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Zufallsexperiment
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Stochastik Allgemein Zufallsexperiment Ein Versuch, der unter bestimmten Bedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang besitzt: . geplanter und kontrollierbarer Ablauf wiederholbar unter gleichen Bedingungen mögliche Ergebnisse Stehen im Voraus fest tatsächliches Ergebnis ist im Voraus nicht bekannt Baumdiagramme Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen mehrstufiger Zufallsexperimente Mit Zurücklegen In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln (R) und 40 blaue Kugeln (B). Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen : Erste Ziehung: Im Baumdiagramm sehen wir die Wahrscheinlichkeiten im ersten Zug eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen. Summe beider Ergebnisse = ^ (P (₁^²)=1). 0,6 0,4 R B 0,6 0,4 0.6 R B R Zweite Ziehung: Beim zweiten Zug hat man wieder die gleiche Chance wie beim ersten zug, da da clie Kugeln wieder zurückgelegt werden. Bei jedem Zug liegt die gleiche Wahrscheinlichkeit vor. Die Ergebnisse an jedem Knoten müssen 1 ergeben. 0,4 B Ohne Zurücklegen In einer Urne befinden sich 60 rote Kugeln (R) und 40 blaue Kugeln (B). Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen Erste Ziehung: Pfadregeln 1. Pfadregel (Produktregel): 60 100 Im Baumdiagramm sehen wir die Wahrscheinlichkeiten im ersten Zug eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen. Summe beider Ergebnisse = ₁ (P (₁²).^). Zweite Ziehung: Beim zweiten Zug verändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Zieht man 2.B. im ersten Zug eine rote Kuge!, so hat man im zweiten Zug eine geringere Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, da sich clie Anzahl der günstigen und der möglichen Ereignisse um 1 verringert hat. Es befinden sich nur noch 59 rote und insgesamt...

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99 kugeln in der Urne. 40 100 : R 59 99 B 40 99 60 99 39 99 R B R 58 98 B R 40 98 20 B Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. 2. Pfadregel (Summenregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahr- Scheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören. Gegenereignis Das Gegenereignis tritt dann ein, wenn das Ereignis nicht eintritt. E Ereignis P(E) + P(E) = 1 1 - P(E) = P (E) & Gegen ereignis Binomialverteilung P(X=k) = (x) · (pk. (₁-P)^-k Anzahl der Pfade mit genau k Treffern bein Treffern Versuchen (^). Erwartungswert M=n·P Streuung/Varianz n! k!·(n-k)! Standardabweichung 0 = √n. p. (^-p) Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit genau k V(x) = n⋅p⋅ (1-P) f p<0,5 ↓ linkslastiges Histogramm Das Ergebnis, mit dem zurechnen ist. Diagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung (binomial) Einfluss der Trefferwahrscheinlichkeit p p=0,5 PTOS n! = 1·2·3·.·. (n-₁) n (gesprochen = n Fakultät) O! rechtslastiges Histogram Symmetrisches Histogramm Einfluss der Långe d je kleiner desto schmaler das Histogramm ↓ desto höher werden die Säulen n je größer desto breiter das Histogramm desto romanischer die Säulen (kleiner, flacher) ↓ nähert sich dem Symmetrischen Histo- gramm an Warum in gewissen Sachzusammenhängen Approximation? Ist die Anzahl der Kugeln in der Urne (Umfang der Gesamtheit TV) groß im Vergleich zur Anzahl der kugeln, die gezogen werden (Umfang der Stichprobe n), dann kann näherungsweise ein Binomialansatz gewählt werden. TV ² 100 n Binomialverteilung & Ziehen ohne Zurücklegen Urnenziehung mit zurücklegen - Bernoulli In Kugeln werden aus einer Urne mit a schwarzen und b weißen Kugeln gezogen. Das Ziehen einer Das Ziehen einer schwarzen Kugel wird als Erfolg angesehen: Treffer wahrscheinlichkeit: a P = atb Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Ziehungen k Kugeln schwarz sind. ist : P(X=K) = (x). p². n-k (1-P) ^ Ziehen ohne Zurücklegen - Hypergeometrische Verteilung In Kugeln werden aus einer Urne mit a schwarzen und b weißen Kugeln gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, class k Kugeln schwarz sind: b P ( X = k) = (a+b) mit a + b = n Binomialverteilte Zufallsgrößen genau k Treffer : P ( x = k) = (^^) .pk . (^-p)n-k höchstensk Treffer: P(X ≤k) · mindestens k Treffer: P(x = k) = ₁- P(x≤K-1) binom Pdf (n. p. a) kumulierte Wahrscheinlichkeit mindestens k, und höchstens K₂ Treffer: P(k₁ ≤x≤K₂)=P(X ≤k ₂ ) - P(x≤ K₁ binom Cdf (n, p, a, b) Sigmaregel Wenn die Laplace bedingung 03 erfallt ist, dann gilt 2.B. P(μ-o< X<μ+o) ≈ 0,683 P(μ-20 < X <u+20) ≈ 0,954 P(μ-3σ < Χ <μ +36) = 0,997 Mit einer man bei kann. Kontrolle P(x = mind. P-Wert Wahrscheinlichkeit von ca... 7. kann man davon ausgehen, dass mit mindestens und höchstens Gegenständen rechnen P(u-1,640 < X <u+1,640) ≈ 0,90 P(u-1,960 < X <u+1,960) ≈ 0,95 P(u-2,580 < X < μ+2,580) ≈ 0,99 max. • P-Wert ... Der P-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Zufallsstichprobe ein be- Obachtes Ergebnis oder ein noch extremeres auftritt, unter der Annahme, dass die Nulihypothese wahr ist. Je kleiner der P-Wert ist, desto stärker spricht der experimentelle Befund in der Stichprobe gegen die Nullhypothese. Testgröße X: Anzahl der ,,Sechsen" Bei wahrer Nullhypothese ist X binomialverteilt mit p = 1 und n = 60. = ≤ 0,1% ▪ ≤ 1% ≤5% ▪ ≤ 10% 100 > 10% 1.) = binom calf (n₁ p. a, b) = Situation: Kai beobachtet einen Spieler bei einem Würfelspiel. Er stellt fest, dass bei den ersten 60 Würfen 16-mal die ,,Sechs" erscheint. Bei einem fairen Würfel hätte er in etwa 10-mal eine „Sechs" erwartet. Ist der Würfel be- züglich der ,,Sechs" manipuliert, oder kann das Ergebnis Zufall sein? Nullhypothese Ho: Der Würfel ist fair, d. h. P (,,Sechs") = 1. Alternativhypothese H₁: Sechsen" sind bevorzugt, d. h. P(,,Sechs") > . P-Wert: P(X2 16 H, ist wahr) 60 P(X ≥ 16) = Σ (60) (2)* · (3) 60-* k k = 16 0,034 sehr starke starke mittlere schwache keine . 0.12 ... 0,08+ 0,04 Exkurs: Hilfestellung zur Interpretation von P-Wert Achtung! ... P(X=k) Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese Evidenz gegen die Nullhypothese %. (von oben) 5 10 15 20 Interpretation und Bewertung: Wenn die Nullhypothese wahr ist, dann tritt das beobachtete Ereignis oder ein noch extremeres mit einer Wahrscheinlichkeit von nur 3,4 % auf. Dies spricht gegen das Vorliegen eines fairen Würfels und damit für den Verdacht, dass es sich um einen manipulierten Würfel handelt. B (60,-, k) 1. Kleiner P-Wert: P(X≥16) Wir zweifeln die Nullhypothese an. 2. Großer P-Wert: Man kann die Nullhypothese nicht ausschließen, aber sie ist anhand der Daten auch nicht ,,statistisch" bewiesen!

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