Mittelwert und Standardabweichung in der Stochastik

Diese Seite behandelt die Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung für verschiedene Datentypen sowie Grundlagen der Binomialverteilung und Histogramme.

Urliste und Häufigkeitsverteilung

Für eine Urliste mit Werten X₁, X₂, X₃, ..., Xn wird der Mittelwert als arithmetisches Mittel berechnet. Die Standardabweichung misst die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert.

Definition: Der Mittelwert einer Urliste ist x̄ = $x₁ + x₂ + x₃ + ... + xn$ / n.

Formel: Die Standardabweichung einer Urliste wird berechnet als s = √$(1/n) · Σ(xᵢ - x̄)²$.

Bei einer Häufigkeitsverteilung werden die Werte mit ihren relativen Häufigkeiten gewichtet.

Beispiel: Für eine Häufigkeitsverteilung mit Werten m₁, m₂, m₃, m₄ und relativen Häufigkeiten h₁, h₂, h₃, h₄ ist der Mittelwert x̄ = m₁·h₁ + m₂·h₂ + m₃·h₃ + m₄·h₄.

Zufallsgrößen und Erwartungswert

Für Zufallsgrößen werden der Erwartungswert und die Standardabweichung ähnlich berechnet, wobei Wahrscheinlichkeiten statt Häufigkeiten verwendet werden.

Vocabulary: Der Erwartungswert einer Zufallsgröße X ist μ = Σ xᵢ · P$X = xᵢ$.

Die Standardabweichung einer Zufallsgröße wird analog zur Häufigkeitsverteilung berechnet, verwendet aber Wahrscheinlichkeiten.

Binomialverteilung und Bernoulli-Formel

Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Erfolge in einer Reihe von unabhängigen Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen.

Highlight: Die Bernoulli-Formel B(n;p,r) = (n über r) · p^r · $1-p$^$n-r$ berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau r Erfolge bei n Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Vocabulary: Der Binomialkoeffizient (n über r) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, r Objekte aus n Objekten auszuwählen.

Histogramme und Standardabweichung

Histogramme visualisieren die Häufigkeitsverteilung von Daten.

Highlight: Je größer die Standardabweichung, desto breiter und flacher wird das Histogramm.

Die Länge des Histogramms wird durch n bestimmt, während μ die Position der höchsten Säule beschreibt. Die Summe aller dargestellten Einzelwahrscheinlichkeiten darf 1 nicht überschreiten.