Integralrechnung und Flächenberechnung

Die Integralrechnung ist ein fundamentales Konzept in der höheren Mathematik, das es ermöglicht, Flächeninhalte unter Funktionsgraphen exakt zu berechnen. Für Mathe Abitur Zusammenfassung Bayern ist es wichtig zu verstehen, wie man Integrale zur Flächenberechnung einsetzt.

Definition: Das bestimmte Integral ∫[a,b] f(x) dx repräsentiert die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x), der x-Achse und den vertikalen Linien x=a und x=b.

Die Vorgehensweise zur Flächenberechnung wird anhand eines Beispiels mit f(x)=x² erläutert. Dabei wird zunächst eine Näherung durch Rechtecke vorgenommen, bevor das exakte Integral berechnet wird.

Example: Für f(x)=x² wird die Fläche zwischen dem Graphen, den Achsen und der Geraden x=1 näherungsweise bestimmt: A ≈ 0,25 · (0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625) = 0,21875.

Es ist wichtig zu beachten, dass das Vorzeichen des Integrals von der Lage der Funktion zur x-Achse abhängt:

• Wenn f(x) > 0 im Intervall [a,b], dann ist ∫[a,b] f(x) dx > 0
• Wenn f(x) < 0 im Intervall [a,b], dann ist ∫[a,b] f(x) dx < 0

Für die Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen gilt:

Highlight: A = |∫[a,b] [f(x) - g(x)] dx|

Bei Funktionen, die sich im Intervall [a,b] schneiden, muss man die Teilflächen getrennt berechnen:

A = ∫[a,c] [f(x) - g(x)] dx + ∫[c,b] [g(x) - f(x)] dx

wobei c die Schnittstelle der Graphen ist.

Wendepunkte und Krümmungsverhalten

Für die Kurvendiskussion Aufgaben im Abitur ist das Verständnis von Wendepunkten essentiell.

Definition: Ein Wendepunkt ist eine Stelle x₀, an der der Graph einer Funktion f von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung (oder umgekehrt) übergeht.

Wichtige Begriffe im Zusammenhang mit Wendepunkten sind:

• Wendetangente: Die Tangente im Wendepunkt, die den Graphen durchsetzt.
• Terrassenpunkt: Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Vocabulary:

• Linkskrümmung: f"(x) > 0
• Rechtskrümmung: f"(x) < 0