Die Grundlagen der Sinusfunktion
Die Sinusfunktion ist eine fundamentale trigonometrische Funktion, die auf dem Sinus eines Winkels im Einheitskreis basiert. Sie wird durch die Formel y = sin(x) definiert und erzeugt eine charakteristische wellenförmige Kurve.
Definition: Der Sinus eines Winkels α ist die y-Koordinate des zugehörigen Punktes P(x;y) auf dem Einheitskreis.
Die Eigenschaften der Sinusfunktion umfassen:
- Definitionsbereich: x ∈ ℝ (alle reellen Zahlen)
- Wertebereich: y ∈ [-1, 1]
- Amplitude: A = 1 (für die Grundfunktion)
- Nullstellen: x₀ = k · π (k ∈ ℤ)
- Kleinste Periode: p = 2π
Highlight: Die Sinusfunktion ist periodisch mit der kleinsten Periode 2π.
Die allgemeine Sinusfunktion hat die Form y = a · sin(b · x), wobei:
- Der Parameter 'a' die Amplitude der Sinusfunktion beeinflusst
- Der Parameter b der Sinusfunktion die Frequenz bzw. Periode ändert
Example: y = 2 · sin(x) hat eine Amplitude von 2 und die gleiche Periode wie die Grundfunktion.
Weitere Variationen der Sinusfunktion entstehen durch zusätzliche Parameter:
- y = sin(x) + d: Vertikale Verschiebung
- y = sin(x + c): Horizontale Verschiebung (Phasenverschiebung)
Vocabulary: Die Amplitude ist der maximale Abstand der Funktionswerte vom Mittelwert der Funktion.
Das Zeichnen der Sinusfunktion kann durch Beachtung der Nullstellen, Extremwerte und der Periode erleichtert werden. Online-Tools wie GeoGebra ermöglichen interaktives Zeichnen der Sinusfunktion.
Die Kosinusfunktion y = cos(x) ist eng mit der Sinusfunktion verwandt und hat ähnliche Eigenschaften, ist jedoch um π/2 phasenverschoben.
Highlight: Der Zusammenhang zwischen Sinus- und Kosinusfunktion zeigt sich in ihrer gegenseitigen Verschiebung um π/2.
Übungen zum Bestimmen der Parameter der Sinusfunktion und zum Zeichnen von trigonometrischen Funktionen sind wichtig für das Verständnis und die Anwendung dieser grundlegenden mathematischen Konzepte.
