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Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Nullstellenform

6.372

•

5. Juni 2021

•

2 Seiten

Quadratische Gleichungen: Normalparabel verschieben und lösen

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Laura Sophie

@laurasophiestudies

Die Normalparabelist eine grundlegende quadratische Funktion mit der Formel... Mehr anzeigen

Funktion 2. Grades x²größte potenz
Allgemeinform: f(x) = ax² +bx +C
eine Parabel.
normalparabel.
besitzt die Funktionsgleichung f(x)=x²
f(x)

Lösen quadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind fundamentale mathematische Konzepte, die in verschiedenen Formen auftreten können. Eine allgemeine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0 und a, b, c reelle Zahlen sind.

Definition: Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades in der Form ax² + bx + c = 0.

Es gibt verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen:

Rein quadratische Gleichungen: Nur x² und eine Konstante $z.B. x² - 9 = 0$
Gemischt quadratische Gleichungen: Enthalten x², x und eine Konstante

Lösungsmethoden für quadratische Gleichungen:

Umstellen und Wurzelziehen $für rein quadratische Gleichungen$ :

Example: x² - 9 = 0

x² = 9

x = ±√9

x₁ = 3, x₂ = -3

Quadratische Ergänzung: Diese Methode wird verwendet, um eine quadratische Gleichung in die Form $x + p$ ² = q zu bringen.

Example: x² + 10x = -9

x² + 10x + $5$ ² = -9 + $5$ ²

$x + 5$ ² = 16

x + 5 = ±4

x₁ = -1, x₂ = -9

pq-Formel: Für Gleichungen in der Normalform x² + px + q = 0 gilt:

Formula: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² - q)

Mitternachtsformel $abc-Formel$ : Für die allgemeine Form ax² + bx + c = 0:

Formula: x₁,₂ = $-b ± √(b² - 4ac$ ) / $2a$

Highlight: Die Mitternachtsformel ist besonders nützlich, da sie für alle quadratischen Gleichungen anwendbar ist, unabhängig von ihrer Form.

Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt vom Wert unter der Wurzel $Diskriminante$ ab:

Wenn b² - 4ac > 0: zwei reelle Lösungen
Wenn b² - 4ac = 0: eine reelle Lösung $doppelte Nullstelle$
Wenn b² - 4ac < 0: keine reelle Lösung

Diese Methoden und Konzepte sind grundlegend für das Verständnis und die Lösung quadratischer Gleichungen in der Mathematik.

Grundlagen der Normalparabel und quadratischen Funktionen

Die Normalparabel ist die einfachste Form einer quadratischen Funktion mit der Gleichung f $x$ = x². Sie besitzt charakteristische Eigenschaften, die als Grundlage für komplexere quadratische Funktionen dienen.

Definition: Die Normalparabel ist eine quadratische Funktion mit der Gleichung f $x$ = x².

Eigenschaften der Normalparabel:

Symmetrisch zur y-Achse
Scheitelpunkt im Koordinatenursprung $0,0$
Nach oben geöffnet
Nicht gestreckt oder gestaucht

Die Normalparabel kann durch verschiedene Transformationen modifiziert werden:

Verschieben der Normalparabel entlang der y-Achse: Durch Addition oder Subtraktion einer Konstante c: f $x$ = x² + c

Beispiel: f $x$ = x² + 1 verschiebt die Parabel um 1 Einheit nach oben

Verschieben der Normalparabel entlang der x-Achse: Durch Einführung eines Parameters d: f $x$ = $x + d$ ²

Highlight: Wenn d < 0, wird der Graph nach rechts verschoben; wenn d > 0, nach links.

Strecken und Stauchen der Normalparabel: Durch Multiplikation mit einem Parameter a: f $x$ = ax²

Vocabulary: |a| > 1 streckt den Graphen, |a| < 1 staucht ihn.

Spiegeln der Normalparabel: Durch Änderung des Vorzeichens von a: f $x$ = -ax²

Highlight: Wenn a > 0, ist die Parabel nach oben geöffnet; wenn a < 0, nach unten.

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet f $x$ = a $x + d$ ² + e, wobei S $-d|e$ den Scheitelpunkt angibt. Um eine Funktion von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform zu bringen, wird die quadratische Ergänzung angewendet.

Example: Umformung von f $x$ = 2x² + 8x + 12 in Scheitelpunktform:

Ausklammern: f $x$ = 2 $x² + 4x + 6$

Quadratische Ergänzung: f $x$ = 2 $x² + 4x + 4 - 4 + 6$

Binomische Formel: f $x$ = 2 $(x + 2$ ² - 4 + 6)

Vereinfachen: f $x$ = 2 $x + 2$ ² + 4

Die Normalform einer quadratischen Funktion ist f $x$ = ax² + bx + c. Beide Formen sind wichtig für das Verständnis und die Analyse quadratischer Funktionen.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Die Normalparabelist eine grundlegende quadratische Funktion mit der Formel f(x) = x². Sie bildet die Basis für komplexere quadratische Funktionen und kann durch Verschiebung, Streckung und Spiegelung modifiziert werden. Die Scheitelpunktform und die Normalform sind wichtige Darstellungsweisen für quadratische... Mehr anzeigen

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Definition: Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades in der Form ax² + bx + c = 0.

Es gibt verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen:

Rein quadratische Gleichungen: Nur x² und eine Konstante $z.B. x² - 9 = 0$
Gemischt quadratische Gleichungen: Enthalten x², x und eine Konstante

Lösungsmethoden für quadratische Gleichungen:

Umstellen und Wurzelziehen $für rein quadratische Gleichungen$ :

Example: x² - 9 = 0

x² = 9

x = ±√9

x₁ = 3, x₂ = -3

Quadratische Ergänzung: Diese Methode wird verwendet, um eine quadratische Gleichung in die Form $x + p$ ² = q zu bringen.

Example: x² + 10x = -9

x² + 10x + $5$ ² = -9 + $5$ ²

$x + 5$ ² = 16

x + 5 = ±4

x₁ = -1, x₂ = -9

pq-Formel: Für Gleichungen in der Normalform x² + px + q = 0 gilt:

Formula: x₁,₂ = -p/2 ± √ $(p/2$ ² - q)

Mitternachtsformel $abc-Formel$ : Für die allgemeine Form ax² + bx + c = 0:

Formula: x₁,₂ = $-b ± √(b² - 4ac$ ) / $2a$

Highlight: Die Mitternachtsformel ist besonders nützlich, da sie für alle quadratischen Gleichungen anwendbar ist, unabhängig von ihrer Form.

Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt vom Wert unter der Wurzel $Diskriminante$ ab:

Wenn b² - 4ac > 0: zwei reelle Lösungen
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Wenn b² - 4ac < 0: keine reelle Lösung

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Grundlagen der Normalparabel und quadratischen Funktionen

Definition: Die Normalparabel ist eine quadratische Funktion mit der Gleichung f $x$ = x².

Eigenschaften der Normalparabel:

Symmetrisch zur y-Achse
Scheitelpunkt im Koordinatenursprung $0,0$
Nach oben geöffnet
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Die Normalparabel kann durch verschiedene Transformationen modifiziert werden:

Verschieben der Normalparabel entlang der y-Achse: Durch Addition oder Subtraktion einer Konstante c: f $x$ = x² + c

Beispiel: f $x$ = x² + 1 verschiebt die Parabel um 1 Einheit nach oben

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Highlight: Wenn d < 0, wird der Graph nach rechts verschoben; wenn d > 0, nach links.

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Vocabulary: |a| > 1 streckt den Graphen, |a| < 1 staucht ihn.

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Example: Umformung von f $x$ = 2x² + 8x + 12 in Scheitelpunktform:

Ausklammern: f $x$ = 2 $x² + 4x + 6$

Quadratische Ergänzung: f $x$ = 2 $x² + 4x + 4 - 4 + 6$

Binomische Formel: f $x$ = 2 $(x + 2$ ² - 4 + 6)

Vereinfachen: f $x$ = 2 $x + 2$ ² + 4

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