Quadratische Funktionen und ihre Formen
Dieses Dokument bietet einen umfassenden Überblick über quadratische Funktionen, ihre verschiedenen Darstellungsformen und wichtige Berechnungsmethoden.
Grundformen quadratischer Funktionen
Quadratische Funktionen können in verschiedenen Formen dargestellt werden, jede mit ihren eigenen Vorteilen:
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Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
Diese Form ist am häufigsten anzutreffen und bildet die Grundlage für viele Berechnungen.
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Normalform: f(x) = x² + px + q
Eine spezielle Form der allgemeinen Form, bei der a = 1 ist.
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Scheitelpunktform: f(x) = a(x - d)² + e
Diese Form ermöglicht es, den Scheitelpunkt S(d|e) direkt abzulesen.
Highlight: Die Scheitelpunktform ist besonders nützlich, um den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel sofort zu erkennen.
Umformungen zwischen den Formen
Von Normalform in Scheitelpunktform
Um von der Normalform in die Scheitelpunktform zu gelangen, wird die quadratische Ergänzung angewendet:
- Beginne mit der Normalform: f(x) = x² + 6x + 8
- Wende die quadratische Ergänzung an: f(x) = (x² + 6x + 3² - 3²) + 8
- Nutze die binomische Formel: f(x) = ((x + 3)² - 3²) + 8
- Vereinfache: f(x) = (x + 3)² - 1
Example: f(x) = x² + 6x + 8 wird zu f(x) = (x + 3)² - 1 in Scheitelpunktform
Von Scheitelpunktform in Normalform
Der umgekehrte Prozess verwendet die binomische Formel:
- Starte mit der Scheitelpunktform: f(x) = (x - 4)² + 5
- Wende die binomische Formel an: f(x) = x² - 8x + 16 + 5
- Vereinfache zur Normalform: f(x) = x² - 8x + 21
Vocabulary: Binomische Formel - Eine algebraische Identität, die zur Expansion von Quadraten verwendet wird.
Nullstellen und Diskriminante
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion können mit der p-q-Formel berechnet werden:
x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)
Die Diskriminante D = b² - 4ac bestimmt die Anzahl der Nullstellen:
- D < 0: keine reellen Nullstellen
- D = 0: eine Nullstelle (Berührpunkt)
- D > 0: zwei Nullstellen
Definition: Die Diskriminante ist ein Ausdruck, der die Natur der Wurzeln einer quadratischen Gleichung bestimmt.
Sonderfälle und Beispiele
- Rein quadratische Funktion (p = 0): Der Scheitelpunkt liegt im Ursprung.
- Lineare Komponente Null (q = 0): Eine Nullstelle ist immer x = 0.
Example: Bei 2x² - 18x = 0 ist q = 0, daher sind die Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 9.
Faktorisierte Form
Die faktorisierte Form y = a(x - x₁)(x - x₂) ermöglicht das direkte Ablesen der Nullstellen.
Highlight: Die faktorisierte Form ist besonders nützlich, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion schnell zu identifizieren.
Dieses umfassende Verständnis quadratischer Funktionen und ihrer verschiedenen Darstellungsformen ist grundlegend für fortgeschrittene algebraische Konzepte und Anwendungen in der Mathematik.
