Stochastik Zusammenfassung Abi 2023

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(RW) 49 Beispiel 2 Vierfeldertafel R R F 0,1 PF (R) 0,2 0,3 P (FOR) F 0,3 0,4 0,7 0,4 0,6 Randwahrscheinlichkeiten 1 Randwahrscheinlichkeiten - Insgesamt: 20 Personen 6 Frauen U. 14 Männer 2 Raucher → rauchende Frau unter allen Personen →rauchende Frau nur unter Frauen 6 Raucher Definition: Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten von A keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von B hat u. umgehehrt Dann gilt: Beispiel IQ>130 (1) IQ<130 (7) gesamt PA (B)=P(B) Hohe Handynutzung (H) 60 140 Stochastische Unabhängigkeit 200 Wenig Handynutzung (H) 90 110 oder 200 gesamt 150 250 400 P(ANB) = P(A) · P(B) Prüfe, ob die Merkmale abhängig voneinander sind P (1H) = 60 400 P (1) P(H)- 150 200 75 400 400 400 => abhängig voneinander Beispiel: Twitter - Alternativen Es wurde das Wechselverhalten von Nutzern zwischen den drei Plattformen Mastodon (M), Reddit (R) und Twitter (T) untersucht. Dabei wird davon ausgegangen, dass jeder Nutzer nur eine Plattform wirklich aktiv nutzt. Die Daten wurden jeweils wöchentlich erhoben. - Pro Woche wechseln von Mastodon 50% zu Twitter und 15% zu Reddit - Pro Woche wechseln von Reddit 30% zu Mastodon und 5% zu Twitter - Pro Woche wechseln von Twitter 20% zu Mastodon und 10% zu Reddit Übergangsdiagramm 35%- M 30% Übergangsmatrizen und Übergangsdiagramme 15% 65% 50% 20% 54 10%. Eine stochastische Matrix ist / ergibt..... • quadratisch •in der Summe der in jeder Spalte 1 70% A= (0,4 0,3) 1 1 Einträge Übergangsmatrix M nach M R von T R T 0,35 0,3 0,2 0,15 0,65 0,1 0.5 0,05 07/ aij i→ Zeile (E) j→ Spalte (III) Bsp: 031 = 0,5 Beispiel: Wolfpopulation Im Folgenden betrachten wir die Entwicklung einer Wolfspopulation. Dabei betrachten wir Welpen (W), Jungtiere (J) und ausgewachsene Wölfe (A). Die Welpen entwickeln sich nach einem Jahr zu Jungtieren und nach einem weiteren Jahr zu ausgewachsenen Wölfen. Modellhaft lässt sich die Entwicklung der Tiere mit der Matrix A beschreiben: jeder wolf kriegt im Schnitt 1,8 Kinder W J A Kein Welpe hann Nachwudns bekommen 60 10 25 A W W/0 1.3 1,8 Ax 0 0 A0 0,6 0,7, a) Erläutere die Bedeutung der Werte a12, 913, 932 und a33 im Sachzusammenhang. 58 27 24 jedes Jungtier bekommt im Schnitt 48 Kinder → keine stochastische Matrix, da Population wächst und nicht konstant bleibt d) Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung einer Wolfspopulation für die Jahre 2020 und 2021: 2020 2021 von den 60 Welpen aus dem Jahr 20.20 werden 27 zu Jungtieren 2021 60 x = 27 0,7 der ausgewachsenen Wölfe überleben 0,6 der Jungtiere überleben und werden ausgewachsen X=22= 0,45 → 45 1. der Welpen aus 2020 werden 2021 zu Jungtieren Begründe mithilfe der Tabelle, dass der Wert x der Matrix A 0,45 beträgt. Definition: gibt die Anzahl der Treffer an Beispiel 1 Eine Firma hat 200 Mitarbeiter. Jeder Mitarbeiter kommt unabhängig von anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 mit dem Auto zur Arbeit. Bestimmen Sie, wie viele Parkplätze die Firma bräuchte, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% ausreichen Ausprobieren Graphisch k bestimmen - graphisch ■ Gehe auf das Graphikfenster des GTR. ■ Trage f₁(x) = binomCDF (200,0.7,0, x) als Funktion ein. ■ Stelle das Fenster so ein, dass die x-Achse zwischen 0 und 200 und die y-Achse zwischen 0 und 1 angezeigt wird. Parameter k ■ Trage die gesuchte Wahrscheinlichkeit als Funktion ein. Hier: f₂(x) = 0,9. ■ Lasse dir den Schnittpunkt der beiden Funktionen anzeigen. - Gleichung mit nSolve lösen: InSolve (binom (df (200, 0.7, k) = 0,9, x= 100) Schreibweise in Klausur: B200.0.7 (X ≤h) > 0,9 Vorhersagen mithilfe der Matrix / Matrix mal Vektor GTR Ohne GTR: Menú 7→→→ 1 → 1 ein Vektor ist eine Matrix" mit nur 1 Spalte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 423 Mit Variablen 1 a 1 1 (0-0) 1 b 0 1 1 с 9 = 1·1+ a1 + 1.0 = 3 1.1 + b 1 + 0.0 = 1 1·1+ C.1 +9⋅0 = 1 1+a = 3 1+b = 1 1.1+2·2+3.3 4.1+5.2+ 6.3 7.1+8·2+ 9.3 1 |-1 1-1 1+c=1 1-1 => a= 2 v b= 0 v c = 0 = 14 3.2 50 Wolfspopulation Modellhaft lässt sich die Entwicklung der Tiere mit der Matrix A beschreiben: 1,3 1,8 0 0 0,6 0,7/ W J A 1= (0,45 0 XXS A 2020 2021 60 58 X26 10 27 26 25 24 2022 58 27 24 78 0.58 1,3-27 + 1,8-24 = 0,45-58 +0-27+ 0.24 - 0.58 0.6-27 +0,7-24 (1,3-27 + 1,8-24) (58.0,45) 39 (0.6-27 4 0,7-24) 26 33 Zufallsgröße Eine Zufallsgröße X ist eine Zuordnung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reele Zahl x zuordnet Beispiel 1 Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Zuordnung, die jedem Wert x, den eine Zufallsgröße X annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit P(X=x) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung von X Wert x der Augensumme Wahrscheinlichheit P (X=2) 2 1 Grundbegriffe Stochastik গ 36 - Beispiel 2 1. höchstens 3 2. mindestens 3 3. größer als 3 4. kleiner als 3 5. mindestens 3 u. höchstens 5 6. größer als 3 u. kleiner als 5 P(x 3) = P(x=1) + P(X=2) + P (X=3) P(X23)=P(X=3) + P(X=4) + P(X= 5) + P(x=6) P (x 3) = P(X= 4) + P(X= 5) + P(x=6) P(x=2) + P(x = 1) P(x<3) →P (3≤ x ≤5) →P (3<x<5) = P(X=3) + P(x=4) + P(X= 5) P(x = 4) Fahultät Definition: Die Fakultät ist die Kurzschreibweise für das Produkt der Zahlen 1 bis n 0! =1 <= 1 n! = n. (n-1). ...·3·2·1 = 1 1! 1 21 =1-2 = 2 31 GTR Menü 5. Wahrscheinlichkeiten → 1: Fahultät o. 3: Kombination -> 51 nCr(15,4) Beispiel 1 *Dok RAD 120 1365 Einfach 5.4.3 = 60 Wie viele mögliche Ergebnisse ? 4 5! и n Wir ziehen 3 Kugeln aus einer Urne mit 5 Kugeln (ohne Zurüchlegen) Fakultät 5.4·3·2·1= 5! n! 2! (n-k)! 2.1 1-2-3 1-2-3-4 =1-2-3-4-5 = 24 <<=120 Ergebnis: 0 Mit Reihenfolge Ohne Reihenfolge mit Zurücklegen nk (nth-~^) Beispiel 2 ist?] c) Es werden auch Gewinne ausgezahlt, wenn man weniger als 6 Richtige hat. Mit der Ziehung der Kugeln werden die Zahlen gedanklich in zwei Töpfe gepackt: den ,,Gewinnzahlen-Topf" mit 6 Zahlen und den ,,Nicht-Gewinnzahlen-Topf" mit 43 Zahlen. Ein Tipp mit 4 Richtigen heißt, dass man 4 Zahlen aus dem Gewinnzahlen Topf und 2 Zahlen aus dem anderen Topf getippt hat. Wie viele Möglichkeiten gibt es hierfür? 6 Gewinnzahlen (richtige" Kugeln) ohne Zurücklegen n! (n-K)! n! (n-k)! h! ₁ (1) 7 Binomialleeffizient 43 Nicht-Gewinnzahlen (falsche" Kugeln) 43 (1)-(2) Wenn man n vergrößert - Balken verschieben sich nach rechts Balken werden Kleiner es gibt mehr Balken Wenn man p vergrößert -Diagramm wandert nach rechts Für p nahe 0 oder 1 - Balken werden größer - weniger Balken 0,2- Beispiel 1 0,1- Einfluss von 0,2+ 0,1- 0,2- In und k aufs Histogramm Die Histogramme zeigen Binomialverteilungen mit p = 0,4 für unterschiedliche n. Die Beschriftungen fehlen. 10 20 30 0- a) Ordne die Versuchsanzahlen n = 10, 20, 30 zu den Histogrammen zu. P(X=K) dh P(X=K) d Kleines n p=0,5 →K =>Je größer die Zahl, desto weiter rechts Beispiel 2 012 (1) große Balken - Start ist eher links P(X=K) 0,1+ Lalba P(X=K) Die Abbildungen zeigen je einen Abschnitt eines Histogramms einer Binomialverteilung mit p = 0,15 und unterschiedlichen n. a) Ordne begründet die Histogramme aufsteigend nach dem Wert von n. ⒸP(X=k) ⒸAP(X=k) ⒸP(X=k) 0,4+ 0,3- 0,2 0,1- 0- p= 0,9 10 15 20 25 0,2- 0,1- großes n - viele kleine Balken - Start weiter nach rechts verschoben K 2 4 6 8 10 12 k (2) - mehrere, kleine Balken Bernoulli Bernoulli-Formel: Binomialverteilung Bernoulli - Experiment / Binomialverteilung Ein solches Zufallsexperiment hat nur zwei Ausgänge: Erfolg oder Misserfolg Die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs ist p. a) Die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolg g = 1-p Wird ein Bernoulli-Experiment n mal ausgeführt ist die Wahrscheinlichkeit für K Erfolge: (). pr. (1-p)n-k genau Eine Zufallsgröße X heißt binomialverteilt, wenn sie die Werte mit den Wahrscheinlichkeiten annimmt : Bn₁p (k)=P(X=K)= (n) .pk . (1-p) ^-k n P k GTR Menü → 5→ 5→ A binompdf (4.0.3, 2) Beispiel 1: Eine faire Münze wird sechsmal geworfen. Die Zufallsgröße X zählt, wie oft die Zahl oben liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Zahl... и 3-mal oben liegt versuche (§) · ( 1 )³ · ( 1 ) ³ Erfolg Dass Glücksrad wird 20-mal gedreht. Bei jeder Drehung erhält der Spieler 2€, wenn das Glücksrad bei rot stehen bleibt. a) Der Einsatz beträgt 15€. Entscheide, ob das Spiel fair ist. E(x) = 20-4-8 role Felder = b) Berechne die Standardabweichung und erkläre ihre Bedeutung im Sachzusammenhang. Q = -√20.4·(1-2, 19 Wann ist E(x) = 15 ? 0.42€ = 15 10 =) = 18,75 ● Informationen im Histogramm Das Histogramm ist ein Säulendiagramm. Jede Säule gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer an. 0.4 Die höchste Säule ist der Erwartungswert. Eine kumulierte Wahrscheinlichkeit ergibt 0.3- sich aus der Summe der zugehörigen Balken. z.B P ( X ≤ 1) Alle Balken ergeben zusammen 1. Das Histogramm zeigt an, in welchem Bereich das Ergebnis wahrscheinlich liegen wird. 0.2- 0.1- ■ Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg: p Herr Boderius kauft 7 Ü-Eier. 0.0 ■ 0 1 2 3 4 5 6 7 Definition Der Erwartungswert einer Zufallsgröße X gibt an, welcher Mittelwert bei oftmaliger Wiederholung des Zufallsexperiments zu erwarten ist. E (X) = x₁ P ( X = x ₁ ) + ... + x₁ · P ( X = Xn) Beispiel 1 Bei einem Glücksspiel würfelt man mit einem achtseitigen Würfel. Bei einer 1,2 und 3 bekommt man 1 €, bei einer 4,5 und 6 behommt man 2 €, bei einer 7 gibt es 5 € und bei einer 8 gibt es 10 € a) Erwartungswert: E (x) = Beispiel 2 - In Urne: 2 gelbe u. unbekannte Anzahl rote - zweimal Ziehen beide Kugeln gelb mit Zurücklegen fairer Einsatz: 0,80 € Wie viele rote Kugeln 3 rote Kugeln m/00 ➜>> ? 1+ 3.2 1.5 + 송 Erwartungswert 5€ Gewinn yoo 10 = 3 E (x) = 0,8 => b) Gib den Einsatz für das Spiel an, sodass es fair ist. Bei einem fairem Spiel entspricht die Auszahlung dem Einsatz, wenn man nur oft genug spielt. → 3€ als fairer Einsatz, da man diesen Betrag bei mehrmaligem Spielen als Gewinn erwartet und auch genauso viel einsetzt 5-0,8 <=> 4 5 = 0,8 x² (=) 20 x² 0,8 (=) 20 = 0,8x² (=) 25 = x² x = 5 x² 1:0,8 In Parameter p Beispiel 1 In einer Firma ist der Anteil p der Mitarbeiter, die mit dem Auto zur Arbeit kommen, unbekannt. Es werden 20 Mitarbeiter befragt. Bestimme, wie groß der Anteil p mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens ein Befragter mit dem Auto kommt. - Ausprobieren Gleichung mit nSolve lösen In Solve (binom Cdf (20₁ p₁1, 20) = 0,8₁ p = 0,5) Schreibweise in Klausur: B20.p (X21) 20.8 Bestimme, wie groß der Anteil p mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 3 Befragte mit dem Auto kommen. Ausprobieren Gleichung mit nSolve lösen In Solve (binom Cdf (20, p. 3, 20) = 0,8-0,5) Schreibweise in Klausur: B₂0.p (X23) 20,8 Kumulierte Binomialverteilung Definition Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße X nennt man die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Erfolge höchstens k ist, kumulierte Wahrscheinlichkeit: PCX ≤ K) = P (X= 0) + P(X=1) +.. + P(X= h) GTR Menü →→ 5 wahrscheinlichkeit → 5 Verteilung → B Binomial (df Beispiel 1 • Binomial verteilung mit n = 40 a) höchstens 25 Erfolge b) mindestens 10 Erfolge c) zwischen 15 und 30 u. p= 0,4 P (X² 25) ≈ 0.9987 P ( X ≥10) * 0,984 P (15≤ x ≤30) ≈ 0,6825 Beispiel 2: Histogramme 1) P(X ≤ 4) P(X > 3) 3) P(X=3) 4) P(X<3) AP(X ≤ k) 1 0,8- 0,6- 0,4- 0,2 0 0 1 M 2 3 4 + 5 сл 6 k Definition Die Varianz/ Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie stark die Werte einer Zufallsgröße vom Erwartungswert abweichen. Beispiel 1 X P(X = x) Standardabweichung / Varianz Die Varianz ist: V(x) = (x₁-μ)²- P(x= x₁) + ... + (x₁ -μ)². P(X= xn) Die Standardabweichung ist: 6(x) = √V (X) 1 2 4 0,3 0,3 0,2 0,2 Der Erwartungswert ist 2,3 Beispiel 2 In einer Urne liegen 2 rote u. 1 gelbe Kugel. Für einen Einsatz von 1€ werden zwei verschiedene Glücksspiele angeboten. 1. Es wird eine Kugel aus einer Urne gezogen. Ist sie rot, bekommt man 0,50 €. 1st sie gelb, bekommt man 2€ E (x) = 1 V(X) = 0,91 V(x)= (1-2,3)² 0,3 + (2-2,3)² -0,3 + (3-2,3)². 0,2 + (4-2,3)² -0,2 = 1,21 0 (x)=√ √(x) √1,21 2. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Sind beide Kugeln rot, bekommt man 1€. Sind beide Kugeln gelb, behommt man 5€. → E(X) = 1 V(X) = 3,45 dieses Spiel wäre rishanter zu verlieren mehrstufige Zufallsexperimente • mehrere Zufallsexperimente, die nacheinander durchgeführt werden a) Ziehen mit Zurüchlegen • bei jeder Ziehung hat man Ausgangssituation → Gesamtzahl wird nicht verändert. b) Ziehen ohne Zurücklegen bei jeder Stufe verändert sich Gesamtanzahl Baumdiagramm Beispiel -Verein besteht zu 60% aus männlichen Mitglieder 4 von denen 20%. Linhshänder 10% aller Mitglieder sind weiblich & Rechtshänder 1. Stufe 2. Stufe 1. Stufe 2. Stufe PA (B)=P(ANB) Ergebnisse PCA) PA(B) (B) AA B B P(ANB) P(ANB) B P(ANB) 0,2 L P(A) M 0,6 P(A) τι 0,8 0,75 0,4 1 = 1 2. Pfadregel (Summenregel) P(L) 0,6 0,2 +0,4 0,75 = 0.42 PA (B) B P(AB) 0,25 L bedingte Wahrscheinlichkeit 1. Pfadregel (Produktregel) 0,4-0,25 -0,1