Stochastik

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bedingte Wahrscheinlichkeiten? 4 Elemente sind dafor natig Es sind und Ereignisse. worum gentes? Bedingte w. P(k)=P(ROK) P(R) Erste Stufe: Farbe P(R) = 0,40 Bedingte Wahrscheinlichkeit Berechnung Bedingung P(R)=0,40 P(B)=0,60 Berechnung der bedingten W. Zeichne R B R Zweite Stufe: Material PR(K)= 0,3 PR(H)=0,70 PR(K)=0,30 Bedingte w Pg(H) = 0,67 Baumdiagramm H P(ROH)=0,28 K P(ROK)= 0,12 H P(B. 0,40 Definition Für die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses K unter der Bedin- 6.7 gung R gilt: P(K) = P(ROK) P(R) Pg(K)=0.33 K P(BOK)=0,20 P(ROK)=0,40 0,3 = 0,12 P(H)=0,68 P(K)=0,32 H_PH(R)=0,41 K PH(B)=0,59 P(R)=0,38 Px(B) = 0,62 R P(RH) = 0,28 B P(BH)=0,40 R P(ROK)=0,12 B P(BOK)=0,20 rot blau rot blau Summe Absolute z. Holz Kunststoff 7 3 5 8 Holz P(ROH) P(ROK) P(R) P(BOH) P(BOK) P(B) P(H) P(K) 1 PR(K) Die Vierfeldertafel 10 17 = Bedingte Kunststoff worum gentes? Summe 10 15 25 PR(K) Anzahl der roten Kugeln, die aus Kunststoff sind Anzahl aller roten Kugeln Sie können ebenso gut mit den Wahrscheinlichkeiten rechnen. P(Kugel ist rot und aus Kunststoff) 0,12 P(Kugel ist rot) Pe(k)=P(Rnk) P(R) Relativez. Holz Kunststoff 0,28 0,4 0,68 rot blau Diese Zahlen, 25 = 7 = = 0,3 0,40 130 = 0,3 0,12 0,2 0,32 0,4 0,6 1 Definition Für die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses K unter der Bedin- 6.7 gung R gilt: P(K) = P(ROK) P(R) Sie wird verwendet, wenn keine Bedingung vorhanden ist. Die Sigma-Regel Definition X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert und standardabweichung 6. Was brauche ich dafür? Liegt eine Bernoulli-Kette der Längen vor mit der Treffer wahrscheinlichkeit p, so gilt: Erwartungswert M = E(X)=n·P standardabweichung 6=√√n.p.(1-P). 6-Regeln o-Regeln Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit der Standardabweichung o gelten die folgenden Regeln, sofern np.q>9 gilt: Lo-Regel: P(u-os X≤u+a)=P(|X-|≤ a) = 0.680 20-Regel: P(u-20≤x≤u+20)=P(|X-≤20) = 0,955 30-Regel: P(u-30SXSμ+30)=P(|X-u≤30)=0,997 Mit glatten Werten für die Sicherheitswahrscheinlichkeit: 90%-Regel: P(u-1,64 osXsu+1,64 0) 0,90 95%-Regel: P(u-1,96-osXsu+1,96 - 0) = 0,95 99%-Regel: P(u-2.58 0≤x≤u+ 2,58 0) = 0.99 ·Bemoulli-Kette der Länge 400 0=400 Anzahl der Treffer -x Gesucht 2-0. Umgebung. G M = 400·0₁4-160 15-√400.0/4.11-9,41 = 9,798 ≤x≤ 2-6-Intervall (Umgebung (141;179) wansoneinlichkeit. 76,4 Beispiel-Aufgabe 2-6-Regel P1160-2·9,798 ≤X=160+2·9,798) 14A 179 q=1-p Die Schreibweisen aus dem Buch und aus der Formelsammlung sind etwas verwirrend, deshalb die Er- läuterung auf der nächsten Seite. Bei ungeraden Zahlen wird wird zum Erwartungswert gerundet Bemerkungen Eine Warscheinlichkeit kann nur bis A gehen. Wenn (s) der Strich (-) night da ist, dann genährt die Zani nicht dazu. Signifikantabweichen M-26. M 2 3 o M+26 10 S Alaweichen tun -6,7,8,9,10 Größen bestimmen Bei Bernoulli-Experimenten sind außer der binomialverteilten Zufallsgröße x Idie die Anzahl der Erfolge zâhit) vier verschiedene Kenngrößen wichtig.. inip und Bestimmung von P Definition PIX=K) ist die wahrscheinlichkeit, dass man nach n Wiederholungen genau k Erfolge hat. geginikip ges: P 1. Bestimmung von P Bemoulli X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit n = 35 p=0,25 gesucht: (1) P(genau 12 Erfolge) - P(X-12). (2) P(mindestens 7 Erfolge) - P(7 s X) = P(X z 7) - P(7 s X s 35) Rechnung: (1) P(X= 12) binomPdf (35,0.25, 12) = 0,066541 (GTR) (2) P(7 s X) binomCdf(3 0,808022 1. Bestimmung von P im Sachkontext Ein Glücksrad hat 10 gleich große Felder, von denen drei rot gefärbt sind. Das Rad wird 6-mal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 1. ein rotes Feld getroffen wird, 2. mehr als drei rote Felder getroffen werden X: Anzahl der roten Felder, n = 6 p = 0,3 1. P(ein rotes Feld) = P(X= 1)= binomPdf (6,0.3,1)= 0,302526 2. P(mehr als drei rote Felder) = P(4 ≤ X) = binomCdf (6,0.3,4,6)= 0,07047 wird? Wann erkenne ich das? Wie groß ist die wahrscheinlichkeit P förk Erfolge, wenn das Experiment, das die Erfolgs wahrscheinlichkeit p hat, n-mal wiederholt (klein) Bestimmung von p™ Definition pist die Erfolgswahrscheinlichkeit (d.n die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von Erfolg bei einmaligem Durchfohren des Experiments) дед: пікір ges:p Bestimmung von p X ist binomialverteilt mit n = 50 Frage: Wie groß darf die Erfolgswahrscheinlichkeit p höchstens sein, damit die Wahrscheinlichkeit höchstens 12 Erfolge zu erzielen mindestens 70% beträgt. gegeben: n = 50 gesucht: p mit P(X ≤ 12) ≥ 0,7 Graphische Bestimmung des Wertes mit dem GTR: ► Öffne ein Graphen-Fenster ▶ Definiere f₁(x) = binomCdf (50,x,0, 12) ▶ Passe die Fenstereinstellungen an: (p wird als Variable x aufgefasst) ) XMin: -0.1 XMax = 1.2. Definiere f₂(x) = 0.7 Opd che ▶ Bestimme den Schnittpunkt der beiden Graphen (Menü 6-4, Schranken festlegen) Grapn analysieren ► Ergebnis: (0.221,0.7) also: Ymin: -0,2; Ymax: 1,2 weniger p ≤ 0,221 X Bestimmung von p im Sachkontext Bei der industriellen Produktion lassen sich Fehler nicht vermeiden. Die Quote p fehlerhafter Stücke sollte aber klein sein. Frage: Wie groß darf die Fehlerquote p höchstens sein, damit bei einer Stichprobe vom Umfang 100 mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkeit 10 oder weniger defekte Teile auftreten? gesucht: P mit P(X ≤ 10) ≥ 0,8 = 100 GTR: f₁(x) = binomCdf (100,x,0,10), f₂(x) = 0,8 Schnittpunkt von f₁ und f₂: (0,082 10,8) also: p ≤ 0,082 Die Fehlerquote darf den Wert von 8,2 % nicht übersteigen. 1.1 1.21 *Dok fix)-binom Cdf(50,x,0,12) (0.221,0.7) RADX 12(x)-0.7 Wann erkenne ich das? wie groß muss die Erfolgswahrscheinlichkeit p sein, damit man nach n wiederholungen k Erfolge mit der wahrscheinlichkeit Phat? Definition Wie oft muss das Experiment mindestens wiederholt werden, wenn die wahrscheinlichkeit Pfürk Erfolge und Erfolgswahrscheinlichkeit P gegeben ist. дед Рікір gegeben: p = 0,15 gesucht: 2. Bestimmung von n bei genau k Erfolgen X ist binomialverteilt mit Trefferwahrscheinlichkeit (- Erfolgswahrscheinlichkeit) p = 15 % - 0,15 Frage: Wie oft muss das Experiment mindestens wiederholt werden, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 10% genau 12 Erfolge hat? n mit P(X= 12) ≥ 0,1 Bestimmung von n Rechnung: Systematisches Probieren mit dem GTR: hier mit binomPdf Setze für n verschiedene Werte ein, bis der gesuchte Wert für P erreicht ist: n = 66: P(X= 12) = binomPdf (66,0.15,12)≈ 0,098613 (dieser Wert ist noch zu klein) P(X= 12) = binomPdf (67,0.15, 12) = 0,10211 ≥ 0,1 n = 67: d.h. das Experiment muss mindestens 67-mal wiederholt werden. gesin 2. Bestimmung von n bei mindestens k Erfolgen X ist binomialverteilt mit Trefferwahrscheinlichkeit (- Erfolgswahrscheinlichkeit) p = 15% -0,15 Frage: Wie oft muss das Experiment mindestens wiederholt werden, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 10% mindestens 12 Erfolge hat? gegeben: p=0,15 gesucht: n mit P(X z 12) ≥ 0,1 Rechnung: Systematisches Probieren mit dem GTR: hier mit binomCdf Setze für n verschiedene Werte ein, bis der gesuchte Wert für P erreicht ist: gegeben: p = 0,04 gesucht: n n = 53: P(X > 12) = binomCdf (53,0.15,12,53) 0,090669 (dieser Wert ist noch zu klein) n = 54: P(X2 12) = binomCdf (54,0.15,12,54) = 0,101403 > 0,1 d.h. das Experiment muss mindestens 54-mal wiederholt werden. mit P(X ≥ 5) 2 0,9 { Systematisches Probieren 2. Bestimmung von n im Sachkontext 4% der männlichen Bevölkerung haben eine rot-grün-Schwäche. Wie groß muss eine Gruppe von Männern mindestens sein, damit mit mindestens 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit mindestens fünf aus der Gruppe farbenblind sind? Genau P(X=1) for Mindester P(X=12). -Systematisches Probieren Rechnung: Systematisches Probieren mit dem GTR: hier mit binomCdf Setze für n verschiedene Werte ein, bis der gesuchte Wert für P erreicht ist: n = 197: P(X z 5) = binomCdf (197,0.04,5,197) 0,898043 (dieser Wert ist noch zu klein) n = 198: P(X z 5) = binomCdf (198,0.25,5,198) 0,900403 ≥ 0,9 d.h. die Gruppe muss aus mindestens 198 Männern bestehen. Sachkont Systematische Probieren }³ Mittelwert und standardabweichung bei statis Notel 1 2 3 Anzani 2 8 10 Abw 2 ^ O 6= (6= Anzani. (Abw) ²) S 3 X₁M = Mittelwert 1·2+2·8+3·10+4·3+5·3+6! 27 2.2² +8.A²+ A0·0² + 3.A² +3.2² +1.3² 27 123 ^ Note Note 2 Note 3 Note4 Notes Noteb 1-3= 2 | 2-3=^|3-3=Q|3-2=1 | 3-1= 2|6-3= 3 2.√300 = = 1, 22 27 3