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Wie du Quadratische Funktionen und Parabeln mit 3 Punkten und Schnittpunkten berechnest

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Wie du Quadratische Funktionen und Parabeln mit 3 Punkten und Schnittpunkten berechnest
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Die quadratische Funktion ist ein grundlegendes Konzept in der Mathematik, das die Form einer Parabel beschreibt. Diese Zusammenfassung erklärt, wie man Funktionsgleichungen aus gegebenen Punkten berechnet, Schnittpunkte zwischen Parabeln und Geraden findet, sowie Nullstellen, y-Achsenabschnitte und Scheitelpunkte bestimmt. Wichtige Methoden wie das Gleichungssystem, die pq-Formel und die quadratische Ergänzung werden detailliert erläutert.

• Die Normalform einer quadratischen Funktion lautet f(x) = ax² + bx + c
• Die Scheitelpunktform ist f(x) = a(x-d)² + e, wobei (d|e) der Scheitelpunkt ist
• Schnittpunkte, Nullstellen und Scheitelpunkte sind entscheidende Eigenschaften einer Parabel
• Verschiedene Berechnungsmethoden ermöglichen die Analyse quadratischer Funktionen

5.2.2021

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QUADRATISCHE FUNKTIONEN Funktionsgleichung aus drei Punkten / aus dem Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt berechnen Ansatz: f(x) = ax² +b

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Schnittpunkte, Nullstellen und y-Achsenabschnitt berechnen

Diese Seite behandelt die Berechnung von Schnittpunkten zwischen einer Parabel und einer Geraden, sowie die Ermittlung von Nullstellen und dem y-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion.

Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden:

  • Die Gleichungen der Parabel und der Geraden werden gleichgesetzt.
  • Die resultierende quadratische Gleichung wird gelöst, meist mit der pq-Formel.

Beispiel: Für f(x) = x² - 2x + 2 und g(x) = 2x + 14 ergeben sich die Schnittpunkte S₁(6|26) und S₂(-2|10).

Nullstellen berechnen:

  • Nullstellen sind Schnittpunkte mit der x-Achse, also f(x) = 0.
  • Die pq-Formel wird angewendet: x₁/₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Highlight: Eine negative Zahl unter der Wurzel bedeutet, dass die Gleichung keine reelle Lösung hat.

y-Achsenabschnitt berechnen:

  • Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei x = 0.

Beispiel: Für f(x) = x² - 3x + 4 ist der y-Achsenabschnitt f(0) = 4, also S(0|4).

Diese Berechnungen sind essentiell für das Verständnis von quadratischen Funktionen und die Lösung von Aufgaben zu Schnittpunkten zwischen Parabeln und Geraden.

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Scheitelpunkt bestimmen

Diese Seite erklärt verschiedene Methoden zur Bestimmung des Scheitelpunkts einer quadratischen Funktion.

  1. Methode: Mitte der Nullstellen
    • Die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen.
    • Die y-Koordinate wird durch Einsetzen der x-Koordinate in die Funktionsgleichung berechnet.

Beispiel: Für f(x) = 2x² - 4x - 6 mit Nullstellen bei x₁ = 3 und x₂ = -1 liegt der Scheitelpunkt bei SP(1|-8).

  1. Methode: Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung
    • Die Normalform wird in die Scheitelpunktform f(x) = a(x-d)² + e umgewandelt.
    • Schritte: Ausklammern, quadratische Ergänzung, Umformen.

Beispiel: f(x) = x² + 4x - 1 wird zu f(x) = (x+2)² - 5, also SP(-2|-5).

  1. Methode: Verwendung der Ableitungsfunktion
    • Der Scheitelpunkt liegt an der Stelle, wo die erste Ableitung Null ist.

Highlight: Die Wahl der Methode hängt von der gegebenen Form der Funktion und persönlichen Präferenzen ab.

Diese Methoden sind wichtig für die Analyse von quadratischen Funktionen und die Lösung von Aufgaben zur Scheitelpunktform und Normalform.

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Berechnung der Funktionsgleichung aus drei Punkten oder dem Scheitelpunkt

Diese Seite erklärt, wie man die Gleichung einer quadratischen Funktion aus drei gegebenen Punkten oder dem Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt berechnet. Zwei Hauptmethoden werden vorgestellt:

  1. Berechnung aus drei Punkten:
    • Es wird ein Gleichungssystem mit der Normalform f(x) = ax² + bx + c erstellt.
    • Die Koeffizienten a, b und c werden durch Einsetzen der Koordinaten und Lösen des Gleichungssystems bestimmt.

Beispiel: Für die Punkte P₁(-1|1), P₂(2|4) und P₃(4|20) wird die Funktionsgleichung f(x) = 1,4x² - 0,4x - 0,8 berechnet.

  1. Berechnung aus dem Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt:
    • Die Scheitelpunktform f(x) = a(x-d)² + e wird verwendet.
    • Der Parameter a wird durch Einsetzen des zusätzlichen Punktes ermittelt.

Beispiel: Für den Scheitelpunkt SP(-2|4) und den Punkt P(1|8) ergibt sich die Gleichung f(x) = 4/9 · (x+2)² + 4.

Highlight: Die Wahl der Methode hängt von den gegebenen Informationen ab. Die Scheitelpunktform ist besonders nützlich, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist.

Diese Methoden sind grundlegend für die Analyse von Parabeln durch 3 Punkte und die Bestimmung von quadratischen Funktionsgleichungen aus Wertetabellen.

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Schnittpunkte, Nullstellen und y-Achsenabschnitt berechnen

Diese Seite behandelt die Berechnung von Schnittpunkten zwischen einer Parabel und einer Geraden, sowie die Ermittlung von Nullstellen und dem y-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion.

Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden:

  • Die Gleichungen der Parabel und der Geraden werden gleichgesetzt.
  • Die resultierende quadratische Gleichung wird gelöst, meist mit der pq-Formel.

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Nullstellen berechnen:

  • Nullstellen sind Schnittpunkte mit der x-Achse, also f(x) = 0.
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Highlight: Eine negative Zahl unter der Wurzel bedeutet, dass die Gleichung keine reelle Lösung hat.

y-Achsenabschnitt berechnen:

  • Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei x = 0.

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Scheitelpunkt bestimmen

Diese Seite erklärt verschiedene Methoden zur Bestimmung des Scheitelpunkts einer quadratischen Funktion.

  1. Methode: Mitte der Nullstellen
    • Die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen.
    • Die y-Koordinate wird durch Einsetzen der x-Koordinate in die Funktionsgleichung berechnet.

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Berechnung der Funktionsgleichung aus drei Punkten oder dem Scheitelpunkt

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  1. Berechnung aus drei Punkten:
    • Es wird ein Gleichungssystem mit der Normalform f(x) = ax² + bx + c erstellt.
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