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17. Jan. 2023

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Stochastik für Kids: Bernoulli-Formel, Erwartungswert und Sigma-Regeln erklärt

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Luisa

@luisa_rvdg

Die Bernoulli-Formel und Binomialverteilung sind zentrale Konzepte in der Stochastik.... Mehr anzeigen

Wahrscheinlichkeit
für Anzahl Treffer
Versuche
(beginnend bei 0)
Beispiel:
Pascal'sches Dreieck
(*) -
1
→→
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Anzahl Treffer
1
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modelliert

Erwartungswert und Standardabweichung

Bei empirischen und stochastischen Problemen spielen Erwartungswert und Standardabweichung eine wichtige Rolle. Für Binomialverteilungen gelten spezielle Formeln:

Formel: Erwartungswert μ = n * p Formel: Standardabweichung σ = √npqn * p * q

Diese Formeln sind besonders nützlich für die Analyse von Bernoulli-Ketten und anderen binomialverteilten Zufallsgrößen.

Highlight: Bei Vervierfachung des Stichprobenumfangs n halbiert sich die Streuung.

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Sigma-Regeln und Binomialverteilung

Die Sigma-Regeln sind wichtige Approximationen für binomialverteilte Zufallsgrößen:

  1. PμσXμ+σμ-σ ≤ X ≤ μ+σ ≈ 68,3%
  2. Pμ2σXμ+2σμ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ ≈ 95,4%
  3. Pμ3σXμ+3σμ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ ≈ 99,7%

Diese Regeln helfen bei der Skizzierung einer Binomialverteilung und der Einschätzung von Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel: Bei einer Binomialverteilung liegt der Hochpunkt der "Glockenkurve" beim Erwartungswert μ, und die Wendepunkte liegen bei μ±σ.

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Rechnen mit der Binomialverteilung

Für Berechnungen mit der Binomialverteilung gibt es verschiedene Methoden:

  • Für PX=kX=k: "binompdfn,p,kn,p,k"
  • Für PXkX≤k: "binomcdfn,p,0,kn,p,0,k"
  • Für Pk1Xk2k₁≤X≤k₂: "binomcdfn,p,k1,k2n,p,k₁,k₂"

Tipp: Bei offenen Intervallen z.B.X>1z.B. X>1 das Gegenereignis bilden hierX1hier X≤1 und von 1 subtrahieren.

Diese Funktionen sind besonders nützlich für die Lösung von Bernoulli-Formel Aufgaben.

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Faires Spiel und Spielmanipulation

Ein Beispiel für die Anwendung von Erwartungswert und Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Analyse von Glücksspielen:

Definition: Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns gleich Null ist M=0M = 0.

Durch Änderung des Einsatzes oder des maximalen Gewinns kann ein unfaires Spiel in ein faires umgewandelt werden.

Beispiel: Bei einem Glücksrad mit Einsatz 0,5€ und Auszahlung 1€ bei 2x gleicher Farbe wäre das Spiel fair bei einem Einsatz von 0,375€ oder einem maximalen Gewinn von ca. 0,1€.

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Zweiseitiger Signifikanztest

Der zweiseitige Signifikanztest ist ein wichtiges Werkzeug in der Stochastik:

Definition: Ein zweiseitiger Signifikanztest überprüft, ob ein beobachteter Wert signifikant von einem erwarteten Wert abweicht.

Dabei spielen das Signifikanzniveau und der Stichprobenumfang eine wichtige Rolle:

  • Ein größeres Signifikanzniveau führt zu einem kleineren Annahmebereich.
  • Ein größerer Stichprobenumfang führt bei absoluter Abweichung zu einem größeren Annahmebereich.
  • Bei prozentualer Abweichung führt ein größerer Stichprobenumfang zu einem kleineren Annahmebereich.

Diese Konzepte sind wichtig für das Verständnis von Bernoulli-Ketten Aufgaben mit Lösungen.

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Einseitiger Signifikanztest

Der einseitige Signifikanztest wird verwendet, wenn die Alternativhypothese eine Richtung vorgibt:

Beispiel: Bei einem rechtsseitigen Test mit H₀: p = 0,8 und H₁: p > 0,8 wird der Annahmebereich so gewählt, dass PXbX≤b > 0,95.

Die Interpretation des Testergebnisses hängt davon ab, ob der beobachtete Wert im Annahmebereich liegt oder nicht.

Diese Tests sind besonders relevant für Erwartungswert und Standardabweichung Aufgaben in der Stochastik.

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Bernoulli-Formel und Binomialverteilung

Die Bernoulli-Formel ist ein grundlegendes Konzept in der Stochastik zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Ereignissen mit zwei möglichen Ausgängen. Sie wird durch das Pascal'sche Dreieck veranschaulicht und modelliert Versuche mit Zurücklegen, bei denen die Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabhängig sind.

Definition: Die Bernoulli-Formel lautet PX=kX=k = nu¨berkn über k * p^k * q^nkn-k, wobei n die Anzahl der Versuche, k die Anzahl der Treffer, p die Trefferwahrscheinlichkeit und q=1-p die Gegenwahrscheinlichkeit ist.

Beispiel: Der Binomialkoeffizient 5u¨ber25 über 2 lässt sich berechnen als 5! / 2!3!2! * 3! = 10.

Für Berechnungen mit der Bernoulli-Formel kann ein Taschenrechner verwendet werden. Die Funktionen "binompdf" und "binomcdf" sind hierbei besonders nützlich.

Highlight: Besondere Fälle der Bernoulli-Formel sind die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für nur Treffer k=nk=n oder nur Nieten k=0k=0.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Stochastik für Kids: Bernoulli-Formel, Erwartungswert und Sigma-Regeln erklärt

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Luisa

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Die Bernoulli-Formel und Binomialverteilung sind zentrale Konzepte in der Stochastik. Sie modellieren Ereignisse mit zwei möglichen Ausgängen und stochastisch unabhängigen Versuchen. Wichtige Aspekte sind:

  • Bernoulli-Formel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
  • Erwartungswert und Standardabweichung bei Binomialverteilungen
  • Sigma-Regeln zur Approximation von Wahrscheinlichkeiten
  • Signifikanztests... Mehr anzeigen

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Erwartungswert und Standardabweichung

Bei empirischen und stochastischen Problemen spielen Erwartungswert und Standardabweichung eine wichtige Rolle. Für Binomialverteilungen gelten spezielle Formeln:

Formel: Erwartungswert μ = n * p Formel: Standardabweichung σ = √npqn * p * q

Diese Formeln sind besonders nützlich für die Analyse von Bernoulli-Ketten und anderen binomialverteilten Zufallsgrößen.

Highlight: Bei Vervierfachung des Stichprobenumfangs n halbiert sich die Streuung.

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Sigma-Regeln und Binomialverteilung

Die Sigma-Regeln sind wichtige Approximationen für binomialverteilte Zufallsgrößen:

  1. PμσXμ+σμ-σ ≤ X ≤ μ+σ ≈ 68,3%
  2. Pμ2σXμ+2σμ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ ≈ 95,4%
  3. Pμ3σXμ+3σμ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ ≈ 99,7%

Diese Regeln helfen bei der Skizzierung einer Binomialverteilung und der Einschätzung von Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel: Bei einer Binomialverteilung liegt der Hochpunkt der "Glockenkurve" beim Erwartungswert μ, und die Wendepunkte liegen bei μ±σ.

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Rechnen mit der Binomialverteilung

Für Berechnungen mit der Binomialverteilung gibt es verschiedene Methoden:

  • Für PX=kX=k: "binompdfn,p,kn,p,k"
  • Für PXkX≤k: "binomcdfn,p,0,kn,p,0,k"
  • Für Pk1Xk2k₁≤X≤k₂: "binomcdfn,p,k1,k2n,p,k₁,k₂"

Tipp: Bei offenen Intervallen z.B.X>1z.B. X>1 das Gegenereignis bilden hierX1hier X≤1 und von 1 subtrahieren.

Diese Funktionen sind besonders nützlich für die Lösung von Bernoulli-Formel Aufgaben.

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Faires Spiel und Spielmanipulation

Ein Beispiel für die Anwendung von Erwartungswert und Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Analyse von Glücksspielen:

Definition: Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns gleich Null ist M=0M = 0.

Durch Änderung des Einsatzes oder des maximalen Gewinns kann ein unfaires Spiel in ein faires umgewandelt werden.

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Zweiseitiger Signifikanztest

Der zweiseitige Signifikanztest ist ein wichtiges Werkzeug in der Stochastik:

Definition: Ein zweiseitiger Signifikanztest überprüft, ob ein beobachteter Wert signifikant von einem erwarteten Wert abweicht.

Dabei spielen das Signifikanzniveau und der Stichprobenumfang eine wichtige Rolle:

  • Ein größeres Signifikanzniveau führt zu einem kleineren Annahmebereich.
  • Ein größerer Stichprobenumfang führt bei absoluter Abweichung zu einem größeren Annahmebereich.
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Der einseitige Signifikanztest wird verwendet, wenn die Alternativhypothese eine Richtung vorgibt:

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Bernoulli-Formel und Binomialverteilung

Die Bernoulli-Formel ist ein grundlegendes Konzept in der Stochastik zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Ereignissen mit zwei möglichen Ausgängen. Sie wird durch das Pascal'sche Dreieck veranschaulicht und modelliert Versuche mit Zurücklegen, bei denen die Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabhängig sind.

Definition: Die Bernoulli-Formel lautet PX=kX=k = nu¨berkn über k * p^k * q^nkn-k, wobei n die Anzahl der Versuche, k die Anzahl der Treffer, p die Trefferwahrscheinlichkeit und q=1-p die Gegenwahrscheinlichkeit ist.

Beispiel: Der Binomialkoeffizient 5u¨ber25 über 2 lässt sich berechnen als 5! / 2!3!2! * 3! = 10.

Für Berechnungen mit der Bernoulli-Formel kann ein Taschenrechner verwendet werden. Die Funktionen "binompdf" und "binomcdf" sind hierbei besonders nützlich.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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