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Quadratische Funktionen / Gleichungen
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Laura Sophie
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- Normalparabel - strecken,/stauchen, verschieben und spiegeln -scheitelpunktform & Nullstellen -Normalform - quadratische Ergänzung - rein und gemischt quadratische Gleichungen - p -q Formel & Mitternachtsformel
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Lernzettel
Funktion 2. Grades x²größte potenz - Allgemeinform: f(x) = ax²+bx + C - eine Parabel. normalparabel. besitzt die Funktionsgleichung f(x)=x² f(x) = x² eigenschaften Graph symmetrisch zur y-Achse Koordinatenursprung (010) ist Scheitel- punkt des Graphen - nicht gestreckt /f(x)=x² - nach oben geöffnet entlang der y-Achse Normalparabel durch C in y-Richtung verschiebbar wenn C>0, wird Graph nach oben verschoben wenn C<0, wird graph nach unten verschoben •nur für £(x)=x² nicht verschoben verschieben der normal parabel entlang der x-Achse Normalparabel durch d in X-Richtung verschiebbar f(x) = x²+1 g(x)=x² h(x)=x²-1,5 -3 -2 ya (f(x) -1 9(b) 0 h(x) strecken & stauchen spiegeln der normal parabee Normalparabel durch a Spiegelbar Normalparabel durch parameter a stauchbar & streckbar~ y = ax² h(x)=(x+1,5)² wenn lal1, ist der Graph gestreckt wenn lak1, ist der Graph gestaucht ya fi glx1 a=1 Normalparabel f(x)=2,7x² .9(x) = x² .h(x) = 0,3x² (h(x) wenn d<0, Graph nach rechts verschoben. wenn d>0, Graph nach links verschoben 0 J g(x)=(x-1,5)² allgemeine Form f(x)=0x²+bx+c _b + =-6 ± 1 X112 29 b²-4ac ·-49² wenn a>0, ist Parabel nach oben geöffnet Quadratische Funktion scheitelpunktform f(x)= a (x +d)² + e s(-dle) beispiel: f(x) = 2x² + 8x + 12 zur Scheitelpunktform schritt 1: boeffizenten vor x² ausklammeern f(x) = 2(x² + 4x+12) wenn a<0, ist Parabel nach unten geöffnet Хар Normalform f(x)=x² +px +q - ² ± √ √14) ² -9° + -- f(x)=x² -4 -3 -2 schritt 2: quadratische ergänzung f(x) = 2(ײ +4 × + ( 7 ) ² − ( 7 ) ² + 12 f(x) = 2(x² + 4x + 4 - 4 +12 schritt 3: binomische formeln rückwärts f(x) = 2((x+2/²+4 → f(x) = 2 ( x +21² +4 schritt 4: scheitelpunkt angeben $(-21+4) (vorzeichen aus klammer ändert sich) mullstellen g(x)=x² -1 ∙y Scheitelpunkt form. f(x)...
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= a (x + d)² + e X ₁1 12 = -d± √ - €₁ quadratische gleichungen Jede Gleichung, die man in folgende. allgemeine Form bringen kann: ax² + bx + C = 0 (α = 0 & a, b, CER) ax²= quadratisches Glied, bx = lineares Glied & C absolutes Glied = le quadratische Gleichung kann eine, zwei oder keine Lösung besitzen rein quadratische gleichungen rein quadratische Gleichung: x²- 9 = 0 durch umstellen & wurzelziehen |√ IT vorgehensweise: + beispiel Schritt 1: 9 muss auf andere Seite x²-600-01+600 x²-9=0 1+q Schritt 2: Quadratwurzel ziehen x²=600 1√ x² = q Schritt 3: positive & negative Quadratwurzel X₁=+√9² & x₂ = -√₁² x₁ = 24,5 x₂ = -24, S schritt 1: p bestimmen normalform Normalform: x² +px + 9 = 0 jede quadratische Gl. kann in die Normalform gebracht werden Seite bringen um quadr. Gleichung in die Normalform zu bringen, muss die gesamte Gl. durch Koeffizienten a geteilt werden. x+5 X + 5 = -4 beispiel x² + 10x = -9 P = 10 Schritt 2: Quadratische Ergänzung + (²) ² x² + px + ( ² ) ² =-q + ( ² ) ² Schritt 3: binomische (x + £ ) ² = − q + ( ² ) ² Schritt 4: x auf eine ax²+bx+c=0 1:a →x² + x + = 0₂ (beispiel: 4x² + 16x + 9=0 1:4 * x² + 4x +2,25=0 QUADRATISCHE gleichungen Gleichung der Form: x² +px+q=0 (P₁9 ER) mithilfe von quadr. ergänzung. X²+ 10x = -9 1+5² Formel + guadratwurzel ziehen (x + 5)² = 16 I√ GLEICHUNGEN gemische quadratische x² + bx-14 = 0 X112 X² + 10x +5² = -9 +5² °4 1-5 →> x=4-5 1-5 →> x-4-5 quadratische ergänzung wird genutzt, um Term umzuformen um die 1. oder 2 binomische Formel rückwärts anwenden zu können. X₁ x₂ = -9 vorgehensweise mit beispiel Schritt 1: quadrat. Term mit Form x² + px f(x)=2x² 80x f(x)=2(x²-40x) Schritt 2: quadrat. Ergänzung anwendung f(x) = 2 ( x² - 40 x + (420)²-(²) Schritt 3: binomische Formel rückwärts + klammer aufl. f(x)=2(x²-40x + 20²-20²)→ f(x) = 2((x-20)²-400) f(x)= 2(x-201²-800 p-g former nur bei quadratischen Funktion & nur in der Normalform X112 x² + px + 9 = 0 X₁12 = -f ± beispiel: P= 6 9 = -14 In p-q Formel einsetzen ± √√ ( ²2 ) ² − (−14)¹ = × ₁ ≈ 1,8 × ₂ ~ -7,8 mitternachtsformee (abc-Formen) quadratische Gleichung muss nicht in Normalform sein + b²-4ac¹ чаг ax²+bx+C =0 beispiel: 4x²+ 15x+7=0 a=4 b=15 C=7 X112 2.4 15 + 152-4-4-7¹ 4.42. √ (²)³² — qº' =- 20 in Formel einsetzen X₁₂₁=-0,54 X₂=-3₁2
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= a (x + d)² + e X ₁1 12 = -d± √ - €₁ quadratische gleichungen Jede Gleichung, die man in folgende. allgemeine Form bringen kann: ax² + bx + C = 0 (α = 0 & a, b, CER) ax²= quadratisches Glied, bx = lineares Glied & C absolutes Glied = le quadratische Gleichung kann eine, zwei oder keine Lösung besitzen rein quadratische gleichungen rein quadratische Gleichung: x²- 9 = 0 durch umstellen & wurzelziehen |√ IT vorgehensweise: + beispiel Schritt 1: 9 muss auf andere Seite x²-600-01+600 x²-9=0 1+q Schritt 2: Quadratwurzel ziehen x²=600 1√ x² = q Schritt 3: positive & negative Quadratwurzel X₁=+√9² & x₂ = -√₁² x₁ = 24,5 x₂ = -24, S schritt 1: p bestimmen normalform Normalform: x² +px + 9 = 0 jede quadratische Gl. kann in die Normalform gebracht werden Seite bringen um quadr. Gleichung in die Normalform zu bringen, muss die gesamte Gl. durch Koeffizienten a geteilt werden. x+5 X + 5 = -4 beispiel x² + 10x = -9 P = 10 Schritt 2: Quadratische Ergänzung + (²) ² x² + px + ( ² ) ² =-q + ( ² ) ² Schritt 3: binomische (x + £ ) ² = − q + ( ² ) ² Schritt 4: x auf eine ax²+bx+c=0 1:a →x² + x + = 0₂ (beispiel: 4x² + 16x + 9=0 1:4 * x² + 4x +2,25=0 QUADRATISCHE gleichungen Gleichung der Form: x² +px+q=0 (P₁9 ER) mithilfe von quadr. ergänzung. X²+ 10x = -9 1+5² Formel + guadratwurzel ziehen (x + 5)² = 16 I√ GLEICHUNGEN gemische quadratische x² + bx-14 = 0 X112 X² + 10x +5² = -9 +5² °4 1-5 →> x=4-5 1-5 →> x-4-5 quadratische ergänzung wird genutzt, um Term umzuformen um die 1. oder 2 binomische Formel rückwärts anwenden zu können. X₁ x₂ = -9 vorgehensweise mit beispiel Schritt 1: quadrat. Term mit Form x² + px f(x)=2x² 80x f(x)=2(x²-40x) Schritt 2: quadrat. Ergänzung anwendung f(x) = 2 ( x² - 40 x + (420)²-(²) Schritt 3: binomische Formel rückwärts + klammer aufl. f(x)=2(x²-40x + 20²-20²)→ f(x) = 2((x-20)²-400) f(x)= 2(x-201²-800 p-g former nur bei quadratischen Funktion & nur in der Normalform X112 x² + px + 9 = 0 X₁12 = -f ± beispiel: P= 6 9 = -14 In p-q Formel einsetzen ± √√ ( ²2 ) ² − (−14)¹ = × ₁ ≈ 1,8 × ₂ ~ -7,8 mitternachtsformee (abc-Formen) quadratische Gleichung muss nicht in Normalform sein + b²-4ac¹ чаг ax²+bx+C =0 beispiel: 4x²+ 15x+7=0 a=4 b=15 C=7 X112 2.4 15 + 152-4-4-7¹ 4.42. √ (²)³² — qº' =- 20 in Formel einsetzen X₁₂₁=-0,54 X₂=-3₁2