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Graphen- und Figurentransformationen

Transformation von Sinusgraphen

Mathe2.588Aktualisiert 15. Sept. 20262 Seiten

Grundlagen der Winkelfunktionen

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Trigonometrische Funktionen begegnen dir überall - von Schallwellen bis hin zu periodischen Bewegungen. Das Bogenmaß und die drei Grundfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens sind dabei deine wichtigsten Werkzeuge in der Mathematik.
Winkelfunktionen – Seite 1

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Bogenmaß und die Grundfunktionen

Stell dir vor, du läufst am Einheitskreis entlang - die Strecke, die du zurücklegst, ist das Bogenmaß. Während du bei Winkeln normalerweise in Grad denkst, arbeitet die Mathematik lieber mit diesem Bogenmaß, weil es viel praktischer ist.

Die Sinusfunktion fxx = sinxx schwingt wie eine Welle zwischen -1 und +1 hin und her. Sie wiederholt sich alle 2π Einheiten (das ist ihre Periode) und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Ihre Nullstellen liegen bei allen Vielfachen von π.

Die Kosinusfunktion fxx = cosxx sieht fast genauso aus wie der Sinus, ist aber um π/2 nach links verschoben. Sie hat dieselbe Periode 2π und denselben Wertebereich −1;1-1; 1, ist aber achsensymmetrisch zur y-Achse. Ihre Nullstellen findest du bei allen ungeraden Vielfachen von π/2.

Merktipp: Kosinus startet bei (0|1), Sinus bei (0|0) - so kannst du sie immer unterscheiden!

Winkelfunktionen – Seite 2

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Funktionen verändern und Tangens verstehen

Du kannst deine trigonometrischen Funktionen beliebig strecken und verschieben. Mit fxx = a·sinxx machst du die Welle höher oder niedriger - der Faktor a bestimmt die neue Amplitude. Bei fxx = sin(b·x) veränderst du die Geschwindigkeit: b > 1 macht die Funktion schneller (gestaucht), b < 1 macht sie langsamer (gestreckt).

Verschiebungen funktionieren intuitiv: fxx = sinxx + c schiebt die ganze Kurve nach oben oder unten. Bei fxx = sinx+dx + d wird's tricky - hier verschiebt sich alles in die entgegengesetzte Richtung!

Die Tangensfunktion fxx = tanxx ist der Rebell unter den trigonometrischen Funktionen. Sie hat senkrechte Asymptoten bei x = π/2 + k·π und springt dabei von +∞ zu -∞. Ihre Periode beträgt nur π (halb so lang wie Sinus und Kosinus), und sie kann alle reellen Zahlen als Werte annehmen.

Achtung: Bei Tangens musst du immer aufpassen, wo die Funktion nicht definiert ist - dort stehen die Asymptoten!

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