Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme

In diesem Abschnitt werden mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme behandelt, die eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielen.

Mehrstufige Zufallsexperimente können anschaulich durch Baumdiagramme dargestellt werden. Diese Diagramme visualisieren die verschiedenen möglichen Pfade und deren Wahrscheinlichkeiten. Es wird zwischen zwei Arten von Baumdiagrammen unterschieden: solche, bei denen sich die Wahrscheinlichkeiten ändern (z.B. Ziehen ohne Zurücklegen), und solche, bei denen die Wahrscheinlichkeiten konstant bleiben (z.B. Ziehen mit Zurücklegen).

Vocabulary: Pfadregel - Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades berechnet.

Vocabulary: Summenregel - Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller zugehörigen Ergebnisse.

Diese Regeln sind fundamental für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Experimenten und bilden die Grundlage für komplexere Analysen in der Stochastik.

Zufallsvariablen und Mengenoperationen

Dieser Abschnitt führt das Konzept der Zufallsvariablen ein und erläutert wichtige Mengenoperationen in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Eine Zufallsvariable X beschreibt das Ergebnis eines Zufallsexperiments durch reelle Zahlen. Sie wird formal als X = {x₁, x₂, ...} mit x₁ ∈ ℝ dargestellt.

Definition: Das Gegenereignis A' zu einem Ereignis A enthält alle Elemente aus der Ergebnismenge, die nicht zu A gehören. Es gilt: P(A) + P(A') = 1.

Weitere wichtige Konzepte sind die Schnittmenge A∩B (Ergebnisse, die sowohl in A als auch in B liegen) und die Vereinigungsmenge A∪B (Ergebnisse, die in A oder B liegen).

Vocabulary: Absolute Häufigkeit - Anzahl der Auftritte eines Ergebnisses bei n-facher Durchführung eines Zufallsexperiments.

Vocabulary: Relative Häufigkeit - Quotient aus absoluter Häufigkeit und Anzahl der Durchführungen (h = k/n).

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable wird durch die Formel M = Σ P(X=xᵢ) · xᵢ berechnet und gibt den durchschnittlich zu erwartenden Wert an.