Binomialverteilte Zufallsgrößen und Bernoulli-Experimente
Die Binomialverteilung ist ein zentrales Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und findet Anwendung bei Zufallsexperimenten mit genau zwei möglichen Ausgängen. Diese Art von Experiment wird als Bernoulli-Experiment bezeichnet.
Definition: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen, üblicherweise als "Treffer" und "Niete" bezeichnet.
Die Trefferwahrscheinlichkeit wird mit p bezeichnet, während die Wahrscheinlichkeit für eine Niete q = 1 - p beträgt. Eine n-fache unabhängige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments wird als Bernoulli-Kette der Länge n bezeichnet, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit p konstant bleibt.
Formel: Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X, die die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p angibt, gilt: P(X = k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Diese Wahrscheinlichkeit berechnen Formel ist grundlegend für die Arbeit mit binomialverteilten Zufallsgrößen. Mit ihr lassen sich verschiedene Wahrscheinlichkeiten berechnen, wie zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer, höchstens k Treffer oder mindestens k Treffer.
Beispiel: Typische Fragestellungen bei der Binomialverteilung umfassen:
- Genau k Treffer: P(X = k)
- Höchstens k Treffer: P(X ≤ k)
- Mindestens k Treffer: P(X ≥ k)
- Zwischen k₁ und k₂ Treffer: P(k₁ ≤ X ≤ k₂)
Die Parameter n (Anzahl der Versuche) und p (Trefferwahrscheinlichkeit) haben einen entscheidenden Einfluss auf die Form der Binomialverteilung. Bei festem n und wachsender Trefferwahrscheinlichkeit p verschiebt sich das Maximum der Verteilung nach rechts, was bedeutet, dass der Erwartungswert größer wird.
Highlight: Die 68-95-99,7-Regel (auch als Sigma-Regeln bekannt) bietet eine nützliche Näherung für die Wahrscheinlichkeiten in bestimmten Intervallen um den Erwartungswert.
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X gelten folgende wichtige Formeln:
- Erwartungswert: μ = n * p
- Standardabweichung: σ = √(n * p * (1-p))
Diese Kenngrößen sind essentiell für die Analyse und Interpretation binomialverteilter Daten und bieten wertvolle Einblicke in die Eigenschaften der zugrunde liegenden Zufallsexperimente.
