Stochastische Unabhängigkeit und Bedingte Wahrscheinlichkeit einfach erklärt mit Beispielen und Aufgaben

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Leonie070

19.10.2022

Mathe

Stochastik

Fächer

Mathe

Stochastik

Wahrscheinlichkeit grundlagen

Pfadregel

Stochastische Unabhängigkeit und Bedingte Wahrscheinlichkeit einfach erklärt mit Beispielen und Aufgaben

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Die Stochastik befasst sich mit der Analyse von Zufallsexperimenten und Wahrscheinlichkeiten. Grundlegende Konzepte umfassen Ereignismengen, relative Häufigkeiten und Laplace-Experimente. Wichtige Werkzeuge sind Baumdiagramme, Pfadregeln und Vierfeldertafeln zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit spielen eine zentrale Rolle. Die Kombinatorik behandelt Anordnungs- und Auswahlprobleme. Bernoulli-Experimente und die Binomialverteilung sind bedeutende Konzepte für wiederholte Zufallsexperimente.

• Grundlegende Begriffe: Ereignismenge, Ergebnis, Ereignis, Gegenereignis
• Wichtige Regeln: Produktregel, Summenregel für Wahrscheinlichkeiten
• Darstellungsformen: Baumdiagramme, Vierfeldertafeln, Mengendiagramme
• Zentrale Konzepte: Bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische Unabhängigkeit
• Weiterführende Themen: Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, Binomialverteilung

...

19.10.2022

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STOCHASTIK [WAHRSCHEINLICHKEITEN]
GRUNDLAGEN
✓ = Ereignismenge alle Möglichkeiten
2 {1; 2; 3; 4; 5; 63
Ergebnis ein möglicher Ausgang
x = {2

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Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Die zweite Seite konzentriert sich auf die Konzepte der bedingten Wahrscheinlichkeit und der stochastischen Unabhängigkeit. Diese Konzepte sind entscheidend für das Verständnis komplexerer Wahrscheinlichkeitsprobleme.

Definition: Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis B eintritt, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis A bereits eingetreten ist.

Die Seite präsentiert die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit und erläutert ihre Anwendung anhand von Beispielen, wie dem Ziehen von Kugeln aus einer Urne.

Example: Bei einem Experiment mit 5 roten und 4 orangenen Kugeln wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass die zweite gezogene Kugel rot ist, wenn die erste Kugel bereits rot war.

Ein wichtiges Werkzeug zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse ist die Vierfeldertafel. Die Seite zeigt, wie man eine Vierfeldertafel erstellt und interpretiert.

Highlight: Die Vierfeldertafel ist ein nützliches Instrument zur übersichtlichen Darstellung und Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Schließlich wird das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit eingeführt. Zwei Ereignisse gelten als stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst.

Vocabulary: Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich seiner unbedingten Wahrscheinlichkeit ist.

Die Seite schließt mit einem Beispiel, das den Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen in Bezug auf stochastische Unabhängigkeit verdeutlicht.

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Kombinatorik und Bernoulli-Experimente

Die dritte Seite widmet sich der Kombinatorik und den Bernoulli-Experimenten, zwei wichtigen Konzepten in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die Kombinatorik befasst sich mit der Anzahl möglicher Anordnungen und Auswahlen von Objekten. Die Seite stellt verschiedene kombinatorische Formeln vor, wie Variationen $mit Reihenfolge$ , Kombinationen $ohne Reihenfolge$ und Permutationen $Anordnungen$ , jeweils mit und ohne Wiederholung.

Vocabulary: In der Kombinatorik unterscheidet man zwischen Variationen $mit Reihenfolge$ , Kombinationen $ohne Reihenfolge$ und Permutationen $Anordnungen$ .

Ein besonderer Fokus liegt auf den Bernoulli-Experimenten, die eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie spielen.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen $Erfolg oder Misserfolg$ , das unter gleichbleibenden Bedingungen wiederholt durchgeführt wird.

Die Seite präsentiert die Formel von Bernoulli, die die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen bei einer festgelegten Anzahl von Versuchen berechnet.

Highlight: Die Formel von Bernoulli ist grundlegend für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Bernoulli-Experimenten und bildet die Basis für die Binomialverteilung.

Abschließend werden verschiedene Arten von kumulierten Wahrscheinlichkeiten vorgestellt, wie "höchstens k Treffer" oder "mindestens k Treffer", die in der Praxis häufig benötigt werden.

Example: Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für "mindestens k Treffer" erfolgt durch P $x≥k$ = 1 - P $x≤k-1$ , was mithilfe der kumulierten Binomialverteilung $binomialcdf$ berechnet werden kann.

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Histogramme und Erwartungswert

Die vierte Seite behandelt Histogramme zur Darstellung von Binomialverteilungen sowie den Erwartungswert und die Standardabweichung.

Histogramme werden verwendet, um die Abhängigkeit der Binomialverteilung von verschiedenen Parametern zu visualisieren. Die Seite zeigt Beispiele für die Abhängigkeit von der Erfolgswahrscheinlichkeit p bei konstanter Versuchsanzahl n und umgekehrt.

Example: Ein Histogramm zeigt die Binomialverteilung für n=5 und verschiedene Werte von p, um den Einfluss der Erfolgswahrscheinlichkeit auf die Verteilung zu verdeutlichen.

Der Erwartungswert wird als wichtige Kenngröße einer Zufallsvariable eingeführt. Er gibt den Mittelwert an, der bei häufiger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.

Definition: Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist der Wert, der sich im Durchschnitt bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments einstellt.

Highlight: Der Erwartungswert ist besonders nützlich für die Vorhersage langfristiger Ergebnisse, beispielsweise bei der Berechnung von Gewinnen oder Verlusten in Glücksspielen.

Die Seite deutet auch die Bedeutung der Standardabweichung an, die ein Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert darstellt. Diese Konzepte sind fundamental für das tiefere Verständnis von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre praktische Anwendung in verschiedenen Bereichen der Statistik und Datenanalyse.

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Philipp, iOS User

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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19. Okt. 2022

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4 Seiten

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Leonie070

@leonie070_c81ecd

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Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Definition: Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis B eintritt, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis A bereits eingetreten ist.

Die Seite präsentiert die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit und erläutert ihre Anwendung anhand von Beispielen, wie dem Ziehen von Kugeln aus einer Urne.

Example: Bei einem Experiment mit 5 roten und 4 orangenen Kugeln wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass die zweite gezogene Kugel rot ist, wenn die erste Kugel bereits rot war.

Ein wichtiges Werkzeug zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse ist die Vierfeldertafel. Die Seite zeigt, wie man eine Vierfeldertafel erstellt und interpretiert.

Highlight: Die Vierfeldertafel ist ein nützliches Instrument zur übersichtlichen Darstellung und Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Vocabulary: Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich seiner unbedingten Wahrscheinlichkeit ist.

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Kombinatorik und Bernoulli-Experimente

Die dritte Seite widmet sich der Kombinatorik und den Bernoulli-Experimenten, zwei wichtigen Konzepten in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Vocabulary: In der Kombinatorik unterscheidet man zwischen Variationen $mit Reihenfolge$ , Kombinationen $ohne Reihenfolge$ und Permutationen $Anordnungen$ .

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Definition: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen $Erfolg oder Misserfolg$ , das unter gleichbleibenden Bedingungen wiederholt durchgeführt wird.

Die Seite präsentiert die Formel von Bernoulli, die die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen bei einer festgelegten Anzahl von Versuchen berechnet.

Highlight: Die Formel von Bernoulli ist grundlegend für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Bernoulli-Experimenten und bildet die Basis für die Binomialverteilung.

Abschließend werden verschiedene Arten von kumulierten Wahrscheinlichkeiten vorgestellt, wie "höchstens k Treffer" oder "mindestens k Treffer", die in der Praxis häufig benötigt werden.

Example: Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für "mindestens k Treffer" erfolgt durch P $x≥k$ = 1 - P $x≤k-1$ , was mithilfe der kumulierten Binomialverteilung $binomialcdf$ berechnet werden kann.

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Histogramme und Erwartungswert

Die vierte Seite behandelt Histogramme zur Darstellung von Binomialverteilungen sowie den Erwartungswert und die Standardabweichung.

Example: Ein Histogramm zeigt die Binomialverteilung für n=5 und verschiedene Werte von p, um den Einfluss der Erfolgswahrscheinlichkeit auf die Verteilung zu verdeutlichen.

Der Erwartungswert wird als wichtige Kenngröße einer Zufallsvariable eingeführt. Er gibt den Mittelwert an, der bei häufiger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.

Definition: Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist der Wert, der sich im Durchschnitt bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments einstellt.

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Grundlagen der Stochastik

Die erste Seite führt in die grundlegenden Konzepte der Stochastik ein. Sie erklärt wichtige Begriffe wie Ereignismenge, Ergebnis und Ereignis. Die Ereignismenge umfasst alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments, während ein Ergebnis einen konkreten Ausgang darstellt. Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.

Vocabulary: Die Ereignismenge ist die Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments.

Die Seite behandelt auch die Konzepte der absoluten und relativen Häufigkeit sowie Laplace-Experimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Definition: Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Weiterhin werden die Pfadregeln für Baumdiagramme eingeführt, insbesondere die Produktregel und die Summenregel. Diese Regeln sind fundamental für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in komplexeren Szenarien.

Highlight: Die Produktregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm berechnet wird.

Abschließend wird die Mengenschreibweise für Ereignisse vorgestellt, einschließlich Vereinigung, Schnittmenge und Komplementärereignis. Diese Konzepte sind essentiell für das Verständnis und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Stochastik.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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