Bedingte und totale Wahrscheinlichkeit & Satz von Bayes

Diese Seite führt wichtige Konzepte der Stochastik ein, darunter die bedingte Wahrscheinlichkeit, die totale Wahrscheinlichkeit und den Satz von Bayes. Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird als die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass Ereignis B eingetreten ist, definiert. Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit wird als P(A|B) = P(A∩B) / P(B) angegeben.

Definition: Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung von B.

Die totale Wahrscheinlichkeit wird als die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses unabhängig von anderen Ereignissen beschrieben. Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit wird als P(B) = P(A) · P(B|A) + P(Ā) · P(B|Ā) formuliert.

Formel: Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit lautet: P(B) = P(A) · P(B|A) + P(Ā) · P(B|Ā)

Der Satz von Bayes wird eingeführt als Methode, um die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Er wird verwendet, wenn die Wahrscheinlichkeit P(A) und die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) bekannt sind, aber die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) gesucht wird.

Highlight: Der Satz von Bayes ermöglicht es, bedingte Wahrscheinlichkeiten umzukehren und ist besonders nützlich in praktischen Anwendungen.

Die Herleitung des Satzes von Bayes wird mithilfe von Baumdiagrammen visualisiert. Das normale Baumdiagramm zeigt die Berechnung von P(A∩B), während das umgekehrte Baumdiagramm zur Herleitung des Satzes von Bayes verwendet wird.

Beispiel: Ein Baumdiagramm kann verwendet werden, um die Berechnung von P(A∩B) = P(A) · P(B|A) zu veranschaulichen.

Die endgültige Formel für den Satz von Bayes wird als P(A|B) = [P(A) · P(B|A)] / [P(A) · P(B|A) + P(Ā) · P(B|Ā)] angegeben, wobei der Nenner die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit von B darstellt.

Formel: Der Satz von Bayes lautet: P(A|B) = [P(A) · P(B|A)] / [P(A) · P(B|A) + P(Ā) · P(B|Ā)]

Diese Konzepte bilden die Grundlage für viele fortgeschrittene Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.