Quadratische Funktionen und Parabeln

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als 1 gestaucht gestreckt Parabel verschiebt sich nach rechts Parabel verschiebt sich nach links. 2. Form Die allgemeine Form: a Streckungsfaktor C- у- Streckungs- faktor 1) Von der Scheitelpunkt form zur allgemeinen 2.B. 3 (x-7) ² +4 3. Form a Parabein Achsen abschnitt. f(x) = ax² + bx + c = 3 (x² - 14+ + 49) + 4 = 3x² 42x + 147 +4 = 3x² - 42x + 151 Die faktorisierte Form: f(x) = a (x−×₁) (x − ×₂) - Streckungsfaktor X₁/2-Achsen abschnitt (Nullstelle) SP (7) 4) y-Achsenabschnitt = Von der faktorisierten Form zu der allgemeinen Form 2. B. f(x) = 5 (x-3) (+ +2) = 5 (ײ + 2×- 3+ -6) = 5 (+²-1+-6) =5x25x - 30 = (2) Von der allgemeinen Form zu der Scheitelpunkt form f(x) = 5x²-5x-30 5(x² - 1x)-30 40,5² 0,25 = 5 (+²_1× + 0,25 -0,25)- 30 = 5 (x²-1 +0,25) - 1,25-30 5 (x-0,5)-31,25 a= 5 N₁ (310) N₂ (-210) y= Achsen abschnitt:(01-30) SP (0,5 1-31,25) 1) f(x) = 3 (x - 2)² + 1 3(x² - 4x + 4)+1 = = 3x² - 12x + 12 + 1 3x² 12x + 13 Zeichnen + Nullstellen bestimmen faktorisierte Form 2) F(x) = 2x² - 4x +3 = 2 klammern 2(x²-2x) +3 2(x² - 2 + 1 -1) + 3 - 2x + 1) + 1 2 (x². 2 (x-1)² +1 Scheitelpunkt form quadra tische Ergänzung bin. F rückwärts Zeichnen + Nullstellen bestimmen. auf lo sen 3) F(x)=2(x-1)(x+2) = 2 (x²+2x-1×-2) = 2 (x² + 1x - 2) = 2x² +2x -4 bin. Formel klammer auf lösen allgemeine Form ·kann nur gebildet werden, wenn die Parabel Nullstellen besitzt. Wichtig: Nicht jede Parabel besitzt Null stellen und daher eine faktorisierte Form Quadratische ergänzung 1) Faktor vor x ausklammern 2) Quadratische Ergänzung 3) Ergänzung aus der klammer 4) binomische Formel rückwärts F(x)= 3x²9x + 5 = 3 (x²-3x) +5 :24 1,5 2,25 = = = 3 (x²-3x+2.25 -2.25) +5 bin. Formel 3 (x²-3x + 2,25) -6,75 + 5 =3(-2,25) 3 (x-1,5)² - 1,75 Quadratische gleichungen Als quadratische Gleichung wird jede Gleichung bezeichnet, in der 2. B. x² = g x² + x x² + x + 5 =9 die Allgemein form ax²+bx+c = 0 Beispiel: 2+²+ 8x + 10 = 4 1) in Normalform bringen → = x² = 36 15 x₁ = 6 +₂ = 6 +²=96 15 X₁1/2= = √√56¹ √16.6 = 10 - 100 11 121 12 - 194 aber auch 13-169 14 - 196 15 225 1 16 256 17 289 18-324 = 4√6 19 - 20- 200 21 - 441 22 484 23 429 24-476 25-525 x 2 = 40 x₁/2 = ± √√√40² = 2+²+ 8x + 10 = 4 2х2+8+ +6 x² + 4x + 3 = 0 x1 = 4.10 ± 2 2 10 (x - 2)² = 12 15 x-2 = ± √₁2 = 0 +5,464 x 7x² = 56 = 3,464 | +2 1-4 1:2 ==√√8 drin = ± 2 = √2.4 Xz = - 11464 1:7 2 vor kommt (allgemein form (Normalform 3(2-1)² = 81:3 (2 - 11/12)² = // 15 z-1/2 = 1,633 2₁~2,133 2₁ = +√√ 1+1 = 1,633 = + Zzz - 1,33 1 + ²/12 2-½ = √3/² Parabeln verschieben & Strecken f(x) = ax² a : Normal parabel a> 0 Graph nach oben geöffnet a co : Graph nach unten geöffnet. F(x)= x² +e Der Graph wird in y- Richtum nach oben, wenn e positiv nach unten, wenn e negativ. Beispiel: f(x) = x ² f(x) = (x-d) ² Der Graph wird in x-Richtung verschoben, nach rechts, wenn d positiv nach links, wenn d negativ verschoben, un zwar 2) Spiegeln an SP (Ole) 15 Einheiten nach rechts → (x-5)² Ach se → (x + 5)² 3) 2 Einheiten nach oben → (x+ 5)² + 2 4) Spiegeln an x-Achse →(x + 5)² -2 у- und zwar -4 -3 -2 unten geöffnet negativ oben geöffnet -4 -3 -2 -1 unten obey 3- 2- -4 -3 -2 -1 ³ links positiv 2 3 4 negativ X positiv negativ rechts positiv X X Y Y J Ursprung Ausgangs-Parabel nach rechts spieglung any-Achse nach oben spieglung an x-Achse Funktionsgleichung anhand Scheitelpunkt + Punkt P bestimmen SP (114) P (310) f(x) == · (x + 1)² + 4 f(3) = a (3 + 1)² + 4 = 0 a 16+ 4 169 +4 = 16 a F(x) = ax f(0) = 4 a (-6) 1) B (1/2) 2) C (3/10) O = 0 Funktionsgleichung anhand Nullstellen + Punkt P bestimmen N₁ (-210), N₂ (310), P (11-3) Ansatz: faktorisierte Form F(x)= a (x − 3)(x+2) f(1) = a (1-3) (1 + 2) = -3 = a (1+2-3-6)= =-3 = a = -4 1-4 - 6 a = - + bx + 4 = 3 3 a = 0,5 16 Quadratische Funktion mit Achsenabschnitt + 2 Punkte y- A (014), B (412), ((3140) Ansatz: Allgemeine Form 1: (-6) Einsetzen a. 1² + b.1 + 4 = a3 + b3 +4 = 10 f(x) = 0,5 (x-3)(x+2) Gleichung → a+b=2 9a + 3b=6 bestimmen (also a = 2 b=-2-a -2-a3a+2²° 2) b = 3a + 2 und b = -2-2=-4 ↳ f(x= 2x² - 4x +4