Binomialkoeffizient und Wahrscheinlichkeitsberechnung

Der Binomialkoeffizient (n über k) ist ein zentrales Element bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Bernoulli-Kette. Die Formel lautet:

Formel: (n über k) = n! / (k! * (n-k)!)

Bei der Binomialverteilung unterscheiden wir verschiedene Arten von Ereignissen:

• Genau k Erfolge
• Höchstens k Erfolge
• Mindestens k Erfolge
• Mehr als k Erfolge
• Weniger als k Erfolge

Für die Berechnung mit dem Taschenrechner (Binomialverteilung p gesucht) verwendet man:

• P(X=k) mit binomPdf
• P(X≤k) mit binomCdf
• P(a≤X≤b) mit binomCdf

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Experimenten

Die Bernoulli Wahrscheinlichkeit lässt sich für verschiedene Ereignisse berechnen. Dabei unterscheidet man zwischen der Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge und mindestens k Erfolge.

Highlight: Bei der Binomialverteilung p gesucht muss zwischen punktueller und kumulierter Wahrscheinlichkeit unterschieden werden.

Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten gibt es zwei zentrale Formeln:

• P(X=k): Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge
• P(X≥k): Wahrscheinlichkeit für mindestens k Erfolge

Beispiel: Ein Glücksrad mit 3 roten von 10 Feldern wird 6-mal gedreht:

• P(X=1) = binomPdf(6; 0,3; 1) ≈ 0,303
• P(X≥4) = binomCdf(6; 0,3; 4; 6) ≈ 0,070

Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit p

Bei der Binomialverteilung p gesucht wird die Erfolgswahrscheinlichkeit p gesucht, wenn andere Parameter bekannt sind. Dies erfordert oft eine graphische oder numerische Lösung.

Definition: Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei einmaliger Durchführung des Experiments.

Die Bestimmung erfolgt meist durch:

1. Aufstellen einer Gleichung mit der Bernoulli Formel
2. Graphische Lösung mittels Technologie
3. Systematisches Probieren

Beispiel: Bei n=50 Versuchen soll P(X≤12) ≥ 0,7 gelten:

• f₁(x) = binomCdf(50,x,0,12)
• f₂(x) = 0,7
• Schnittpunkt ergibt p ≤ 0,221

Standardabweichung und Mittelwert in der Statistik

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit und statistische Berechnungen sind fundamentale Konzepte in der Mathematik. Der Mittelwert und die Standardabweichung sind dabei zwei zentrale Größen, die uns helfen, Datensätze zu analysieren und zu interpretieren.

Definition: Der Mittelwert (arithmetisches Mittel) ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Die Standardabweichung misst die durchschnittliche Abweichung der Einzelwerte vom Mittelwert.

Bei der Berechnung des Mittelwerts von Schulnoten betrachten wir zunächst die Häufigkeitsverteilung. In unserem Beispiel haben wir folgende Notenverteilung: Note 1 (2-mal), Note 2 (8-mal), Note 3 (10-mal), Note 4 (3-mal), Note 5 (3-mal) und Note 6 (1-mal). Der Mittelwert berechnet sich durch die Summe der Produkte aus Noten und ihrer Häufigkeit, geteilt durch die Gesamtanzahl der Noten.

Die Standardabweichung erfordert mehrere Rechenschritte. Zuerst ermitteln wir die Abweichungen jeder Note vom Mittelwert, quadrieren diese und multiplizieren sie mit der jeweiligen Häufigkeit. Die Summe dieser Produkte wird durch die Gesamtanzahl geteilt und daraus die Wurzel gezogen. In unserem Fall ergibt sich eine Standardabweichung von 1,22, was eine moderate Streuung der Noten um den Mittelwert anzeigt.

Beispiel: Bei 27 Schülern mit Noten von 1 bis 6 berechnen wir:

• Mittelwert = (1·2 + 2·8 + 3·10 + 4·3 + 5·3 + 6·1) ÷ 27 = 3
• Standardabweichung = √[(Summe der quadrierten Abweichungen) ÷ 27] = 1,22