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Stochastik

17.1.2023

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Wahrscheinlichkeit für Anzahl Treffer Versuche (beginnend bei 0) Beispiel: Pascal'sches Dreieck (*) - 1 →→ 1 Anzahl Treffer 1 5 4 modelliert Ereignisse, die... ... nur 2 mögliche Ausgänge ha (E; E) mit zurücklegen" sind (p und q sind stochastisch unabhängig ) 1 entweder Treffer (beginnend bei 0) 1 2 1 3 3 1 • ( X = x ) = ( x ) 4 1 10 10 5 1 Bernoulli - Formel Anzahl Versuche : Binomial Koeffizient →Anzahl möglicher wege GTR P(X=K) GTR P(y ≤ x ≤z) "binom pdf (n. p,k)" I binomcdf (n. p.y, z)" 01 menu → 55 A oder: Erfolgswahrscheinlichkeit Binomial Koeffizient herausfinden I menu → 5 → 5 → B 1 oder: binompdf→ b→ binom cdf n-k 9. Misserfolgs- wahrscheinlichkeit → 1-P oder Formel n! k!·(n-k)! (n! = 1·2·3 ∙n) = 10 Beispiel: (2) = 1·2·3·4·5 4-2-1-2-3 = 2.5 Besonderheiten: Nur Treffer (k= n) n! (n) = n! · (n-n)! → P(x=n) = (^).p* Nur Nieten (K=0) (b) = . 9 kürzen! n! n!. o! n-n = = 0!=1 n! o! -n! n! o!·(n-o)! => P (X=0) = (^).p* .gn-o n! n! ning = = n 1 bei empirischen Problemen (z. B. Ergebnisreinen): Mittelwert x = x₁ · h₁ + x₂ ⋅h ₂ + ... + Xn hn wert Standardabweichung und Mittel-/Erwartungswert ر relative Häufigkeit des Wertes Standardabweichung s = √√(x₁ - x)² · h₁ + (x₂-x)² · N₂ + ... + (x₂ − x)² · h₂² ? 1 wart bei stochastischen Problemen: Standardabweichung 6 = Erwartungswert M = X ₁ · · P(X=X₂), + ↑ Ereignis bei Binomialverteilungen: Mittelwert = X₁),₁ + x₂ · P(X = X ₂) + ... + x n - P(X=Xn) ↑ W'keit für das Ereignis Ereignis √√(x₁ -μ)². P(X=X₁₂) + (x₂ − μ)² · P(X=x₂) + ... + (x₁ -μ)². P(X= xn)" use Erwartungswert Erwartungswert μ = n · p Anzahl versuche Standardabweichung σ = Anzahl versuche relative Häufigkeit des Wertes Treffer- w'keit W'keit für ein Ereignis n.p....

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9 Treffer- Gegen- ·Keit w'keit Für eine binomial verteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p, dem Erwartungswert μ=n⋅p und der Standardabweichung = √n .p. (1-p) erhält man folgende Näherungen: 6 1. Plμ-0≤x≤ μ 2. Plμ-20 ≤X ² M + 20 ) ≈ 95,4% 3. Plμ-30 ≤ x ≤ μ+ 30 ) ≈ 99,7% S S 0,1 0,09 vervierfacht man den Stichprobenumfang n, so halbiert sich die Streuung ! 0,08 0,07 Mit den o-Regeln eine Binomialverteilung_skizzieren → Beim Erwartungswert u liegt der Hochpunkt der „Glockenkurve" → An den Stellen μ = σ liegen die wendestellen der Glockenkurve" → Außerhalb des intervalls [μ-30₁ μ+ 30 ] liegen nahezu keine werte mehr 0.06 0,05 0,04 0,04 0,03 0,02 0.01 +6) ≈ 68,3% P(X=k) 30 35 99,7% Sigmaregeln 40 95,4% 45 -Signifikanzkriterium" 68% 50 μ 10 55 20 30 65 70 k P gesucht: für P(X=k) → „binom Pdf (n. p. k)" für P(Xsk) → ".p. 0,k)". für P(X= k) für P(k, sx≤ K₂) - [1 2) ctrl → t Rechnen mit der Binomialverteilung binom Cdf (n. binom (df (n.p.k.n)" n gesucht. 1) f₁(x) = binom Cdf ! Bei offenem Intervall (z. B. X=1) Gegenereignis bilden (hier X-0) ! ↳ f₁(x):= 1- binom (df (nipik) binom (df (n.p. P. K₁, K₂)" : Wertetabelle wird angezeigt -P_gesucht: 1) f₁(x):= binom Cdf 3) Soll-W'keit" suchen (f(x) = W'keit ; x = n) (1 ↳ interpretieren! 2) g(x)= P 3) SP von f, und g liefert max./min. Wert für P ↑ Abhängig vom Verlauf von f₁ Beispiel Glücksrad: W'keitsverteilung → M = (-0,5). = ./20 + 0,5. = -0,125 Gewinn in € g Einsatz 0,5 € Auszahlung bei 2x gleiche Farbe (n=2): 1 € ! Gewinn = Auszahlung - Einsatz ! → Ein Spiel ist fair wenn -e 5 Änderung des Einsatzes : Aus Gewinn = Auszahlung O 1 Gewinn in € g P(X-g) ²/3 Faires Spiel/Spielmanipulation P(X=g) M = 0 0 = (-e). · 1/2 + (1 ·e) · ²/3/ e = 0,3 M=O! Einsatz e e 1-e folgt: -0,5 → Das Spiel wäre fair, wenn der Einsatz 0,375€ betragen würde. 5 Spielmanipulation durch 0,5 $5 X · {(bb), (gg), frr)} = (2¹·1) + (4 · 4 ) × (4 · 4 ) + Anderung des maximalen Gewinns: -0,5 in € g Gewinn M=O 0 = (-0,5). / +x. 1²/12 5 P(X=g) → maximaler Gewinn wird durch die Variable X ersetzt X ≈ 0,1042 oxs 흉 Das Spiel wäre fair, wenn der maximale Gewinn bei ca 0,1 € liegen würde X: Anzahl defekter Teile X~ Bin 400; 0,5 H.. Po = 1/1/2 x = 5%. P(X=k) A ≥ 957. 50 ≤2,5% P(X<a ) > 2,5 7. H₂₁ P₂1/1/2 GTR x klein → & groß Zweiseitiger Signifikanztest F100; 0,5 A groß → A klein Einfluss des Signifikanzniveaus $2,5%. 100 <2,5% erfüllt • (a) > 0,025 F100 10,5 (39) ≈ 0,0176 (40) ≈ 0,0284 F100; 0,5 1. Mal über a P(X≤ b) > 97,5% => F100;0₁5 (6) > 0,975 k : F100; 0,5 (59) ≈ 0,9716 F100 i 0,5 (60) = 0,9824 1. Mal über b (61) = In wird größer → o wird kleiner In wird größer W'keit für A wird größer In wird kleiner →>> W'keit für A wird kleiner < 2,9% erfüllt Einfluss des Stichpobenumfang bei absoluter Abweichung (z. B. 20) Einfluss des Stichprobenumfang bei prozentualer Abweichung (z. B. 10%) In wird größer → A wird größer n wird kleiner → A wird kleiner A [40; 60] A [0:39 ]U[61; 100] X Anzahl geneilter Patienten n = 100 d=5% H₂ P₁ = 0,8 H₂ P₁ > 0,8 PIX=K) Annahmebereich [a,b] P. = 0.8 P₁20,8 80 rechtsseitiger Test: P(X≤b) > 0,95 Einseitiger Signifikanztest GTR 100 (85) * 0,9196 F1000,8 F100; 08 (86) 0,9531 ⇒A [0; 86 ] A [87; 100] rechtsseitiger Test bei H₁ P₁ Potatsächliche Wikeit ist größer Interpretation: Die Nullhypothese kann verworfen werden, wenn min. 87 Patienten für den rechtsseitigen Test gilt: P(X b) > 0,95 linksseitiger Test bei H₂ P₁ po tatsächliche W'keit ist kleiner von dem Medikament geheilt werden. Damit also Medikament B besser wirkt als Medikament A, muss es min. 87 von 100 Patienten heilen. für den linksseitigen Test gilt: P(Xsa) > 0,05 A₂ Fehler beim Testen von Hypothesen H, wird.... На rechtsseitiger Test (p₁² p.): H. Im verworfen akzeptiert / ist vereinbar " H₂ linksseitiger Test (p₁ < po): A₂ H.. A. beidseitiger Test (p₁ = Po): H₁ Ho m H₂ Zustand in der Wirklichkeit He ist wahr H₂ ist wahr Fehler 1. Art / a-Fehler x-Fehler: 1-Fnip. (b) ß-Fehler: Fehler 2. Art / B-Fehler Fnip, (b) x-Fehler: Fnipo (a-1) ß-Fehler: 1- Frip, (a-1) x-Fehler. 1-Fripo (b) - Fripola-1) ß-Fehler: Frip. (b)-Fnip, (0-1) x-Fehler: 1-P (Xp ≤ b) P(X> b) ß-Fehler: P(Xp₁ ≤ b) x-Fehler: P(Xp. =a-1) 2 P(Xpo<a) ß-Fehler: 1-P (Xp₁ = a -1) x-Fehler: 1- P(asxpsb) ß-Fehler: P(a≤ Xp₁²b) Möglichkeiten zur Verringerung der Fehler • Vergrößerung von n → 2 +ß kleiner (Verringerung der Streuung (): Test wird genauer) · Signifikanzniveau kleiner →ß größer (da Annahmebereich größer) · Signifikanzniveau größer → ß kleiner (da Annahmebereich kleiner) Die Funktion f(p₁) = P(Xp₁ = A₂) mit W₁ € [0:1] und D₁ € [0:1] heißt Operationscharakteristik. Sie gibt in Abhängigkeit von der alternativen Trefferwahrscheinlichkeit p, die Wahrscheinlichkeit für den ß-Fehler an. Formen der Operationscharakteristik: 1) für rechtsseitigen Test gilt: f(p₁) = P(Xp₁ ≤ b) 2) für linksseitigen Test gilt: f(p₁) = P(Xp₁²a) 3) für beidseitigen Test gilt: Operationscharakteristik f(p₁)=P(asxp, <b) P₁ Eine Funktion f heißt Wahrscheinlichkeits dichte über einem Intervall I = [a; b]₁ wenn gilt: (1) f(x) = 0 für alle XEI b (2) [ frx) dx = 1 Genauso gilt bei einer Wahrscheinlichkeitsdichte P(r≤x≤s) = S S f(x) dx und die Wahrscheinlichkeitsdichte Eine Zufallsgröße X mit Werten zwischen a und b und der Wahrscheinlichkeitsdichte f besitzt den Erwartungswert μ = a b x f(x) dx . - √5²₁x-m Standardabweichung σ =- (x-μ)². f(x) dx 11 HP WP LA YM:0 . (x) = 0 012T 127.e Für den HP gilt: HP (MI) Die Gauß'sche Glockenfunktion YN₁0 (X) • ist achsensymmetrisch zu x=M hat eine Maximalstelle bei X=M • hat zwei Wendestellen bei x ±0 Außerdem gilt: Gauß'sche Glockenfunktion Yμ₁0 (x) dx = 1 Im GTR : 。norm Pdf (x₁ μ₁0)". "4 norm Cdf (a, b, μ₁0)" WP ₂ (x-μ)² 20-ª und Skizze Vorgehen. 1) HP berechnen 2) WP berechnen 3) 30-I nahe 4) Punkte verbinden. Für die WP gilt: WP (μ²o|-e²7) P(as Xsb) 6-M Гемонах 1 - Sexol) dx = [tools) ok Poin (x) dx