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Rechnen mit Vektoren
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P Rechnen mit Vektoren Addition Hier ist es erst einmal wichtig, dass die Vektoren gleicher Art sind, das heißt, dass sie eine gleiche Dimension haben müssen (wir beschäftigen uns nur mit Vektoren aus einem 3-dimensionalen Raum). Die Addition erfolgt dadurch, dass man die jeweiligen Koordinaten der Vektoren miteinander addiert: (-) + (1) 2 5 3 6 tro 3 (1) + ( )= Q 6 5 = 4 1+4) 2+5 3+6 Hier eine kleine Aufgabe zur Überprüfung des Verständnisses: Bestimme die Summenvektoren. 1 6-1 (O)-()-(-)-() 2 = 5-2 = 3 3 4-3 Z a = b a+b Subtraktion Die Subtraktion erfolgt genauso wie die Addition. Hier werden die Koordinaten von einander subtrahiert. Ein Beispiel: Z . 5 = 7 X1 yı Z1 = Spalte für Spalte werden die Koordinaten addiert Z R X1 Z. Y1 Z. Z1 Hier ist die Addition einmal geometrisch abgebildet. Die beiden Vektoren a und b werden addiert. Daraus bildet sich der Summenvektor (roter Pfeil). S-Multiplikation Hier wird ein Vektor mit einer reellen Zahl (dem Skalar) multipliziert. Dafür multipliziert man das Skalar mit jeder einzelnen Koordinate des Vektors. • Übungsaufgabe: 342 (-)-() 3 = z ist in diesem Fall also das Skalar und wird mit jeder Koordinate (x,y und z) multipliziert. Wenn man diese Rechnung durchgeführt hat, erhält man als Ergebnis einen neuen Vektoren. Hier sieht man nun wie sich der Vektor in seiner Länge verändert, wenn man ihn mit einem Skalar multipliziert. In der Mitte erkennt man den ursprünglichen Vektor. Multipliziert man diesen mit einer positiven Zahl, wird der Vektor gestreckt oder gestaucht. Bei einer Multiplikation mit einer negativen Zahl, wird der Vektor hingegen in die umgekehrte Richtung gestreckt. Linearkombination Bei einer...
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Alternativer Bildtext:
Linearkombination werden mehrere Vielfache eines Vektors addiert. Man kann aber auch mehrere Vektoren und ihre Vielfache addieren: X. X '3 5.- (1) + ² · (1) - 5 - ( 7 ) = 54 -5. 3 4. 3. 4 2 Vielleicht hast du hier bereits einen Zusammenhang zu den bereits bekannten Berechnungen von linearen Gleichungssystemen entdeckt. Diese funktionieren nämlich genauso, da man da ebenfalls die Skalare (also die Unbekannten) sucht. Hier kann man die rechte Spalte eines linearen Gleichungssystems mit einem Vektor gleichsetzen. Übungsaufagbe: 2. Zum Abschluss dieser Lektion zu den Vektoren gibt es ein paar Aufgaben, mit denen du dein Wissen überprüfen kannst. 1 D=(-21-3/2) 2 4 3 +y 2 1 +1 N 4x₂ A 1 + Z. 1 2 C=(4|4|4) 1 4 & 1/2 ist das Skalar X₂ 2. ā A) P(3|4|1) B) P(1|1|1) C) P(-1|-1|-1) D) P(0|2|4) Aufgabe 1: Hier siehst du ein dreidimensionales Koordinatensystem. Trage die folgenden Punkte ein. Du sollst hier nun sagen, welcher Weg der kürzere ist. B=(2152) Hierfür bestimme zunächst die passenden Vektoren. 2 ist das Skalar Aufgabe 2: Punkt A ist unser Ausgangspunkt. Von ihm aus gibt es zwei Möglichkeiten den Pfeilen zu folgen und zu den weiteren Buchstaben zu gelangen (ABCD und ADCB). https://de.serlo.org/mathe/1759/vektoren-addieren-und-subtrahieren https://www.abiweb.de/mathematik-analytische-geometrie-lineare-algebra-agla/ https://www.mathe-in-smarties.de/oberstufe/analytische-geometrie/vektoren/ rechnen-mit-vektoren/addition-und-subtraktion-von-vektoren.html#