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Stochastik - Q2

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Lernzettel: Stochastik Statistik Wir erheben Daten: 60sek schätzen Zeit (Sek.) Absolute Häufigkeit (H) Relative Häufigkeit (h) Mittelwerte Median 45 1 Modalwert 1/15 Arithmetisches Mittel 53 0 1 T 1/15 s² = 54 0 X= 55 1 Absolute Häufigkeit = gesamte Zahl Relative Häufigkeit z.B. 1/10.000 ➜ nur ein Teil des Ganzen = 2 2 (x₁ - x)² + (x₂-x)² + ... + (x₁ - x)² n 1/15 Mittlere quadratische Abweichung (Varianz) 0 61 2 Ng 62 2 Erster Wert - Mittelwert zum Quadrat + zweiter Wert.... 2/15 2/15 2/15 Summe aller Werte Anzahl der Werte Oder: rel. Häufigkeit x Wert Bei ungeraden Zahlen abzulesen. Bei Geraden zahlen werden mittleren beiden Werte zusammengerechnet und durch 2 geteilt. Einfach abzulesen. Kann auch 2 Modalwerte geben 63 2 S= O 66 2 2/15 (x₁-x) Mittelwert 67 0 2 Streuungsmaße → unter Spannweite & Streubreite (w) einer Stichprobe versteht man die Differenz aus dem größten & kleinsten Beobachtungsergebnis W=Xmax - Xmin Empirische Standardabweichung 68 2 -X)² + (x₂-x)² Häufigster Wert einer Liste 69 1 2/15 1/15 Mittlerer Wert einer geordneten Liste 2 +(x₂-x)+...+(X-X) Q2 ₁-x)² 70 0 n Gleiches Prinzip, nur unter Wurzel geschrieben 71 1 1/15 Wahrscheinlichkeitsrechnung Laplace-Wahrscheinlichkeit= P(rot)= 3/5 =0,6 Häufig werden dafür Baumdiagramme verwendet. Hierbei wird jeder Wert eines Pfades miteinander multipliziert. 3/5 2/5 Anzahl der günstigen/gewollten Fälle Anzahl aller Fälle/Möglichkeiten ZUFALLSGRÖBE 3/5 2/5 3/5 2/5 3/5 2/5 3/5 2/5 3/5 2/5 3/5 2/5 P(r,r,r)=3/5 x 3/5 x 3/5 = 0,216= 21,6% Diskrete Zufallsgrößen können unendlich viele Werte annehmen. Um anzugeben, dass die Zufallsgröße X mit der Wahrscheinlichkeit p den Wert kannimmt, schreibt man: → P(X=k)=p Stetige Zufallsgrößen heißen stetig, wenn sie keine hat, also alle Werte in einem Intervall annehmen kann. Da eine stetige Zufallsvariable unendlich viele Werte annehmen kann, schrumpft die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert in dem Intervall auf 0. Stattdessen kann man angeben, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Zufallsvariable X höchstens...

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den Wert k annimmt. → P(X ≤k)=p Beispiel: Beim Abfüllen von 500g Kaffee in Kaffeepackungen können Fehler auftreten. Die Zufallsvariable X, welche das Gewicht in Gramm angibt, kann also alle Werte von 0 bis unendlich annehmen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegen die Werte aber zwischen 495g und 505g. →P(495 ≤X ≤ 505)=0,95 ERWARTUNGSWERT Als erstes schreiben wir uns mögliche wahrscheinliche „Ausgänge“ an. Ein Beispiel wäre, wenn wir schauen wollen, wie viele schwarze Kugeln man bekommen kann, wenn man 2mal aus einem Beutel mit weißen (2) und schwarzen (3) Kugeln zieht. Mögliche Ausgänge wären 1 schwarze Kugel, 2 schwarze Kugeln oder aber 0 schwarze Kugeln. P(w,w)= 4/25 P(w,s) = 6/25 P(s,w) = 6/25 P(s,s) = 9/25 Anzahl d. schwarzen Kugeln 0 4/25 1 12/25 2 9/25 Warscheinlichkeit Nun rechnet man die Anzahl der Kugeln x der Wahrscheinlichkeit. Wenn man dann in die Nächste Spalte rutscht, setzt man zwischen die 2 Multiplikationen ein +. → oben mal unten + oben mal unten... E(X)= μ = 0 x 4/25 + 1 x 12/25 + 2 x 9/25 = 6/5 =1,2 SPIELE-FAIRNESS E(X)= μ = X₁ x P+ X₂ x P +.....+ X₁ X P Urne mit 3x rote Kugeln und 3x blauen Kugeln. 2x ziehen ohne zurücklegen, 5€ Spieleinsatz. Auszahlungen: 1x rot = 1€; 2x rot = 10€ 1) Gewinn in € Wahrscheinlichkeit BINOMIALVERTEILUNG 3 P(0x rot) = 3/6 x 2/5 (da ohne zurücklegen!!) = 6/30 = 1/5 E(X)= -5 x 1/5 + -4 x 3/5 + 5 x 1/5 = -12/5 = -2,20 →Spiel nicht fair, da nicht 0 rauskommt. Man verliert auf lange Sicht 2,20€ 1 -5€ 1/5 Beispiel: Münzenwerfen 3x werfen → n=3; k=1 P(Kopf)= 0,4; P(Zahl)= 1-0,4= 0,6 P(einmal Zahl)= 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,6 x 0,4²=0,096 3 x 0,6 x 0,4² × 0,6¹ × 0,43-1 -4€ 3/5 5€ 1/5 Anzahl der Äste (Baumdiagramm) Wahrscheinlichkeit für einen Ast 1.Bernoulli Exp. Betrachten und verstehen → z.B. Würfel 6/nicht 6 2. Erfolg festlegen → z.B. p= P(Erfolg) /q=(Misserfolg) 3. Wie oft wird Experiment wiederholt →n=...(Anzahl der Wiederholungen 4.Zufallsgröße angeben →X: Anzahl der Erfolge 5. Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge (0≤ k ≤n) Spiel ist fair, wenn E(X)=0 1.) Wahrscheinlichkeitsverteilung Aufstellen 2.) Erwartungswert berechnen 3.)E(X)=0? Binomialverteilung/Bernoulli mit CAS: -für genau X Antworten →menü, 5, 5, A -für mind./max. X Antworten →menü, 5, 5, B Formel von Bernoulli n xpk x (1-p)/qn-k n = wie oft wird ein Vorgang wiederholt? → 3x werfen k = wie oft interessiert mich ein Ausgang? → einmal Zahl P = Wahrscheinlichkeit 1-p= Gegenwahrscheinlichkeit BINOMIALKOEFFIZIENT n 0 = 5 2 | Formel: Handschriftlich berechnen: n n! k k!x(n-k)! n n HISTOGRAMME = 1 | →n! = 1x2x3x......x n 5! 2! × (5-2)! ➜ Wird miteinander gekürzt n = n 1x2x3 x 42 x 5 1x2x1x2 → 0×3 │ n n- 10 ===10 1 = n WEITERE FORMELN: Erwartungswert E(X)= μ= nxp →Var(X) = n x pxq=n× px (1 - p) Standardabw. ➜o=√Var (X)=√n xpx q Varianz n =10; p = 0,2 →menü, 5,5,A => alle Werte anzeigen lassen abspeichern in Liste (ctrl, ans -> ctrl, sto, L2 →neues Blatt: 4 (lists) →Spaltkopf B -> L2 eingeben →ganz oben in A ->L1 → darunter menü, 3,1 (Folge erzeugen) →n, 0, 0, 10, 1 Säulendiagramm → menü, 3, 8 (Ergebnisdiagramm) Binomialkoeffizient mit CAS: 20 Bsp. 3 →ncr (20,3) → enter = 1140 In Histogrammen werden rel. Häufigkeiten durch Flächeninhalte von Rechtecken dargestellt. Die Rechteckhöhe heißt dabei Häufigkeitsdichte. Multipliziert man die Häufigkeitsdichte mit der Intervallbreite, erhält man die relative Häufigkeit. →die größte Säule (=größte Wahrscheinlichkeit) bei u →in der Nähe von μ = etwas geringere Werte →je größer n ist, desto symmetrischer ist das Histogramm und umso schmaler ist die ,,Kurve" Für den Sigma Bereich rechnet man μ- o und μ + o. Bei der Minusrechnung rundet man auf (Zahlenstrahlvorstellung = näher zu μ). Bei der Plusrechnung rundet man das Ergebnis ab (""). N-BESTIMMEN (durch probieren) Mit Hilfe des CAS werte bei menü, 5,5, B eingeben und verschiedene Werte für n probieren. Anschließend letzten ,,falschen" Wert dokumentieren und ersten ,,richtigen". Bsp. n =14 P(X≤1) = 0,100968 → noch zu groß n=15 P(X≤1) = 0,080181 ⇒ erster möglicher Wert (mit CAS) → Define f(x) = (menü, 5,5, D ⇒ für n =x, X-Wert entspricht k-Wert) → enter → Grafikdokument öffnen → f(x) eingeben oben → control, t

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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