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5.966

29. Sept. 2021

10 Seiten

Alles über Bernoulli-Experimente: Beispiele, Formeln und Bedingungen einfach erklärt

L

Lara Haase

@larahaase_9a01fa

Die Bernoulli-Experiment Bedingungen und Bernoulli Wahrscheinlichkeitbilden die Grundlage für... Mehr anzeigen

Stochastik
Bernoulli-Experimente
(2) p² . q
BS. Erklärung
C
Wann handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment?
Die Wahrscheinlichkeit bleibt

Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung

Die Bernoulli-Experiment Bedingungen sind fundamental für das Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ein Bernoulli-Experiment zeichnet sich durch zwei wesentliche Eigenschaften aus: Es gibt nur zwei mögliche Ausgänge ErfolgoderMisserfolgErfolg oder Misserfolg, und die Wahrscheinlichkeit bleibt bei jeder Wiederholung konstant.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment liegt vor, wenn:

  • Nur zwei mögliche Ereignisse existieren
  • Die Erfolgswahrscheinlichkeit p bei jeder Durchführung gleich bleibt
  • Die einzelnen Durchführungen voneinander unabhängig sind

Die Bernoulli Formel zur Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit lautet P = p^k * q^nkn-k, wobei p die Erfolgswahrscheinlichkeit, q die Misserfolgswahrscheinlichkeit 1p1-p, n die Anzahl der Durchführungen und k die Anzahl der Erfolge darstellt. Diese Formel ist essentiell für die Bernoulli-Experiment Binomialverteilung.

Bei der praktischen Anwendung, besonders bei Bernoulli-Experiment Beispielaufgaben, ist die Verwendung eines Taschenrechners oft hilfreich. Die Binomialverteilung GTR Casio ermöglicht dabei verschiedene Berechnungen:

  • binomPdf für einzelne Wahrscheinlichkeiten
  • binomCdf für kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Stochastik
Bernoulli-Experimente
(2) p² . q
BS. Erklärung
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Wann handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment?
Die Wahrscheinlichkeit bleibt

Binomialkoeffizient und Wahrscheinlichkeitsberechnung

Der Binomialkoeffizient nu¨berkn über k ist ein zentrales Element bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Bernoulli-Kette. Die Formel lautet:

Formel: nu¨berkn über k = n! / k!(nkk! * (n-k!)

Bei der Binomialverteilung unterscheiden wir verschiedene Arten von Ereignissen:

  • Genau k Erfolge
  • Höchstens k Erfolge
  • Mindestens k Erfolge
  • Mehr als k Erfolge
  • Weniger als k Erfolge

Für die Berechnung mit dem Taschenrechner BinomialverteilungpgesuchtBinomialverteilung p gesucht verwendet man:

  • PX=kX=k mit binomPdf
  • PXkX≤k mit binomCdf
  • PaXba≤X≤b mit binomCdf
Stochastik
Bernoulli-Experimente
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Die Wahrscheinlichkeit bleibt

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses K unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis R bereits eingetreten ist.

Definition: Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Formel lautet: PKRK|R = PRKR∩K / PRR

Bei Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispielaufgaben ist die Darstellung in einem Bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm besonders hilfreich. Diese visualisiert die Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Ereignissen und erleichtert die Berechnung.

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Formulierung in Textaufgaben erkennt man an Wendungen wie "unter der Bedingung", "wenn bekannt ist" oder "falls".

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Bernoulli-Experimente
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Die Wahrscheinlichkeit bleibt

Vierfeldertafel und praktische Anwendung

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel ist ein wichtiges Werkzeug zur übersichtlichen Darstellung von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Sie enthält:

  • Absolute Häufigkeiten
  • Relative Häufigkeiten
  • Randsummen

Beispiel: Eine Vierfeldertafel mit Holz/Kunststoff und rot/blau:

  • PRHR|H = PRHR∩H / PHH
  • PKRK|R = PRKR∩K / PRR

Die Berechnung kann sowohl mit absoluten als auch mit relativen Häufigkeiten erfolgen. Ein Bedingte Wahrscheinlichkeit Rechner kann bei komplexeren Berechnungen hilfreich sein, ersetzt aber nicht das Verständnis der zugrundeliegenden Konzepte.

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Die Sigma-Regel und Bernoulli-Experimente verstehen

Die Bernoulli-Experiment Bedingungen und die Sigma-Regel sind fundamentale Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Bei einer Bernoulli-Kette mit der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p gelten bestimmte mathematische Gesetzmäßigkeiten.

Definition: Eine binomialverteilte Zufallsvariable X hat einen Erwartungswert μ = n·p und eine Standardabweichung σ = √np(1pn·p·(1-p)

Die σ-Regeln ermöglichen präzise Wahrscheinlichkeitsaussagen, wenn np·q > 9 erfüllt ist:

  • 1σ-Regel: PXμσ|X-μ| ≤ σ = 0,680
  • 2σ-Regel: PXμ2σ|X-μ| ≤ 2σ = 0,955
  • 3σ-Regel: PXμ3σ|X-μ| ≤ 3σ = 0,997

Beispiel: Bei einer Bernoulli-Kette Beispiel mit n=400 Versuchen und p=0,4:

  • Erwartungswert μ = 400·0,4 = 160
  • Standardabweichung σ = √4000,40,6400·0,4·0,6 ≈ 9,798
  • 2σ-Intervall: 16029,798;160+29,798160-2·9,798; 160+2·9,798 = 140,4;179,6140,4; 179,6
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Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Experimenten

Die Bernoulli Wahrscheinlichkeit lässt sich für verschiedene Ereignisse berechnen. Dabei unterscheidet man zwischen der Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge und mindestens k Erfolge.

Highlight: Bei der Binomialverteilung p gesucht muss zwischen punktueller und kumulierter Wahrscheinlichkeit unterschieden werden.

Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten gibt es zwei zentrale Formeln:

  • PX=kX=k: Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge
  • PXkX≥k: Wahrscheinlichkeit für mindestens k Erfolge

Beispiel: Ein Glücksrad mit 3 roten von 10 Feldern wird 6-mal gedreht:

  • PX=1X=1 = binomPdf6;0,3;16; 0,3; 1 ≈ 0,303
  • PX4X≥4 = binomCdf6;0,3;4;66; 0,3; 4; 6 ≈ 0,070
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Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit p

Bei der Binomialverteilung p gesucht wird die Erfolgswahrscheinlichkeit p gesucht, wenn andere Parameter bekannt sind. Dies erfordert oft eine graphische oder numerische Lösung.

Definition: Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei einmaliger Durchführung des Experiments.

Die Bestimmung erfolgt meist durch:

  1. Aufstellen einer Gleichung mit der Bernoulli Formel
  2. Graphische Lösung mittels Technologie
  3. Systematisches Probieren

Beispiel: Bei n=50 Versuchen soll PX12X≤12 ≥ 0,7 gelten:

  • f₁xx = binomCdf50,x,0,1250,x,0,12
  • f₂xx = 0,7
  • Schnittpunkt ergibt p ≤ 0,221
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Bestimmung der Versuchsanzahl n

Die Bestimmung der notwendigen Anzahl n von Versuchen ist ein wichtiger Aspekt bei Bernoulli-Experiment Beispielaufgaben. Dabei wird n gesucht, wenn p und die gewünschte Wahrscheinlichkeit gegeben sind.

Highlight: Die Berechnung erfolgt meist durch systematisches Probieren, da eine direkte Berechnung sehr komplex ist.

Zwei Hauptfälle sind zu unterscheiden:

  1. Genau k Erfolge: PX=kX=k ≥ P₀
  2. Mindestens k Erfolge: PXkX≥k ≥ P₀

Beispiel: Bei p=0,15 und PX=12X=12 ≥ 0,1:

  • n=66: PX=12X=12 ≈ 0,099 zukleinzu klein
  • n=67: PX=12X=12 ≈ 0,102 passtpasst
  • Lösung: mindestens 67 Versuche
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Standardabweichung und Mittelwert in der Statistik

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit und statistische Berechnungen sind fundamentale Konzepte in der Mathematik. Der Mittelwert und die Standardabweichung sind dabei zwei zentrale Größen, die uns helfen, Datensätze zu analysieren und zu interpretieren.

Definition: Der Mittelwert arithmetischesMittelarithmetisches Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Die Standardabweichung misst die durchschnittliche Abweichung der Einzelwerte vom Mittelwert.

Bei der Berechnung des Mittelwerts von Schulnoten betrachten wir zunächst die Häufigkeitsverteilung. In unserem Beispiel haben wir folgende Notenverteilung: Note 1 2mal2-mal, Note 2 8mal8-mal, Note 3 10mal10-mal, Note 4 3mal3-mal, Note 5 3mal3-mal und Note 6 1mal1-mal. Der Mittelwert berechnet sich durch die Summe der Produkte aus Noten und ihrer Häufigkeit, geteilt durch die Gesamtanzahl der Noten.

Die Standardabweichung erfordert mehrere Rechenschritte. Zuerst ermitteln wir die Abweichungen jeder Note vom Mittelwert, quadrieren diese und multiplizieren sie mit der jeweiligen Häufigkeit. Die Summe dieser Produkte wird durch die Gesamtanzahl geteilt und daraus die Wurzel gezogen. In unserem Fall ergibt sich eine Standardabweichung von 1,22, was eine moderate Streuung der Noten um den Mittelwert anzeigt.

Beispiel: Bei 27 Schülern mit Noten von 1 bis 6 berechnen wir:

  • Mittelwert = 12+28+310+43+53+611·2 + 2·8 + 3·10 + 4·3 + 5·3 + 6·1 ÷ 27 = 3
  • Standardabweichung = √(SummederquadriertenAbweichungen)÷27(Summe der quadrierten Abweichungen) ÷ 27 = 1,22
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Anwendung der Binomialverteilung und Bernoulli-Experimente

Die Bernoulli-Experiment Binomialverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ein Bernoulli-Experiment zeichnet sich durch genau zwei mögliche Ausgänge aus und wird unter gleichbleibenden Bedingungen mehrfach durchgeführt.

Die Bernoulli Formel ermöglicht uns die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrfachen unabhängigen Versuchen. Dabei spielt die Bernoulli-Kette eine zentrale Rolle, die eine Folge unabhängiger Versuche mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit beschreibt.

Highlight: Die Bernoulli-Experiment Bedingungen sind:

  • Nur zwei mögliche Ausgänge Erfolg/MisserfolgErfolg/Misserfolg
  • Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit
  • Unabhängigkeit der Versuche
  • Feste Anzahl von Wiederholungen

Bei bernoulli-experiment beispielaufgaben wird häufig mit der Binomialverteilung gearbeitet. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Erfolge in einer Versuchsreihe. Die Berechnung erfolgt mit der bernoulli-formel n über k, wobei n die Anzahl der Versuche und k die Anzahl der Erfolge bezeichnet.



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4.9/5

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Alles über Bernoulli-Experimente: Beispiele, Formeln und Bedingungen einfach erklärt

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Die Bernoulli-Experiment Bedingungen und Bernoulli Wahrscheinlichkeit bilden die Grundlage für wichtige stochastische Konzepte in der Mathematik.

Ein Bernoulli-Experimentist durch mehrere zentrale Eigenschaften gekennzeichnet: Es gibt genau zwei mögliche Ausgänge (Erfolg oder Misserfolg), die Wahrscheinlichkeit bleibt bei jeder Durchführung konstant... Mehr anzeigen

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Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung

Die Bernoulli-Experiment Bedingungen sind fundamental für das Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ein Bernoulli-Experiment zeichnet sich durch zwei wesentliche Eigenschaften aus: Es gibt nur zwei mögliche Ausgänge ErfolgoderMisserfolgErfolg oder Misserfolg, und die Wahrscheinlichkeit bleibt bei jeder Wiederholung konstant.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment liegt vor, wenn:

  • Nur zwei mögliche Ereignisse existieren
  • Die Erfolgswahrscheinlichkeit p bei jeder Durchführung gleich bleibt
  • Die einzelnen Durchführungen voneinander unabhängig sind

Die Bernoulli Formel zur Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit lautet P = p^k * q^nkn-k, wobei p die Erfolgswahrscheinlichkeit, q die Misserfolgswahrscheinlichkeit 1p1-p, n die Anzahl der Durchführungen und k die Anzahl der Erfolge darstellt. Diese Formel ist essentiell für die Bernoulli-Experiment Binomialverteilung.

Bei der praktischen Anwendung, besonders bei Bernoulli-Experiment Beispielaufgaben, ist die Verwendung eines Taschenrechners oft hilfreich. Die Binomialverteilung GTR Casio ermöglicht dabei verschiedene Berechnungen:

  • binomPdf für einzelne Wahrscheinlichkeiten
  • binomCdf für kumulierte Wahrscheinlichkeiten
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Binomialkoeffizient und Wahrscheinlichkeitsberechnung

Der Binomialkoeffizient nu¨berkn über k ist ein zentrales Element bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Bernoulli-Kette. Die Formel lautet:

Formel: nu¨berkn über k = n! / k!(nkk! * (n-k!)

Bei der Binomialverteilung unterscheiden wir verschiedene Arten von Ereignissen:

  • Genau k Erfolge
  • Höchstens k Erfolge
  • Mindestens k Erfolge
  • Mehr als k Erfolge
  • Weniger als k Erfolge

Für die Berechnung mit dem Taschenrechner BinomialverteilungpgesuchtBinomialverteilung p gesucht verwendet man:

  • PX=kX=k mit binomPdf
  • PXkX≤k mit binomCdf
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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses K unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis R bereits eingetreten ist.

Definition: Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Formel lautet: PKRK|R = PRKR∩K / PRR

Bei Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispielaufgaben ist die Darstellung in einem Bedingte Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm besonders hilfreich. Diese visualisiert die Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Ereignissen und erleichtert die Berechnung.

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Formulierung in Textaufgaben erkennt man an Wendungen wie "unter der Bedingung", "wenn bekannt ist" oder "falls".

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Vierfeldertafel und praktische Anwendung

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel ist ein wichtiges Werkzeug zur übersichtlichen Darstellung von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Sie enthält:

  • Absolute Häufigkeiten
  • Relative Häufigkeiten
  • Randsummen

Beispiel: Eine Vierfeldertafel mit Holz/Kunststoff und rot/blau:

  • PRHR|H = PRHR∩H / PHH
  • PKRK|R = PRKR∩K / PRR

Die Berechnung kann sowohl mit absoluten als auch mit relativen Häufigkeiten erfolgen. Ein Bedingte Wahrscheinlichkeit Rechner kann bei komplexeren Berechnungen hilfreich sein, ersetzt aber nicht das Verständnis der zugrundeliegenden Konzepte.

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Die Sigma-Regel und Bernoulli-Experimente verstehen

Die Bernoulli-Experiment Bedingungen und die Sigma-Regel sind fundamentale Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Bei einer Bernoulli-Kette mit der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p gelten bestimmte mathematische Gesetzmäßigkeiten.

Definition: Eine binomialverteilte Zufallsvariable X hat einen Erwartungswert μ = n·p und eine Standardabweichung σ = √np(1pn·p·(1-p)

Die σ-Regeln ermöglichen präzise Wahrscheinlichkeitsaussagen, wenn np·q > 9 erfüllt ist:

  • 1σ-Regel: PXμσ|X-μ| ≤ σ = 0,680
  • 2σ-Regel: PXμ2σ|X-μ| ≤ 2σ = 0,955
  • 3σ-Regel: PXμ3σ|X-μ| ≤ 3σ = 0,997

Beispiel: Bei einer Bernoulli-Kette Beispiel mit n=400 Versuchen und p=0,4:

  • Erwartungswert μ = 400·0,4 = 160
  • Standardabweichung σ = √4000,40,6400·0,4·0,6 ≈ 9,798
  • 2σ-Intervall: 16029,798;160+29,798160-2·9,798; 160+2·9,798 = 140,4;179,6140,4; 179,6
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Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Experimenten

Die Bernoulli Wahrscheinlichkeit lässt sich für verschiedene Ereignisse berechnen. Dabei unterscheidet man zwischen der Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge und mindestens k Erfolge.

Highlight: Bei der Binomialverteilung p gesucht muss zwischen punktueller und kumulierter Wahrscheinlichkeit unterschieden werden.

Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten gibt es zwei zentrale Formeln:

  • PX=kX=k: Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge
  • PXkX≥k: Wahrscheinlichkeit für mindestens k Erfolge

Beispiel: Ein Glücksrad mit 3 roten von 10 Feldern wird 6-mal gedreht:

  • PX=1X=1 = binomPdf6;0,3;16; 0,3; 1 ≈ 0,303
  • PX4X≥4 = binomCdf6;0,3;4;66; 0,3; 4; 6 ≈ 0,070
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Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit p

Bei der Binomialverteilung p gesucht wird die Erfolgswahrscheinlichkeit p gesucht, wenn andere Parameter bekannt sind. Dies erfordert oft eine graphische oder numerische Lösung.

Definition: Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei einmaliger Durchführung des Experiments.

Die Bestimmung erfolgt meist durch:

  1. Aufstellen einer Gleichung mit der Bernoulli Formel
  2. Graphische Lösung mittels Technologie
  3. Systematisches Probieren

Beispiel: Bei n=50 Versuchen soll PX12X≤12 ≥ 0,7 gelten:

  • f₁xx = binomCdf50,x,0,1250,x,0,12
  • f₂xx = 0,7
  • Schnittpunkt ergibt p ≤ 0,221
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Bestimmung der Versuchsanzahl n

Die Bestimmung der notwendigen Anzahl n von Versuchen ist ein wichtiger Aspekt bei Bernoulli-Experiment Beispielaufgaben. Dabei wird n gesucht, wenn p und die gewünschte Wahrscheinlichkeit gegeben sind.

Highlight: Die Berechnung erfolgt meist durch systematisches Probieren, da eine direkte Berechnung sehr komplex ist.

Zwei Hauptfälle sind zu unterscheiden:

  1. Genau k Erfolge: PX=kX=k ≥ P₀
  2. Mindestens k Erfolge: PXkX≥k ≥ P₀

Beispiel: Bei p=0,15 und PX=12X=12 ≥ 0,1:

  • n=66: PX=12X=12 ≈ 0,099 zukleinzu klein
  • n=67: PX=12X=12 ≈ 0,102 passtpasst
  • Lösung: mindestens 67 Versuche
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Standardabweichung und Mittelwert in der Statistik

Die Bedingte Wahrscheinlichkeit und statistische Berechnungen sind fundamentale Konzepte in der Mathematik. Der Mittelwert und die Standardabweichung sind dabei zwei zentrale Größen, die uns helfen, Datensätze zu analysieren und zu interpretieren.

Definition: Der Mittelwert arithmetischesMittelarithmetisches Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Die Standardabweichung misst die durchschnittliche Abweichung der Einzelwerte vom Mittelwert.

Bei der Berechnung des Mittelwerts von Schulnoten betrachten wir zunächst die Häufigkeitsverteilung. In unserem Beispiel haben wir folgende Notenverteilung: Note 1 2mal2-mal, Note 2 8mal8-mal, Note 3 10mal10-mal, Note 4 3mal3-mal, Note 5 3mal3-mal und Note 6 1mal1-mal. Der Mittelwert berechnet sich durch die Summe der Produkte aus Noten und ihrer Häufigkeit, geteilt durch die Gesamtanzahl der Noten.

Die Standardabweichung erfordert mehrere Rechenschritte. Zuerst ermitteln wir die Abweichungen jeder Note vom Mittelwert, quadrieren diese und multiplizieren sie mit der jeweiligen Häufigkeit. Die Summe dieser Produkte wird durch die Gesamtanzahl geteilt und daraus die Wurzel gezogen. In unserem Fall ergibt sich eine Standardabweichung von 1,22, was eine moderate Streuung der Noten um den Mittelwert anzeigt.

Beispiel: Bei 27 Schülern mit Noten von 1 bis 6 berechnen wir:

  • Mittelwert = 12+28+310+43+53+611·2 + 2·8 + 3·10 + 4·3 + 5·3 + 6·1 ÷ 27 = 3
  • Standardabweichung = √(SummederquadriertenAbweichungen)÷27(Summe der quadrierten Abweichungen) ÷ 27 = 1,22
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Anwendung der Binomialverteilung und Bernoulli-Experimente

Die Bernoulli-Experiment Binomialverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ein Bernoulli-Experiment zeichnet sich durch genau zwei mögliche Ausgänge aus und wird unter gleichbleibenden Bedingungen mehrfach durchgeführt.

Die Bernoulli Formel ermöglicht uns die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrfachen unabhängigen Versuchen. Dabei spielt die Bernoulli-Kette eine zentrale Rolle, die eine Folge unabhängiger Versuche mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit beschreibt.

Highlight: Die Bernoulli-Experiment Bedingungen sind:

  • Nur zwei mögliche Ausgänge Erfolg/MisserfolgErfolg/Misserfolg
  • Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit
  • Unabhängigkeit der Versuche
  • Feste Anzahl von Wiederholungen

Bei bernoulli-experiment beispielaufgaben wird häufig mit der Binomialverteilung gearbeitet. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Erfolge in einer Versuchsreihe. Die Berechnung erfolgt mit der bernoulli-formel n über k, wobei n die Anzahl der Versuche und k die Anzahl der Erfolge bezeichnet.

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Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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