Stochastik

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wenn das Eintreten von A keinen Einfluss auf die wahrscheinlichkeit von 8 hat und umgekehrt, dass heißt, wenn P₁ (8) = P(8) oder PB (A)=P(A). Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt: P(ANB) P (A). P(B) (P(ANB)→ A und 8) (P (AUB)→ A oder 8) →lässt sich gut anhand einer Vierfeldertafel überprüfen Erwartungswert: Der Erwartungswert einer Zufallsvariable x gibt an, welcher Mittelwert bei oftmaliger wiederholung des Zufallsexperiments zu erwarten ist. P = x₁ 'Pi + ... XnPn Standardabweichung: Die variant und die Standardabweichung einer Zufallsgröße x erfassen die streeung der Werte um den Erwartungswert von X. 0= -√√(x₁ -μ)² - P(x = x₂) + ... + (x-µ)². P (x = ×n) Eufallsexperiment: → Mehrere Ergebnisse sind möglich, welches eintritt ist nicht vorhersehbar; es muss unter selben Bedingungen wiederholbor sein Absolute + relative Häufigkeit: €.8. würfeln: absolute Häufigkeit gibt an, wie oft welche Zahl gewürfelt wurde; die relative Häufigkeit wird in Prozent angegeben und man erhält sie, indem man die absolute Häufigkeit durch die versuchen teilt absolute H.: S» (x₂-x)² + (x₂ -Ñ )² + ... + (x₁-x)²¹ n relative H.: Häufigkeitsverteilung m relative Häufigkeit: h x = M₂₁.h₁ + m₂ n₂ + + mn・hn s=√√(₁-x)².h₁+ (M₂ − x)² · h₂ + ... + (Mn - x) ². n₁¹ stochastik BINOMIALVERTEILTE ZUFALLSGRÖSSEN BERNOULLI-EXPERIMENT Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen (Treffer und wiete) heißt Bernoulli-Experiment. Die Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet man mit p, die wahrscheinlichkeit für eine viete mit q-1-p. Die n-fache unabhängige wiederholung eines Bernoulli - Experiments heißt Bernoulli Kette der Länge n. Die Treffer wahrscheinlichkeit p bleibt dabei konstant. BINOMIALVERTEILTE ZUFALLSGRÖSSE Für die Zufallsgröße x, die die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Längen mit Treffer wahrscheinlichkeit p angibt, gilt: P(x-k)= (2).pk. (₁-p) ^-k Binomial verteilung typische Fragestellungen: genau K Treffer: P(x-K) 3 binom PDF → GTR: menu →5-5-A • höchstens k Treffer: P(xsk) weniger als K Treffer: P(x<K) · mindestens k Treffer: P (x >K) mehr als K Treffer P(x >K) mindestens k, aber höchstens K₂ Treffer: P(K, ≤x≤K ₂) p= wohrscheinlichkeit; n = Versuche ; k= Treffer Sonderfälle: ()=n; (^²-₁) = n; (0) =^ (n)=^ ; binom caf→ GTR: menu-5-5-6 10-20-30-Regel: 1.P (N-0≤x≤N+O) ~ 68,3% 2.P (N-20≤x≤N+20) = 95,4% 3. P (μ-30 ≤ x ≤ μ+30) ≈ 99,7% →GTR: nCr (n,k) Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen Durch die Längen und die Trefferwahrscheinlichkeit p sind die Binomialverteilung und ihr Graph festgelegt. →Änderung von p bei festem n Bei fester langen und wachsender Trefferwahrscheinlichkeit p wird der Erwartungswert größer. Das Maximum wandert doher nach rechts. sigmaregeln: Für eine binomial verteilte zufallsgröße x mit den Parametern nund p, dem Erwartungswert Nan⋅p und der Standardabweichung σ √n.p. (₁-P) erhält man folgende vaherungen: Erwartungswert & Standardabweichung Für eine binomial verteilte zufallsgröße x gilt: • Erwartungswert μ= n.p • Standardabweichung a= √√n.p.(1-P) → Änderung von n bei festem p Bei fester Trefferwahrscheinlichkeit p wird für größeren sowohl der Erwartungswert als auch die Streeung größer. Das Maximum verschiebt sich nach rechts und die Verteilung wird flacher und breiter. P(X=k) 0,2+ p=0,3 p=0,4 0,1+ 0 P(X-k) 0,2+ 0,1- n=15 10 festes n = 20 10 20 k festes p = 0,4 n-30 GTR: versuch mit List und Spreadsheets → binomial Pdf definieren und in Tabelle einsetzen •Befehl für Trefferanzahl: seggen (n,n,u, {0, 100}, {},^) · Befehl für Multiplikation: = treffer binom Befehl für Addition. = Sum (₁:1)