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Trigonometrische funktionen

Sinusfunktion

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9. Dez. 2025

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Mathematische Grundlagen: Bereit für die BLF in Sachsen

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Leonie @leonieee02

Diese Zusammenfassung deckt wichtige mathematische Grundlagen für die Mittelstufe ab. Von Geometrie über Funktionen bis hin zu Wahrscheinlichkeiten... Mehr anzeigen

GEOMETRIE ->Trigonometrische Beziehungen: Der Sinussatz: sin() sin(B) Sint) Since Der Kosinussatz: a²-b²c²-2bc.cos(d) b²-a²+c²-20c cos (B) c

Geometrie und Grundlagen der Funktionen

Trigonometrische Beziehungen im Dreieck

In allgemeinen Dreiecken kannst du mit dem Sinussatz und Kosinussatz fehlende Seiten und Winkel berechnen

  • Sinussatz asin⁡(A)=bsin⁡(B)=csin⁡(C)\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
  • Kosinussatz a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡(A)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)
  • Flächeninhalt A=12⋅ab⋅sin⁡(C)A = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin(C)

Im rechtwinkligen Dreieck helfen dir Sinus, Kosinus und Tangens sin⁡(α)=GegenkatheteHypotenuse\sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}, cos⁡(α)=AnkatheteHypotenuse\cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}, tan⁡(α)=GegenkatheteAnkathete\tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

💡 Merkhilfe SOH-CAH-TOA - Sinus = Gegenüber/Hypotenuse, Cosinus = Anliegen/Hypotenuse, Tangens = Gegenüber/Anliegen

Funktionstypen im Überblick

Lineare Funktionen y=mx+ny = mx + n

  • Graph ist eine Gerade
  • Steigung m gibt an, ob die Funktion steigt (m > 0) oder fällt (m < 0)
  • n ist der y-Achsenabschnitt Schnittpunktmity−AchseSchnittpunkt mit y-Achse

Quadratische Funktionen haben verschiedene Formen

  • Normalparabel y = x²
  • Gestreckt/gestaucht y = ax²
  • Verschoben y = x² + c
  • Allgemeine Form y = x² + px + q

Die Scheitelform y = x+dx+d² + e ist besonders nützlich, weil du den Scheitelpunkt direkt ablesen kannst S−d/e-d/e.

GEOMETRIE ->Trigonometrische Beziehungen: Der Sinussatz: sin() sin(B) Sint) Since Der Kosinussatz: a²-b²c²-2bc.cos(d) b²-a²+c²-20c cos (B) c

Funktionen und ihre Eigenschaften

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen y=xry = x^r verhalten sich unterschiedlich je nach Exponent

  1. Positive gerade Exponenten wiey=x2wie y = x²

    • Immer symmetrisch zur y-Achse
    • Fallen links der y-Achse, steigen rechts davon

  2. Positive ungerade Exponenten wiey=x3wie y = x³

    • Punktsymmetrisch zum Ursprung
    • Steigen im gesamten Definitionsbereich

  3. Negative Exponenten bilden Hyperbeln

    • Bei geraden Exponenten y=x(−2)y = x^(-2) symmetrisch zur y-Achse
    • Bei ungeraden Exponenten y=x(−3)y = x^(-3) punktsymmetrisch zum Ursprung

🔍 Wichtig zu wissen Bei negativen Exponenten ist x = 0 nie im Definitionsbereich, da Division durch Null nicht definiert ist.

Winkelfunktionen

Die drei wichtigsten Winkelfunktionen sind

  • Sinusfunktion y=sin(x)y = sin(x) Periodisch mit Periode 2π, Wertebereich −1,1-1,1
  • Kosinusfunktion y=cos(x)y = cos(x) Periodisch mit Periode 2π, Wertebereich −1,1-1,1
  • Tangensfunktion y=tan(x)y = tan(x) Periodisch mit Periode π, unbegrenzter Wertebereich

Du kannst Sinus- und Kosinusfunktionen mit Parametern verändern

  • a in y = a·sin(x) ändert die Amplitude
  • b in y = sin(b·x) ändert die Frequenz
  • c in y = sinx+cx+c bewirkt eine Phasenverschiebung
  • d in y = sin(x)+d bewirkt eine Verschiebung nach oben/unten

Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen y=axy = a^x

  • Gehen immer durch den Punkt (0/1)
  • Wachsen für a > 1 sehr schnell
  • Die wichtigste ist y = e^x mit der Eulerschen Zahl

Logarithmusfunktionen y=loga(x)y = log_a(x) sind die Umkehrfunktionen zu Exponentialfunktionen

  • Gehen immer durch den Punkt (1/0)
  • Wachsen sehr langsam
  • Besonders wichtig Zehnerlogarithmus (log₁₀) und natürlicher Logarithmus (ln)
GEOMETRIE ->Trigonometrische Beziehungen: Der Sinussatz: sin() sin(B) Sint) Since Der Kosinussatz: a²-b²c²-2bc.cos(d) b²-a²+c²-20c cos (B) c

Berechnungen, Potenzgesetze und Wahrscheinlichkeiten

Funktionsgleichungen aufstellen

Um Funktionen aufzustellen, brauchst du

  • Für lineare Funktionen einen Punkt und die Steigung
  • Für quadratische Funktionen Nullstellen, Scheitelpunkt oder andere Punkte
  • Für Exponentialfunktionen zwei Punkte für ein Gleichungssystem

Wichtige Methoden

  • Punktprobe Überprüfe, ob ein Punkt auf der Kurve liegt
  • Nullstellen Setze y=0 und löse nach x
  • Schnittpunkte Setze zwei Funktionen gleich

Potenz- und Wurzelgesetze

Die wichtigsten Wurzelgesetze

  • Produkt a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}
  • Ausklammern 34+64=4(3+6)3\sqrt{4} + 6\sqrt{4} = \sqrt{4}(3+6)
  • Teilweises Wurzelziehen 32=4⋅8=28\sqrt{32} = \sqrt{4 \cdot 8} = 2\sqrt{8}

🌟 Tipp Bei Wurzelrechnungen hilft es oft, große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen, um perfekte Quadratzahlen zu finden.

Logarithmen

Ein Logarithmus ist der Exponent, zu dem die Basis erhoben werden muss, um den Numerus zu erhalten c=log⁡abc = \log_a{b} bedeutet ac=ba^c = b

Beispiel log⁡232=5\log_2{32} = 5, weil 25=322^5 = 32

Wahrscheinlichkeiten

Bei Baumdiagrammen gelten zwei Regeln

  1. Pfadregel Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades
  2. Additionsregel Addiere die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade, die zum selben Ergebnis führen

Wichtige Begriffe

  • Wahrscheinlichkeitsverteilung Ordnet jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit zu
  • Erwartungswert E(X)=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+...E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ...
  • Varianz Gibt die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert an
  • Standardabweichung Wurzel aus der Varianz

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Funktionen und analysis

Trigonometrische funktionen

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•

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In allgemeinen Dreiecken kannst du mit dem Sinussatz und Kosinussatz fehlende Seiten und Winkel berechnen:

  • Sinussatz: asin⁡(A)=bsin⁡(B)=csin⁡(C)\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}
  • Kosinussatz: a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡(A)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)
  • Flächeninhalt: A=12⋅ab⋅sin⁡(C)A = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin(C)

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Funktionstypen im Überblick

Lineare Funktionen y=mx+ny = mx + n:

  • Graph ist eine Gerade
  • Steigung m gibt an, ob die Funktion steigt (m > 0) oder fällt (m < 0)
  • n ist der y-Achsenabschnitt Schnittpunktmity−AchseSchnittpunkt mit y-Achse

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  • Normalparabel: y = x²
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Funktionen und ihre Eigenschaften

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen y=xry = x^r verhalten sich unterschiedlich je nach Exponent:

  1. Positive gerade Exponenten wiey=x2wie y = x²:

    • Immer symmetrisch zur y-Achse
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  2. Positive ungerade Exponenten wiey=x3wie y = x³:

    • Punktsymmetrisch zum Ursprung
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  3. Negative Exponenten bilden Hyperbeln:

    • Bei geraden Exponenten y=x(−2)y = x^(-2): symmetrisch zur y-Achse
    • Bei ungeraden Exponenten y=x(−3)y = x^(-3): punktsymmetrisch zum Ursprung

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Du kannst Sinus- und Kosinusfunktionen mit Parametern verändern:

  • a in y = a·sin(x) ändert die Amplitude
  • b in y = sin(b·x) ändert die Frequenz
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Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen y=axy = a^x:

  • Gehen immer durch den Punkt (0/1)
  • Wachsen für a > 1 sehr schnell
  • Die wichtigste ist y = e^x mit der Eulerschen Zahl

Logarithmusfunktionen y=loga(x)y = log_a(x) sind die Umkehrfunktionen zu Exponentialfunktionen:

  • Gehen immer durch den Punkt (1/0)
  • Wachsen sehr langsam
  • Besonders wichtig: Zehnerlogarithmus (log₁₀) und natürlicher Logarithmus (ln)
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Berechnungen, Potenzgesetze und Wahrscheinlichkeiten

Funktionsgleichungen aufstellen

Um Funktionen aufzustellen, brauchst du:

  • Für lineare Funktionen: einen Punkt und die Steigung
  • Für quadratische Funktionen: Nullstellen, Scheitelpunkt oder andere Punkte
  • Für Exponentialfunktionen: zwei Punkte für ein Gleichungssystem

Wichtige Methoden:

  • Punktprobe: Überprüfe, ob ein Punkt auf der Kurve liegt
  • Nullstellen: Setze y=0 und löse nach x
  • Schnittpunkte: Setze zwei Funktionen gleich

Potenz- und Wurzelgesetze

Die wichtigsten Wurzelgesetze:

  • Produkt: a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}
  • Ausklammern: 34+64=4(3+6)3\sqrt{4} + 6\sqrt{4} = \sqrt{4}(3+6)
  • Teilweises Wurzelziehen: 32=4⋅8=28\sqrt{32} = \sqrt{4 \cdot 8} = 2\sqrt{8}

🌟 Tipp: Bei Wurzelrechnungen hilft es oft, große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen, um perfekte Quadratzahlen zu finden.

Logarithmen

Ein Logarithmus ist der Exponent, zu dem die Basis erhoben werden muss, um den Numerus zu erhalten: c=log⁡abc = \log_a{b} bedeutet ac=ba^c = b

Beispiel: log⁡232=5\log_2{32} = 5, weil 25=322^5 = 32

Wahrscheinlichkeiten

Bei Baumdiagrammen gelten zwei Regeln:

  1. Pfadregel: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades
  2. Additionsregel: Addiere die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade, die zum selben Ergebnis führen

Wichtige Begriffe:

  • Wahrscheinlichkeitsverteilung: Ordnet jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit zu
  • Erwartungswert: E(X)=x1⋅P(X=x1)+x2⋅P(X=x2)+...E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ...
  • Varianz: Gibt die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert an
  • Standardabweichung: Wurzel aus der Varianz

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Stefan S

iOS user

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Samantha Klich

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Anna

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Jana V

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Marcus B

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Sarah L

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Hans T

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