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Steckbriefaufgaben
18.2.2021
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Steckbriefaufgaben Funktionen nach Gradzahlen: Allgemeine Funktionsgleichung durch Anzahl der Gradzahl bilden: 3. Grades: f(x)=ax + bx²+ cx + d 4. Grades: f(x)= ax + bx³+ cx²+ dx +e Punktsymmetrisch: f(x)=ax³+ cx (hier: 3. Grades) ) -> nur ungerade Exponenten Achsensymmetrisch: f(x)=ax"+ cx²+ e (hier: 4. Grades) -> nur gerade Exponenten Beispielaufgabe: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades Sie besitzt im P(2/14) eine Wendetangente mit -Sie hat eine Nullstelle bei x=l. Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufstellen Wir wissen: Funktion 3. Grades f(x)=ax+bx+cx+d Schritt 1.2: Ableitungen bilden f(x)= 3ax+2bx+c f(x)=6ax+2b 1. Funktion geht durch (2/14): f(2)=14 2. Ableitung im Punkt (2/14) ist 15: f(2)=15 3. Punkt (2/14) in ein Wendepunkt: f(x)=0 4. Nullstelle bei x-l: f(l)=0 Informationen Schritt 3: Gleichungssystem aufstellen 1. f(2)= a*2+b*2²+c*2+d=14 Schritt 2: Was muss die Funktion erfüllen? ( Anzahl der Forderungen = Anzahl der Variablen) Hier: 3. Grades 4 Variablen (a,b,c,d) = 4 Forderungen = =a*8+b*4+c*2+d=14_14=8a+4b+2c+d 2. f(2)=3a*2+26*2+c 3. f(2)=6a 2+2b=0 4. fl)=a+b+c+d =O O=a*l+b*l+c+d 15-12a+4b+c 0-12a+2b O=a+b+c+d Steigung m-15. Das „NEW-Prinzip": N = Nullstellen f(x) E= Extrema f'(x) W= Wendepunkt f (x) Beliebte Formulierungen: 1. „geht durch den Punkt (x/y)“ -> f(x)=y 2."Tangente besitzt Steigung m" -> f '(x)=m 3."besitzt Wendepunkt bei (x/y)“ -> f´´(x)=0| 4."besitzt Nullstelle bei x" -> f(x)=0 5."besitzt HP/TP/SP bei (x/y)" -> f '(x)=0| Schritt 4: Gleichungssystem lösen I. 11. 15-12a+4b+c III. O=12a+12b IV. O=a+b+c+d 14-8a+4b+2c+d Lösung: a-1 b-6 c=3 d=-8 Schritt 5: Funktionsgleichung bilden (Werte einsetzen) f(x)= -x + 6x²+ 3x -8
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