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Stochastik

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WAHRSCHEINLICHKEITEN BERECHNEN
Definition: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung legt die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse fest.

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Zusammenfassung Stochastik inkl. Binomialverteilung

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Stochastik WAHRSCHEINLICHKEITEN BERECHNEN Definition: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung legt die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse fest. Dabei gilt: 1. Die Wahrscheinlichkeit fürein einzelnes Ergebnis ist größer oder gleich null. 2. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ergibt 1 loder 100%) Satz (Wahrscheinlichkeiten in Baumdiagrammen bestimmen, Pfodregeln): Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des dazugehörigen Pfades multipliziert (Produktregal) Die Wahrscheinlichkeit PLE) eines Ereignisses Ecrhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert (Summenregel) BINOMIALVERTEILUNG Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen heißt Bernoulli-Experiment. Wenn man ein Bernoulli-Experiment n-mal wiederholt, sodass die Durchführungen voneinander unabhängig sind, erhält man eine Bernoulli -Kette der Länge n. Wenn sich eine Zufallsgrößex als Trefferanzanı bei einer Bernoullikette der Längen und Trefferwahrscheinlichkeit p beschreiben lässt, dann heißt die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Die Wahrscheinlichkeit für genauk Treffer berechnet man mit der Formel van Bernoulli. P(x = k) = (2).pk. (1-pin-h (für k-0,1,2...., n)→→binomial pdf Bei binomialverteilten Zufallsgrößen treten drei Parameter auf: Diese Wahrscheinlichkeit wird auch mit Brplk) bezeichnet -die Anzanı der versuchen, P(x≤k)=P(x =0)+P(x = 1) +...+ P(x=k) heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit. binomialcaf Der Erwartungswert von x ist μ=n⋅p Die Standardabweichung von x ist o=Th.p.(1-P) -die Trefferwahrscheinlichkeit p und -die Trefferanzanı k Stochastik Wenn die Binomialverteilung als Histogramm vorliegt, kann man den Erwartungswert anhand des Diagramms ungefähr ablesen und verteilungen mit größerer und kleinerer Standardabweichung unterscheiden. 0,15+ 0,1+ 0,05+ 0 P(X=K)...

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n=30; p = 0,5 10 15 20 25 0,3+ 0,2+ 0,1+ links P(X=k) n=10; p= 0,8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 GRAFISCHE INTERPRETATION: ist der Erwartungswert der Binomialvertailung ganzzanlig, dann befindet sich der Erwartungswert an der Stelle mit der höchsten Säule. Ist der Erwartungswert nicht ganzzahlig, befindet sich die nächste Säuleauf einer cler benachbarten zanien. Je größer die Standardabweichung desto breiter" die Verteilung. Ablehnungsbereich linkes Schaubild: M= ELX) = 300,5=15 und 0 =130·0,5 0,5¹ ≈2,74 rechtes Schaubild : µ=E(x) = 10·0,8-8 und 0=110·0,8-0,2¹ ≈ 1, 26 EINSEITIGER HYPOTHESENT EST bei einem einseitigen Hypothesentest/signifikanztest werden zwei Hypothesen aufgestellt: Null hypothese Ho Alternativhypothese H₂ Der Ablehnungsbereich →→→ Alternativhypothese ist richtig) Die Menge aller Werte, bei denen die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, ist der Annahmebereich des Tests. gibt die Menge aller Werte an, bei denen die Nullhypothese abgelehnt wird Ablehnungsbereich rechts Aufstellen der Entscheidungsregel bei einem rechtsseitigen Hypothesentest Nullhypothese. Ho: P≤ Po oder Hop=po Alternativnypothese: H₂ :p> po P(x g)≤x bzw P(x≤g-1) ≥ 1-x Stochastik Aufstellen der Entscheidungsregel bei einem linksseitigen Hypothesen test Nullhypothese: Ho: p² po oder Ho p=Po Alternativnypothese: H₂₁.p< Po P(x≤g) ≤x ZHEISEITIGER HYPOTHESENTEST Man testet die Nullhypothese Ho'p=po gegen die Alternative H. P* po. Man überprüft also, ob die Annahme, dass die Treffer wahrscheinlichkeit genau po ist, bezweifelt werden muss. Dementsprechend ist der Ablehnungsbereich nier zweiseitig, weil sowohl sehr kleine als auch sehr große Stichprobenergebnisse gegen Ho sprechen. T T 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 zweigeteilter Ablehnungsbereich Stichprobenumfang n und Signifikanzniveau α werden festgelegt. Nullhypothese Ho: P = Po Alternative H₁: p * Po Die Zufallsgröße X ist bei wahrem Ho binomialverteilt mit den Parametern n und Po. Ablehnungsbereich: {0; ...; g₁) und (g₂; ...; n}, wobei 81 die größtmögliche natürliche Zahl mit P(X ≤ g₁) < und g₂ die kleinstmögliche natürliche Zahl mit P(X z g₂) = 1- P(X ≤ 82 - 1) ≤ ist. V Man führt eine Stichprobe vom Umfang n durch. Entscheidungsregel: Wenn das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich liegt, wird H, verworfen. Ansonsten wird H, nicht verworfen. Aufstellen der Entscheidungsregel bei einem rechtsseitigen Hypothesentest Nullhypothese. Ho: P≤ Po oder Hop=Po Alternativnypothese: H₂ :p> po P(x=g) ≤ bzw P(x≤g-1) > 1x Aufstellen der Entscheidungsregel bei einem linksseitigen Hypothesen test Nullhypothese: Ho: pa po oder Ho: p=po H₁ .p<Po Alternativhypothese: P(x≤g) ≤x

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n=30; p = 0,5 10 15 20 25 0,3+ 0,2+ 0,1+ links P(X=k) n=10; p= 0,8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 GRAFISCHE INTERPRETATION: ist der Erwartungswert der Binomialvertailung ganzzanlig, dann befindet sich der Erwartungswert an der Stelle mit der höchsten Säule. Ist der Erwartungswert nicht ganzzahlig, befindet sich die nächste Säuleauf einer cler benachbarten zanien. Je größer die Standardabweichung desto breiter" die Verteilung. Ablehnungsbereich linkes Schaubild: M= ELX) = 300,5=15 und 0 =130·0,5 0,5¹ ≈2,74 rechtes Schaubild : µ=E(x) = 10·0,8-8 und 0=110·0,8-0,2¹ ≈ 1, 26 EINSEITIGER HYPOTHESENT EST bei einem einseitigen Hypothesentest/signifikanztest werden zwei Hypothesen aufgestellt: Null hypothese Ho Alternativhypothese H₂ Der Ablehnungsbereich →→→ Alternativhypothese ist richtig) Die Menge aller Werte, bei denen die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, ist der Annahmebereich des Tests. gibt die Menge aller Werte an, bei denen die Nullhypothese abgelehnt wird Ablehnungsbereich rechts Aufstellen der Entscheidungsregel bei einem rechtsseitigen Hypothesentest Nullhypothese. Ho: P≤ Po oder Hop=po Alternativnypothese: H₂ :p> po P(x g)≤x bzw P(x≤g-1) ≥ 1-x Stochastik Aufstellen der Entscheidungsregel bei einem linksseitigen Hypothesen test Nullhypothese: Ho: p² po oder Ho p=Po Alternativnypothese: H₂₁.p< Po P(x≤g) ≤x ZHEISEITIGER HYPOTHESENTEST Man testet die Nullhypothese Ho'p=po gegen die Alternative H. P* po. Man überprüft also, ob die Annahme, dass die Treffer wahrscheinlichkeit genau po ist, bezweifelt werden muss. Dementsprechend ist der Ablehnungsbereich nier zweiseitig, weil sowohl sehr kleine als auch sehr große Stichprobenergebnisse gegen Ho sprechen. T T 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 zweigeteilter Ablehnungsbereich Stichprobenumfang n und Signifikanzniveau α werden festgelegt. Nullhypothese Ho: P = Po Alternative H₁: p * Po Die Zufallsgröße X ist bei wahrem Ho binomialverteilt mit den Parametern n und Po. Ablehnungsbereich: {0; ...; g₁) und (g₂; ...; n}, wobei 81 die größtmögliche natürliche Zahl mit P(X ≤ g₁) < und g₂ die kleinstmögliche natürliche Zahl mit P(X z g₂) = 1- P(X ≤ 82 - 1) ≤ ist. V Man führt eine Stichprobe vom Umfang n durch. Entscheidungsregel: Wenn das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich liegt, wird H, verworfen. Ansonsten wird H, nicht verworfen. Aufstellen der Entscheidungsregel bei einem rechtsseitigen Hypothesentest Nullhypothese. Ho: P≤ Po oder Hop=Po Alternativnypothese: H₂ :p> po P(x=g) ≤ bzw P(x≤g-1) > 1x Aufstellen der Entscheidungsregel bei einem linksseitigen Hypothesen test Nullhypothese: Ho: pa po oder Ho: p=po H₁ .p<Po Alternativhypothese: P(x≤g) ≤x