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Mathematik

Trigonometrische Funktionen und Identitäten

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10. Feb. 2026

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3 Seiten

Mathematische Grundlagen: Bereit für die BLF in Sachsen

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Leonie

@leonieee02

Diese Zusammenfassung deckt wichtige mathematische Grundlagen für die Mittelstufe ab.... Mehr anzeigen

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# Vorbereitung BLF GEOMETRIE ->Trigonometrische Beziehungen: Der Sinussatz: $\frac{a}{sin(A)} = \frac{b}{sin(B)} = \frac{c}{sin(C)}$ Der

Geometrie und Grundlagen der Funktionen

Trigonometrische Beziehungen im Dreieck

In allgemeinen Dreiecken kannst du mit dem Sinussatz und Kosinussatz fehlende Seiten und Winkel berechnen:

  • Sinussatz: asin⁡(A)=bsin⁡(B)=csin⁡(C)\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
  • Kosinussatz: a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡(A)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)
  • Flächeninhalt: A=12⋅ab⋅sin⁡(C)A = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin(C)

Im rechtwinkligen Dreieck helfen dir Sinus, Kosinus und Tangens: sin⁡(α)=GegenkatheteHypotenuse\sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}, cos⁡(α)=AnkatheteHypotenuse\cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}, tan⁡(α)=GegenkatheteAnkathete\tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

💡 Merkhilfe: SOH-CAH-TOA - Sinus = Gegenüber/Hypotenuse, Cosinus = Anliegen/Hypotenuse, Tangens = Gegenüber/Anliegen

Funktionstypen im Überblick

Lineare Funktionen y=mx+ny = mx + n:

  • Graph ist eine Gerade
  • Steigung m gibt an, ob die Funktion steigt (m > 0) oder fällt (m < 0)
  • n ist der y-Achsenabschnitt Schnittpunktmity−AchseSchnittpunkt mit y-Achse

Quadratische Funktionen haben verschiedene Formen:

  • Normalparabel: y = x²
  • Gestreckt/gestaucht: y = ax²
  • Verschoben: y = x² + c
  • Allgemeine Form: y = x² + px + q

Die Scheitelform y = x+dx+d² + e ist besonders nützlich, weil du den Scheitelpunkt direkt ablesen kannst: S−d/e-d/e.

# Vorbereitung BLF GEOMETRIE ->Trigonometrische Beziehungen: Der Sinussatz: $\frac{a}{sin(A)} = \frac{b}{sin(B)} = \frac{c}{sin(C)}$ Der

Funktionen und ihre Eigenschaften

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen y=xry = x^r verhalten sich unterschiedlich je nach Exponent:

  1. Positive gerade Exponenten wiey=x2wie y = x²:

    • Immer symmetrisch zur y-Achse
    • Fallen links der y-Achse, steigen rechts davon

  2. Positive ungerade Exponenten wiey=x3wie y = x³:

    • Punktsymmetrisch zum Ursprung
    • Steigen im gesamten Definitionsbereich

  3. Negative Exponenten bilden Hyperbeln:

    • Bei geraden Exponenten y=x(−2)y = x^(-2): symmetrisch zur y-Achse
    • Bei ungeraden Exponenten y=x(−3)y = x^(-3): punktsymmetrisch zum Ursprung

🔍 Wichtig zu wissen: Bei negativen Exponenten ist x = 0 nie im Definitionsbereich, da Division durch Null nicht definiert ist.

Winkelfunktionen

Die drei wichtigsten Winkelfunktionen sind:

  • Sinusfunktion y=sin(x)y = sin(x): Periodisch mit Periode 2π, Wertebereich [-1,1]
  • Kosinusfunktion y=cos(x)y = cos(x): Periodisch mit Periode 2π, Wertebereich [-1,1]
  • Tangensfunktion y=tan(x)y = tan(x): Periodisch mit Periode π, unbegrenzter Wertebereich

Du kannst Sinus- und Kosinusfunktionen mit Parametern verändern:

  • a in y = a·sin(x) ändert die Amplitude
  • b in y = sin(b·x) ändert die Frequenz
  • c in y = sinx+cx+c bewirkt eine Phasenverschiebung
  • d in y = sin(x)+d bewirkt eine Verschiebung nach oben/unten

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen y=axy = a^x:

  • Gehen immer durch den Punkt (0/1)
  • Wachsen für a > 1 sehr schnell
  • Die wichtigste ist y = e^x mit der Eulerschen Zahl

Logarithmusfunktionen y=loga(x)y = log_a(x) sind die Umkehrfunktionen zu Exponentialfunktionen:

  • Gehen immer durch den Punkt (1/0)
  • Wachsen sehr langsam
  • Besonders wichtig: Zehnerlogarithmus (log₁₀) und natürlicher Logarithmus (ln)
# Vorbereitung BLF GEOMETRIE ->Trigonometrische Beziehungen: Der Sinussatz: $\frac{a}{sin(A)} = \frac{b}{sin(B)} = \frac{c}{sin(C)}$ Der

Berechnungen, Potenzgesetze und Wahrscheinlichkeiten

Funktionsgleichungen aufstellen

Um Funktionen aufzustellen, brauchst du:

  • Für lineare Funktionen: einen Punkt und die Steigung
  • Für quadratische Funktionen: Nullstellen, Scheitelpunkt oder andere Punkte
  • Für Exponentialfunktionen: zwei Punkte für ein Gleichungssystem

Wichtige Methoden:

  • Punktprobe: Überprüfe, ob ein Punkt auf der Kurve liegt
  • Nullstellen: Setze y=0 und löse nach x
  • Schnittpunkte: Setze zwei Funktionen gleich

Potenz- und Wurzelgesetze

Die wichtigsten Wurzelgesetze:

  • Produkt: a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}
  • Ausklammern: $3\sqrt{4} + 6\sqrt{4} = \sqrt{4}(3+6)$
  • Teilweises Wurzelziehen: 32=4⋅8=28\sqrt{32} = \sqrt{4 \cdot 8} = 2\sqrt{8}

🌟 Tipp: Bei Wurzelrechnungen hilft es oft, große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen, um perfekte Quadratzahlen zu finden.

Logarithmen

Ein Logarithmus ist der Exponent, zu dem die Basis erhoben werden muss, um den Numerus zu erhalten: c=log⁡abc = \log_a{b} bedeutet ac=ba^c = b

Beispiel: log⁡232=5\log_2{32} = 5, weil $2^5 = 32$

Wahrscheinlichkeiten

Bei Baumdiagrammen gelten zwei Regeln:

  1. Pfadregel: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades
  2. Additionsregel: Addiere die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade, die zum selben Ergebnis führen

Wichtige Begriffe:

  • Wahrscheinlichkeitsverteilung: Ordnet jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit zu
  • Erwartungswert: E(X)=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+...E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ...
  • Varianz: Gibt die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert an
  • Standardabweichung: Wurzel aus der Varianz


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Trigonometrische Funktionen und Ableitungen

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

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Samantha Klich

Android-Nutzerin

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Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

Android-Nutzer

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Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Rohan U

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Mathematik

Trigonometrische Funktionen und Identitäten

 

Mathe

•

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•

10. Feb. 2026

•

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Geometrie und Grundlagen der Funktionen

Trigonometrische Beziehungen im Dreieck

In allgemeinen Dreiecken kannst du mit dem Sinussatz und Kosinussatz fehlende Seiten und Winkel berechnen:

  • Sinussatz: asin⁡(A)=bsin⁡(B)=csin⁡(C)\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
  • Kosinussatz: a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡(A)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)
  • Flächeninhalt: A=12⋅ab⋅sin⁡(C)A = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin(C)

Im rechtwinkligen Dreieck helfen dir Sinus, Kosinus und Tangens: sin⁡(α)=GegenkatheteHypotenuse\sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}, cos⁡(α)=AnkatheteHypotenuse\cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}, tan⁡(α)=GegenkatheteAnkathete\tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

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Lineare Funktionen y=mx+ny = mx + n:

  • Graph ist eine Gerade
  • Steigung m gibt an, ob die Funktion steigt (m > 0) oder fällt (m < 0)
  • n ist der y-Achsenabschnitt Schnittpunktmity−AchseSchnittpunkt mit y-Achse

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  • Normalparabel: y = x²
  • Gestreckt/gestaucht: y = ax²
  • Verschoben: y = x² + c
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Die Scheitelform y = x+dx+d² + e ist besonders nützlich, weil du den Scheitelpunkt direkt ablesen kannst: S−d/e-d/e.

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Funktionen und ihre Eigenschaften

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen y=xry = x^r verhalten sich unterschiedlich je nach Exponent:

  1. Positive gerade Exponenten wiey=x2wie y = x²:

    • Immer symmetrisch zur y-Achse
    • Fallen links der y-Achse, steigen rechts davon

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    • Punktsymmetrisch zum Ursprung
    • Steigen im gesamten Definitionsbereich

  3. Negative Exponenten bilden Hyperbeln:

    • Bei geraden Exponenten y=x(−2)y = x^(-2): symmetrisch zur y-Achse
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Die drei wichtigsten Winkelfunktionen sind:

  • Sinusfunktion y=sin(x)y = sin(x): Periodisch mit Periode 2π, Wertebereich [-1,1]
  • Kosinusfunktion y=cos(x)y = cos(x): Periodisch mit Periode 2π, Wertebereich [-1,1]
  • Tangensfunktion y=tan(x)y = tan(x): Periodisch mit Periode π, unbegrenzter Wertebereich

Du kannst Sinus- und Kosinusfunktionen mit Parametern verändern:

  • a in y = a·sin(x) ändert die Amplitude
  • b in y = sin(b·x) ändert die Frequenz
  • c in y = sinx+cx+c bewirkt eine Phasenverschiebung
  • d in y = sin(x)+d bewirkt eine Verschiebung nach oben/unten

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen y=axy = a^x:

  • Gehen immer durch den Punkt (0/1)
  • Wachsen für a > 1 sehr schnell
  • Die wichtigste ist y = e^x mit der Eulerschen Zahl

Logarithmusfunktionen y=loga(x)y = log_a(x) sind die Umkehrfunktionen zu Exponentialfunktionen:

  • Gehen immer durch den Punkt (1/0)
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Berechnungen, Potenzgesetze und Wahrscheinlichkeiten

Funktionsgleichungen aufstellen

Um Funktionen aufzustellen, brauchst du:

  • Für lineare Funktionen: einen Punkt und die Steigung
  • Für quadratische Funktionen: Nullstellen, Scheitelpunkt oder andere Punkte
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  • Punktprobe: Überprüfe, ob ein Punkt auf der Kurve liegt
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Die wichtigsten Wurzelgesetze:

  • Produkt: a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}
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Logarithmen

Ein Logarithmus ist der Exponent, zu dem die Basis erhoben werden muss, um den Numerus zu erhalten: c=log⁡abc = \log_a{b} bedeutet ac=ba^c = b

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Bei Baumdiagrammen gelten zwei Regeln:

  1. Pfadregel: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades
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Transformation der Sinusfunktion

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Zusammenfassung für die Themen der ZP 10 mit Beispielen.

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Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

iOS-Nutzer

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Anna

iOS-Nutzerin

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Thomas R

iOS-Nutzer

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Basil

Android-Nutzer

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David K

iOS-Nutzer

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Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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Elisha

iOS-Nutzer

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Paul T

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