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STECKBRIEFAUFGABEN Aufstellen von Funktionen 1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung deiner gesuchten Funktionsart auf. Notiere auch ihre Ableitungen! 2. Übersetze die gegeben Eigenschaften deiner Funktion (Symmetrie, Nullstelle) in mathematische Gleichungen. 3. Stelle ein lineares Gleichungssystem (LGS) auf und löse es. 4. Schreibe die Funktionsgleichung auf. Überprüfe sie mit einer Probe. Aufstellen von Funktionen Allgemeine Funktion f(x)=ax³+bx²+cx+d f'(x)=2ax²+bx+c Um eine Funktion x Grades aufzustellen, benötigt x + 1 Bedingungen. (Bsp: 3. gradige Funktion benötigt 4 Bedingungen) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph in (010) einen Tiefpunkt und in (211) einen Hochpunkt hat. T(OIO) 1. f(0)=0 2. f'(0)=0 f(0) = a*0³ + b*0² + c*0 + d f'(0)= 3a*0² + b*0 +c H(210) 3. f(2)=1 f(2)= a*2³ + b*2² + c*2 + d 4. f(2)=0 f(2)= 3a*2² + 2b*2 + c d = 0 C = 0 Sind Bedingungen x=0, kann man den Variablen ohne x den Wert von y zuschreiben => 8a + 4b=1 (I) => 12a +4b=0 (II) Subtraktionsverfahren (I) 8a + 4b = 1 (II) 12a + 4b = 0 Ziel ist es, eine der " Variable weg zu streichen. (1)-(II) 8a 12a +4b-4b = 1-0 -4a = 1 a = 1/4 - 1:(-4) Setze a= -14 in (1) ein: 8* 1/4 + 4b = 1 2 + 4b = 1 4b = -1 b = - ¹4 1-2 Zielfunktion: f(x)= - ¹x³ + ¾² (+0 +0) Zur Erinnerung f(x)=ax³+bx²+cx+d Additionsverfahren (1) 2a + 3b = -6 1*3 (1) 6a + 9b = -18 (II)-3a - 4b =...
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7 1*2 (II) -6a - 8b = 14 (1′) + (11′) Ziel ist es, eine der Variable weg zu streichen. 6a 6a+ 9b -8b = -18 + 14 b = -4 Anschließend wird b eingesetzt und a ermittelt: b = -4 in (1) 2a + 3 * (-4)= -6 a = 3 Übung Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat den Wendepunkt W (010) und den Hochpunkt H (212). Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion. Ansatz: f(x)=ax³+bx²+cx+d f'(x)=3ax²+2bx+c f"(x)=6ax+2b Tipp: es macht Sinn, mit den O-er Bedingungen zu starten (z.B. f(0)), da dadurch gegebene Variablen ggf schon wegfallen NEW-Regel: NEW NEW NEW Lösung Vier Bedingungen: Wendepunkt (Koordinaten-Bedingung) - Wendepunkt (NEW-Bedingung) Hochpunkt (Koordinaten-Bedingung) Hochpunkt (NEW-Bedingung) f(0)=0 => a*0³ + b*0² + c*0 +d=0 d=0 f'(0)=0 => 6a*0+2b =0 2b = 0 f(2)=2 => a*2³ + b*2² + c*2 +d=2 8a + 4b +2c + d = 2 f'(2) 0 => 3a*22 + 2b*2 + c = 0 12a+4b = 0 Lösung Gleichungssystem: d = 0 2b = 0 8a + 4b + 2c + d = 2 12a + 4b + C = 0 -> d=0 -> b=0 Setze d & bin die beiden unteren Gleichungen ein und löse diese nach a und c auf Lösung Gleichungssystem nach a auflösen 8a + 4*0 + 2c + 0 = 2 (1) (II) 12a + 4*0+ c = 0_1*2 (II) 24a + 2c = 0 -> (1)-(II) (subtraktionsverfahren) 8a + 2c-24a +2c= 2-0 8a -24a = 2 -16a = 2 a = -2/16 a = - 1/8 I:(-16) Setze a= -1/8 in (1) ein (I)___8*(-1/8)+4*0+2c+0=2 -1+2c=2 1+1 2c=3 1:2 c=3/2 c=1,5 Funktionsgleichung: f(x)=-1/8x^3+1,5x Symmetrie Mithilfe von Informationen über die Symmetrie, kann man die allgemeine Funktion vereinfachen. Punktsymmetrie nur die ungeraden Exponenten Also f(x) = ax³ + bx Achsensymmetrie Nur die geraden Exponenten Also f(x) = ax + bx²+ c Übung Überlege, welchen Ansatz man für die Funktion wählen und welche Symmetrie Eigenschaften man nutzen könnte eigenistria a) H(-1/1) -1 01 T(11-1) b) -2 -10 T.(-21-4) -2+ -3+ X 1 2 13 4 T₂(21-4) 3 W₁(-2/20) 404 30- 20+ hot W₂12/20 -20 T(010) 46 -10- -20+ Graph 1: Punktsymmetrie f(x)= ax³+bx²+cx+d Also: f(x)=ax³+b Graph 2: Achsensymmetrie f(x)=ax²+bx³+cx²+dx+e Also: f(x)=ax++bx²+e Graph 3: Achsensymmetrie f(x)=ax++bx³+cx²+dx+e Also: f(x)=ax++bx²+e Modellierung eines Übergangsbogens (knickfreie Aufgaben) Zwei Orte, a und b, sind jeweils Endstationen zweier Bahnstrecken A und B sollen nun durch eine neue Strecke miteinander verbunden werden D 1 km Bknickfrei 2km " Funletion 3. Grades Lösung Ansatz: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d_f'(x)=3ax^2+2bx+c A (010), B (112) Bedingungen: Koordinaten-Bedingung A -> f(0)=0 NEW-Bedingung A -> f'(0)=0 Koordinaten-Bedingung B -> f(1) = 2 =>a*1^3+b*1^2 a+b=2 (1) NEW-Bedingung B -> f'(1)= 0 =>f'(1)=3a*1^2+2b*1 3a+2b=0 (II) A => f(0)=a*0^3+b*0^2+c*0+d d=0 => f'(0)=3a*0^2+2b*0+c c=0 BKnickfrei" 1 km 2km Funletion 3. Grades Lösung Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: (1) a+b=2 13*(1)-(11) (II) 3a+2b=0 Also (l') 3a+3b=6 -(II) 3a+2b=0 b=6 Setze b=6 in (1) ein a+6=2 1-6 a=-4 Also lautet die gesuchte Funktion: f(x)=-4x^3+6x^2 Gauß Algorithmus Gegeben: (1) 3a -3b-4c = 6 (II) 2a + 3b + 3c = -5 (III) 2a -2b 2c = 6 Ziel ist es die Zahlen unter der „Treppe" weg zu streichen, um die Variablen herauszufinden - Zeilenstufenform Zwei Zeilen miteinander addieren oder subtrahieren Zeilen mit einer Zahl multiplizieren oder dividieren (1) (II) -2 (III) 2 3 -3 -4 +3 +3 -2 -2 (1) 3 -3 -4 (11) O 1 1 (III) 2 -2 -2 (1) (11) O (III) O Ń 3 -3 -4 = 1 1 0 -2 = = = = || = 6 -5 6 O) 6 6 1 = -6 1 6 (II) + (III) (116) Nebenrechnung -2 +3 +3 -2 2* (1) - 3* (III) (III“) +(2-2 0 1 1 2* (3 -3* (2 -5 -3 -4 -2 -2 -2 00-2 6) 1 6) 6) -6 Aus dritter Zeile: Oa + Ob - 2c = -6 1:(-2) C = 3 a b (1) 3 -3 1 (11¹) O (III) O 0 -2 c -4 Aus zweiter Zeile: Oa + 1b + 3 + = 1 || || || b +3= 1 1-3 b = -2 6 1 -6 Das Gleichungssystem besitzt die Lösungsmenge ( 4 ; -2 ; 3) Aus erster Zeile: 3a 3* (-2) - 4*3 = 6 3a -6 = 6 1 +6 3a = 12 1:3 a=4 Geogebra (I) 3a 3b-4c6 (II) -2a + 3b + 3c = -5 (III) 2a 2b - 2c = 6 - M = m2 = m1 = {{3,−3,−4,6}, {−2, 3, 3, −5}, {2, -2, -2,6}} 3 (1/²2 -2 www -3 -4 3 -2 -5 Treppennormalform(M) a b c 100 4 0 1 0 -2 00 1 3 Das Gleichungssystem besitzt die Lösungsmenge ( 4 ; -2 ; 3) Übung Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 3a - 2b = 13 b + 2c = 5 b + c 3 = Lösung (І) За – 2b (II) (III) (II)-(III) = 13 b + 2c = 5 b + c = 3 1b +2c=5 - 1b + 1c = 3 C = 2 c = 2 in (III) einsetzen b +2=3 1-2 b = 1 b = 1 in (I) einsetzen За - 2*1 = 13 За = 15 a = 5 1+2 1:3 Das Gleichungssystem besitzt die Lösungsmenge (5; 1; 2)