Quadratische Funktionen und ihre Darstellungsformen

Eine quadratische Funktion erkennst du immer an ihrer Parabelform. Die einfachste Form ist die Normalparabel f(x) = x². Du wirst aber auf verschiedene Darstellungen stoßen, die jeweils bestimmte Vorteile haben:

Die Normalform einer quadratischen Funktion ist f(x) = x² + px + q oder allgemeiner f(x) = ax² + bx + c. Diese Form ist praktisch für viele Berechnungen, aber der Scheitelpunkt ist nicht direkt ablesbar.

Die Scheitelpunktform f(x) = a$x - d$² + e lässt dich den Scheitelpunkt S(d|e) sofort erkennen. Das ist super hilfreich, wenn du den höchsten oder tiefsten Punkt der Funktion brauchst.

💡 Merke dir: Bei der Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform verwendest du die quadratische Ergänzung und die binomische Formel. Von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst du durch Ausmultiplizieren.

Nullstellen und die pq-Formel

Mit der pq-Formel x₁,₂ = -p/2 ± √$(p/2)² - q$ kannst du die Nullstellen einer quadratischen Gleichung in Normalform direkt berechnen. Die Diskriminante D = b² - 4ac bestimmt, wie viele Nullstellen existieren:

• D < 0: keine reelle Lösung
• D = 0: genau eine Lösung
• D > 0: zwei verschiedene Lösungen

Bei Sonderfällen wie p = 0 (rein quadratische Funktion) oder q = 0 kannst du ohne die pq-Formel lösen. Bei p = 0 isolierst du einfach x², bei q = 0 kannst du x ausklammern und die Gleichung faktorisieren.

Umformungen zwischen den Darstellungsformen

Um von der Normalform in die Scheitelpunktform zu gelangen:

1. Führe eine quadratische Ergänzung durch
2. Wende die binomische Formel an
3. Fasse die Konstanten zusammen

Beispiel: f(x) = x² + 6x + 8 wird zu f(x) = $x + 3$² - 1

Den umgekehrten Weg von der Scheitelpunktform in Normalform gehst du so:

1. Wende die binomische Formel auf den Klammerausdruck an
2. Multipliziere aus und vereinfache

Die faktorisierte Form wie y = 2$x - 3$$x + 1$ ist besonders nützlich, da du die Nullstellen direkt ablesen kannst $hier x = 3 und x = -1$.