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Stochastik

13.3.2022

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Baumdiagramme:
eignet sich zur Bestimmung von wahrscheinlichkeiten
mehrstufiger bzw. zusammengesetzter Zufallsexperimente.
verzweigungsregel
Baumdiagramme:
eignet sich zur Bestimmung von wahrscheinlichkeiten
mehrstufiger bzw. zusammengesetzter Zufallsexperimente.
verzweigungsregel

Baumdiagramme: eignet sich zur Bestimmung von wahrscheinlichkeiten mehrstufiger bzw. zusammengesetzter Zufallsexperimente. verzweigungsregel Bei einem vollständigen Baumaigramm beträgt die Summe der wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem verzweigungspunkt ausgehen, stets 1. (A) Pfadregel: Die Wohrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. (2) Pfadregel: Oie wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der wahrscheinlichkeiten der Pfode, die zu diesem Ereignis gehören. stochastik Bedingte Wahrscheinlichkeit: Bei einem zufallsexperiment mit den möglichen Ereignissen A und B heißt die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt unter der voraussetzung, dass A bereits eingetreten ist. →die durch A bedingte wahrscheinlichkeit von 8 Für diese wahrscheinlichkeit gilt: PA (8) =. P(ANB) P(A) Zufallsgrößen und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung: Eine Zufallsgröße oder tufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufalls experiments eine reelle tahl eu. Die wahrscheinlichkeits- verteilung einer eufallsgröße x gibt an, mit welchen Wahr- scheinlichkeiten P₁, P₂,... Pn die Zufallsgröße die möglichen werte X₁, X₂,...,xn annimmt. WP In Tabellenform: Xi X₁ X₂ Xn P(x=x;) P₁ P₂... Po Summe der wahrscheinlichkeiten muss ergeben → Veranschaulichung kann durch ein Histogramm erfolgen HP (WP-0 M ↳ Erwartungswert faires Spiel: Das Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert gleich null ist oder der Erwartungswert der Auszahlung entspricht dem einsatz. Vierfeldertafel: → eignet sich zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten der verknüpfungen zweier Ereignisse A und 8. Aufbau einer Vierfeldertafel: A P(Ane) P(8) P(ANB) P(8) P(A) P (A) 1 A 8 P(ANB) BP(ANB) Die Randwerte ergeben sich dabei jeweils durch Summenbildung. In den Feldern können anstatt von wahrscheinlichkeiten auch absolute Häufigkeiten stehen Stochastische Unabhängigkeit: Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig,...

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wenn das Eintreten von A keinen Einfluss auf die wahrscheinlichkeit von 8 hat und umgekehrt, dass heißt, wenn P₁ (8) = P(8) oder PB (A)=P(A). Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt: P(ANB) P (A). P(B) (P(ANB)→ A und 8) (P (AUB)→ A oder 8) →lässt sich gut anhand einer Vierfeldertafel überprüfen Erwartungswert: Der Erwartungswert einer Zufallsvariable x gibt an, welcher Mittelwert bei oftmaliger wiederholung des Zufallsexperiments zu erwarten ist. P = x₁ 'Pi + ... XnPn Standardabweichung: Die variant und die Standardabweichung einer Zufallsgröße x erfassen die streeung der Werte um den Erwartungswert von X. 0= -√√(x₁ -μ)² - P(x = x₂) + ... + (x-µ)². P (x = ×n) Eufallsexperiment: → Mehrere Ergebnisse sind möglich, welches eintritt ist nicht vorhersehbar; es muss unter selben Bedingungen wiederholbor sein Absolute + relative Häufigkeit: €.8. würfeln: absolute Häufigkeit gibt an, wie oft welche Zahl gewürfelt wurde; die relative Häufigkeit wird in Prozent angegeben und man erhält sie, indem man die absolute Häufigkeit durch die versuchen teilt absolute H.: S» (x₂-x)² + (x₂ -Ñ )² + ... + (x₁-x)²¹ n relative H.: Häufigkeitsverteilung m relative Häufigkeit: h x = M₂₁.h₁ + m₂ n₂ + + mn・hn s=√√(₁-x)².h₁+ (M₂ − x)² · h₂ + ... + (Mn - x) ². n₁¹ stochastik BINOMIALVERTEILTE ZUFALLSGRÖSSEN BERNOULLI-EXPERIMENT Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen (Treffer und wiete) heißt Bernoulli-Experiment. Die Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet man mit p, die wahrscheinlichkeit für eine viete mit q-1-p. Die n-fache unabhängige wiederholung eines Bernoulli - Experiments heißt Bernoulli Kette der Länge n. Die Treffer wahrscheinlichkeit p bleibt dabei konstant. BINOMIALVERTEILTE ZUFALLSGRÖSSE Für die Zufallsgröße x, die die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Längen mit Treffer wahrscheinlichkeit p angibt, gilt: P(x-k)= (2).pk. (₁-p) ^-k Binomial verteilung typische Fragestellungen: genau K Treffer: P(x-K) 3 binom PDF → GTR: menu →5-5-A • höchstens k Treffer: P(xsk) weniger als K Treffer: P(x<K) · mindestens k Treffer: P (x >K) mehr als K Treffer P(x >K) mindestens k, aber höchstens K₂ Treffer: P(K, ≤x≤K ₂) p= wohrscheinlichkeit; n = Versuche ; k= Treffer Sonderfälle: ()=n; (^²-₁) = n; (0) =^ (n)=^ ; binom caf→ GTR: menu-5-5-6 10-20-30-Regel: 1.P (N-0≤x≤N+O) ~ 68,3% 2.P (N-20≤x≤N+20) = 95,4% 3. P (μ-30 ≤ x ≤ μ+30) ≈ 99,7% →GTR: nCr (n,k) Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen Durch die Längen und die Trefferwahrscheinlichkeit p sind die Binomialverteilung und ihr Graph festgelegt. →Änderung von p bei festem n Bei fester langen und wachsender Trefferwahrscheinlichkeit p wird der Erwartungswert größer. Das Maximum wandert doher nach rechts. sigmaregeln: Für eine binomial verteilte zufallsgröße x mit den Parametern nund p, dem Erwartungswert Nan⋅p und der Standardabweichung σ √n.p. (₁-P) erhält man folgende vaherungen: Erwartungswert & Standardabweichung Für eine binomial verteilte zufallsgröße x gilt: • Erwartungswert μ= n.p • Standardabweichung a= √√n.p.(1-P) → Änderung von n bei festem p Bei fester Trefferwahrscheinlichkeit p wird für größeren sowohl der Erwartungswert als auch die Streeung größer. Das Maximum verschiebt sich nach rechts und die Verteilung wird flacher und breiter. P(X=k) 0,2+ p=0,3 p=0,4 0,1+ 0 P(X-k) 0,2+ 0,1- n=15 10 festes n = 20 10 20 k festes p = 0,4 n-30 GTR: versuch mit List und Spreadsheets → binomial Pdf definieren und in Tabelle einsetzen •Befehl für Trefferanzahl: seggen (n,n,u, {0, 100}, {},^) · Befehl für Multiplikation: = treffer binom Befehl für Addition. = Sum (₁:1)