Streckungen und Verschiebungen der Sinusfunktion

Die normale Sinusfunktion f$x$ = sin$x$ ist nur der Anfang – du kannst sie in alle Richtungen strecken und verschieben, um echte Phänomene zu modellieren.

Bei der Streckung in y-Richtung multiplizierst du einfach mit einem Faktor a: g$x$ = a · sin$x$. Der Wert |a| bestimmt die Amplitude (maximale Höhe). Ist a negativ, wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt – wie ein Spiegelbild.

Die Verschiebung in y-Richtung funktioniert durch Addition: h$x$ = sin$x$ + e. Positive Werte von e schieben den Graph nach oben, negative nach unten. Super einfach!

Tipp: Bei y-Verschiebungen denkst du einfach "plus bedeutet hoch, minus bedeutet runter" – genau wie im normalen Koordinatensystem.

Für Verschiebungen in x-Richtung schreibst du i$x$ = sin$x - d$. Aufgepasst: Das Vorzeichen ist umgekehrt! Ein positives d verschiebt nach rechts, ein negatives nach links.

Periode ändern und komplexe Transformationen

Die Streckung in x-Richtung ist der Schlüssel zur Periodenänderung. Bei k$x$ = sin(bx) wird die neue Periode zu p = 2π/b. Je größer b, desto kürzer die Periode – die Funktion "schwingt" schneller.

Die Wertetabelle zeigt dir: sin(2x) erreicht seine Werte doppelt so schnell wie sin$x$. Wo die normale Sinusfunktion eine volle Periode braucht, schafft sin(2x) schon zwei!

Wenn du mehrere Transformationen kombinierst, gehst du schrittweise vor. Bei g$x$ = 1,5sin$2(x-1)$ + 0,5 streckst du zuerst, dann verschiebst du. Die Reihenfolge ist wichtig für das richtige Ergebnis.

Merkhilfe: Transformationen von innen nach außen anwenden – erst das, was direkt am x steht, dann nach außen arbeiten.

Die allgemeine Sinusfunktion – alle Parameter im Überblick

Jetzt kommt die Masterformel: g$x$ = a · sin$b(x-d)$ + e. Diese vier Parameter kontrollieren alles, was du brauchst!

Parameter a: Bestimmt die Amplitude |a| und bei negativem a die Spiegelung an der x-Achse. Parameter b: Steuert die Periode p = 2π/b – größeres b bedeutet schnellere Schwingungen.

Parameter d: Verschiebt horizontal (positiv = rechts). Parameter e: Verschiebt vertikal (positiv = hoch). Diese Logik funktioniert genauso bei der Kosinusfunktion!

Prüfungstipp: Lerne die Reihenfolge "Amplitude - Periode - horizontale Verschiebung - vertikale Verschiebung" auswendig – das hilft bei jeder Aufgabe.

Mit diesen Bausteinen kannst du jede periodische Bewegung beschreiben, von Herzschlägen bis zu Musikwellen. Die allgemeine Sinusfunktion ist dein Werkzeug für die echte Welt!