Analyse von Wachstumsfunktionen und Ableitungen
Diese Seite des Lambacher Schweizer 11 NRW Mathematikbuchs befasst sich mit der detaillierten Analyse von Wachstumsfunktionen und deren Ableitungen. Die Aufgaben konzentrieren sich auf die praktische Anwendung von Differentialrechnung zur Untersuchung von Bakterienwachstum und Flüssigkeitsständen in Behältern.
In der ersten Aufgabe wird eine Funktion A(t) = -0,01t³ + 0,1t² + t + 1,5 untersucht, die das Wachstum von Bakterien über die Zeit beschreibt. Die Schüler berechnen Funktionswerte für verschiedene Zeitpunkte, um das Wachstumsmuster zu verstehen.
Example: A(0) = 1,5; A(3) = 5,13; A(8) = 10,78
Die Aufgabe führt weiter zur Berechnung der ersten Ableitung A'(t), die die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterien repräsentiert.
Definition: Die erste Ableitung A'(t) gibt die Änderungsrate der Funktion A(t) an einem bestimmten Punkt an.
Anschließend werden wichtige Punkte der Funktion ermittelt:
- Die Nullstelle, die den Zeitpunkt angibt, an dem der Behälter leer ist (nach 8,44 Stunden).
- Der Höchstpunkt, der den Zeitpunkt des größten Inhalts markiert (nach 4 Stunden mit 11,4 m³).
- Schnittpunkte mit y=10, die Zeitpunkte angeben, an denen der Inhalt 10 m³ beträgt.
Highlight: Die Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn der Beobachtung betrug ca. 1 cm² und erreichte ihren Höchstpunkt bei t ≈ 3,5.
Die Aufgabe schließt mit einer Interpretation der Ergebnisse im Kontext des Bakterienwachstums. Es wird erklärt, dass A(t) die mit Bakterien bedeckte Fläche angibt, während A'(t) die Wachstumsgeschwindigkeit dieser Fläche repräsentiert.
Vocabulary: Nullstelle: Der Punkt, an dem eine Funktion den Wert Null annimmt.
Diese Aufgaben aus dem Klett Lambacher Schweizer Lehrbuch bieten eine exzellente Übung zur Anwendung von Differentialrechnung auf reale Szenarien und helfen Schülern, die Bedeutung mathematischer Konzepte in praktischen Situationen zu verstehen.
