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23.4.2021
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Statistik (Stochastik) Statistik ist die übersichtliche Darstellung von gesammelten Daten sowie deren Auswertung und Interpretation. Dabei unterscheidet man die beschreibende Statistik, die die Daten mit Hilfe von Tabellen, Grafiken und Kennzahlen aufbereitet, und die beurteilende Statistik, die daraus Rückschlüsse auf zukünftige Entwicklungen macht. z.B.: Bei Wahlen gehören Grafiken zum Ausgang der Wahlen zu der beschreibenden Statistik, die Wahlprognosen dagegen zur beurteilenden Statistik. Grundgesamtheit: Menge aller für eine Fragestellung relevante Objekte Stichprobe: Teilmenge der Grundgesamtheit, für die Merkmale erhoben werden; soll für die Grundgesamtheit repräsentativ sein; Es gibt ungeordnete und geordnete Stichproben Merkmal: statistische Variable = Item; Die Merkmalsausprägungen (Variablenwerte) können qualitativ oder quantitativ sein, man unterscheidet also drei Grundtypen: nominale Variablen: keine Rangordnung, Ausprägungen stehen gleichberechtigt nebeneinander und können nicht gemittelt werden z.B. Augenfarbe, Geschlecht Anwendbare Zentralmaße (siehe Lagemaße): Modus ordinale Variablen: Rangordnung, keine interpretierbaren Abstände z.B. Schulnoten; Rangplatz bei Fußballliga Anwendbare Zentralmaße: Modus, Median metrische Variablen: Randordnung, Abstände klar definiert, messbar oder abzählbar z.B. Euro, Temperatur Anwendbare Zentralmaße: Modus, Median, arithmetisches Mittel Die gesammelten Daten werden zunächst in einer Urliste (nach Größe geordnet geordnete Urliste/Rangliste) dargestellt. • absolute Häufigkeit: wie oft ein Wert in der Urliste vorkommt absolute Häufigkeit • relative Häufigkeit: Umfang der Erhebung 10 LL Säulendiagramm (auch bei sehr schmalen Säulen Stabdiagramm genannt.) Wert A B с D Anteil 15% 25% 40% 20% Kreisdiagramm Stamm (Zehnerziffer) 0 1 -15 2 3 4 5 6 7 Winkel a, 360° 0,15 54° a₂360° 0,25 90° a 360° 0,40 144° 72 a₁360° 0,20 unterer "Whisker" Ausreißer 0 0 -10 10 Blätter (Einerziffer) 7,8,9 Stängel-Blatt-Diagramm 3,5,5,7,8,8 0,1,1,2,3,7,7,8 1,3,6 2,4,4 6 unteres Quartil 1950 1960 1970 1980 0,1,2,2,5,5,5,6,6,8,9,9 -5 1990 2000 2010 Balkendiagramm 20% Weltbevölkerung in Mrd 0 40% 0₂ oberes oberer Median Quartil "Whisker" 15% Boxplot (Kastenschaubild) In jedem Abschnitt liegen 25% der Daten. 25% relative Häufigkeit 0,1 0,09 0.08 0.07 0,06 0.05 0,04 0,03 0.02 0 0 020 010 000 0.01 Häufigkeitspolygon (Liniendiagramm) 0 0 männlich kumulative Häufigkeit = die aufsummierte Häufigkeit der ersten...
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j Datenwerte einer Stichprobe 16% 20 40 Prozentstreifen 60 80 100 Anteil [%] 19% Klausurnoten. 19% weiblich 28% 4 200 400 Zahl der PKWs auf 1000 Personen 19% 600 Histogramm x-Achse ist in Intervalle (Klassen) eingeteilt. Der Flächeninhalt einer Säule entspricht der zugehörigen Häufigkeit. Lagemaße: Lagemaße beschreiben das Zentrum einer Liste durch eine Kennzahl. Modus (Modalwert): Jener Wert, der am häufigsten in einer Urliste vorkommt; es können mehrere Modi auftreten. • Median (Zentralwert): Jener Wert, der in einer geordneten Reihe genau in der Mitte liegt. Liegt der Median zwischen 2 Werten, dann wird der Durchschnitt der ihn umgebenden 2 Werte genommen. z.B.: 1, 1, 2, 3, 5, 6, 6, 7 1/ 4 Arithmetisches Mittel (Mittelwert, Durchschnitt): Summe aller Messwerte geteilt durch deren Anzahl. -Σ1 n X₁+X₂+...+Xn X = n Σ = Summenzeichen) ➤ Gewichtetes (gewogenes) arithmetische Mittel: die Häufigkeit der einzelnen Werte wird berücksichtigt, einige Werte haben einen größeren Einfluss als andere. Beispiel: die Berechnung einer Schulnote, in der mündliche und schriftliche Leistungen = i=1 Xi unterschiedlich stark einfließen n ΑΣ 1 n (H; = absolute Häufigkeit, h; = relative Häufigkeit) Streuungsmaße: 1 X₁ H₁ oder E₁ X₁ · h₁ ' Streuungsmaße informieren über den Grad der Verteilung/Ausbreitung von Werten bzw. den Grad der Abweichung vom jeweiligen Lagemaß. (aus: https://www.mathe-lexikon.at/statistik/streuungsmasse.html) (X₁−X)²+(X₂−X)²+...+(Xn-x)² n Standardabweichung: 0 = (Grundgesamtheit; allumfassend) (o = Sigma) Abweichung vom Mittelwert ➤ Empirische Standardabweichung: durch eine Stichprobe errechnet. empirisch = aus der Erfahrung, Beobachtung, auf dem Weg der Empirie gewonnen Varianz: 0² 250 Arithmetisches Mittel und Standardabweichung mittels dem TR berechnen: 1-VAR - FRQ für X₁ eingeben STATVAR 200 DATA X₁ eingeben (FRQ = frequency; wie häufig die Zahl in der Liste vorkommt) 150 R = Xmax - Xmin • Quartilsabstand: Beschreibt die Distanz zwischen dem unteren und 100 Spannweite: Beschreibt die Distanz zwischen kleinstem und größtem Datenwert. 50 2nd Perzentile: Während Quartile eine Liste in 4 annähernd gleich große Stücke teilt, teilen Perzentile die Liste in 100 annähernd gleich große Stücke. oberen Quartil. IQR = Q3 - Q₁ Q₁ = Die kleinsten 25% der Datenwerte sind kleiner oder gleich diesem Kennwert. Q2 = Median Q3 = Die kleinsten 75% der Datenwerte sind kleiner oder gleich diesem Kennwert. -4 DATA -2 0 2 4 10 12 ● - 14 16 Wachstumskurven: Jungen (0-18 Jahre) 97% 50% 3% 190 180 170. 160 5150- Körpergröße in cm 140- 130- 120- 110- 100- 90 80- 70 60 50 größer kleiner Wachstumskurven: Mädchen (0-18 Jahre) Ausreißer: Ein besonders großer oder kleiner Merkmalswert in einer Gesamtheit, welcher das arithmetische Mittel und Streuungsmaße wie die Varianz verfälschen kann. 190 180- 170 160 Ausreißer 150 140 130 120 110 100 80- 70 60 50 größer kleiner 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Alter in Jahren Perzentile am Beispiel einer Wachstumskurve Passgerade in einem Streudiagramm Temperatur - Gasverbrauch 97% 50% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18