Steckbriefaufgaben

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7 1*2 (II) -6a - 8b = 14 (1′) + (11′) Ziel ist es, eine der Variable weg zu streichen. 6a 6a+ 9b -8b = -18 + 14 b = -4 Anschließend wird b eingesetzt und a ermittelt: b = -4 in (1) 2a + 3 * (-4)= -6 a = 3 Übung Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat den Wendepunkt W (010) und den Hochpunkt H (212). Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion. Ansatz: f(x)=ax³+bx²+cx+d f'(x)=3ax²+2bx+c f"(x)=6ax+2b Tipp: es macht Sinn, mit den O-er Bedingungen zu starten (z.B. f(0)), da dadurch gegebene Variablen ggf schon wegfallen NEW-Regel: NEW NEW NEW Lösung Vier Bedingungen: Wendepunkt (Koordinaten-Bedingung) - Wendepunkt (NEW-Bedingung) Hochpunkt (Koordinaten-Bedingung) Hochpunkt (NEW-Bedingung) f(0)=0 => a*0³ + b*0² + c*0 +d=0 d=0 f'(0)=0 => 6a*0+2b =0 2b = 0 f(2)=2 => a*2³ + b*2² + c*2 +d=2 8a + 4b +2c + d = 2 f'(2) 0 => 3a*22 + 2b*2 + c = 0 12a+4b = 0 Lösung Gleichungssystem: d = 0 2b = 0 8a + 4b + 2c + d = 2 12a + 4b + C = 0 -> d=0 -> b=0 Setze d & bin die beiden unteren Gleichungen ein und löse diese nach a und c auf Lösung Gleichungssystem nach a auflösen 8a + 4*0 + 2c + 0 = 2 (1) (II) 12a + 4*0+ c = 0_1*2 (II) 24a + 2c = 0 -> (1)-(II) (subtraktionsverfahren) 8a + 2c-24a +2c= 2-0 8a -24a = 2 -16a = 2 a = -2/16 a = - 1/8 I:(-16) Setze a= -1/8 in (1) ein (I)___8*(-1/8)+4*0+2c+0=2 -1+2c=2 1+1 2c=3 1:2 c=3/2 c=1,5 Funktionsgleichung: f(x)=-1/8x^3+1,5x Symmetrie Mithilfe von Informationen über die Symmetrie, kann man die allgemeine Funktion vereinfachen. Punktsymmetrie nur die ungeraden Exponenten Also f(x) = ax³ + bx Achsensymmetrie Nur die geraden Exponenten Also f(x) = ax + bx²+ c Übung Überlege, welchen Ansatz man für die Funktion wählen und welche Symmetrie Eigenschaften man nutzen könnte eigenistria a) H(-1/1) -1 01 T(11-1) b) -2 -10 T.(-21-4) -2+ -3+ X 1 2 13 4 T₂(21-4) 3 W₁(-2/20) 404 30- 20+ hot W₂12/20 -20 T(010) 46 -10- -20+ Graph 1: Punktsymmetrie f(x)= ax³+bx²+cx+d Also: f(x)=ax³+b Graph 2: Achsensymmetrie f(x)=ax²+bx³+cx²+dx+e Also: f(x)=ax++bx²+e Graph 3: Achsensymmetrie f(x)=ax++bx³+cx²+dx+e Also: f(x)=ax++bx²+e Modellierung eines Übergangsbogens (knickfreie Aufgaben) Zwei Orte, a und b, sind jeweils Endstationen zweier Bahnstrecken A und B sollen nun durch eine neue Strecke miteinander verbunden werden D 1 km Bknickfrei 2km " Funletion 3. Grades Lösung Ansatz: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d_f'(x)=3ax^2+2bx+c A (010), B (112) Bedingungen: Koordinaten-Bedingung A -> f(0)=0 NEW-Bedingung A -> f'(0)=0 Koordinaten-Bedingung B -> f(1) = 2 =>a*1^3+b*1^2 a+b=2 (1) NEW-Bedingung B -> f'(1)= 0 =>f'(1)=3a*1^2+2b*1 3a+2b=0 (II) A => f(0)=a*0^3+b*0^2+c*0+d d=0 => f'(0)=3a*0^2+2b*0+c c=0 BKnickfrei" 1 km 2km Funletion 3. Grades Lösung Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: (1) a+b=2 13*(1)-(11) (II) 3a+2b=0 Also (l') 3a+3b=6 -(II) 3a+2b=0 b=6 Setze b=6 in (1) ein a+6=2 1-6 a=-4 Also lautet die gesuchte Funktion: f(x)=-4x^3+6x^2 Gauß Algorithmus Gegeben: (1) 3a -3b-4c = 6 (II) 2a + 3b + 3c = -5 (III) 2a -2b 2c = 6 Ziel ist es die Zahlen unter der „Treppe" weg zu streichen, um die Variablen herauszufinden - Zeilenstufenform Zwei Zeilen miteinander addieren oder subtrahieren Zeilen mit einer Zahl multiplizieren oder dividieren (1) (II) -2 (III) 2 3 -3 -4 +3 +3 -2 -2 (1) 3 -3 -4 (11) O 1 1 (III) 2 -2 -2 (1) (11) O (III) O Ń 3 -3 -4 = 1 1 0 -2 = = = = || = 6 -5 6 O) 6 6 1 = -6 1 6 (II) + (III) (116) Nebenrechnung -2 +3 +3 -2 2* (1) - 3* (III) (III“) +(2-2 0 1 1 2* (3 -3* (2 -5 -3 -4 -2 -2 -2 00-2 6) 1 6) 6) -6 Aus dritter Zeile: Oa + Ob - 2c = -6 1:(-2) C = 3 a b (1) 3 -3 1 (11¹) O (III) O 0 -2 c -4 Aus zweiter Zeile: Oa + 1b + 3 + = 1 || || || b +3= 1 1-3 b = -2 6 1 -6 Das Gleichungssystem besitzt die Lösungsmenge ( 4 ; -2 ; 3) Aus erster Zeile: 3a 3* (-2) - 4*3 = 6 3a -6 = 6 1 +6 3a = 12 1:3 a=4 Geogebra (I) 3a 3b-4c6 (II) -2a + 3b + 3c = -5 (III) 2a 2b - 2c = 6 - M = m2 = m1 = {{3,−3,−4,6}, {−2, 3, 3, −5}, {2, -2, -2,6}} 3 (1/²2 -2 www -3 -4 3 -2 -5 Treppennormalform(M) a b c 100 4 0 1 0 -2 00 1 3 Das Gleichungssystem besitzt die Lösungsmenge ( 4 ; -2 ; 3) Übung Bestimme die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 3a - 2b = 13 b + 2c = 5 b + c 3 = Lösung (І) За – 2b (II) (III) (II)-(III) = 13 b + 2c = 5 b + c = 3 1b +2c=5 - 1b + 1c = 3 C = 2 c = 2 in (III) einsetzen b +2=3 1-2 b = 1 b = 1 in (I) einsetzen За - 2*1 = 13 За = 15 a = 5 1+2 1:3 Das Gleichungssystem besitzt die Lösungsmenge (5; 1; 2)