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Mathe /
Q12/1 Mathe Klausur Bayern
Stela K
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Zusammenfassung von Integralen und Eigenschaften von Funktionen.
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INTEGRALRECHNUNG Integralrechnung Für etliche Fragestellungen des Alltags ist es interessant einen Exaktwert für eine von einem Graphen mit den Koordinatenachsen und weiteren Geraden eingeschlossene Fläche zu erhalten. Bsp: f(x)=x² 1 + Näherungsweise Bestimmung des Flächeninhaltes, welcher von Gif, den Achsen und der Geraden x= 1 eingeschlossen wird. Amin 250+ 0,25 · € (0,25) + 0,25 · € (9,5) + 0,25 · f (0,75) = 0 + 0,25 0,0625 + 0,25 · 925° 0,5625 Das Integral als Flächenbilanz Definition: Für eine Funktion f, die in einem Intervall [a;6] definiert ist, gilt: f(x) > 0 für alle a, b یرا ²x Es gilt dann: S f(x) dx > 0 f(x) < für alle a, b: y a Es gilt dann: S f(x) dx < 0 f(x)=0 und VZW von f(x) im Intervall [a, b] 4₁ Hendetagente Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente und durchsetzt den Graphen von f. a Terrassenpunkt Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente ist ein Terrassenpunkt. X a Für den Flächeninhalt A zwischen den Graphen zweier Funktionen gilt : A = | [ [ f(x) = g(x)] dx || Für Zwei Funktionen, die sich auf [a; 6] schneiden, gilt: A = { [ f(x)-g(x)]dx + $[g(x) = f(x)] dx Vorgehen [ - 3 → Schnittstellen der Graphen berechnen → Teilflächen zwischen den Stellen einzeln berechnen & addieren b Es gilt dann flx) dx > 0, falls A₁ > A₂ 2 <0, falls A₁ < A₂ f(x) dx...
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= F(b)-F(a) a a Ou + b WENDEPUNKTE Wendepunkt Die Funktion f ist in einem Intervall differenzierbar. Eine Stelle x₂ € I bei der der Graph von f von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung / umgekehrt übergeht, heißt Wendestelle von f. Der zugehörige Punkt WCxolf (xo)) heißt Wendepuniet. x Extremwerte 1. gegebene Funktion: f(x)=3x³-5x4 2. erste & zweite Ableitung bilden: f'(x) = 15x" - 20x²; f"(x) = 60x³ - 60x² X1,2,3 = 0 X4= 3 3. NST von erster Ableitung: f'(x) = 15x²¹ - 20x³ = x²³. (15x-20) Wendepunkt/-stelle 4. y- Koordinate berechnen: f(0) = 0 => P₁ (010) -> lokales Maximum (weil <0) f(3) = -3,2 => ₂ (²3/1-3,2) → (okales Minimum (weil > 0) NST von f" suchen & in f einsetzen: f(0) =0 => TP Wendetangente y=mx+t y=-5x+3 eigenschaften funktionen Krümmungsverhalten f" < 0 rechts f"> 0 → links Schnittstelle berechnen Graphen gleichsetzen 1566666666 Merke: Anzahl NST →NST in zweite Ableitung: f" (0) = 0 f*(4/²) = 32960 = höchste Potenz! om Steigung: x-Wert von Wendepunkt in f' einsetzen: f'(1) = 15-1" - 20.1³ = -5 ► Wendepunkt einsetzen, nach & auflösen: -2=-5·1+ t => t = 3 Bsp.: ]-00; 1 [ Bsp.: 31; +00 [ f(1) = -2 => P₂ (11-2) I Y
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Zusammenfassung von Integralen und Eigenschaften von Funktionen.
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Anblick von Funktionen, Symmetrie, extremstellen und extremalwertproblem, Wendestellen, wendetangenete, Änderungsrate, Funktionen und Ableitungen, Krümmungsverhalten, Funktionen und analysis
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- Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte... - Grenzwerte, Monotonie, Stetigkeit... - Funktionsscharen - Logarithmusfunktionen, e-Funktionen, trigonometrische Funktionen... - Integralrechnung - Extremwertaufgaben
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komplette Zusammenfassung zu allem was man fürs ABI über Abalysis wissen muss :) -unterschiedliche Funktionen -Funktionsscharen -Differentialrechnung -Kurvendiskussion -Extremwertaufgaben -Integralrechnung
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Alle Themen fürs Abi in Mathe :) Darunter: Analysis, Geometrie und Stochastik + Formulierungen für die mündliche Prüfung
INTEGRALRECHNUNG Integralrechnung Für etliche Fragestellungen des Alltags ist es interessant einen Exaktwert für eine von einem Graphen mit den Koordinatenachsen und weiteren Geraden eingeschlossene Fläche zu erhalten. Bsp: f(x)=x² 1 + Näherungsweise Bestimmung des Flächeninhaltes, welcher von Gif, den Achsen und der Geraden x= 1 eingeschlossen wird. Amin 250+ 0,25 · € (0,25) + 0,25 · € (9,5) + 0,25 · f (0,75) = 0 + 0,25 0,0625 + 0,25 · 925° 0,5625 Das Integral als Flächenbilanz Definition: Für eine Funktion f, die in einem Intervall [a;6] definiert ist, gilt: f(x) > 0 für alle a, b یرا ²x Es gilt dann: S f(x) dx > 0 f(x) < für alle a, b: y a Es gilt dann: S f(x) dx < 0 f(x)=0 und VZW von f(x) im Intervall [a, b] 4₁ Hendetagente Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente und durchsetzt den Graphen von f. a Terrassenpunkt Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente ist ein Terrassenpunkt. X a Für den Flächeninhalt A zwischen den Graphen zweier Funktionen gilt : A = | [ [ f(x) = g(x)] dx || Für Zwei Funktionen, die sich auf [a; 6] schneiden, gilt: A = { [ f(x)-g(x)]dx + $[g(x) = f(x)] dx Vorgehen [ - 3 → Schnittstellen der Graphen berechnen → Teilflächen zwischen den Stellen einzeln berechnen & addieren b Es gilt dann flx) dx > 0, falls A₁ > A₂ 2 <0, falls A₁ < A₂ f(x) dx...
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= F(b)-F(a) a a Ou + b WENDEPUNKTE Wendepunkt Die Funktion f ist in einem Intervall differenzierbar. Eine Stelle x₂ € I bei der der Graph von f von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung / umgekehrt übergeht, heißt Wendestelle von f. Der zugehörige Punkt WCxolf (xo)) heißt Wendepuniet. x Extremwerte 1. gegebene Funktion: f(x)=3x³-5x4 2. erste & zweite Ableitung bilden: f'(x) = 15x" - 20x²; f"(x) = 60x³ - 60x² X1,2,3 = 0 X4= 3 3. NST von erster Ableitung: f'(x) = 15x²¹ - 20x³ = x²³. (15x-20) Wendepunkt/-stelle 4. y- Koordinate berechnen: f(0) = 0 => P₁ (010) -> lokales Maximum (weil <0) f(3) = -3,2 => ₂ (²3/1-3,2) → (okales Minimum (weil > 0) NST von f" suchen & in f einsetzen: f(0) =0 => TP Wendetangente y=mx+t y=-5x+3 eigenschaften funktionen Krümmungsverhalten f" < 0 rechts f"> 0 → links Schnittstelle berechnen Graphen gleichsetzen 1566666666 Merke: Anzahl NST →NST in zweite Ableitung: f" (0) = 0 f*(4/²) = 32960 = höchste Potenz! om Steigung: x-Wert von Wendepunkt in f' einsetzen: f'(1) = 15-1" - 20.1³ = -5 ► Wendepunkt einsetzen, nach & auflösen: -2=-5·1+ t => t = 3 Bsp.: ]-00; 1 [ Bsp.: 31; +00 [ f(1) = -2 => P₂ (11-2) I Y