Mathematische Grundlagen: Bereit für die BLF in Sachsen

Geometrie und Grundlagen der Funktionen

Trigonometrische Beziehungen im Dreieck

In allgemeinen Dreiecken kannst du mit dem Sinussatz und Kosinussatz fehlende Seiten und Winkel berechnen:

• Sinussatz: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$
• Kosinussatz: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)$
• Flächeninhalt: $A = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin(C)$

Im rechtwinkligen Dreieck helfen dir Sinus, Kosinus und Tangens: $\sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$, $\cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$, $\tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

💡 Merkhilfe: SOH-CAH-TOA - Sinus = Gegenüber/Hypotenuse, Cosinus = Anliegen/Hypotenuse, Tangens = Gegenüber/Anliegen

Funktionstypen im Überblick

Lineare Funktionen $y = mx + n$:

• Graph ist eine Gerade
• Steigung m gibt an, ob die Funktion steigt (m > 0) oder fällt (m < 0)
• n ist der y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit y-Achse)

Quadratische Funktionen haben verschiedene Formen:

• Normalparabel: y = x²
• Gestreckt/gestaucht: y = ax²
• Verschoben: y = x² + c
• Allgemeine Form: y = x² + px + q

Die Scheitelform y = $x+d$² + e ist besonders nützlich, weil du den Scheitelpunkt direkt ablesen kannst: S$-d/e$.

Funktionen und ihre Eigenschaften

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen $y = x^r$ verhalten sich unterschiedlich je nach Exponent:

1. Positive gerade Exponenten $wie y = x²$:

   • Immer symmetrisch zur y-Achse
   • Fallen links der y-Achse, steigen rechts davon

2. Positive ungerade Exponenten $wie y = x³$:

   • Punktsymmetrisch zum Ursprung
   • Steigen im gesamten Definitionsbereich

3. Negative Exponenten bilden Hyperbeln:

   • Bei geraden Exponenten $y = x^(-2)$: symmetrisch zur y-Achse
   • Bei ungeraden Exponenten $y = x^(-3)$: punktsymmetrisch zum Ursprung

🔍 Wichtig zu wissen: Bei negativen Exponenten ist x = 0 nie im Definitionsbereich, da Division durch Null nicht definiert ist.

Winkelfunktionen

Die drei wichtigsten Winkelfunktionen sind:

• Sinusfunktion $y = sin(x)$: Periodisch mit Periode 2π, Wertebereich $-1,1$
• Kosinusfunktion $y = cos(x)$: Periodisch mit Periode 2π, Wertebereich $-1,1$
• Tangensfunktion $y = tan(x)$: Periodisch mit Periode π, unbegrenzter Wertebereich

Du kannst Sinus- und Kosinusfunktionen mit Parametern verändern:

• a in y = a·sin$x$ ändert die Amplitude
• b in y = sin(b·x) ändert die Frequenz
• c in y = sin$x+c$ bewirkt eine Phasenverschiebung
• d in y = sin$x$+d bewirkt eine Verschiebung nach oben/unten

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen $y = a^x$:

• Gehen immer durch den Punkt $0/1$
• Wachsen für a > 1 sehr schnell
• Die wichtigste ist y = e^x mit der Eulerschen Zahl

Logarithmusfunktionen $y = log_a(x)$ sind die Umkehrfunktionen zu Exponentialfunktionen:

• Gehen immer durch den Punkt $1/0$
• Wachsen sehr langsam
• Besonders wichtig: Zehnerlogarithmus (log₁₀) und natürlicher Logarithmus (ln)

Berechnungen, Potenzgesetze und Wahrscheinlichkeiten

Funktionsgleichungen aufstellen

Um Funktionen aufzustellen, brauchst du:

• Für lineare Funktionen: einen Punkt und die Steigung
• Für quadratische Funktionen: Nullstellen, Scheitelpunkt oder andere Punkte
• Für Exponentialfunktionen: zwei Punkte für ein Gleichungssystem

Wichtige Methoden:

• Punktprobe: Überprüfe, ob ein Punkt auf der Kurve liegt
• Nullstellen: Setze y=0 und löse nach x
• Schnittpunkte: Setze zwei Funktionen gleich

Potenz- und Wurzelgesetze

Die wichtigsten Wurzelgesetze:

• Produkt: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
• Ausklammern: $3\sqrt{4} + 6\sqrt{4} = \sqrt{4}(3+6)$
• Teilweises Wurzelziehen: $\sqrt{32} = \sqrt{4 \cdot 8} = 2\sqrt{8}$

🌟 Tipp: Bei Wurzelrechnungen hilft es oft, große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen, um perfekte Quadratzahlen zu finden.

Logarithmen

Ein Logarithmus ist der Exponent, zu dem die Basis erhoben werden muss, um den Numerus zu erhalten: $c = \log_a{b}$ bedeutet $a^c = b$

Beispiel: $\log_2{32} = 5$, weil $2^5 = 32$

Wahrscheinlichkeiten

Bei Baumdiagrammen gelten zwei Regeln:

1. Pfadregel: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades
2. Additionsregel: Addiere die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade, die zum selben Ergebnis führen

Wichtige Begriffe:

• Wahrscheinlichkeitsverteilung: Ordnet jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit zu
• Erwartungswert: $E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ...$
• Varianz: Gibt die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert an
• Standardabweichung: Wurzel aus der Varianz