Stochastik - Q2

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Zufallsvariable X höchstens den Wert k annimmt. → P(X ≤k)=p Beispiel: Beim Abfüllen von 500g Kaffee in Kaffeepackungen können Fehler auftreten. Die Zufallsvariable X, welche das Gewicht in Gramm angibt, kann also alle Werte von 0 bis unendlich annehmen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegen die Werte aber zwischen 495g und 505g. → P(495 ≤X ≤ 505)=0,95 ERWARTUNGSWERT Als erstes schreiben wir uns mögliche wahrscheinliche ,,Ausgänge" an. Ein Beispiel wäre, wenn wir schauen wollen, wie viele schwarze Kugeln man bekommen kann, wenn man 2mal aus einem Beutel mit weißen (2) und schwarzen (3) Kugeln zieht. Mögliche Ausgänge wären 1 schwarze Kugel, 2 schwarze Kugeln oder aber 0 schwarze Kugeln. P(w,w)= 4/25 P(w,s) = 6/25 P(s,w) = 6/25 P(s,s) = 9/25 Anzahl d. schwarzen Kugeln 0 1 12/25 2 9/25 Warscheinlichkeit 4/25 Nun rechnet man die Anzahl der Kugeln x der Wahrscheinlichkeit. Wenn man dann in die Nächste Spalte rutscht, setzt man zwischen die 2 Multiplikationen ein +. → oben mal unten + oben mal unten... E(X)= μ = 0 x 4/25 + 1 x 12/25 + 2 x 9/25= 6/5 = 1,2 E(X)= μ = X₁ x P+ X₂ x P +...+ X₁ X P SPIELE-FAIRNESS Urne mit 3x rote Kugeln und 3x blauen Kugeln. 2x ziehen ohne zurücklegen, 5€ Spieleinsatz. Auszahlungen: 1x rot = 1€; 2x rot = 10€ 1) Gewinn in € Wahrscheinlichkeit BINOMIALVERTEILUNG 3 -5€ 1/5 P(Ox rot) = 3/6 x 2/5 (da ohne zurücklegen!!) = 6/30 = 1/5 E(X)= -5 x 1/5 + -4 x 3/5 + 5 x 1/5 = -12/5= -2,20 →Spiel nicht fair, da nicht 0 rauskommt. Man verliert auf lange Sicht 2,20€ × 0,6¹ × 0,43-1 X -4€ 3/5 Beispiel: Münzenwerfen 3x werfen →→n=3; k=1 P(Kopf)= 0,4; P(Zahl)= 1-0,4-0,6 P(einmal Zahl)= 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,6 x 0,4² -0,096 3 x 0,6 x 0,4² 5€ 1/5 Anzahl der Äste (Baumdiagramm) Wahrscheinlichkeit für einen Ast 1.Bernoulli Exp. Betrachten und verstehen → z.B. Würfel 6/nicht 6 2. Erfolg festlegen → z.B. p= P(Erfolg) /q=(Misserfolg) 3. Wie oft wird Experiment wiederholt →n=...(Anzahl der Wiederholungen 4.Zufallsgröße angeben →X: Anzahl der Erfolge 5.Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge (0≤ k ≤ n) Spiel ist fair, wenn E(X)=0 1.) Wahrscheinlichkeitsverteilung Aufstellen 2.) Erwartungswert berechnen 3.)E(X)=0? Binomialverteilung/Bernoulli mit CAS: -für genau X Antworten →menü, 5, 5, A -für mind./max. X Antworten menü, 5, 5, B Formel von Bernoulli n x pk x (1-p)/qn-k k n = wie oft wird ein Vorgang wiederholt?→ 3x werfen k = wie oft interessiert mich ein Ausgang? → einmal Zahl P = Wahrscheinlichkeit 1-p Gegenwahrscheinlichkeit BINOMIALKOEFFIZIENT n 0 = 1 | n n! = k k!x(n-k)! = Handschriftlich berechnen: Formel: 5 5! 2 2! × (5-2)! n HISTOGRAMME n = = 1 →n! = 1x2x3x......x n I ➜Wird miteinander gekürzt n 1 = n 1x2x3 x4 → 2X5 10 1x2x1x20x3 ī | n n-1=n = = 10 n =10; p = 0,2 ➜menü, 5,5,A => alle Werte anzeigen lassen →abspeichern in Liste (ctrl, ans -> ctrl, sto, L2 →neues Blatt: 4 (lists) Binomialkoeffizient mit CAS: 20 Bsp. 3 →ncr (20,3) → enter = 1140 WEITERE FORMELN: Erwartungswert E(X)= = n xp In Histogrammen werden rel. Häufigkeiten durch Flächeninhalte von Rechtecken dargestellt. Die Rechteckhöhe heißt dabei Häufigkeitsdichte. Multipliziert man die Häufigkeitsdichte mit der Intervallbreite, erhält man die relative Häufigkeit. Für den Sigma Bereich rechnet man μ- o und μ+ o. Bei der Minusrechnung rundet man auf (Zahlenstrahlvorstellung = näher zu µ). Bei der Plusrechnung rundet man das Ergebnis ab (""). →Spaltkopf B -> L2 eingeben →ganz oben in A ->L1 → darunter menü, 3,1 (Folge erzeugen) →n, 0, 0, 10, 1 Säulendiagramm → menü, 3, 8 (Ergebnisdiagramm) Varianz Standardabw. ➜o=√√Var(X)=√√n xpxq →Var(X) = nx pxq=nxpx (1-p) →die größte Säule (=größte Wahrscheinlichkeit) bei μ →in der Nähe von μ = etwas geringere Werte →je größer n ist, desto symmetrischer ist das Histogramm und umso schmaler ist die ,,Kurve" N-BESTIMMEN (durch probieren) Mit Hilfe des CAS werte bei menü, 5,5, B eingeben und verschiedene Werte für n probieren. Anschließend letzten ,,falschen" Wert dokumentieren und ersten ,,richtigen". Bsp. n =14 P(X≤1) = 0,100968 → noch zu groß n=15 P(X≤1) = 0,080181 erster möglicher Wert (mit CAS) → Define f(x) = (menü, 5,5, D → für n =x, X-Wert entspricht k-Wert) → enter →Grafikdokument öffnen → f(x) eingeben oben → control, t