$ dx + ∫ $c,b$ $g(x) - f(x)$ dx

wobei c die Schnittstelle der Graphen ist.

Wendepunkte und Krümmungsverhalten

Für die Kurvendiskussion Aufgaben im Abitur ist das Verständnis von Wendepunkten essentiell.

Definition: Ein Wendepunkt ist eine Stelle x₀, an der der Graph einer Funktion f von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung $oder umgekehrt$ übergeht.

Wichtige Begriffe im Zusammenhang mit Wendepunkten sind:

Wendetangente: Die Tangente im Wendepunkt, die den Graphen durchsetzt.
Terrassenpunkt: Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Vocabulary:

Linkskrümmung: f" $x$ > 0

Rechtskrümmung: f" $x$ < 0

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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@stela.106

Integralrechnung und Kurvendiskussion sind zentrale Themen der Analysis im Mathematik-Abitur. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Flächenberechnung durch Integrale, Wendepunkte und Extremwerte. Für Schüler der Mathe 12 Klasse Gymnasium Bayern bietet sie eine kompakte Übersicht zur Vorbereitung auf Abituraufgaben Integralrechnung... Mehr anzeigen

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Extremwerte und Kurvendiskussion

Die Bestimmung von Extremwerten ist ein zentraler Bestandteil der Kurvendiskussion und oft Teil von Integralrechnung Aufgaben mit Lösung Klasse 12. Am Beispiel der Funktion f $x$ = 3x³ - 5x⁴ wird das Vorgehen demonstriert:

Funktion aufstellen: f $x$ = 3x³ - 5x⁴

Erste und zweite Ableitung bilden: f' $x$ = 15x² - 20x³ f" $x$ = 60x² - 60x²

Nullstellen der ersten Ableitung finden: f' $x$ = x² $15 - 20x$ = 0 x = 0 oder x = 3/4

Extrempunkte bestimmen: P₁ $0|0$ ist ein lokales Maximum $f"(0$ < 0) P₂ $3/4|-3,2$ ist ein lokales Minimum $f"(3/4$ > 0)

Highlight: Die Anzahl der Nullstellen der höchsten Potenz in f" gibt Aufschluss über die Anzahl der Wendepunkte.

Für die Berechnung von Wendepunkten:

Nullstellen von f" suchen: f" $x$ = 0

x-Werte in f einsetzen für y-Koordinaten

Wendetangente berechnen: y = mx + t m = f' $Wendestelle$ t durch Einsetzen des Wendepunkts bestimmen

Example: Für den Wendepunkt W $1|-2$ : Steigung: f' $1$ = -5 Wendetangente: y = -5x + 3

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Integralrechnung und Flächenberechnung

Die Integralrechnung ist ein fundamentales Konzept in der höheren Mathematik, das es ermöglicht, Flächeninhalte unter Funktionsgraphen exakt zu berechnen. Für Mathe Abitur Zusammenfassung Bayern ist es wichtig zu verstehen, wie man Integrale zur Flächenberechnung einsetzt.

Definition: Das bestimmte Integral ∫ $a,b$ f $x$ dx repräsentiert die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f $x$ , der x-Achse und den vertikalen Linien x=a und x=b.

Die Vorgehensweise zur Flächenberechnung wird anhand eines Beispiels mit f $x$ =x² erläutert. Dabei wird zunächst eine Näherung durch Rechtecke vorgenommen, bevor das exakte Integral berechnet wird.

Example: Für f $x$ =x² wird die Fläche zwischen dem Graphen, den Achsen und der Geraden x=1 näherungsweise bestimmt: A ≈ 0,25 · $0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625$ = 0,21875.

Es ist wichtig zu beachten, dass das Vorzeichen des Integrals von der Lage der Funktion zur x-Achse abhängt:

Wenn f $x$ > 0 im Intervall $a,b$ , dann ist ∫ $a,b$ f $x$ dx > 0

Wenn f $x$ < 0 im Intervall $a,b$ , dann ist ∫ $a,b$ f $x$ dx < 0

Für die Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen gilt:

Highlight: A = |∫ $a,b$ $f(x) - g(x)$ dx|

Bei Funktionen, die sich im Intervall $a,b$ schneiden, muss man die Teilflächen getrennt berechnen:

A = ∫ $a,c$ $f(x) - g(x)$ dx + ∫ $c,b$ $g(x) - f(x)$ dx

wobei c die Schnittstelle der Graphen ist.

Wendepunkte und Krümmungsverhalten

Für die Kurvendiskussion Aufgaben im Abitur ist das Verständnis von Wendepunkten essentiell.

Definition: Ein Wendepunkt ist eine Stelle x₀, an der der Graph einer Funktion f von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung $oder umgekehrt$ übergeht.

Wichtige Begriffe im Zusammenhang mit Wendepunkten sind:

Wendetangente: Die Tangente im Wendepunkt, die den Graphen durchsetzt.

Terrassenpunkt: Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Vocabulary:

Linkskrümmung: f" $x$ > 0

Rechtskrümmung: f" $x$ < 0

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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