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Mathe
29. Nov. 2025
1.567
5 Seiten
Laura @laurag
Extremstellen und Wendestellen sind zentrale Themen der Analysis, die dir helfen, das Verhalten von Funktionen zu verstehen. Mit... Mehr anzeigen
Du kennst das bestimmt Manchmal musst du den höchsten oder tiefsten Punkt einer Kurve finden. Genau das sind Extremstellen - die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion.
So findest du sie Die erste Ableitung muss an der Extremstelle gleich null sein . Das macht Sinn, denn an diesen Stellen ist die Tangente waagerecht zur x-Achse.
Um herauszufinden, ob es ein Maximum oder Minimum ist, schaust du dir die zweite Ableitung an. Ist f''(xe) > 0, hast du ein Minimum. Ist f''(xe) < 0, hast du ein Maximum. Alternativ kannst du auch das Vorzeichenwechsel-Verfahren nutzen Wechselt f'(x) von - zu +, ist es ein Minimum, von + zu - ein Maximum.
Merktipp An Extremstellen sind die Tangenten immer parallel zur x-Achse!
Schauen wir uns das an einem konkreten Beispiel an f(x) = ½x² - 2x + 2. Zuerst bildest du die erste Ableitung f'(x) = x - 2.
Dann setzt du die erste Ableitung gleich null 0 = x - 2, also x = 2. Das ist deine potentielle Extremstelle.
Jetzt prüfst du mit der zweiten Ableitung f''(x) = 1. Da f''(2) = 1 > 0 ist, hast du bei x = 2 ein Minimum. Das Vorzeichenwechsel-Verfahren bestätigt das f'(x) wechselt von negativ zu positiv.
Tipp Das Vorzeichenwechsel-Verfahren ist oft schneller als die zweite Ableitung!
Wendestellen sind Punkte, an denen eine Funktion ihre Krümmungsrichtung ändert - also von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt. Sie sind genauso wichtig wie Extremstellen für das Verständnis des Funktionsverhaltens.
Die zweite Ableitung hat an der Wendestelle eine Nullstelle . Das ist logisch, denn hier ändert sich das Vorzeichen der Krümmung.
Um sicherzustellen, dass es wirklich eine Wendestelle ist, muss die dritte Ableitung ungleich null sein (f'''(xw) ≠ 0). Alternativ kannst du prüfen, ob f''(x) an der Stelle einen Vorzeichenwechsel hat.
Wichtig Nicht jede Nullstelle der zweiten Ableitung ist automatisch eine Wendestelle!
Nehmen wir f(x) = x³ - 3x² als Beispiel. Die Ableitungen sind f'(x) = 3x² - 6x, f''(x) = 6x - 6 und f'''(x) = 6.
Für die Wendestelle setzt du die zweite Ableitung gleich null 0 = 6x - 6. Das ergibt x = 1.
Die Überprüfung mit der dritten Ableitung f'''(1) = 6 ≠ 0. Perfekt! Bei x = 1 liegt tatsächlich eine Wendestelle. Du könntest auch den Vorzeichenwechsel von f''(x) an dieser Stelle überprüfen.
Praxistipp Berechne immer alle Ableitungen auf einmal - das spart Zeit!
Das Krümmungsverhalten zeigt dir, wie sich eine Funktion "biegt". Es gibt zwei Arten Linkskrümmung (konkav) und Rechtskrümmung (konvex).
Bei Rechtskrümmung ist f''(x) < 0, die erste Ableitung fällt streng monoton und die Tangenten werden immer flacher. Bei Linkskrümmung ist f''(x) > 0, die erste Ableitung steigt streng monoton und die Tangenten werden immer steiler.
Am Beispiel f(x) = -x³ siehst du das gut f''(x) = -6x. Für x > 0 ist f''(x) < 0 (Rechtskrümmung), für x < 0 ist f''(x) > 0 (Linkskrümmung). Bei x = 0 liegt die Wendestelle.
Eselsbrücke Linkskrümmung = Lächeln (f''(x) > 0), Rechtskrümmung = traurig (f''(x) < 0)!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Bereite dich optimal auf deine Mathematik Vorabiklausur vor! Diese Zusammenstellung enthält alle Aufgaben und detaillierte Lösungswege zu Themen wie analytische Geometrie, Stochastik, Differential- und Integralrechnung sowie geometrische Berechnungen. Ideal für Schüler, die sich auf das Abitur vorbereiten.
MatheEntdecken Sie die Struktur und Eigenschaften von Logarithmus- und Exponentialfunktionen. Diese Zusammenfassung behandelt Transformationen, Parametereinflüsse, Verhalten im Unendlichen, Monotonie und Ableitungen. Ideal für Schüler der 11. Klasse, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten.
MatheEntdecken Sie umfassende Inhalte zur Differential- und Integralrechnung sowie zur analytischen Geometrie für das Mathematik-Abitur. Diese Zusammenstellung umfasst wichtige Themen wie die Bildung von Stammfunktionen, das Verhalten von Funktionen im Unendlichen, Nullstellenberechnung, Extrempunkte, Wendepunkte und die Anwendung von Integrationsregeln. Ideal für die Prüfungsvorbereitung und das Verständnis komplexer mathematischer Konzepte.
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MatheErfahren Sie, wie man Ableitungen berechnet, die mittlere Änderungsrate interpretiert und Tangenten an Funktionen zeichnet. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Differentialrechnung, einschließlich des Differenzenquotienten und der grafischen Differenzierung. Ideal für Studierende der Mathematik.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Laura
@laurag
Extremstellen und Wendestellen sind zentrale Themen der Analysis, die dir helfen, das Verhalten von Funktionen zu verstehen. Mit Ableitungen kannst du ganz einfach herausfinden, wo eine Funktion ihre höchsten und tiefsten Punkte hat und wo sie ihre Krümmung ändert.
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Du kennst das bestimmt: Manchmal musst du den höchsten oder tiefsten Punkt einer Kurve finden. Genau das sind Extremstellen - die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion.
So findest du sie: Die erste Ableitung muss an der Extremstelle gleich null sein . Das macht Sinn, denn an diesen Stellen ist die Tangente waagerecht zur x-Achse.
Um herauszufinden, ob es ein Maximum oder Minimum ist, schaust du dir die zweite Ableitung an. Ist f''(xe) > 0, hast du ein Minimum. Ist f''(xe) < 0, hast du ein Maximum. Alternativ kannst du auch das Vorzeichenwechsel-Verfahren nutzen: Wechselt f'(x) von - zu +, ist es ein Minimum, von + zu - ein Maximum.
Merktipp: An Extremstellen sind die Tangenten immer parallel zur x-Achse!
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Schauen wir uns das an einem konkreten Beispiel an: f(x) = ½x² - 2x + 2. Zuerst bildest du die erste Ableitung: f'(x) = x - 2.
Dann setzt du die erste Ableitung gleich null: 0 = x - 2, also x = 2. Das ist deine potentielle Extremstelle.
Jetzt prüfst du mit der zweiten Ableitung: f''(x) = 1. Da f''(2) = 1 > 0 ist, hast du bei x = 2 ein Minimum. Das Vorzeichenwechsel-Verfahren bestätigt das: f'(x) wechselt von negativ zu positiv.
Tipp: Das Vorzeichenwechsel-Verfahren ist oft schneller als die zweite Ableitung!
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Wendestellen sind Punkte, an denen eine Funktion ihre Krümmungsrichtung ändert - also von einer Links- zu einer Rechtskrümmung oder umgekehrt. Sie sind genauso wichtig wie Extremstellen für das Verständnis des Funktionsverhaltens.
Die zweite Ableitung hat an der Wendestelle eine Nullstelle . Das ist logisch, denn hier ändert sich das Vorzeichen der Krümmung.
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Wichtig: Nicht jede Nullstelle der zweiten Ableitung ist automatisch eine Wendestelle!
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Nehmen wir f(x) = x³ - 3x² als Beispiel. Die Ableitungen sind: f'(x) = 3x² - 6x, f''(x) = 6x - 6 und f'''(x) = 6.
Für die Wendestelle setzt du die zweite Ableitung gleich null: 0 = 6x - 6. Das ergibt x = 1.
Die Überprüfung mit der dritten Ableitung: f'''(1) = 6 ≠ 0. Perfekt! Bei x = 1 liegt tatsächlich eine Wendestelle. Du könntest auch den Vorzeichenwechsel von f''(x) an dieser Stelle überprüfen.
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Das Krümmungsverhalten zeigt dir, wie sich eine Funktion "biegt". Es gibt zwei Arten: Linkskrümmung (konkav) und Rechtskrümmung (konvex).
Bei Rechtskrümmung ist f''(x) < 0, die erste Ableitung fällt streng monoton und die Tangenten werden immer flacher. Bei Linkskrümmung ist f''(x) > 0, die erste Ableitung steigt streng monoton und die Tangenten werden immer steiler.
Am Beispiel f(x) = -x³ siehst du das gut: f''(x) = -6x. Für x > 0 ist f''(x) < 0 (Rechtskrümmung), für x < 0 ist f''(x) > 0 (Linkskrümmung). Bei x = 0 liegt die Wendestelle.
Eselsbrücke: Linkskrümmung = Lächeln (f''(x) > 0), Rechtskrümmung = traurig (f''(x) < 0)!
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MatheEntdecken Sie die Berechnung des Volumens von Rotationskörpern mit detaillierten Beispielen und Lösungen. Diese Zusammenstellung behandelt die Disk-Methode, Integrale zur Volumenberechnung und spezifische Aufgaben zu Zylindern, Kegeln und anderen Rotationskörpern. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheMathematik LK Klausur für die 11. Klasse über E-Funktionen, Wachstumsprozesse und den natürlichen Logarithmus. Enthält Pflicht- und Wahlteil mit detaillierten Aufgaben zu exponentiellem Wachstum, logarithmischen Funktionen und deren Anwendungen. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Julia S
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