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Mathe ABI Zusammenfassung: Stochastik für GK in Hessen

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K

Kathi

5.12.2025

Mathe

Mathe ABI Zusammenfassung Stochastik GK Hessen

2.660

5. Dez. 2025

7 Seiten

Mathe ABI Zusammenfassung: Stochastik für GK in Hessen

K

Kathi

@kathi_nln

Stochastik ist euer Werkzeugkasten für alles, was mit Wahrscheinlichkeiten und... Mehr anzeigen

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Statistik
→ Statistische Erhebungen beziehen sich auf eine Grundgesamtheit von Merkmalsträgern mit quantitativen & qualitativen Merkmalen
Qu

Grundlagen der Statistik

Statistische Erhebungen helfen euch dabei, große Datenmengen zu verstehen und auszuwerten. Dabei arbeitet ihr mit Grundgesamtheiten von Merkmalsträgern, die verschiedene Eigenschaften haben können.

Quantitative Merkmale sind Zahlen oder Größenwerte - entweder stetig (mit Dezimalstellen wie Körpergröße) oder diskret (ganze Zahlen wie Anzahl Geschwister). Qualitative Merkmale hingegen sind Eigenschaften oder Namen, die entweder nominal (keine Rangfolge wie Eissorte) oder ordinal (mit natürlicher Reihenfolge wie Schulnoten) sein können.

Das arithmetische Mittel xˉ\bar{x} ist euer Durchschnittswert - berechnet als Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Die Varianz S2S^2 und Standardabweichung SS zeigen euch, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen - je größer diese Werte, desto uneinheitlicher sind eure Daten.

Merktipp: Relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit ÷ Gesamtzahl. So könnt ihr verschiedene Datensätze miteinander vergleichen!

Statistik
→ Statistische Erhebungen beziehen sich auf eine Grundgesamtheit von Merkmalsträgern mit quantitativen & qualitativen Merkmalen
Qu

Zufallsexperimente und Ereignisse

Ein Zufallsexperiment ist jedes Experiment, dessen Ausgang ungewiss ist - wie Würfeln oder Münzwerfen. Der Ergebnisraum Ω enthält alle möglichen Einzelergebnisse, während ein Ereignis E eine Teilmenge davon ist.

Wichtige Ereignistypen: Unmögliche Ereignisse sind die leere Menge (∅), sichere Ereignisse enthalten alle Möglichkeiten, und Elementarereignisse bestehen nur aus einem einzigen Ergebnis. Das Gegenereignis Eˉ\bar{E} tritt ein, wenn E nicht eintritt.

Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich relative Häufigkeiten bei vielen Wiederholungen um einen festen Wert stabilisieren - das ist die Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert dem Einsatz entspricht.

Praxistipp: "Mindestens 3" bedeutet {3,4,5,6}, "höchstens 3" bedeutet {1,2,3} - achtet auf solche Formulierungen in Aufgaben!

Statistik
→ Statistische Erhebungen beziehen sich auf eine Grundgesamtheit von Merkmalsträgern mit quantitativen & qualitativen Merkmalen
Qu

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 und 1, die angeben, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist. Bei Laplace-Experimenten sind alle Einzelergebnisse gleich wahrscheinlich, sodass ihr die einfache Formel P(E)=knP(E) = \frac{k}{n} verwenden könnt.

Baumdiagramme helfen euch bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Die Pfadregel besagt: Wahrscheinlichkeit eines Pfades = Produkt der Zweigwahrscheinlichkeiten. Die Summenregel: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten PB(A)P_B(A) geben an, wie wahrscheinlich A ist, wenn B bereits eingetreten ist. Ereignisse sind unabhängig, wenn PB(A)=P(A)P_B(A) = P(A) gilt - das Eintreten von B ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit von A.

Rechentrick: Bei "mindestens einmal" rechnet oft einfacher mit der Gegenwahrscheinlichkeit: P(mind. 1x)=1P(keinmal)P(\text{mind. 1x}) = 1 - P(\text{keinmal})

Statistik
→ Statistische Erhebungen beziehen sich auf eine Grundgesamtheit von Merkmalsträgern mit quantitativen & qualitativen Merkmalen
Qu

Kombinatorik und Vierfeldertafeln

Die Kombinatorik hilft euch, komplexe Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, ohne alle Möglichkeiten einzeln durchzugehen. Die Produktregel besagt: Bei k unabhängigen Teilexperimenten mit n1,n2,...,nkn_1, n_2, ..., n_k Möglichkeiten gibt es insgesamt n1n2...nkn_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k Ergebnisse.

Beim Urnenmodell unterscheidet ihr zwischen "mit/ohne Zurücklegen" und "mit/ohne Reihenfolge". Permutationen P(n;k)=n!(nk)!P(n;k) = \frac{n!}{(n-k)!} zählen geordnete Auswahlen, Kombinationen (nk)=n!k!(nk)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ungeordnete Auswahlen ohne Wiederholung.

Vierfeldertafeln stellen zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen übersichtlich dar. In die Randfelder tragt ihr die Summen ein, die inneren Felder entsprechen den Schnittmengen. So könnt ihr bedingte Wahrscheinlichkeiten leicht ablesen.

Lotto-Formel: "6 aus 49" bedeutet (496)\binom{49}{6} verschiedene Tippmöglichkeiten - deshalb ist die Gewinnchance so gering!

Statistik
→ Statistische Erhebungen beziehen sich auf eine Grundgesamtheit von Merkmalsträgern mit quantitativen & qualitativen Merkmalen
Qu

Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu - sie ist also eine Funktion, nicht eine Zahl! Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X=xi)P(X = x_i) zeigt, welche Wahrscheinlichkeit jedem Wert zugeordnet wird.

Der Erwartungswert μ=E(X)\mu = E(X) ist der theoretische Mittelwert bei unendlich vielen Wiederholungen. Berechnet wird er als μ=xiP(X=xi)\mu = \sum x_i \cdot P(X = x_i) - also als gewichteter Durchschnitt aller möglichen Werte.

Varianz σ2=V(X)\sigma^2 = V(X) und Standardabweichung σ\sigma messen die Streuung um den Erwartungswert. Je größer diese Werte, desto unvorhersagbarer ist eure Zufallsgröße. Die Standardabweichung hat den Vorteil, dass sie die gleiche Einheit wie die ursprünglichen Werte hat.

Wichtig: Der Erwartungswert muss nicht immer ein möglicher Wert der Zufallsgröße sein - er ist der langfristige Durchschnitt!

Statistik
→ Statistische Erhebungen beziehen sich auf eine Grundgesamtheit von Merkmalsträgern mit quantitativen & qualitativen Merkmalen
Qu

Binomialverteilung

Bernoulli-Experimente haben nur zwei mögliche Ausgänge: Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit p) oder Misserfolg mitWahrscheinlichkeitq=1pmit Wahrscheinlichkeit q = 1-p. Bernoulli-Ketten sind n-malige Wiederholungen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit.

Die Binomialverteilung B(n;p;k)B(n;p;k) gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei n Versuchen an: P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. Der Binomialkoeffizient (nk)\binom{n}{k} zählt die Anzahl möglicher Pfade, pk(1p)nkp^k (1-p)^{n-k} ist die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfades.

Erwartungswert: μ=np\mu = n \cdot p, Varianz: σ2=npq\sigma^2 = n \cdot p \cdot q, Standardabweichung: σ=npq\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}. Das Histogramm ist bei p = 0,5 symmetrisch, bei p < 0,5 linkslastig und bei p > 0,5 rechtslastig.

Faustregel: Je größer n wird, desto flacher und symmetrischer wird die Verteilung - das ist wichtig für spätere Näherungen!

Statistik
→ Statistische Erhebungen beziehen sich auf eine Grundgesamtheit von Merkmalsträgern mit quantitativen & qualitativen Merkmalen
Qu

Intervallwahrscheinlichkeiten

Punktwahrscheinlichkeiten P(X=k)P(X = k) geben die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer an. Intervallwahrscheinlichkeiten berechnen dagegen Bereiche wie "höchstens k" oder "mindestens k" Treffer.

Die kumulierte Binomialverteilung F(n,p,k)F(n,p,k) summiert alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k auf. Damit könnt ihr schnell berechnen: P(Xk)=F(n,p,k)P(X \leq k) = F(n,p,k) und P(Xk)=1F(n,p,k1)P(X \geq k) = 1 - F(n,p,k-1).

Bei Aufgaben wie "mindestens n Versuche für 95% Erfolgswahrscheinlichkeit" arbeitet ihr mit Ungleichungen. Stellt die Bedingung auf, formt um und löst nach n auf - achtet dabei auf Rundungsregeln!

Taschenrechner-Tipp: Nutzt die Kumul-Binom-V Funktion eures Taschenrechners - das spart Zeit und verhindert Rechenfehler bei komplexen Summen!



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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Stochastik ist euer Werkzeugkasten für alles, was mit Wahrscheinlichkeiten und Statistik zu tun hat. Hier lernt ihr, wie man Daten auswertet, Wahrscheinlichkeiten berechnet und das Verhalten von Zufallsexperimenten vorhersagt - perfekt für euer Abi und das echte Leben!

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Grundlagen der Statistik

Statistische Erhebungen helfen euch dabei, große Datenmengen zu verstehen und auszuwerten. Dabei arbeitet ihr mit Grundgesamtheiten von Merkmalsträgern, die verschiedene Eigenschaften haben können.

Quantitative Merkmale sind Zahlen oder Größenwerte - entweder stetig (mit Dezimalstellen wie Körpergröße) oder diskret (ganze Zahlen wie Anzahl Geschwister). Qualitative Merkmale hingegen sind Eigenschaften oder Namen, die entweder nominal (keine Rangfolge wie Eissorte) oder ordinal (mit natürlicher Reihenfolge wie Schulnoten) sein können.

Das arithmetische Mittel xˉ\bar{x} ist euer Durchschnittswert - berechnet als Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Die Varianz S2S^2 und Standardabweichung SS zeigen euch, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen - je größer diese Werte, desto uneinheitlicher sind eure Daten.

Merktipp: Relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit ÷ Gesamtzahl. So könnt ihr verschiedene Datensätze miteinander vergleichen!

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Zufallsexperimente und Ereignisse

Ein Zufallsexperiment ist jedes Experiment, dessen Ausgang ungewiss ist - wie Würfeln oder Münzwerfen. Der Ergebnisraum Ω enthält alle möglichen Einzelergebnisse, während ein Ereignis E eine Teilmenge davon ist.

Wichtige Ereignistypen: Unmögliche Ereignisse sind die leere Menge (∅), sichere Ereignisse enthalten alle Möglichkeiten, und Elementarereignisse bestehen nur aus einem einzigen Ergebnis. Das Gegenereignis Eˉ\bar{E} tritt ein, wenn E nicht eintritt.

Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich relative Häufigkeiten bei vielen Wiederholungen um einen festen Wert stabilisieren - das ist die Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert dem Einsatz entspricht.

Praxistipp: "Mindestens 3" bedeutet {3,4,5,6}, "höchstens 3" bedeutet {1,2,3} - achtet auf solche Formulierungen in Aufgaben!

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 und 1, die angeben, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist. Bei Laplace-Experimenten sind alle Einzelergebnisse gleich wahrscheinlich, sodass ihr die einfache Formel P(E)=knP(E) = \frac{k}{n} verwenden könnt.

Baumdiagramme helfen euch bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Die Pfadregel besagt: Wahrscheinlichkeit eines Pfades = Produkt der Zweigwahrscheinlichkeiten. Die Summenregel: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten PB(A)P_B(A) geben an, wie wahrscheinlich A ist, wenn B bereits eingetreten ist. Ereignisse sind unabhängig, wenn PB(A)=P(A)P_B(A) = P(A) gilt - das Eintreten von B ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit von A.

Rechentrick: Bei "mindestens einmal" rechnet oft einfacher mit der Gegenwahrscheinlichkeit: P(mind. 1x)=1P(keinmal)P(\text{mind. 1x}) = 1 - P(\text{keinmal})

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Kombinatorik und Vierfeldertafeln

Die Kombinatorik hilft euch, komplexe Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, ohne alle Möglichkeiten einzeln durchzugehen. Die Produktregel besagt: Bei k unabhängigen Teilexperimenten mit n1,n2,...,nkn_1, n_2, ..., n_k Möglichkeiten gibt es insgesamt n1n2...nkn_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k Ergebnisse.

Beim Urnenmodell unterscheidet ihr zwischen "mit/ohne Zurücklegen" und "mit/ohne Reihenfolge". Permutationen P(n;k)=n!(nk)!P(n;k) = \frac{n!}{(n-k)!} zählen geordnete Auswahlen, Kombinationen (nk)=n!k!(nk)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ungeordnete Auswahlen ohne Wiederholung.

Vierfeldertafeln stellen zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen übersichtlich dar. In die Randfelder tragt ihr die Summen ein, die inneren Felder entsprechen den Schnittmengen. So könnt ihr bedingte Wahrscheinlichkeiten leicht ablesen.

Lotto-Formel: "6 aus 49" bedeutet (496)\binom{49}{6} verschiedene Tippmöglichkeiten - deshalb ist die Gewinnchance so gering!

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Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu - sie ist also eine Funktion, nicht eine Zahl! Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X=xi)P(X = x_i) zeigt, welche Wahrscheinlichkeit jedem Wert zugeordnet wird.

Der Erwartungswert μ=E(X)\mu = E(X) ist der theoretische Mittelwert bei unendlich vielen Wiederholungen. Berechnet wird er als μ=xiP(X=xi)\mu = \sum x_i \cdot P(X = x_i) - also als gewichteter Durchschnitt aller möglichen Werte.

Varianz σ2=V(X)\sigma^2 = V(X) und Standardabweichung σ\sigma messen die Streuung um den Erwartungswert. Je größer diese Werte, desto unvorhersagbarer ist eure Zufallsgröße. Die Standardabweichung hat den Vorteil, dass sie die gleiche Einheit wie die ursprünglichen Werte hat.

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Binomialverteilung

Bernoulli-Experimente haben nur zwei mögliche Ausgänge: Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit p) oder Misserfolg mitWahrscheinlichkeitq=1pmit Wahrscheinlichkeit q = 1-p. Bernoulli-Ketten sind n-malige Wiederholungen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit.

Die Binomialverteilung B(n;p;k)B(n;p;k) gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge bei n Versuchen an: P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. Der Binomialkoeffizient (nk)\binom{n}{k} zählt die Anzahl möglicher Pfade, pk(1p)nkp^k (1-p)^{n-k} ist die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfades.

Erwartungswert: μ=np\mu = n \cdot p, Varianz: σ2=npq\sigma^2 = n \cdot p \cdot q, Standardabweichung: σ=npq\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}. Das Histogramm ist bei p = 0,5 symmetrisch, bei p < 0,5 linkslastig und bei p > 0,5 rechtslastig.

Faustregel: Je größer n wird, desto flacher und symmetrischer wird die Verteilung - das ist wichtig für spätere Näherungen!

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Intervallwahrscheinlichkeiten

Punktwahrscheinlichkeiten P(X=k)P(X = k) geben die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer an. Intervallwahrscheinlichkeiten berechnen dagegen Bereiche wie "höchstens k" oder "mindestens k" Treffer.

Die kumulierte Binomialverteilung F(n,p,k)F(n,p,k) summiert alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k auf. Damit könnt ihr schnell berechnen: P(Xk)=F(n,p,k)P(X \leq k) = F(n,p,k) und P(Xk)=1F(n,p,k1)P(X \geq k) = 1 - F(n,p,k-1).

Bei Aufgaben wie "mindestens n Versuche für 95% Erfolgswahrscheinlichkeit" arbeitet ihr mit Ungleichungen. Stellt die Bedingung auf, formt um und löst nach n auf - achtet dabei auf Rundungsregeln!

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Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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