Standardabweichung und Mittelwert in der Statistik
Die Bedingte Wahrscheinlichkeit und statistische Berechnungen sind fundamentale Konzepte in der Mathematik. Der Mittelwert und die Standardabweichung sind dabei zwei zentrale Größen, die uns helfen, Datensätze zu analysieren und zu interpretieren.
Definition: Der Mittelwert arithmetischesMittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Die Standardabweichung misst die durchschnittliche Abweichung der Einzelwerte vom Mittelwert.
Bei der Berechnung des Mittelwerts von Schulnoten betrachten wir zunächst die Häufigkeitsverteilung. In unserem Beispiel haben wir folgende Notenverteilung: Note 1 2−mal, Note 2 8−mal, Note 3 10−mal, Note 4 3−mal, Note 5 3−mal und Note 6 1−mal. Der Mittelwert berechnet sich durch die Summe der Produkte aus Noten und ihrer Häufigkeit, geteilt durch die Gesamtanzahl der Noten.
Die Standardabweichung erfordert mehrere Rechenschritte. Zuerst ermitteln wir die Abweichungen jeder Note vom Mittelwert, quadrieren diese und multiplizieren sie mit der jeweiligen Häufigkeit. Die Summe dieser Produkte wird durch die Gesamtanzahl geteilt und daraus die Wurzel gezogen. In unserem Fall ergibt sich eine Standardabweichung von 1,22, was eine moderate Streuung der Noten um den Mittelwert anzeigt.
Beispiel: Bei 27 Schülern mit Noten von 1 bis 6 berechnen wir:
- Mittelwert = 1⋅2+2⋅8+3⋅10+4⋅3+5⋅3+6⋅1 ÷ 27 = 3
- Standardabweichung = √(SummederquadriertenAbweichungen)÷27 = 1,22