Histogramme und Erwartungswert

Die vierte Seite behandelt Histogramme zur Darstellung von Binomialverteilungen sowie den Erwartungswert und die Standardabweichung.

Histogramme werden verwendet, um die Abhängigkeit der Binomialverteilung von verschiedenen Parametern zu visualisieren. Die Seite zeigt Beispiele für die Abhängigkeit von der Erfolgswahrscheinlichkeit p bei konstanter Versuchsanzahl n und umgekehrt.

Example: Ein Histogramm zeigt die Binomialverteilung für n=5 und verschiedene Werte von p, um den Einfluss der Erfolgswahrscheinlichkeit auf die Verteilung zu verdeutlichen.

Der Erwartungswert wird als wichtige Kenngröße einer Zufallsvariable eingeführt. Er gibt den Mittelwert an, der bei häufiger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.

Definition: Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist der Wert, der sich im Durchschnitt bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments einstellt.

Highlight: Der Erwartungswert ist besonders nützlich für die Vorhersage langfristiger Ergebnisse, beispielsweise bei der Berechnung von Gewinnen oder Verlusten in Glücksspielen.

Die Seite deutet auch die Bedeutung der Standardabweichung an, die ein Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert darstellt. Diese Konzepte sind fundamental für das tiefere Verständnis von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre praktische Anwendung in verschiedenen Bereichen der Statistik und Datenanalyse.

Kombinatorik und Bernoulli-Experimente

Die dritte Seite widmet sich der Kombinatorik und den Bernoulli-Experimenten, zwei wichtigen Konzepten in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die Kombinatorik befasst sich mit der Anzahl möglicher Anordnungen und Auswahlen von Objekten. Die Seite stellt verschiedene kombinatorische Formeln vor, wie Variationen (mit Reihenfolge), Kombinationen (ohne Reihenfolge) und Permutationen (Anordnungen), jeweils mit und ohne Wiederholung.

Vocabulary: In der Kombinatorik unterscheidet man zwischen Variationen (mit Reihenfolge), Kombinationen (ohne Reihenfolge) und Permutationen (Anordnungen).

Ein besonderer Fokus liegt auf den Bernoulli-Experimenten, die eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie spielen.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen (Erfolg oder Misserfolg), das unter gleichbleibenden Bedingungen wiederholt durchgeführt wird.

Die Seite präsentiert die Formel von Bernoulli, die die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen bei einer festgelegten Anzahl von Versuchen berechnet.

Highlight: Die Formel von Bernoulli ist grundlegend für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Bernoulli-Experimenten und bildet die Basis für die Binomialverteilung.

Abschließend werden verschiedene Arten von kumulierten Wahrscheinlichkeiten vorgestellt, wie "höchstens k Treffer" oder "mindestens k Treffer", die in der Praxis häufig benötigt werden.

Example: Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für "mindestens k Treffer" erfolgt durch P(x≥k) = 1 - P(x≤k-1), was mithilfe der kumulierten Binomialverteilung (binomialcdf) berechnet werden kann.