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Mathe /
Q12/1 Mathe Klausur Bayern
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Stela K
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Zusammenfassung von Integralen und Eigenschaften von Funktionen.
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INTEGRALRECHNUNG Integralrechnung Für etliche Fragestellungen des Alltags ist es interessant einen Exaktwert für eine von einem Graphen mit den Koordinatenachsen und weiteren Geraden eingeschlossene Fläche zu erhalten. Bsp: f(x)=x² 1 + Näherungsweise Bestimmung des Flächeninhaltes, welcher von Gif, den Achsen und der Geraden x= 1 eingeschlossen wird. Amin 250+ 0,25 · € (0,25) + 0,25 · € (9,5) + 0,25 · f (0,75) = 0 + 0,25 0,0625 + 0,25 · 925° 0,5625 Das Integral als Flächenbilanz Definition: Für eine Funktion f, die in einem Intervall [a;6] definiert ist, gilt: f(x) > 0 für alle a, b یرا ²x Es gilt dann: S f(x) dx > 0 f(x) < für alle a, b: y a Es gilt dann: S f(x) dx < 0 f(x)=0 und VZW von f(x) im Intervall [a, b] 4₁ Hendetagente Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente und durchsetzt den Graphen von f. a Terrassenpunkt Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente ist ein Terrassenpunkt. X a Für den Flächeninhalt A zwischen den Graphen zweier Funktionen gilt : A = | [ [ f(x) = g(x)] dx || Für Zwei Funktionen, die sich auf [a; 6] schneiden, gilt: A = { [ f(x)-g(x)]dx + $[g(x) = f(x)] dx Vorgehen [ - 3 → Schnittstellen der Graphen berechnen → Teilflächen zwischen den Stellen einzeln berechnen & addieren b Es gilt dann flx) dx > 0, falls A₁ > A₂ 2 <0, falls A₁ < A₂ f(x) dx...
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= F(b)-F(a) a a Ou + b WENDEPUNKTE Wendepunkt Die Funktion f ist in einem Intervall differenzierbar. Eine Stelle x₂ € I bei der der Graph von f von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung / umgekehrt übergeht, heißt Wendestelle von f. Der zugehörige Punkt WCxolf (xo)) heißt Wendepuniet. x Extremwerte 1. gegebene Funktion: f(x)=3x³-5x4 2. erste & zweite Ableitung bilden: f'(x) = 15x" - 20x²; f"(x) = 60x³ - 60x² X1,2,3 = 0 X4= 3 3. NST von erster Ableitung: f'(x) = 15x²¹ - 20x³ = x²³. (15x-20) Wendepunkt/-stelle 4. y- Koordinate berechnen: f(0) = 0 => P₁ (010) -> lokales Maximum (weil <0) f(3) = -3,2 => ₂ (²3/1-3,2) → (okales Minimum (weil > 0) NST von f" suchen & in f einsetzen: f(0) =0 => TP Wendetangente y=mx+t y=-5x+3 eigenschaften funktionen Krümmungsverhalten f" < 0 rechts f"> 0 → links Schnittstelle berechnen Graphen gleichsetzen 1566666666 Merke: Anzahl NST →NST in zweite Ableitung: f" (0) = 0 f*(4/²) = 32960 = höchste Potenz! om Steigung: x-Wert von Wendepunkt in f' einsetzen: f'(1) = 15-1" - 20.1³ = -5 ► Wendepunkt einsetzen, nach & auflösen: -2=-5·1+ t => t = 3 Bsp.: ]-00; 1 [ Bsp.: 31; +00 [ f(1) = -2 => P₂ (11-2) I Y
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= F(b)-F(a) a a Ou + b WENDEPUNKTE Wendepunkt Die Funktion f ist in einem Intervall differenzierbar. Eine Stelle x₂ € I bei der der Graph von f von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung / umgekehrt übergeht, heißt Wendestelle von f. Der zugehörige Punkt WCxolf (xo)) heißt Wendepuniet. x Extremwerte 1. gegebene Funktion: f(x)=3x³-5x4 2. erste & zweite Ableitung bilden: f'(x) = 15x" - 20x²; f"(x) = 60x³ - 60x² X1,2,3 = 0 X4= 3 3. NST von erster Ableitung: f'(x) = 15x²¹ - 20x³ = x²³. (15x-20) Wendepunkt/-stelle 4. y- Koordinate berechnen: f(0) = 0 => P₁ (010) -> lokales Maximum (weil <0) f(3) = -3,2 => ₂ (²3/1-3,2) → (okales Minimum (weil > 0) NST von f" suchen & in f einsetzen: f(0) =0 => TP Wendetangente y=mx+t y=-5x+3 eigenschaften funktionen Krümmungsverhalten f" < 0 rechts f"> 0 → links Schnittstelle berechnen Graphen gleichsetzen 1566666666 Merke: Anzahl NST →NST in zweite Ableitung: f" (0) = 0 f*(4/²) = 32960 = höchste Potenz! om Steigung: x-Wert von Wendepunkt in f' einsetzen: f'(1) = 15-1" - 20.1³ = -5 ► Wendepunkt einsetzen, nach & auflösen: -2=-5·1+ t => t = 3 Bsp.: ]-00; 1 [ Bsp.: 31; +00 [ f(1) = -2 => P₂ (11-2) I Y