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Übungen Wahrscheinlichkeitsrechnung (mit Lösungen)

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 Aufgabe 1.
Losbude: das Ziehen einer Niete wird mit 80% Wahrscheinlichkeit
angegeben. Fritz und Franz beobachten die Verteilung der 100 let

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Aufgabe 1. Losbude: das Ziehen einer Niete wird mit 80% Wahrscheinlichkeit angegeben. Fritz und Franz beobachten die Verteilung der 100 letzten Lose. Nach einer gewissen Zeit sind 80 Lose ausgegeben, aber nur 8 Lose haben einen Gewinn erbracht. a. Wie viele Gewinne können unter den letzten 20 Losen sein? b. Kann dem Losbudenbesitzer aufgrund der gemachten Beobachtungen Betrug vorgeworfen werden? c. Wie viele Gewinne sind bei 6000 Losen vorhanden? Aufgabe 2. Ein Betrunkener hat in seiner Tasche 6 Schlüssel, von denen aber nur einer zu seiner Wohnung passt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er a. gleich beim ersten Griff, b. spätestens beim dritten Griff, c. genau beim vierten Griff den richtigen Schlüssel, wenn ein falsch gezogener Schlüssel nicht wieder in die Tasche zurückgelegt wird? Aufgabe 3. (Erwartungswert) Im Korb sind 30 Kugeln, davon 6 Gewinnkugeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Gewinnkugel zu ziehen? Aufgabe 4. (Kombinierte Wahrscheinlichkeiten) Man hat einen Würfel und eine Münze. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig die Zahl(Münze) und eine 4(Würfel) bei einem Wurf zu erhalten? Aufgabe 5. (Abhängige Ereignisse, hier Experimente ohne Zurücklegen) Man hat 40 Spielkarten, 4 davon sind grün. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für die 1. Ziehung einer grünen Karte bis zur 4. Karte. Die gezogenen Karten werden nicht zurückgelegt. nsl Aufgabe 6. (Baumdiagramme) 2/3 der Ferienflüge nach Frankreich--------2/5 nach Paris------1/4 besucht den Louvre -3/5 in die Alpen-----3/4 besuchen den Eiffelturm Die...

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Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus den Urlaubern ausgewählte Person in den Louvre geht, errechnet sich nach der Pfadregel. D. h. die Einzelwahrscheinlichkeiten jedes Pfades werden multipliziert. Aufgabe 7. Abhängige mehrstufige Zufallsversuche Die Früchte (3 Orangen und 7 Äpfel) in einer Tasche werden nach dem Entnehmen nicht zurückgelegt. Die erste Person entnimmt aus einer Tasche mit 10 Früchten, die nächste Person entnimmt aus neun Früchten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Personen eine Orange ziehen? Das Baumdiagramm ist bei der Lösung dargestellt. 2) Lösungen Aufgabe 1. 100 Lose hätten 80 Nieten und 20 Gewinne a. 80 Lose haben im Ist aber nicht 20% (16) Gewinne, sondern nur 8. D. h. 8 Gewinne müssten in den letzten 20 Losen sein, zusätzlich 20%(4) ohnehin. Somit müssten in den letzten 20 Losen wahrscheinlich 8 + 4 = 12 Gewinne sein. b. Man kann dem Losbudenbesitzer keinen Betrug vorwerfen, denn das Ziehen der Lose ist zufällig. Aber wenn alle Lose gezogen sind, werden 20% Gewinne sein, sofern kein Betrug vorliegt. Aufgabe 2. 1 a.) b.) Aufgabe 3. Die Wahrscheinlichkeit ist 6/30 = 1/5. Dieser Wert wird sich aber erst nach vielen Ziehungen stabil einstellen als relative Wahrscheinlichkeit: Anzahl der gezogenen Gewinnkugeln/Anzahl der Ziehungen. Zieht man 5 Mal, so erhält man die 5-fache Gewinnwahrscheinlichkeit, also 1/5x5 = 1. Aufgabe 4. (Kombinierte Wahrscheinlichkeiten) Die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse sind zu multiplizieren, da das gleichzeitige Eintreffen unwahrscheinlicher ist als ein einzelnes Ereignis: 1/2 (Münze) x 1/6 (Würfel) = 1/12. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Zahl zeigt und der Würfel ,,vier" ist 1/12. Lösungen Aufgabe 5. Die Wahrscheinlichkeit eine grüne Karte von 40 zu ziehen ist bei 4 grünen Karten 4/40 = 1/10. Für die 2. grüne Karte beträgt die Wahrscheinlichkeit 3/39, da die erste grüne Karte entnommen wurde. Für die dritte grüne Karte somit 2/38 und für die vierte Karte 1/37. Aufgabe 6. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Urlauber den Louvre besucht errechnet sich aus der Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, hier also: 2/3(Flüge nach Fr.) x 2/5(Ziel Paris) x 1/4(Ziel Louvre) = 1/15 Aufgabe 7. Für die Lösung, dass beide Personen eine Orange ziehen, gibt es nur einen Pfad mit den Wahrscheinlichkeiten 3/10 für die erste Person und 2/9 für die zweite Person. Im Baumdiagramm ist dies durch den obersten Pfad in Orange dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Personen eine Orange ziehen ist somit 3/10 x 2/9 = 6/90 = 1/15 Abhängige mehrstufige Zufallsversuche Im Beispiel geht es um das zufällige Entnehmen von Früchten aus einer Tasche. Die einzelnen Früchte werden nach dem Entnehmen nicht zurückgelegt. A Abhängige Ereignisse Die erste Person entnimmt aus einer Tasche mit zehn Früchten (drei Orangen, sieben Äpfel). Die nächste Person entnimmt aus neun Früchten. 10 7 10 Wahrscheinlichkeit, eine Orange zu nehmen Wahrscheinlichkeit, Person 1 entnimmt aus 10 Früchten. O/N fanta Person 2 entnimmt aus 9 Früchten. BAUMDIAGRAMME 231 Wahrscheinlichkeit berechnen Wie groß ist die Wahrscheinlich- keit, dass beide Personen eine Orange ziehen? Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten beider Einzelereignisse miteinander. 13/06/2002 9 6 90 oder Wahrscheinlichkeit, dass beide eine Orange ziehen. 15 Gekürzt (6 und 90 beide durch 6 geteilt)

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