Darstellungsformen quadratischer Funktionen

Dieses Kapitel behandelt die verschiedenen Darstellungsformen quadratischer Funktionen und zeigt, wie man zwischen ihnen umformen kann. Es werden drei Hauptformen vorgestellt:

1. Scheitelpunktform: f(x) = a(x-d)² + e
2. Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
3. Faktorisierte Form: f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)

Definition: Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ≠ 0.

Es werden Beispiele für die Umformung zwischen diesen Formen gegeben:

1. Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form: 3(x-7)² + 4 = 3x² - 42x + 151

2. Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform: 5x² - 5x - 30 = 5(x-0,5)² - 31,25

3. Von der faktorisierten Form zur allgemeinen Form: 5(x-3)(x+2) = 5x² + 5x - 30

Highlight: Die Umformung zwischen den verschiedenen Darstellungsformen ermöglicht es, spezifische Eigenschaften der quadratischen Funktion leichter zu erkennen und zu analysieren.

Vocabulary: Faktorisierte Form - Eine Darstellung der quadratischen Funktion, die ihre Nullstellen direkt zeigt.

Diese Umformungen sind wichtige Fertigkeiten für die Arbeit mit quadratischen Funktionen und bilden die Grundlage für viele Übungen und Aufgaben in diesem Bereich.

Umformungsübungen und quadratische Ergänzung

Dieses Kapitel konzentriert sich auf praktische Übungen zur Umformung zwischen verschiedenen Darstellungsformen quadratischer Funktionen und führt die Methode der quadratischen Ergänzung ein.

Es werden drei Umformungsbeispiele präsentiert:

1. Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form: f(x) = 3(x-2)² + 1 = 3x² - 12x + 13

2. Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform: f(x) = 2x² - 4x + 3 = 2(x-1)² + 1

3. Von der faktorisierten Form zur allgemeinen Form: f(x) = 2(x-1)(x+2) = 2x² + 2x - 4

Highlight: Die Umformung zwischen den Darstellungsformen ermöglicht es, verschiedene Eigenschaften der quadratischen Funktion leichter zu erkennen, wie z.B. Scheitelpunkt oder Nullstellen.

Die Methode der quadratischen Ergänzung wird detailliert erklärt:

1. Faktor vor x² ausklammern
2. Quadratische Ergänzung durchführen
3. Ergänzung aus der Klammer ziehen
4. Binomische Formel rückwärts anwenden

Ein Beispiel wird Schritt für Schritt durchgeführt: f(x) = 3x² - 9x + 5 = 3(x-1,5)² - 1,75

Example: Die quadratische Ergänzung für f(x) = 3x² - 9x + 5 führt zur Scheitelpunktform 3(x-1,5)² - 1,75.

Diese Übungen und Methoden sind wesentlich für das Verständnis und die Analyse von quadratischen Funktionen und bieten wertvolle Praxis für Aufgaben mit quadratischen Funktionen.

Lösung quadratischer Gleichungen

Dieses Kapitel befasst sich mit der Lösung quadratischer Gleichungen, einem zentralen Thema im Bereich der quadratischen Funktionen. Es werden verschiedene Methoden zur Lösung vorgestellt und anhand von Beispielen erläutert.

Definition: Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0 ist.

Folgende Lösungsmethoden werden behandelt:

1. Direkte Lösung für einfache Fälle (z.B. x² = 36)
2. Quadratische Formel für komplexere Fälle
3. Faktorisierung, wenn möglich

Highlight: Die quadratische Formel x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a) ist ein universelles Werkzeug zur Lösung quadratischer Gleichungen.

Beispiele für verschiedene Typen quadratischer Gleichungen werden gelöst:

• x² = 36 → x₁ = 6, x₂ = -6
• 2x² + 8x + 10 = 4 → x₁ ≈ -3,464, x₂ ≈ -0,536
• (x - 2)² = 12 → x₁ ≈ 5,464, x₂ ≈ -1,464

Example: Für die Gleichung 7x² = 56 ergibt sich die Lösung x = ±2√2.

Es wird betont, dass nicht alle quadratischen Gleichungen reelle Lösungen haben. Die Diskriminante b² - 4ac bestimmt die Art und Anzahl der Lösungen:

• b² - 4ac > 0: zwei reelle Lösungen
• b² - 4ac = 0: eine reelle Lösung (doppelte Nullstelle)
• b² - 4ac < 0: keine reellen Lösungen

Diese Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen sind fundamental für die Analyse von quadratischen Funktionen und finden Anwendung in vielen praktischen Aufgaben und Übungen.