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Mathematik

Grundlegende Ableitungsregeln

Exponentialfunktionen

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24. Dez. 2025

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E-Funktion, Wachstum und Natürlicher Logarithmus - Mathematik 11. Klasse Gymnasium

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simplexity

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Hier ist eine praktische Klausur zum Thema Exponential- und Logarithmusfunktionen... Mehr anzeigen

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Mathe LK 11.1 Klausur Nr. 2 14.01.22 Name: Deniz A. VP: 27 NP: 13 Ø: mell 11-12 Pflichtteil ohne Hilfsmittel Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimme j

Pflichtteil: Grundlagen ohne Hilfsmittel

Der erste Teil testet dein Grundwissen zu Ableitungen von e-Funktionen und Logarithmen. Bei der Kettenregel für f(x)=15e2x−4f(x) = \frac{1}{5}e^{2x-4} wird die innere Ableitung (2) mit der äußeren multipliziert: f′(x)=25e2x−4f'(x) = \frac{2}{5}e^{2x-4}.

Die Exponentialgleichungen löst du durch Umformen und Logarithmieren. Bei 2e3x+2=42e^{3x} + 2 = 4 isolierst du erst die e-Funktion: e3x=1e^{3x} = 1, dann 3x=ln⁡(1)=03x = \ln(1) = 0, also x=0x = 0.

Bei der Funktionsschar ft(x)=(x−t)⋅e−x2f_t(x) = (x-t) \cdot e^{-x^2} findest du durch Einsetzen des gegebenen Punktes den Parameter t. Für Extremstellen bildest du die Ableitung mit der Produktregel und setzt sie gleich null.

Wichtig: Bei e-Funktionen ist die Ableitung von eax+be^{ax+b} immer a⋅eax+ba \cdot e^{ax+b} - vergiss den Faktor a nicht!

Mathe LK 11.1 Klausur Nr. 2 14.01.22 Name: Deniz A. VP: 27 NP: 13 Ø: mell 11-12 Pflichtteil ohne Hilfsmittel Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimme j

Lösungsansätze der Grundaufgaben

Die Ableitungen werden systematisch mit Ketten- und Produktregel gelöst. Bei f(x)=(e3x+x)2f(x) = (e^{3x} + x)^2 brauchst du die Kettenregel: äußere Ableitung 2(e3x+x)2(e^{3x} + x) mal innere Ableitung (3e3x+1)(3e^{3x} + 1).

Für komplexere Exponentialgleichungen wie ex2+1−6ex=0e^{x^2+1} - 6e^x = 0 verwendest du geschickte Substitutionen. Setze z=exz = e^x, dann wird aus der Gleichung eine quadratische: z2+z−6=0z^2 + z - 6 = 0.

Die Logarithmusgleichung (ln(x))2=3⋅ln(x)(ln(x))^2 = 3 \cdot ln(x) löst du durch Ausklammern: ln(x)⋅(ln(x)−3)=0ln(x) \cdot (ln(x) - 3) = 0. Das ergibt ln(x)=0ln(x) = 0 oder ln(x)=3ln(x) = 3, also x=1x = 1 oder x=e3x = e^3.

Mathe LK 11.1 Klausur Nr. 2 14.01.22 Name: Deniz A. VP: 27 NP: 13 Ø: mell 11-12 Pflichtteil ohne Hilfsmittel Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimme j

Funktionsscharen und Umkehrfunktionen

Bei der Funktionsschar ft(x)=(x−t)⋅e−x2f_t(x) = (x-t) \cdot e^{-x^2} bestimmst du Extremstellen durch die erste Ableitung. Mit der Produktregel erhältst du f′(x)=e−x2+(x−t)(−2x)e−x2f'(x) = e^{-x^2} + (x-t)(-2x)e^{-x^2}.

Für Tangenten berechnest du die Steigung am gewünschten Punkt. Am y-Achsenabschnitt x=0x=0 ist die Steigung f′(0)=1+tf'(0) = 1 + t. Soll sie -1 sein, löst du 1+t=−11 + t = -1, also t=−2t = -2.

Umkehrfunktionen findest du durch Vertauschen von x und y. Bei f(x)=ln(x2+1)f(x) = ln(x^2 + 1) setzt du y=ln(x2+1)y = ln(x^2 + 1), löst nach x auf: ey=x2+1e^y = x^2 + 1, dann x=ey−1x = \sqrt{e^y - 1} (nur positive Wurzel wegen des Definitionsbereichs).

Merke: Bei Umkehrfunktionen musst du immer den Definitionsbereich beachten - nicht alle Lösungen sind gültig!

Mathe LK 11.1 Klausur Nr. 2 14.01.22 Name: Deniz A. VP: 27 NP: 13 Ø: mell 11-12 Pflichtteil ohne Hilfsmittel Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimme j

Anwendung: Medikamentenwirkung

Die Exponentialfunktion f(t)=80⋅(1−e−0,05t)f(t) = 80 \cdot (1 - e^{-0,05t}) beschreibt, wie sich ein Medikament im Blut anreichert. Nach 10 Minuten sind es etwa 31,5 mg, die langfristige Sättigung liegt bei 80 mg.

Um bestimmte Wirkstoffmengen zu erreichen, löst du Gleichungen wie 40=80(1−e−0,05t)40 = 80(1 - e^{-0,05t}). Das ergibt etwa 13,9 Minuten für 40 mg Wirkstoff.

Die Ableitung f′(t)=4e−0,05tf'(t) = 4e^{-0,05t} ist immer positiv, daher nimmt die Wirkstoffmenge ständig zu. Der stärkste Anstieg erfolgt am Anfang, da e−0,05te^{-0,05t} dann am größten ist.

Mathe LK 11.1 Klausur Nr. 2 14.01.22 Name: Deniz A. VP: 27 NP: 13 Ø: mell 11-12 Pflichtteil ohne Hilfsmittel Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimme j

Anwendung: Auftauprozess mit beschränktem Wachstum

Beschränktes Wachstum modelliert Prozesse, die sich einem Grenzwert nähern. Beim Auftauen von -18°C auf 20°C Raumtemperatur folgt die Temperatur einer Funktion der Form T(t)=20−38e−ktT(t) = 20 - 38e^{-kt}.

Den Parameter k bestimmst du aus gegebenen Werten. Bei -14°C nach 10 Minuten setzt du ein: −14=20−38e−10k-14 = 20 - 38e^{-10k} und löst nach k auf.

Bei der maximalen Änderungsrate untersuchst du die zweite Ableitung. Sie ist zu Beginn t=0t=0 am größten, weil dort der Temperaturunterschied maximal ist.

Tipp: Beschränktes Wachstum erkennst du an der Form f(t)=c+a⋅e−ktf(t) = c + a \cdot e^{-kt} - der Grenzwert ist c!

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Grundlegende Ableitungsregeln

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Hier ist eine praktische Klausur zum Thema Exponential- und Logarithmusfunktionen aus dem Mathe-LK 11.1. Du siehst, wie Ableitungen gebildet, Gleichungen gelöst und Funktionsscharen analysiert werden - plus zwei spannende Anwendungsaufgaben zu Medikamentenwirkung und Auftauprozessen.

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Pflichtteil: Grundlagen ohne Hilfsmittel

Der erste Teil testet dein Grundwissen zu Ableitungen von e-Funktionen und Logarithmen. Bei der Kettenregel für f(x)=15e2x−4f(x) = \frac{1}{5}e^{2x-4} wird die innere Ableitung (2) mit der äußeren multipliziert: f′(x)=25e2x−4f'(x) = \frac{2}{5}e^{2x-4}.

Die Exponentialgleichungen löst du durch Umformen und Logarithmieren. Bei 2e3x+2=42e^{3x} + 2 = 4 isolierst du erst die e-Funktion: e3x=1e^{3x} = 1, dann 3x=ln⁡(1)=03x = \ln(1) = 0, also x=0x = 0.

Bei der Funktionsschar ft(x)=(x−t)⋅e−x2f_t(x) = (x-t) \cdot e^{-x^2} findest du durch Einsetzen des gegebenen Punktes den Parameter t. Für Extremstellen bildest du die Ableitung mit der Produktregel und setzt sie gleich null.

Wichtig: Bei e-Funktionen ist die Ableitung von eax+be^{ax+b} immer a⋅eax+ba \cdot e^{ax+b} - vergiss den Faktor a nicht!

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Lösungsansätze der Grundaufgaben

Die Ableitungen werden systematisch mit Ketten- und Produktregel gelöst. Bei f(x)=(e3x+x)2f(x) = (e^{3x} + x)^2 brauchst du die Kettenregel: äußere Ableitung 2(e3x+x)2(e^{3x} + x) mal innere Ableitung (3e3x+1)(3e^{3x} + 1).

Für komplexere Exponentialgleichungen wie ex2+1−6ex=0e^{x^2+1} - 6e^x = 0 verwendest du geschickte Substitutionen. Setze z=exz = e^x, dann wird aus der Gleichung eine quadratische: z2+z−6=0z^2 + z - 6 = 0.

Die Logarithmusgleichung (ln(x))2=3⋅ln(x)(ln(x))^2 = 3 \cdot ln(x) löst du durch Ausklammern: ln(x)⋅(ln(x)−3)=0ln(x) \cdot (ln(x) - 3) = 0. Das ergibt ln(x)=0ln(x) = 0 oder ln(x)=3ln(x) = 3, also x=1x = 1 oder x=e3x = e^3.

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Funktionsscharen und Umkehrfunktionen

Bei der Funktionsschar ft(x)=(x−t)⋅e−x2f_t(x) = (x-t) \cdot e^{-x^2} bestimmst du Extremstellen durch die erste Ableitung. Mit der Produktregel erhältst du f′(x)=e−x2+(x−t)(−2x)e−x2f'(x) = e^{-x^2} + (x-t)(-2x)e^{-x^2}.

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Anwendung: Auftauprozess mit beschränktem Wachstum

Beschränktes Wachstum modelliert Prozesse, die sich einem Grenzwert nähern. Beim Auftauen von -18°C auf 20°C Raumtemperatur folgt die Temperatur einer Funktion der Form T(t)=20−38e−ktT(t) = 20 - 38e^{-kt}.

Den Parameter k bestimmst du aus gegebenen Werten. Bei -14°C nach 10 Minuten setzt du ein: −14=20−38e−10k-14 = 20 - 38e^{-10k} und löst nach k auf.

Bei der maximalen Änderungsrate untersuchst du die zweite Ableitung. Sie ist zu Beginn t=0t=0 am größten, weil dort der Temperaturunterschied maximal ist.

Tipp: Beschränktes Wachstum erkennst du an der Form f(t)=c+a⋅e−ktf(t) = c + a \cdot e^{-kt} - der Grenzwert ist c!

Mathe LK 11.1 Klausur Nr. 2 14.01.22 Name: Deniz A. VP: 27 NP: 13 Ø: mell 11-12 Pflichtteil ohne Hilfsmittel Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimme j

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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