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Additionsverfahren

Steckbriefaufgaben und Lösungen für Mathe 3. Klasse

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Steckbriefaufgaben und Lösungen für Mathe 3. Klasse

Jules

@juulia.kn

107 Follower

Dieser Leitfaden erklärt die Aufstellung von Funktionen mit Punkt- und Achsensymmetrie sowie die Lösung von Funktionsbedingungen mittels linearer Gleichungssysteme. Er behandelt insbesondere:

Schrittweise Anleitung zum Aufstellen von Funktionen
Verwendung von Symmetrieeigenschaften
Lösung von linearen Gleichungssystemen mit verschiedenen Methoden
Modellierung realer Probleme mit ganzrationalen Funktionen 3. Grades mit Hoch- und Tiefpunkt
Anwendung des Gauß-Algorithmus

• Der Leitfaden bietet eine umfassende Einführung in fortgeschrittene Konzepte der Funktionsanalyse und -modellierung für Schüler.
• Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben ermöglichen die praktische Anwendung der Methoden.
• Besonderer Fokus liegt auf der Interpretation von Funktionsgraphen und der Übersetzung realer Probleme in mathematische Modelle.

20.2.2022

5802

STECKBRIEFAUFGABEN Aufstellen von Funktionen
1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung deiner
gesuchten Funktionsart auf. Notiere auch i

Lösung der Übungsaufgabe

Für die Lösung der Steckbriefaufgaben 3. Grades mit Lösungen benötigen wir vier Bedingungen:

Wendepunkt (Koordinaten-Bedingung): f(0) = 0
Wendepunkt (NEW-Bedingung): f''(0) = 0
Hochpunkt (Koordinaten-Bedingung): f(2) = 2
Hochpunkt (NEW-Bedingung): f'(2) = 0

Aus diesen Bedingungen ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

d = 0
2b = 0
8a + 4b + 2c + d = 2
12a + 4b + c = 0

Example: Durch Einsetzen von d = 0 und b = 0 in die beiden unteren Gleichungen können wir das System weiter vereinfachen und nach a und c auflösen.

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Additionsverfahren

Das Additionsverfahren ist eine weitere Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hierbei werden zwei Gleichungen so addiert, dass eine Variable eliminiert wird.

Beispiel: (I) 2a + 3b = -6 (II) -3a - 4b = 7

Multiplizieren wir (I) mit 3 und (II) mit 2, erhalten wir: (I') 6a + 9b = -18 (II') -6a - 8b = 14

Die Addition dieser Gleichungen führt zu: b = -4

Vocabulary: Das Additionsverfahren wird oft als Alternative zum Subtraktionsverfahren verwendet, insbesondere wenn die Addition zur Elimination einer Variablen führt.

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Übungsaufgabe

Hier ist eine Übungsaufgabe für Steckbriefaufgaben Übungen:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat den Wendepunkt W(0|0) und den Hochpunkt H(2|2). Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion.

Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + c f''(x) = 6ax + 2b

Tip: Es ist oft sinnvoll, mit den Bedingungen für x=0 zu beginnen, da dadurch möglicherweise einige Variablen direkt wegfallen.

Highlight: Die NEW-Regel (Nullstelle, Extrempunkt, Wendepunkt) ist hier besonders hilfreich für die systematische Herangehensweise.

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Allgemeine Funktionen und Bedingungen

Für das Aufstellen von Funktionen ist es wichtig, die allgemeine Form der gesuchten Funktion zu kennen. Für eine ganzrationale Funktion 3. Grades gilt:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Eine wichtige Regel besagt, dass man für eine Funktion x-ten Grades x+1 Bedingungen benötigt. Beispielsweise braucht man für eine Funktion 3. Grades vier Bedingungen.

Highlight: Die Anzahl der benötigten Bedingungen entspricht dem Grad der Funktion plus eins. Dies ist entscheidend für die Lösbarkeit von Steckbriefaufgaben.

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Anwendung des Gauß-Algorithmus

Die Anwendung des Gauß-Algorithmus führt zu folgender Zeilenstufenform:

(I) 3 -3 -4 | 6 (II) 0 1 1 | -6 (III) 0 0 -2 | -6

Aus der letzten Zeile können wir direkt ablesen: c = 3

Durch Rückwärtseinsetzen erhalten wir die Werte für b und a.

Example: Diese Methode ist besonders nützlich für Steckbriefaufgaben Mathe PDF, die komplexere Gleichungssysteme beinhalten.

Highlight: Der Gauß-Algorithmus bietet eine systematische und effiziente Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, die in vielen Steckbriefaufgaben vorkommen.

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Einführung in Steckbriefaufgaben

Steckbriefaufgaben sind ein grundlegendes Konzept in der Mathematik, insbesondere bei der Arbeit mit Funktionen. Sie ermöglichen es, eine Funktion anhand bestimmter Eigenschaften oder "Steckbriefelemente" zu bestimmen. Diese Methode ist besonders nützlich für Steckbriefaufgaben 3. Grades mit Lösungen, da sie einen strukturierten Ansatz zur Problemlösung bietet.

Definition: Steckbriefaufgaben sind mathematische Probleme, bei denen eine Funktion anhand gegebener Eigenschaften oder Bedingungen bestimmt werden soll.

Highlight: Die Fähigkeit, Steckbriefaufgaben zu lösen, ist entscheidend für das Verständnis und die Anwendung von Funktionen in der höheren Mathematik.

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Symmetrie in Funktionen

Die Berücksichtigung von Symmetrieeigenschaften kann die Lösung von Steckbriefaufgaben erheblich vereinfachen:

Punktsymmetrie: Nur ungerade Exponenten, z.B. f(x) = ax³ + bx
Achsensymmetrie: Nur gerade Exponenten, z.B. f(x) = ax² + bx² + c

Definition: Punktsymmetrie liegt vor, wenn der Graph durch eine 180°-Drehung um einen Punkt auf sich selbst abgebildet wird.

Definition: Achsensymmetrie bedeutet, dass der Graph an einer Achse gespiegelt werden kann und dabei unverändert bleibt.

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Beispiel einer Steckbriefaufgabe

Betrachten wir eine Steckbriefaufgabe Beispiel für eine ganzrationale Funktion 3. Grades:

Gesucht ist eine Funktion, deren Graph in (0|0) einen Tiefpunkt und in (2|1) einen Hochpunkt hat.

Wir setzen die Bedingungen:

f(0) = 0
f'(0) = 0
f(2) = 1
f'(2) = 0

Diese Bedingungen führen zu einem Gleichungssystem, das wir lösen müssen, um die Koeffizienten a, b, c und d zu bestimmen.

Example: Aus f(0) = 0 folgt direkt d = 0, und aus f'(0) = 0 ergibt sich c = 0. Dies vereinfacht das weitere Vorgehen erheblich.

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Anwendung des Gauß-Algorithmus

Diese Seite demonstriert die Anwendung des Gauß-Algorithmus, eine nützliche Technik für komplexe Steckbriefaufgaben mit Lösungen.

Schritte:

Zeilenstufenform herstellen durch Addition oder Subtraktion von Zeilen
Zeilen mit Zahlen multiplizieren oder dividieren, um Koeffizienten zu vereinfachen

Example: Durch geschickte Kombination der Gleichungen wird die Variable a in der zweiten und dritten Zeile eliminiert.

Highlight: Der Gauß-Algorithmus ist besonders effektiv bei Systemen mit mehr als zwei Gleichungen und Variablen.

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Abschluss und Lösung

Diese letzte Seite zeigt den Abschluss des Gauß-Algorithmus und die endgültige Lösung, ein wichtiger Schritt bei komplexen Steckbriefaufgaben Übungen.

Aus der letzten Zeile des transformierten Systems ergibt sich: 0a + 0b - 2c = -6

Daraus folgt: c = 3

Highlight: Durch Rückwärtseinsetzen können nun die Werte für b und a bestimmt werden.

Diese Methode demonstriert, wie auch komplexere Systeme von Gleichungen, die bei Steckbriefaufgaben auftreten können, systematisch gelöst werden können.

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Lösung von linearen Gleichungssystemen mit verschiedenen Methoden
Modellierung realer Probleme mit ganzrationalen Funktionen 3. Grades mit Hoch- und Tiefpunkt
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Mathe

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Lösung der Übungsaufgabe

Für die Lösung der Steckbriefaufgaben 3. Grades mit Lösungen benötigen wir vier Bedingungen:

Wendepunkt (Koordinaten-Bedingung): f(0) = 0
Wendepunkt (NEW-Bedingung): f''(0) = 0
Hochpunkt (Koordinaten-Bedingung): f(2) = 2
Hochpunkt (NEW-Bedingung): f'(2) = 0

Aus diesen Bedingungen ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

d = 0
2b = 0
8a + 4b + 2c + d = 2
12a + 4b + c = 0

Example: Durch Einsetzen von d = 0 und b = 0 in die beiden unteren Gleichungen können wir das System weiter vereinfachen und nach a und c auflösen.

Additionsverfahren

Das Additionsverfahren ist eine weitere Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Hierbei werden zwei Gleichungen so addiert, dass eine Variable eliminiert wird.

Beispiel: (I) 2a + 3b = -6 (II) -3a - 4b = 7

Multiplizieren wir (I) mit 3 und (II) mit 2, erhalten wir: (I') 6a + 9b = -18 (II') -6a - 8b = 14

Die Addition dieser Gleichungen führt zu: b = -4

Vocabulary: Das Additionsverfahren wird oft als Alternative zum Subtraktionsverfahren verwendet, insbesondere wenn die Addition zur Elimination einer Variablen führt.

Übungsaufgabe

Hier ist eine Übungsaufgabe für Steckbriefaufgaben Übungen:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat den Wendepunkt W(0|0) und den Hochpunkt H(2|2). Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion.

Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + c f''(x) = 6ax + 2b

Tip: Es ist oft sinnvoll, mit den Bedingungen für x=0 zu beginnen, da dadurch möglicherweise einige Variablen direkt wegfallen.

Highlight: Die NEW-Regel (Nullstelle, Extrempunkt, Wendepunkt) ist hier besonders hilfreich für die systematische Herangehensweise.

Allgemeine Funktionen und Bedingungen

Für das Aufstellen von Funktionen ist es wichtig, die allgemeine Form der gesuchten Funktion zu kennen. Für eine ganzrationale Funktion 3. Grades gilt:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Eine wichtige Regel besagt, dass man für eine Funktion x-ten Grades x+1 Bedingungen benötigt. Beispielsweise braucht man für eine Funktion 3. Grades vier Bedingungen.

Highlight: Die Anzahl der benötigten Bedingungen entspricht dem Grad der Funktion plus eins. Dies ist entscheidend für die Lösbarkeit von Steckbriefaufgaben.

Anwendung des Gauß-Algorithmus

Die Anwendung des Gauß-Algorithmus führt zu folgender Zeilenstufenform:

(I) 3 -3 -4 | 6 (II) 0 1 1 | -6 (III) 0 0 -2 | -6

Aus der letzten Zeile können wir direkt ablesen: c = 3

Durch Rückwärtseinsetzen erhalten wir die Werte für b und a.

Example: Diese Methode ist besonders nützlich für Steckbriefaufgaben Mathe PDF, die komplexere Gleichungssysteme beinhalten.

Highlight: Der Gauß-Algorithmus bietet eine systematische und effiziente Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, die in vielen Steckbriefaufgaben vorkommen.

Einführung in Steckbriefaufgaben

Definition: Steckbriefaufgaben sind mathematische Probleme, bei denen eine Funktion anhand gegebener Eigenschaften oder Bedingungen bestimmt werden soll.

Highlight: Die Fähigkeit, Steckbriefaufgaben zu lösen, ist entscheidend für das Verständnis und die Anwendung von Funktionen in der höheren Mathematik.

Symmetrie in Funktionen

Die Berücksichtigung von Symmetrieeigenschaften kann die Lösung von Steckbriefaufgaben erheblich vereinfachen:

Punktsymmetrie: Nur ungerade Exponenten, z.B. f(x) = ax³ + bx
Achsensymmetrie: Nur gerade Exponenten, z.B. f(x) = ax² + bx² + c

Definition: Punktsymmetrie liegt vor, wenn der Graph durch eine 180°-Drehung um einen Punkt auf sich selbst abgebildet wird.

Definition: Achsensymmetrie bedeutet, dass der Graph an einer Achse gespiegelt werden kann und dabei unverändert bleibt.

Beispiel einer Steckbriefaufgabe

Betrachten wir eine Steckbriefaufgabe Beispiel für eine ganzrationale Funktion 3. Grades:

Gesucht ist eine Funktion, deren Graph in (0|0) einen Tiefpunkt und in (2|1) einen Hochpunkt hat.

Wir setzen die Bedingungen:

f(0) = 0
f'(0) = 0
f(2) = 1
f'(2) = 0

Diese Bedingungen führen zu einem Gleichungssystem, das wir lösen müssen, um die Koeffizienten a, b, c und d zu bestimmen.

Example: Aus f(0) = 0 folgt direkt d = 0, und aus f'(0) = 0 ergibt sich c = 0. Dies vereinfacht das weitere Vorgehen erheblich.

Anwendung des Gauß-Algorithmus

Diese Seite demonstriert die Anwendung des Gauß-Algorithmus, eine nützliche Technik für komplexe Steckbriefaufgaben mit Lösungen.

Schritte:

Zeilenstufenform herstellen durch Addition oder Subtraktion von Zeilen
Zeilen mit Zahlen multiplizieren oder dividieren, um Koeffizienten zu vereinfachen

Example: Durch geschickte Kombination der Gleichungen wird die Variable a in der zweiten und dritten Zeile eliminiert.

Highlight: Der Gauß-Algorithmus ist besonders effektiv bei Systemen mit mehr als zwei Gleichungen und Variablen.

Abschluss und Lösung

Diese letzte Seite zeigt den Abschluss des Gauß-Algorithmus und die endgültige Lösung, ein wichtiger Schritt bei komplexen Steckbriefaufgaben Übungen.

Aus der letzten Zeile des transformierten Systems ergibt sich: 0a + 0b - 2c = -6

Daraus folgt: c = 3

Highlight: Durch Rückwärtseinsetzen können nun die Werte für b und a bestimmt werden.

Diese Methode demonstriert, wie auch komplexere Systeme von Gleichungen, die bei Steckbriefaufgaben auftreten können, systematisch gelöst werden können.