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und B heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten von A keinen Einfluss auf die wahrscheinlichkeit von 8 hat und umgekehrt, dass heißt, wenn P₁ (B) = P(B) oder P (A) = P(A). Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt: P(ANB) = P(A). P(B) (P(ANB)→ A und B) (P (AUB)→ A oder B) → lässt sich gut anhand einer Vierfeldertafel überprüfen Erwartungswert: Der Erwartungswert einer Zufallsvariable x gibt an, welcher Mittelwert bei oftmaliger wiederholung des Zufallsexperiments zu erwarten ist. μ = x; ·Pi + ··· XnPn Standardabweichung: Die varianz und die Standardabweichung einer Zufallsgröße x erfassen die streeung der Werte um den Erwartungswert von X. 0 = -√√√(x₁²μ)²³. P ( x = x₂) + ... + (xn-µ)². P (x= xn) Eufallsexperiment: → Mehrere Ergebnisse sind möglich, welches eintritt ist nicht vorhersehbar; es muss unter selben Bedingungen wiederholbor sein absolute H. : Sa (x₂-x)² + Absolute + relative Häufigkeit : €.B. würfeln: absolute Häufigkeit gibt an, wie oft welche Zahl gewürfelt wurde; die relative Häufigkeit wird in Prozent angegeben und man erhält sie, indem man die absolute Häufigkeit durch die versuche n teilt (x₂) ¸-× )²+ n +(xn-x)²¹ relative H.: Häufigkeitsverteilung: m relative Häufigkeit: h x= M₁₂₁.h₁₂ + m₂ ⋅n₂ + ... + mn •hn S= (m₁-x) ². h₁ + (M₂-x) ². h₂ ++ (mn -x) ².1 stochastik BINOMIALVERTEILTE ZUFALLSGRÖSSEN BERNOULLI-EXPERIMENT Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen (Treffer und Niete) heißt Bernoulli-Experiment. Die Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet man mit pi die wahrscheinlichkeit für eine viete mit q-1-p. Die n-fache unabhängige wiederholung eines Bernoulli - Experiments heißt Bernoulli kette der Lănge n. Die Treffer wahrscheinlichkeit p bleibt dabei konstant. BINOMIALVERTEILTE ZUFALLSGRÖSSE Für die Zufallsgröße x, die die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der längen mit Trefferwahrscheinlichkeit p angibt, gilt: P (x-k)= (2).pk. (^-p) ^-k Binomialverteilung typische Fragestellungen: genau K Treffer: P(x=K) höchstens k Treffer: P(xsk) • weniger als K Treffer: P(x <K) · mindestens k Treffer: P(x >K) • mehr als K Treffer : P(x >K) mindestens k, aber höchstens K₂ Treffer: P(K, sx ≤ K₂) p= wahrscheinlichkeit i n = versuche ; k= Treffer Sonderfälle: ()=n; (^~^²-₁) = n; (0) = = A -> • Änderung von n bei festem p binom PDF → GTR : meny →5-5→A binom caf → GTR : menu →5-5-6 ; (^^)=1 sigmaregeln: S Für eine binomial verteilte zufallsgröße x mit den Parametern nund P dem Erwartungswert Nan⋅p und der Standardabweichung = √n.p. (1-P) erhält man folgende väherungen: 10-20-30-Regel: 1.P (N-0≤x≤N+O) ~ 68,3% 2.P (N-20≤x≤ μ+20) ≈ 95,4% 3. P (N-30≤x≤ µ+30) ≈ 99,7% Erwartungswert & Standardabweichung Für eine binomialverteilte Zufallsgröße x gilt: • →GTR: ncr (n₁k) ● Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen Durch die Längen und die Trefferwahrscheinlichkeit p sind die Binomialverteilung und ihr Graph festgelegt. → Änderung von p bei festem n Bei fester längen und wachsender Trefferwahrscheinlichkeit p wird der Erwartungswert größer. Das Haximum wandert daher nach rechts. Erwartungswert μ= n.p Standardabweichung σ= -√√n.p.(₁-P)² Bei fester Trefferwahrscheinlichkeit p wird für größeren sowohl der Erwartungswert als auch die Streeung größer. Das Naximum verschiebt sich nach rechts und die Verteilung wird flacher und breiter. P(X=K) 0,2+ 0,1+ 0 P(X= k) 0,2 0,1- 0 0,3 n=15 = 0,4 10 festes n = 20 10 n = 30 20 k festes p = 0,4 20 k GTR : versuch mit List und Spreadsheets → binomial Pdf definieren und in Tabelle einsetzen · Befeni für Trefferanzahl: seggen (n,n, u, {0,100}, {},^) · Befehl für Multiplikation: = treffer binom Befehl für Addition: = sum (C₁ : ₁)