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Einfach erklärt: Bernoulli-Experimente und Bedingte Wahrscheinlichkeit

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Einfach erklärt: Bernoulli-Experimente und Bedingte Wahrscheinlichkeit

Lara Haase

@larahaase_9a01fa

7 Follower

Die Präsentation behandelt Bernoulli-Experimente und die Binomialverteilung in der Stochastik. Sie erklärt die Bedingungen für Bernoulli-Experimente, die Bernoulli-Formel und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner. Wichtige Konzepte wie bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafeln und die Sigma-Regel werden erläutert.

Bernoulli-Experimente haben nur zwei mögliche Ausgänge und gleichbleibende Wahrscheinlichkeiten
Die Binomialverteilung wird zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrfachen Durchführungen verwendet
Bedingte Wahrscheinlichkeiten beschreiben die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter einer bestimmten Bedingung
Die Sigma-Regel ermöglicht Aussagen über die Wahrscheinlichkeit von Abweichungen vom Erwartungswert

29.9.2021

3325

Stochastik
Bernoulli-Experimente
(2) p² . q
BS. Erklärung
C
Wann handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment?
Die Wahrscheinlichkeit bleibt

Größen bestimmen bei Bernoulli-Experimenten

Diese letzte Seite beginnt mit der Erklärung, wie man verschiedene Größen bei Bernoulli-Experimenten bestimmen kann.

Es wird erwähnt, dass bei Bernoulli-Experimenten neben der binomialverteilten Zufallsgröße X (die die Anzahl der Erfolge zählt) vier verschiedene Kenngrößen wichtig sind.

Highlight: Die Bestimmung von p (Erfolgswahrscheinlichkeit) wird als besonders wichtig hervorgehoben.

Leider bricht die Seite hier ab, sodass die vollständige Erklärung zur Bestimmung von p nicht gegeben wird.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Diese Seite führt das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit ein und erklärt, wie man sie erkennt und berechnet.

Definition: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis K eintritt, wenn das Ereignis R bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von K unter der Bedingung R und wird mit P(K|R) bezeichnet.

Die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit lautet:

Formula: P(K|R) = P(R∩K) / P(R)

Die Seite zeigt, wie man bedingte Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm darstellt und berechnet. Es wird ein Beispiel mit zwei Stufen (Farbe und Material) gegeben.

Example: In einem Baumdiagramm mit roten (R) und blauen (B) Kugeln aus Holz (H) oder Kunststoff (K) wird P(K|R) = 0,3 berechnet.

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Bemerkungen zur Sigma-Regel

Diese Seite enthält wichtige Bemerkungen zur Anwendung der Sigma-Regel.

Es wird darauf hingewiesen, dass eine Wahrscheinlichkeit nur bis 1 gehen kann. Außerdem wird erklärt, wie man mit ungeraden Zahlen beim Erwartungswert umgeht.

Highlight: Bei ungeraden Zahlen wird zum Erwartungswert gerundet.

Die Seite zeigt auch grafisch, wie signifikante Abweichungen vom Erwartungswert aussehen können.

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Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung

Diese Seite führt in die Grundlagen der Bernoulli-Experimente und der Binomialverteilung ein. Es werden die Bedingungen für ein Bernoulli-Experiment erläutert und wichtige Begriffe definiert.

Ein Bernoulli-Experiment liegt vor, wenn:

Die Wahrscheinlichkeit bei jeder Wiederholung gleich bleibt
Es nur zwei mögliche Ereignisse gibt (Ereignis und Gegenereignis)

Vocabulary:

p: Erfolgswahrscheinlichkeit

q: Misserfolgswahrscheinlichkeit

n: Anzahl der Durchführungen

k: Anzahl der Erfolge bei n-maligen Durchführungen

P: Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Seite erklärt auch den Unterschied zwischen binomPdf und binomCdf bei der Verwendung eines Taschenrechners für Berechnungen zur Binomialverteilung.

Highlight: Bei der Verwendung von "größer als" oder "kleiner als" in Aufgabenstellungen muss die Formulierung oft angepasst werden, um binomCdf korrekt anwenden zu können.

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Binomialkoeffizient und GTR-Berechnungen

Diese Seite behandelt den Binomialkoeffizienten und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit einem Grafikrechner (GTR) bei der Binomialverteilung.

Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der möglichen Pfade bei k Erfolgen an und wird wie folgt berechnet:

Formula: (n k) = n! / (k! * (n-k)!)

Die Seite zeigt verschiedene Ereignistypen und ihre Berechnungen, wie z.B. "genau k Erfolge", "höchstens k Erfolge" oder "mindestens k Erfolge".

Example: Für die Berechnung von P(X=7) bei einer Binomialverteilung mit n=10 und p=0,5 verwendet man: binomPdf(10, 0.5, 7)

Für die Berechnung mit dem GTR werden die Funktionen binomPdf und binomCdf erklärt, sowie die entsprechenden Eingaben für verschiedene Wahrscheinlichkeitsberechnungen.

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Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Diese Seite erklärt die Verwendung einer Vierfeldertafel zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten.

Eine Vierfeldertafel stellt die Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten von zwei Merkmalen mit jeweils zwei Ausprägungen dar. Sie kann sowohl mit absoluten Zahlen als auch mit relativen Häufigkeiten (Wahrscheinlichkeiten) gefüllt werden.

Example: In einer Vierfeldertafel für rote und blaue Kugeln aus Holz oder Kunststoff wird P(K|R) wie folgt berechnet: P(K|R) = P(R∩K) / P(R) = 0,12 / 0,40 = 0,3

Die Seite betont, dass man bei der Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten sowohl mit absoluten Zahlen als auch mit Wahrscheinlichkeiten rechnen kann.

Highlight: Die Vierfeldertafel ist besonders nützlich, wenn keine explizite Bedingung in der Aufgabenstellung vorhanden ist.

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Die Sigma-Regel

Diese Seite erklärt die Sigma-Regel für binomialverteilte Zufallsvariablen.

Definition: Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ gelten bestimmte Wahrscheinlichkeitsregeln, sofern np(1-p) > 9.

Die Seite gibt Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung:

Formula: Erwartungswert: μ = E(X) = n * p Standardabweichung: σ = √(n * p * (1-p))

Es werden verschiedene σ-Regeln vorgestellt, wie die 1σ-, 2σ- und 3σ-Regel, sowie Regeln für bestimmte Sicherheitswahrscheinlichkeiten (90%, 95%, 99%).

Example: Bei einer Bernoulli-Kette der Länge 400 mit p=0,4 wird das 2σ-Intervall berechnet: (141; 179) mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5%.

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Es wird erwähnt, dass bei Bernoulli-Experimenten neben der binomialverteilten Zufallsgröße X (die die Anzahl der Erfolge zählt) vier verschiedene Kenngrößen wichtig sind.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Definition: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis K eintritt, wenn das Ereignis R bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von K unter der Bedingung R und wird mit P(K|R) bezeichnet.

Die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit lautet:

Formula: P(K|R) = P(R∩K) / P(R)

Die Seite zeigt, wie man bedingte Wahrscheinlichkeiten in einem Baumdiagramm darstellt und berechnet. Es wird ein Beispiel mit zwei Stufen (Farbe und Material) gegeben.

Example: In einem Baumdiagramm mit roten (R) und blauen (B) Kugeln aus Holz (H) oder Kunststoff (K) wird P(K|R) = 0,3 berechnet.

Bemerkungen zur Sigma-Regel

Diese Seite enthält wichtige Bemerkungen zur Anwendung der Sigma-Regel.

Es wird darauf hingewiesen, dass eine Wahrscheinlichkeit nur bis 1 gehen kann. Außerdem wird erklärt, wie man mit ungeraden Zahlen beim Erwartungswert umgeht.

Highlight: Bei ungeraden Zahlen wird zum Erwartungswert gerundet.

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Vocabulary:

p: Erfolgswahrscheinlichkeit

q: Misserfolgswahrscheinlichkeit

n: Anzahl der Durchführungen

k: Anzahl der Erfolge bei n-maligen Durchführungen

P: Gesamtwahrscheinlichkeit

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Example: Für die Berechnung von P(X=7) bei einer Binomialverteilung mit n=10 und p=0,5 verwendet man: binomPdf(10, 0.5, 7)

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Formula: Erwartungswert: μ = E(X) = n * p Standardabweichung: σ = √(n * p * (1-p))

Es werden verschiedene σ-Regeln vorgestellt, wie die 1σ-, 2σ- und 3σ-Regel, sowie Regeln für bestimmte Sicherheitswahrscheinlichkeiten (90%, 95%, 99%).

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