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Quadratische Gleichungen einfach erklärt: Mit Lösungen, Übungen und Mitternachtsformel

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Laura

19.3.2021

Mathe

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen einfach erklärt: Mit Lösungen, Übungen und Mitternachtsformel

Quadratische Gleichungen sind ein zentrales Thema in der Algebra, das verschiedene Lösungsmethoden und Formen umfasst.

  • Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ≠ 0.
  • Zur Lösung werden verschiedene Methoden wie die Mitternachtsformel, pq-Formel, Faktorisierung und binomische Formeln verwendet.
  • Der Satz von Vieta stellt wichtige Beziehungen zwischen den Koeffizienten und Lösungen her.
  • Praktische Anwendungen und Beispiele verdeutlichen die Konzepte und Lösungswege.
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19.3.2021

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Cuadratische Gleichungen
1. ALLGEMEINE FORM
Quadratisches Glied
ax² + bx + c = 0
↓
Lineares Glied
Bei der Allgemeinen Form benutzt man die M

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Praktische Anwendungen und Beispiele

Die zweite Seite vertieft die praktische Anwendung der zuvor eingeführten Konzepte mit konkreten Beispielen. Sie demonstriert verschiedene Lösungsmethoden für quadratische Gleichungen und zeigt, wie diese in unterschiedlichen Situationen eingesetzt werden können.

Ein Beispiel veranschaulicht die Anwendung des Satzes von Vieta. Für die Gleichung x² - 4x - 5 = 0 werden die Lösungen x₁ = 5 und x₂ = -1 ermittelt, wobei gezeigt wird, wie die Koeffizienten p und q mit den Lösungen zusammenhängen.

Example: Für x² - 4x - 5 = 0 gilt nach dem Satz von Vieta: p = -(-1 + 5) = 4 und q = -1 * 5 = -5.

Die Methode des Ausklammerns wird anhand der Gleichung 2x² + 6x = 0 demonstriert. Durch Ausklammern von x erhält man x(2x + 6) = 0, was zu den Lösungen x₁ = 0 und x₂ = -3 führt.

Highlight: Beim Ausklammern nutzt man den Satz vom Nullprodukt: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein.

Die Anwendung binomischer Formeln wird mit mehreren Beispielen illustriert. Diese zeigen, wie quadratische Ausdrücke in Faktoren zerlegt oder umgekehrt aus Faktoren quadratische Ausdrücke gebildet werden können.

Example: a² + 8a + 16 = (a + 4)² ist ein Beispiel für die Anwendung der ersten binomischen Formel.

Abschließend wird ein komplexeres Beispiel präsentiert: 64x² - 16 = (8x + 4)(8x - 4). Dies demonstriert die Anwendung der dritten binomischen Formel und zeigt, wie quadratische Ausdrücke in Faktoren zerlegt werden können.

Diese praktischen Beispiele und Anwendungen vertiefen das Verständnis für quadratische Gleichungen und ihre Lösungsmethoden. Sie bieten Studierenden die Möglichkeit, die theoretischen Konzepte in konkreten Situationen anzuwenden und ihre Fähigkeiten im Lösen quadratischer Gleichungen zu verbessern.

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Mathe

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19. März 2021

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Quadratische Gleichungen einfach erklärt: Mit Lösungen, Übungen und Mitternachtsformel

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Laura

@lau.ra_wrs

Quadratische Gleichungen sind ein zentrales Thema in der Algebra, das verschiedene Lösungsmethoden und Formen umfasst.

  • Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichunglautet ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ≠... Mehr anzeigen
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Praktische Anwendungen und Beispiele

Die zweite Seite vertieft die praktische Anwendung der zuvor eingeführten Konzepte mit konkreten Beispielen. Sie demonstriert verschiedene Lösungsmethoden für quadratische Gleichungen und zeigt, wie diese in unterschiedlichen Situationen eingesetzt werden können.

Ein Beispiel veranschaulicht die Anwendung des Satzes von Vieta. Für die Gleichung x² - 4x - 5 = 0 werden die Lösungen x₁ = 5 und x₂ = -1 ermittelt, wobei gezeigt wird, wie die Koeffizienten p und q mit den Lösungen zusammenhängen.

Example: Für x² - 4x - 5 = 0 gilt nach dem Satz von Vieta: p = -(-1 + 5) = 4 und q = -1 * 5 = -5.

Die Methode des Ausklammerns wird anhand der Gleichung 2x² + 6x = 0 demonstriert. Durch Ausklammern von x erhält man x(2x + 6) = 0, was zu den Lösungen x₁ = 0 und x₂ = -3 führt.

Highlight: Beim Ausklammern nutzt man den Satz vom Nullprodukt: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein.

Die Anwendung binomischer Formeln wird mit mehreren Beispielen illustriert. Diese zeigen, wie quadratische Ausdrücke in Faktoren zerlegt oder umgekehrt aus Faktoren quadratische Ausdrücke gebildet werden können.

Example: a² + 8a + 16 = (a + 4)² ist ein Beispiel für die Anwendung der ersten binomischen Formel.

Abschließend wird ein komplexeres Beispiel präsentiert: 64x² - 16 = (8x + 4)(8x - 4). Dies demonstriert die Anwendung der dritten binomischen Formel und zeigt, wie quadratische Ausdrücke in Faktoren zerlegt werden können.

Diese praktischen Beispiele und Anwendungen vertiefen das Verständnis für quadratische Gleichungen und ihre Lösungsmethoden. Sie bieten Studierenden die Möglichkeit, die theoretischen Konzepte in konkreten Situationen anzuwenden und ihre Fähigkeiten im Lösen quadratischer Gleichungen zu verbessern.

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Quadratische Gleichungen: Formen und Lösungsmethoden

Die erste Seite führt in die Grundlagen quadratischer Gleichungen ein und präsentiert verschiedene Formen und Lösungsmethoden. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung wird als ax² + bx + c = 0 dargestellt, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a nicht null sein darf. Für diese Form wird die Mitternachtsformel als Lösungsmethode empfohlen.

Definition: Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0.

Die Normalform x² + px + q = 0 wird ebenfalls vorgestellt, für die die pq-Formel zur Lösung verwendet wird.

Highlight: Die Mitternachtsformel lautet: x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Anhand von Beispielen wird die Anwendung der pq-Formel demonstriert. Ein konkretes Beispiel zeigt die Lösung der Gleichung x² - 2x - 3 = 0, wobei die Lösungen x₁ = 3 und x₂ = -1 ermittelt werden.

Example: Für die Gleichung x² - 2x - 3 = 0 ergeben sich die Lösungen x₁ = 3 und x₂ = -1.

Die Seite behandelt auch alternative Lösungsmethoden wie das Lösen durch Faktorisierung und den Einsatz binomischer Formeln. Der Satz von Vieta wird eingeführt, der wichtige Beziehungen zwischen den Koeffizienten und Lösungen einer quadratischen Gleichung herstellt.

Vocabulary: Der Satz von Vieta besagt, dass für die Lösungen x₁ und x₂ einer quadratischen Gleichung x² + px + q = 0 gilt: p = -(x₁ + x₂) und q = x₁ * x₂.

Abschließend werden Beispiele für das Ausklammern und die Anwendung binomischer Formeln gegeben, die alternative Wege zur Lösung quadratischer Gleichungen aufzeigen.

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Marcus B

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Hans T

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