Streckungen und Verschiebungen der Sinusfunktion

Die normale Sinusfunktion f(x) = sin(x) ist nur der Anfang – du kannst sie in alle Richtungen strecken und verschieben, um echte Phänomene zu modellieren.

Bei der Streckung in y-Richtung multiplizierst du einfach mit einem Faktor a: g(x) = a · sin(x). Der Wert |a| bestimmt die Amplitude (maximale Höhe). Ist a negativ, wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt – wie ein Spiegelbild.

Die Verschiebung in y-Richtung funktioniert durch Addition: h(x) = sin(x) + e. Positive Werte von e schieben den Graph nach oben, negative nach unten. Super einfach!

Tipp: Bei y-Verschiebungen denkst du einfach "plus bedeutet hoch, minus bedeutet runter" – genau wie im normalen Koordinatensystem.

Für Verschiebungen in x-Richtung schreibst du i(x) = sin$x - d$. Aufgepasst: Das Vorzeichen ist umgekehrt! Ein positives d verschiebt nach rechts, ein negatives nach links.

Periode ändern und komplexe Transformationen

Die Streckung in x-Richtung ist der Schlüssel zur Periodenänderung. Bei k(x) = sin(bx) wird die neue Periode zu p = 2π/b. Je größer b, desto kürzer die Periode – die Funktion "schwingt" schneller.

Die Wertetabelle zeigt dir: sin(2x) erreicht seine Werte doppelt so schnell wie sin(x). Wo die normale Sinusfunktion eine volle Periode braucht, schafft sin(2x) schon zwei!

Wenn du mehrere Transformationen kombinierst, gehst du schrittweise vor. Bei g(x) = 1,5sin$2(x-1)$ + 0,5 streckst du zuerst, dann verschiebst du. Die Reihenfolge ist wichtig für das richtige Ergebnis.

Merkhilfe: Transformationen von innen nach außen anwenden – erst das, was direkt am x steht, dann nach außen arbeiten.

Die allgemeine Sinusfunktion – alle Parameter im Überblick

Jetzt kommt die Masterformel: g(x) = a · sin$b(x-d)$ + e. Diese vier Parameter kontrollieren alles, was du brauchst!

Parameter a: Bestimmt die Amplitude |a| und bei negativem a die Spiegelung an der x-Achse. Parameter b: Steuert die Periode p = 2π/b – größeres b bedeutet schnellere Schwingungen.

Parameter d: Verschiebt horizontal $positiv = rechts$. Parameter e: Verschiebt vertikal $positiv = hoch$. Diese Logik funktioniert genauso bei der Kosinusfunktion!

Prüfungstipp: Lerne die Reihenfolge "Amplitude - Periode - horizontale Verschiebung - vertikale Verschiebung" auswendig – das hilft bei jeder Aufgabe.

Mit diesen Bausteinen kannst du jede periodische Bewegung beschreiben, von Herzschlägen bis zu Musikwellen. Die allgemeine Sinusfunktion ist dein Werkzeug für die echte Welt!