Stochastik

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Schnittmenge von E₁ und Ez L> Ey tritt ein wenn E₁ und E₂ eintritt Absolute und relative Haufigkeit: Ein Zufallsexperiment werde n-mal wiederholt. Tritt dabei das Ergebnis E genau k-mal ein, so heißt.... an (E)= k absolute Häufigkeit des Ereignisses & nach Versuchen hn (E)= K relative Häufigkeit des Ereignisses E nach versuchen. Das empirische Gesetz der großen Zahlen: Die relative Häufigkeit eines Ereignisses stabilisiert sich mit zunehmender Anzahl von Versuchen um einen festen Wert. Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsverteilung: Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit dem Ergebnisraum 2 = {ex, en... en} Eine Zuordnung P, die jedem Elementarereignis {e; } genau eine reelle Zahl P(e) zuordnet, weist Wahrscheinlichkeitsverteilung auf, wenn die beiden folgenden Regeln gelten: I) Preis ²0 für 1≤ i ≤m I) Prens+ Pce₂) + ... + P(em) = 1 Die Zahl Preis heißt dann Wahrscheinlichkeit des Elementer ereignisses {e} Rechenregeln für Wahrscheinlichkeitsrechnung: Summenregel: Gegeben sei ein zufallsexperiment mit D. E= {ex... ek} sei ein beliebiges Ereignis. Dann gilt für die wahrscheinlichkeitsverteilung von E: RE) = PLAS+ P(₂+ ... + Plek) Sonderfall: PLE=0 falls E= Ø E = {} Gegenwahrscheinlichkeit: oder P(E)= falls E= PLEJ + PLES = ₁ <=> PCE) = 1 - P(È> Additionssatz: U Teilmenge von " für 2 beliebige Ereignisse E₁, E₂ 52 gilt: P(E₁ E₂) = P(E₁) + P(E₂) - P(E^ne₂)< Laplace-Wahrscheinlichkeit: = E₁ Ez PCE NE₂) wird doppelt gezanit, deswegen wird es einmal subtrahiert Ел E₂ Wenn sie sich nicht schneiden muss subtrahiert PE₁ E₂> nicht erden. Bei Laplace Experimenten liegt als Wahrscheinlichkeitsverteilung eine sogenannte Gleichverteilung zugrunde, die jedem Elementar- ereignis exckt die gleiche Wahrscheinlichkeit zuordnen. IEI Anzahl des für E günstigen Ergebnisses P(E) = TS21 Anzahl der möglichen Ergebnisse Bedingte Wahrscheinlichkeit: Skatspiel; 2mal wird ohne zurücklegen gezogen a) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide karten Buben sind? b) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine korte ein Bube ist? Baumdiagramm 55 32 B₁. 15 31 31 315 PB (A)=P(ANB) P(B) 24 230 1036 ~1 Mos 476 B₂ Wahrscheinlichkeiten totale Wahrscheinlichkeit: Влін erste Bzu zweite Peas = 32 31 28 27 32 31 Pcb) = A und B seien beliebige Ereignisse mit P(B) # 0₁ P(B) ±0, dann gilt: P(A)= P(B). PB (A) + P(B). Pē (A) gezogene gezogene B=u kind trägt eine Brille" M-u kind ist ein Mädchen" P(B)= ~0,222=22,2% PM (B)= ≈ 0,221= 22,1% . = (=> P(ANB) = P(B) PB (A) 3 248 P(B1)= totale Wahrscheinlichkeit PB₁ (B2) = 3 bedingte Wahrscheinlichkeit L> die Wahrscheinlichkeit, dass B₂ eintritt unter der Bedingung, dass B1 eingetreten ist B karte ist ein Bube" karte ist ein Bube" = 76,2% 1,2% PCA) A BOA B P(B) PCA) A BOA P(B) PB(A) Unabhängige Ereignisse zwei Ereignisse A und B mit positiven Wahrscheinlichkeiten werden als stochastisch unabhängig voneinander bezeichnet, wenn PB (A) = P(A) bzw. PA (B) = P(B) gilt. Beispiel Eine Schule wird von 1036 Schülern besucht, 560 Jungen und 476 Mädchen 125 Jungen und 105 Mädchen tragen Brille Entscheiden Sie, ob das Sehvermögen der Kinder vom Geschlecht abhängt. B Ereignisse sind Stochastisch unabhängig Statistische Daten 2x geringe Abweichungen möglich PB(A) A Münzwurf: 1. Stufe zweig { EKTE AN keit 2. Stufe { Pfad P(E₁) = 3/1 = Baumdiagramm Pfadregeln: 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Produkt aller Zweigwahrscheinlich- keiten eines Pfades. Zweigwahrscheinlichkeit 1• Zweigwahrscheinlichkeit 2 = Pfadwahrscheinlichkeit Bsp: En Der oben abgebildete Würfel zeigt zwei mal hintereinander die Augenzahl 2 u Ĵ 2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der zugehörigen Pfade Pfadwahrscheinlichkeit 1 + Pfadwahrscheinlichkeit 2 = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 1 = P. - 3 + + 3 = 3/ Zweigwahr. scheinlich- BSP: E₂: Mit dem oben abgebildeten Würfel zwei u mal die selbe Zahl Würfeln Wahrscheinlichkeit Urne: 1 blaue kugel 3 pinke kugeln 3 lila kugein PIEN = 216 · 4 = 24₁16 (E₁) Würfel: Kugeln werden zurückgelegt: N N N Baumdiagramme reduzieren: Eu Es wird 3 mal gewürfelt und die Augensumme muss kleiner gleich 4 sein" L> Man darf nur 1 und zwei würfeln also kann man das Baum diagramm reduzieren . kugeln werden nicht zurückgelegt: IN N A< ". unterschied- liche Ergeb nisse Produktregel: Bsp: Autohändler Kombinatorische Abzählverfahren 5 verschiedene Motorleistungen 6 verschiedene Farben 4 unterschiedliche Ausstattungen Wie viele kombinationsmöglichkeiten gibt es insgesamt? Wie viele Ergebnisse gibt es? 5.6.4=120 = 120/ Aus einer Urne mit n unterscheidbaren kugeln werden nacheinander k kugeln mit zurücklegen gezogen. Dann gilt für die Anzahl N der möglichen möglichen Anordnungen (k-Tupel) die Formel: Ein Zufallsversuch in k Stufen: Anzahl der möglichen Ergebnisse sind unabhängig von den Ergebnisse der Stufen (also Reihenfolge wird nicht beachtet!" N=nk Motorleistung Ziehen ohne zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge: Aus einer Urne mit n unterscheidbaren kugeln werden nacheinander k kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Ergebnisse werden in der Reihenfolge des tiehens notiert. Dann gilt für die Anzahl N der möglichen Anordnungen (k-Tupel) die Formel F N=n·(n-1)..... (n=k+1) ar be In der ersten Stufe gibt es n möglichkeiten, in 2. Stufe n₂ und in letzter Stufe nk mögliche Ergebnisse. uk-ter => Zufallsversuch hat insgesamt N= n₁.n₂² ・nk mögliche Ergebnisse. Zienen mit zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge: n Ausstattung hissen vorhergehen- 1 2 3·····k k-Tupel, geordnet Ik k-Tupel, geordnet Wichtiger Sonderfall: k=n. Aus der Urne wird so lange gezogen, bis sie leer ist. Es gibt denn N= (n-^)....·3·2·1=n! (n-Fakultät) mögliche Anordnungen. Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge (ungeordnete Stichprobe) BSP: Minilo Ho 3 aus 74 u → 7 kugeln in der Lostrommel → bei einer Zienung werden 3 kugeln entnommen L> Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird mit einem Tipp ein Gewinn erzielt N=7.6.S Aus Menge von 7 Zahlen lassen sich 7.6.5 verschiedene 3-Tupel Zienen Aus 3 zehlen kenn man insgesamt 3! 3-Tupel bilden. => Eine Menge von 7 Zahlen besitzt genau Teilmengen. Insgesamt gibt es: 7.6. 3! = PC Gewinn) = 7·6·5·4·3·2·1 .4.3.2.1 solche Teilmengen Gewinnwahrscheinlichkeit P= 3! 35 Das Lotomodel günstige Ereignisse magliche Ereignisse P(2Richtige) Pcurichtiges = P(mind. 4 Richtige) ($) · (3) (५१) = = + 7! 3!.4! Wie groß ist die Wahrscheit, dass man bei 43 mit einem Tipp 2 Richtige" erzielt? u ≈ 0,132 ≈ 0,0009871/ = (4)· (4³) ~0,009685 (५१) (9) (23)+(§) (43) + (8) (43) (49) (43) (8) + (²) = 35 (2) Binomialkoeffizient: n! k!. (n-k)! 7.6.5 3! 7 über 8" Fakultät: Taschenrechner: SHIFT SHIFT + ÷ SHIFT 3- elementige + u Binomialkoeffizient: nck O + X X-^ 6 aus иди -größter Wert für x (10cx) bzw. (10) -kleinster Wert fürx BSP: Einsen Würfeln" →-> Mit 2 Würfeln wird gleichzeitig gewürfelt -> € Einsatz pro Spiel u →> 5€ Auszahlung bei zwei Einsen → 3€ Auszahlung bei einer Eins Wir definieren eine Zufausvariable X. Sie steht für den Gewinn pro Spiel (X= Gewinn pro Spiel). Welche Werte kann X annehmen? Есмілоў. {{₁₁}}= {ci₁io}: Wahrscheinlichkeiten für X: X; २८७ ㅅ >>| 승 Zufallsgröße X=1€ + 5€ X = 1€ + 3€ X=-^€ + 0€ 1 ī ī <= 2 => <= Wahrscheinlichkeitsverteilung von X: -^ 2 HTT 25 10 P(x=x;) 30 36 36 36 8 X=4 x = 2 x=-1 P(x=4>==== P<x=2> = 1 + 2 + 2 + 2 = 360 승응 P(x= -1) = 0 - 3 = 20 graphische Darstellung: Histogramm = 218 1 Eine Größe X, die jedem Ergebnis eines Zufausversuchs genau eine reelle Zahl zuordnet heißt Zufallsvariable. Mit X= Xi wird das Ereignis be- zeichnet, dessen Ergebnisse ale dazu führen, dass die Zufausvari- able X den Wert X; annimmt. Ordnet man jeden möglichen Wert Xi, den die Zufausvariable x an- nimmt, die Wahrscheinlichkeit P(x=x;) zu so erhält man eine Zuordnungstabele, die man als Wahrscheinlichkeitsverteilung von X bezeichnet. BSP: Einsen Würfeln" Ist das Spiel Fair?" u 10 + Ecx)=46 độ 2€ 6. + (-^€). 1 Wert der Zufausvariable u (A) Wahrschein- lichkeit 0₁8 0,6 0,4 012 Erwartungswert einer Zufallsvariablen: X sei eine Zufausvariable mit der Wertmenge {x₁, x2,..., Xm}, dann wird X; Ecx) Erwartungswert . die Zahl [₁ mü"]= Ecx>= X₁ · P<x=x₁) + X₂ · P<x=x₂] + ... + Xm · P(x=xm) als Erwartungswert der Zufallsgröße X bezeichnet. Varianz und Standartabweichung Sind Streuungsmaßnahmen für eine Zufausverteilung BSP: 3 4 5 6 Pcx=x;) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,₁ I 25 36 = 3.0,1+4.0,2+5.0₁4+ 6.0₁2+ 7·0₁1 = 0,3 + 0,8 + 2 + 1, 2 + 0₁7 3 4 S = 7 (B) = 0₁ 027 € => erwarteter Gewinn pro Spiel S 7 8 10 PCY=Y: 0₁1 0,2 0,2 0,2 0,05 0,1 Yi 人 Ecx= 0₁₁.1+0₁ 2·3+0₁ 3.5+0,2.7 + 0,05.8+ 0,1·10 = 0,1 + 0₁6 + ₁5 + 1,4 +0,4 +^ = S 0,8 0₁6 0,4 + 012+ Abweichungen der Werte der Werte x, vom (3-5), (4-5), (5-5),(6-5), (7-5) → (хл-м), (х2-м) ..... 3 2 3 " M I S G 8 10 Erwartungswert M (1-5), (3-5), (5-5), (7-5), (8-5), (10-5) →> (y₁-μ), (y₂-μ)..... -> (2) Jede Abweichung wird mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens multi- pliziert (nur Beispiel A wird weiter geführt!) (x₁-M). P(x=x₁) = -2.0₁1 = -0,2 (х2-μ). PCx=X2) ==^.0₁2= -0,2 (x3-M). P(x=x3) = 0·0₁4 = O (xy-M). P(x=x₁) = 1·0₁2 = 0,2 (xs-M). P(x=xg) = 2 · 0₁1 = 0,2 (x₁ -μ)². P(x=x₁) (х2-м)?. PCx=X2) 3) Es entstehen positive and negative Abweichungen sollen sich beim Addieren nicht aufheben => Abweichungen werden quadriert 4) Aufsummieren der Terme Varianz = V(x) = (x₁-M)². P(x=x₂) Vcx)= (-2)². 0₁1+ (−1)² · 0,2 + (0)². 0,4 + (1². 0₁2+ (2)².0₁1 = 0₁4 + 0,2 + 0₁2 +0,4 = 1₁2€ ² 0 (x)= gleicht sich ... Sigma (X₁-M) ². P(x=x₂)+ gegenseitig Problem: Unrealistisch, da Einheit der Größe X auch quadriert wird. (5) wurzel ziehen (weil Einheit auch quadriert wurde) (xm-μ)². Pcx = xm) VayDE CỬA 01 THỨ 02 (O). 0,3 + (23. 0,2 + + + (3)².0,05 + (5)2².0₁ (x)=√√VCK) = 1₁6 +0,8 +0+0₁8 + 0,45 + 2,5 = 6,15 €² aus! + (xm-μ)²· P(x=xm) + => Standartabweichung von X L> 1st ein Maß für die Streuung der Zufallsvariable X > hat die gleiche Einheit, wie die Zufausvariable O(x)=√1₁2 ==^₁^ ocys= √√6,15 = ± 2,48 Bernoulli Ein Zufausversuch heißt Bernoulli-Versuch, wenn folgende Punkte gelten: 1) Nur 2 mögliche Ausgänge des Versuchs (Erfolg & Misserfolg) 2) Wahrscheinlichkeit & für eintreten des Erfolgs wird als Treffer wahrscheinlich- keit bezeichnet. P bleibt bei jedem Durchführen des Zufallversuchs gleich. BSP: Münze: Erfolg: Kopf Misserfolg, Zahl P= = 1/2 Würfel: Erfolg: Es fällt die & Misserfolg: Es faut i Urne. Erfolg: rote kugel Misserfolg: keine rote => wird ein Bernoulli-Versuch in exakt gleicher Weise n-mal wiederholt entsteht eine Bernoulli kette mit der Längen und der Trefferwahrscheinlichkeit p. BSP: Würfel wird 4 Mal geworfen (x= Anzahl der getroffenen 6) ▷ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X=2 L> Unter 4 Würfen fällt 2 mal die 6 u genau Bernoulli kette: Länge: n= 4 Wk: p== LE Loca P=2223 Wahrscheinlichkeit eines Pfades (1. 1. §. € 80 ➡B(nipik) Formel von Bernou Ui: Pcx=k>= (R)· (P)k. (^-p)^-k (2)= )= Anzahl aller Pfade (Es gibt (2) Möglichkeiten, die beiden Treffer auf die 4 Plätze des Pfades zu verteilen) => Pcx=2>= (4)· (~^)² · (§)² Pcx=2)= B(4₁=/; 2) Bestimmung der Länge der Bernoulli-kette Ein Glücksrad hat vier gleich große Sektoren, drei weiße und einen roten. Berechnen Sie wie oft man das Rad mindestens drehen muss, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens einmal rot auftreten sou? Pcx2 095 ₁-Pcx=0)≥ 0,95 1-1 Pcx=0≤ 0,05 Bcn; 0,25; 0)≤ 0,05 (6)⋅ 0,25,²° 0,75" ≤ 0,05 0₁75 ≤ 0,05 Log 0,75" ≤ Log 0,05 n. log 0,75 ≤ Log 0,05 1: Log 0,75 <0 n² 10,41 | log Dann gilt: A: Das Glücksrad muss mindestens 11-mal gedreht werden, um mindestens 95% Wahrscheinlichkeit einen oder mehr Treffer (Rot) zu erzielen. M= E(X)=n.p 3 mal mindestens" Erwartungswert von X X sei die Trefferzahl in einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Treffer- Wahrscheinlichkeit p. •Ungleichung dreht sich! 6² = V(x) = np. (^-p) 6 = 6(x) = √VCX) Varianz und Standartabweichung von X X se die Trefferzahl in einer Bernoulli kette der Länge wahrscheinlichkeit p. Dann gilt: n mit der Treffer- Verteilungsdiagramm: a) n=5 p=0₁2 0,4 I P(X= k) 01234 B(5; 0,2; k) P 5 k Eigenschaften von Binomialverteilung 1: Pcx=k)=B (nipik) in Abhängigkeit von p b) n=5₁p=0,4 c) n=5 P(X = k) 0,4 a) n=3, p=0,4 P(X= k) 0,4 0 1 2 3 4 5 k B(5; 0,4; k) Verteilungsdiagramm: Pcx=k)=B (nip;k) in 0 1 2 3 4 5 k B(3; 0,4; k) n 0,4- b) n=s, p= 0,4 P(X= k) 0,4 + P(X = k) 0 1 2 3 4 5 k B(5; 0,4; k) Eigenschaften: ^) Je größer p ist, umso weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung 2) Für p=0,5 liegt das Verteilungsmaximum mittig. Es gilt B(n; 0₁5; k) = B(n; 0₁5;n-k) 3) Es gilt die Symmetriebeziehung B(n;p;k)=B (nix-pin-k) 4) Je kleiner p ist, desto Linkslastiger ist das Diagramm 5) Je größer p ist, desto rechtslastiger ist das Diagramm ₁ P=0,₁5 0 1 2 3 4 5 k B(5; 0,5; k) 0,4 d) n=5 4 0,4- Abhängigkeit von n c) n= 8₁ p = 0,4 P(X = k) I p= 0,8 P(X= k) 0 1 2 3 4 5 k B(5; 0,8; k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k B(8; 0,4; k) Eigenschaften: 1) Je größern ist, umso breiter und flacher ist das Diagramm der Verteilung 2) Je größern ist, umso weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung 3) Je größer In ist, umso symmetrischer wirkt das Verteilungsbild Pcx≤k)= Pcx=0> + Pcx =^> +000 + P(x=k> = B(ni pio) + BCn; p; ^)+. Bcni pik) = F(nipik) 一人 a kumulierte Binomialverteilung => gilt, wenn X Binomialverteilt ist => Pcxsk) wird durch Aufsummieren der Treffer wahrscheinlichkeit berechnet => Graph der Verteilung entstent durch übereinander stapeln (kumulieren) der Säulen von Bcnipik) 4 Fälle: BSP: Reißnagel 2 6 ... + genau 40 Reißnägel in Schräglage? Pcx=40)= B(100; 0,4;40) höchstens 40 Reißnägel in Schräglage? P(x≤40) = F (100; 0,4; 40) mindestens 60 Reißnägel in Schräglage? P(x=40) = 100 Reißnägel werden geverfen. Aus Erfahrungen ist bekannt, dass ein Reiß- nagel mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% in schräglage landet, d.h. nicht in der Kopflage. Mit welcher Wahrscheinlichkeit landen... (X= Anzahl der Reißnägel in Schräglage). P(x≤k) = F(ni pik) Pcx=k) Höhe einer Säule Pcx≤k) Summe aller Säulen P(x= 4) P(x≤4) PC 30≤ x ≤ 50) = Pcx≤50) - PCx≤ 29) = = Pcx≤ 59) = ₁ - FC100; 0,4; 59) zwischen 30 und 50 Reißnägel in Schräglage? = F Ceco; 0,4; 50) - FC100; 0,4; 295