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Stochastik Abiturzusammenfassung (LK)

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stochartike GRUNDLAGEN Zufallsversuch: kann beliebig oft wiederholt werden, Ausgang nicht sicher vorraussagbar Würfel, Münze, etc. Ergebnis (e): Welche möglichen Ergebnisse gibt es? Ergebnisraum (2): fasst alle möglichen Ausgänge (Ergebnisse) eines Zufallsexperiment zusammen L = {exieximien} BEISPIEL: WÜRFEL _2= {1; 2; 3; 4;5:6} Schnittmenge: Vereinigungsmenge: AUB → A oder B tritt genau dann ein, wenn min. eines der beiden Ereignisse A,B eintritt 1221=6 bedingte Wahrscheinlichkeit: von A unter der Bed. von 3 A und B tritt genau dann ein, wenn sowohl A als auch B eintritt Differentmenge: A B A außer B 3 A3 außer A AUB= Im1= : Anzahl der Ergebnisse = eges : BEISPIEL: geg. A= {2,3,4} 8= {3,4,10} = {2,3,4,40} A08: 8= {3,4} P(A18) = P₂(A) = P(AnB) P(B) wissen wir suchen wir A\8= {2} 8\A= {10} WAHRSCHEINLICHKEITSBEGRIFF die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wird mit P(A) bezeichnet B O Q B A A O≤P(A) ≤A für jedes Ereignis A aus dem Ergebnisraum 2 27 P()=1 und P({})=0 3 P(A) = A-P(A) (Gegenwahrscheinlichkeit) 4P(AUB)=P(A) + P(B) - P(An 3) (Additionssatz) B ABSOLUTE & RELATIVE HÄUFIGKEIT → trifft bei einer n-fachen Durchführung eines Zufallsexperiments ein Ergebnis k-mal auf, so bezeichnet man den Wert k als absolute Häufigkeit des Ergebnisses. U U U 8 Ereignis (=> A: Gegenereignis → der Quotient h= = heißt relative Häufigkeit des Ergebnisses. Für die relative Häufigkeit gilt Oshs. Werden die relativen Häufigkeiten aller möglichen Ereignisse addiert, so erhält man 1, also 100% LAPLACE-EXPERIMENT Gegeben ist ein Zufallsexperiment (t.B. Würfelwürf) mit Ergebnisraum £2; Z. B. = {1;2;..;...

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6} möglichen Einzelergebnisse heißen auch Elementarereignisse. Ein Experiment bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind heißt Laplace-Experiment. Die Mehrere Ergebnisse lassen sich zu einem Ereignis zusammenfassen, z. B. gewürfelte Zahl ist gerade {2:4:6} = = Ereignis Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E gilt 1st E ein Ereignis, so bezeichnet Ē das Gegenereignis: Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gilt: PLE) + P(E)=1 ➡ PLE) = A-P(E) Beispiel: zweifacher Würfelwurf E: Augensumme ist höchstens 10 E: Augensumme beträgt 11 oder 12 list größer als 10) E={(6:6); (6:5); (5:6)} PLE) = 36 P(E)= 1- P(E)= 1- 36 = 1212 BAUMDIAGRAMM Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (P) von Ereignissen mehrstufiger zufallsexperimente R 0,6 0,6 0,4 100 40 100 R B wird geringer R B 0,4 B 0,6 R 0,4 59 99 B R B P(E) 40 99 60 99 R 39 B 99 Anzahl der günstigen Ereignisse IEI In Anzahl der möglichen Ergebnisse bei jedem Zug liegt die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit vor ZUFALLSEXPERIMENT - MIT SURÜCKLEGEN: Wahrscheinlichkeiten verändern sich im darauffolgenden Zug - ZUFALLSEXPERIMENT-OHNE ZURÜCKLEGEN: 3 alw (1 TIN AUFGABEN LÖSEN 1. Ereignis in Worten definieren: E:... 2. Einzelergebnisse die zu E gehören angeben 3. P(E)= Berechnung" = Ergebnis 4. Textaufgabe Antwort = 50% BEISPIEL: einfacher Würfelwurf E: Die gewürfelte Zahl ist größer als 4 E: Die gewürfelte Zahl ist kleiner oder gleich 4 REGELN A verzweigungsregel: Bei einem vollständigen Baumdiagramm beträgt die Summe der Wahrschein- lichkeiten aller Äste, die von einem Verzwei. gungspunkt ausgehen, stets 1. 27 Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der Wahrschein- lichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. 37 Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören. VIERFELDERTAFEL Eine Vierfeldertafel eignet sich zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten der Verknüpfungen zweier Ereignisse A und B. Eine Vierfeldertafel ist folgendermaßen aufgebaut: 3 Pl I♡ B A P(A^3) P(ANB) B P(A) Die in einer Vierfeldertafel angeordneten Daten lassen sich stets auch in Form eines Baumdiagramms darstellen Schüler I♡ B Ā P(ANB) P(B) P(An 8) P(B) P(A) 1 34 weibl. 0,4681 Hauptschulabschluss Σ NEIN 0,0254 0,4835 männl. 0,4630 0,0435 Σ 90311 Die Randwerte ergeben sich dabei jeweils durch Summen- bildung. In den Feldern können anstatt von Wahrscheinlich- keiten auch absolute Häufigkeiten stehen. A P(ANB) P(ANB) 0,0689 P(A) 0,5065 1 0,944 BAYES'SCHE REGEL Bei der Berechnung vieler Wahrscheinlichkeiten muss man, wenn man die Wahrscheinlichkeiten auf der 2.Stufe beschreibt, auch auf die Vorraussetzungen (Bedingung) achten, die durch die 1. Stufe gegeben sind. Diese Bedingungen machen wir durch eine Indexschreibweise deutlich. Sei A ein Ereignis, das uns interessiert und B eine Bedingung, unter der wir den Vorgang betrachten. Dann schreibt man: Die Wahrscheinlichkeit PB(A) für A unter der der Bedingung 0,Sot Es seien A und 8 zwei Ereignisse und A/B ihre Gegenereignisse. Die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten lassen sich wie folgt in einer Vierfeldertafel und in einem Baumdiagramm darstellen Ā P(A) A P(Ang) P(ANB) P(B) P(An 8) P(B) P(B) B P(8) 0,086 nein 0,463 0,043 0,468 0,025 Für die Wahrscheinlichkeiten auf der 2. Stufe muss der Quotient zugehöriger Werte berechnet werden. 11 0,493 0,948 PA A PLAN B) P(A) A PCANE). 0,052 3 P(A) 1 PAĀ PLĀNS) P(ANB) Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pg (A) berechnet sich dann wie folgt: Pg (A) = P(B) Analog berechnet sich 2.3. auch die Wahrscheinlichkeit PB (A) = P(ANB) P(3) nein = P(A) DIE WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG EINER ZUFALLSGRÖSSE Eine Größe X, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zuordnet heißt zufallsgröße oder zufallsvariable Im Beispiel ordnet die Zufallsgröße x (Gewinn) jedem Würfelergebnis den zugehörigen Gewinn zu, also eine der Zahlen 4;2; -1. 27 Mit x=x₁ wird ein Ereignis bezeichnet, dessen Ergebnisse alle dazu führen, dass die Zufallsgröße den Wert xi annimmt Bsp.: : x=-1; X=2 und x=4 sind Ereignisse 31 Ordnet man jedem Wert x;, den die Zufallsgröße x annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit P(X= xi) 24,80 erhält man eine Zuordnungstabelle, die man als Wahrscheinlichkeitsverteilung von x bezeichnet 100% Also 25/26 a/a Xi 1/36 Die graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Histogramm. 36x Spielen -^ -^ 2 GEWWW-VERLUST-RECHNUNG P(x=xi) 25/36 1036 J 1 x 46 Gewinn 10 x 26 25 x 16 14 Relative Häufigkeitsdichte to 0:3 70 0.1 ĭ = 4€ = 20€ =-25€ Bilanz -16 -4 -2 ERWARTUNGWERT PRO SPIEL E(x) = 1.4€ + 10·2€ +25·(-1€) = 2 · 4€ + 10 · 2€ + 25 - (-1€) 36 0 2 4 Bei einem "fairen" Spiel ist die Bilanz aus Gewinn und Verlust auf lange Sicht ausgeglichen (also gleich 0) Durchschnittlicher Verlust pro Spiel: -16 in 36 spielen entspricht - pro Spiel. 0,0286 ERWARTUNGSWERT EINER ZUFALLSGRÖBE Sei x eine Zufallsgröße mit den Werten X₁, X₂.... Xn dann heißt die Zahl: M=E(x) = x₁ P(x= x₁) + x₂ • P(x=x₂) +...+ x₁ · P(x=x₂) der Erwartungswert der Zufallsgröße x. STANDARDABWEICHUNG EINER ZUFALLSCRÖSSE X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge X₁, X₂.... xm und dem Erwartungswert µ= E(X). Dann wird die folgende Größe als Standardabweichung von x bezeichnet. 0² (X) = √(x₁-μ)² + P(x = x₁) +(x₂-µ)² · P(X=X₂) +.. + (xom: µμ)². P(X = xm) Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Zufallsgröße X. Sie hat die gleiche physikalische Einheit wie die Zufallsgröße selbst. BERNOULLI-VERSUCHE Ein Zufallsversuch bei dem nur 2 Ergebnisse auftreten können, heißt Bernoulli-Versuch. Die Ergebnisse bezeichnet man als ERFOLG und MISSERFOLG: 1st p die Erfolgswahrscheinlichkeit bei der einmaligen Durchführung, so ist q=1-p_ die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Wird ein Bernoulli-Versuch n-mal durchgeführt, so spricht man von einer BERNOULLI-KETTE. DER LÄNGE N Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit & Erfolgen gilt für die WAHRSCHEINLICHKEIT EINES PRADES: P(X=k)= pk.qn-k = pk(1-p)n-k Hierbei gibt die Zufallsgröße X die Trefferzahl k an (o≤k≤n). Nun muss noch die Anzahl der Pfade mit te Erfolgen bestimmt werden, also die Anzahl der Möglich- keiten, k Erfolge auf n Zufallsversuche zu verteilen. Diese beträut (~). BINOMIALVERTEILUNG Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p und Miss- erfolgswahrscheinlichkeit g=1-p. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für k-Erfolge berechnet sich nach der Formel: P(x= k) = (x) · p²q² n-k Anzahl der Pfade mit k-Erfolgen P. (1-p)n-k Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit k Erfolgen und n-k Misserfolgen

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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6} möglichen Einzelergebnisse heißen auch Elementarereignisse. Ein Experiment bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind heißt Laplace-Experiment. Die Mehrere Ergebnisse lassen sich zu einem Ereignis zusammenfassen, z. B. gewürfelte Zahl ist gerade {2:4:6} = = Ereignis Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E gilt 1st E ein Ereignis, so bezeichnet Ē das Gegenereignis: Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gilt: PLE) + P(E)=1 ➡ PLE) = A-P(E) Beispiel: zweifacher Würfelwurf E: Augensumme ist höchstens 10 E: Augensumme beträgt 11 oder 12 list größer als 10) E={(6:6); (6:5); (5:6)} PLE) = 36 P(E)= 1- P(E)= 1- 36 = 1212 BAUMDIAGRAMM Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (P) von Ereignissen mehrstufiger zufallsexperimente R 0,6 0,6 0,4 100 40 100 R B wird geringer R B 0,4 B 0,6 R 0,4 59 99 B R B P(E) 40 99 60 99 R 39 B 99 Anzahl der günstigen Ereignisse IEI In Anzahl der möglichen Ergebnisse bei jedem Zug liegt die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit vor ZUFALLSEXPERIMENT - MIT SURÜCKLEGEN: Wahrscheinlichkeiten verändern sich im darauffolgenden Zug - ZUFALLSEXPERIMENT-OHNE ZURÜCKLEGEN: 3 alw (1 TIN AUFGABEN LÖSEN 1. Ereignis in Worten definieren: E:... 2. Einzelergebnisse die zu E gehören angeben 3. P(E)= Berechnung" = Ergebnis 4. Textaufgabe Antwort = 50% BEISPIEL: einfacher Würfelwurf E: Die gewürfelte Zahl ist größer als 4 E: Die gewürfelte Zahl ist kleiner oder gleich 4 REGELN A verzweigungsregel: Bei einem vollständigen Baumdiagramm beträgt die Summe der Wahrschein- lichkeiten aller Äste, die von einem Verzwei. gungspunkt ausgehen, stets 1. 27 Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses ist das Produkt der Wahrschein- lichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. 37 Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis gehören. VIERFELDERTAFEL Eine Vierfeldertafel eignet sich zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten der Verknüpfungen zweier Ereignisse A und B. Eine Vierfeldertafel ist folgendermaßen aufgebaut: 3 Pl I♡ B A P(A^3) P(ANB) B P(A) Die in einer Vierfeldertafel angeordneten Daten lassen sich stets auch in Form eines Baumdiagramms darstellen Schüler I♡ B Ā P(ANB) P(B) P(An 8) P(B) P(A) 1 34 weibl. 0,4681 Hauptschulabschluss Σ NEIN 0,0254 0,4835 männl. 0,4630 0,0435 Σ 90311 Die Randwerte ergeben sich dabei jeweils durch Summen- bildung. In den Feldern können anstatt von Wahrscheinlich- keiten auch absolute Häufigkeiten stehen. A P(ANB) P(ANB) 0,0689 P(A) 0,5065 1 0,944 BAYES'SCHE REGEL Bei der Berechnung vieler Wahrscheinlichkeiten muss man, wenn man die Wahrscheinlichkeiten auf der 2.Stufe beschreibt, auch auf die Vorraussetzungen (Bedingung) achten, die durch die 1. Stufe gegeben sind. Diese Bedingungen machen wir durch eine Indexschreibweise deutlich. Sei A ein Ereignis, das uns interessiert und B eine Bedingung, unter der wir den Vorgang betrachten. Dann schreibt man: Die Wahrscheinlichkeit PB(A) für A unter der der Bedingung 0,Sot Es seien A und 8 zwei Ereignisse und A/B ihre Gegenereignisse. Die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten lassen sich wie folgt in einer Vierfeldertafel und in einem Baumdiagramm darstellen Ā P(A) A P(Ang) P(ANB) P(B) P(An 8) P(B) P(B) B P(8) 0,086 nein 0,463 0,043 0,468 0,025 Für die Wahrscheinlichkeiten auf der 2. Stufe muss der Quotient zugehöriger Werte berechnet werden. 11 0,493 0,948 PA A PLAN B) P(A) A PCANE). 0,052 3 P(A) 1 PAĀ PLĀNS) P(ANB) Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pg (A) berechnet sich dann wie folgt: Pg (A) = P(B) Analog berechnet sich 2.3. auch die Wahrscheinlichkeit PB (A) = P(ANB) P(3) nein = P(A) DIE WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG EINER ZUFALLSGRÖSSE Eine Größe X, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zuordnet heißt zufallsgröße oder zufallsvariable Im Beispiel ordnet die Zufallsgröße x (Gewinn) jedem Würfelergebnis den zugehörigen Gewinn zu, also eine der Zahlen 4;2; -1. 27 Mit x=x₁ wird ein Ereignis bezeichnet, dessen Ergebnisse alle dazu führen, dass die Zufallsgröße den Wert xi annimmt Bsp.: : x=-1; X=2 und x=4 sind Ereignisse 31 Ordnet man jedem Wert x;, den die Zufallsgröße x annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit P(X= xi) 24,80 erhält man eine Zuordnungstabelle, die man als Wahrscheinlichkeitsverteilung von x bezeichnet 100% Also 25/26 a/a Xi 1/36 Die graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Histogramm. 36x Spielen -^ -^ 2 GEWWW-VERLUST-RECHNUNG P(x=xi) 25/36 1036 J 1 x 46 Gewinn 10 x 26 25 x 16 14 Relative Häufigkeitsdichte to 0:3 70 0.1 ĭ = 4€ = 20€ =-25€ Bilanz -16 -4 -2 ERWARTUNGWERT PRO SPIEL E(x) = 1.4€ + 10·2€ +25·(-1€) = 2 · 4€ + 10 · 2€ + 25 - (-1€) 36 0 2 4 Bei einem "fairen" Spiel ist die Bilanz aus Gewinn und Verlust auf lange Sicht ausgeglichen (also gleich 0) Durchschnittlicher Verlust pro Spiel: -16 in 36 spielen entspricht - pro Spiel. 0,0286 ERWARTUNGSWERT EINER ZUFALLSGRÖBE Sei x eine Zufallsgröße mit den Werten X₁, X₂.... Xn dann heißt die Zahl: M=E(x) = x₁ P(x= x₁) + x₂ • P(x=x₂) +...+ x₁ · P(x=x₂) der Erwartungswert der Zufallsgröße x. STANDARDABWEICHUNG EINER ZUFALLSCRÖSSE X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge X₁, X₂.... xm und dem Erwartungswert µ= E(X). Dann wird die folgende Größe als Standardabweichung von x bezeichnet. 0² (X) = √(x₁-μ)² + P(x = x₁) +(x₂-µ)² · P(X=X₂) +.. + (xom: µμ)². P(X = xm) Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Zufallsgröße X. Sie hat die gleiche physikalische Einheit wie die Zufallsgröße selbst. BERNOULLI-VERSUCHE Ein Zufallsversuch bei dem nur 2 Ergebnisse auftreten können, heißt Bernoulli-Versuch. Die Ergebnisse bezeichnet man als ERFOLG und MISSERFOLG: 1st p die Erfolgswahrscheinlichkeit bei der einmaligen Durchführung, so ist q=1-p_ die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Wird ein Bernoulli-Versuch n-mal durchgeführt, so spricht man von einer BERNOULLI-KETTE. DER LÄNGE N Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit & Erfolgen gilt für die WAHRSCHEINLICHKEIT EINES PRADES: P(X=k)= pk.qn-k = pk(1-p)n-k Hierbei gibt die Zufallsgröße X die Trefferzahl k an (o≤k≤n). Nun muss noch die Anzahl der Pfade mit te Erfolgen bestimmt werden, also die Anzahl der Möglich- keiten, k Erfolge auf n Zufallsversuche zu verteilen. Diese beträut (~). BINOMIALVERTEILUNG Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p und Miss- erfolgswahrscheinlichkeit g=1-p. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für k-Erfolge berechnet sich nach der Formel: P(x= k) = (x) · p²q² n-k Anzahl der Pfade mit k-Erfolgen P. (1-p)n-k Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit k Erfolgen und n-k Misserfolgen