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Lotte
20.2.2022
Mathe
Stochastik
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•
20. Feb. 2022
•
Lotte
@charlottesauer
Ein umfassender Leitfaden zu Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeitsverteilung Grundlagen, der... Mehr anzeigen
In diesem Abschnitt werden mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme behandelt, die eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielen.
Mehrstufige Zufallsexperimente können anschaulich durch Baumdiagramme dargestellt werden. Diese Diagramme visualisieren die verschiedenen möglichen Pfade und deren Wahrscheinlichkeiten. Es wird zwischen zwei Arten von Baumdiagrammen unterschieden: solche, bei denen sich die Wahrscheinlichkeiten ändern (z.B. Ziehen ohne Zurücklegen), und solche, bei denen die Wahrscheinlichkeiten konstant bleiben (z.B. Ziehen mit Zurücklegen).
Vocabulary: Pfadregel - Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades berechnet.
Vocabulary: Summenregel - Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller zugehörigen Ergebnisse.
Diese Regeln sind fundamental für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Experimenten und bilden die Grundlage für komplexere Analysen in der Stochastik.
Dieser Abschnitt führt das Konzept der Zufallsvariablen ein und erläutert wichtige Mengenoperationen in der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Eine Zufallsvariable X beschreibt das Ergebnis eines Zufallsexperiments durch reelle Zahlen. Sie wird formal als X = {x₁, x₂, ...} mit x₁ ∈ ℝ dargestellt.
Definition: Das Gegenereignis A' zu einem Ereignis A enthält alle Elemente aus der Ergebnismenge, die nicht zu A gehören. Es gilt: P(A) + P(A') = 1.
Weitere wichtige Konzepte sind die Schnittmenge A∩B (Ergebnisse, die sowohl in A als auch in B liegen) und die Vereinigungsmenge A∪B (Ergebnisse, die in A oder B liegen).
Vocabulary: Absolute Häufigkeit - Anzahl der Auftritte eines Ergebnisses bei n-facher Durchführung eines Zufallsexperiments.
Vocabulary: Relative Häufigkeit - Quotient aus absoluter Häufigkeit und Anzahl der Durchführungen (h = k/n).
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable wird durch die Formel M = Σ P(X=xᵢ) · xᵢ berechnet und gibt den durchschnittlich zu erwartenden Wert an.
In diesem Kapitel wird das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit eingeführt, das für viele fortgeschrittene Anwendungen in der Stochastik von Bedeutung ist.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt, unter der Voraussetzung, dass Ereignis A bereits eingetreten ist. Sie wird durch die Formel P(B|A) = P(A∩B) / P(A) berechnet.
Example: Beim Basketballwurf auf den Korb kann die Wahrscheinlichkeit eines Treffers beim zweiten Wurf, unter der Bedingung, dass der erste Wurf erfolgreich war, als bedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet werden.
Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis komplexerer Wahrscheinlichkeitsberechnungen und finden Anwendung in vielen praktischen Situationen.
Dieser Abschnitt behandelt Bernoulli-Experimente, eine spezielle Art von Zufallsexperimenten mit nur zwei möglichen Ausgängen.
Ein Bernoulli-Experiment liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt (oft als "Erfolg" und "Misserfolg" bezeichnet) und die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg bei jeder Durchführung gleich bleibt.
Definition: Die Bernoulli-Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei n Versuchen: P(X=k) = (n k) · p^k · (1-p)^(n-k)
Dabei ist (n k) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, k Erfolge aus n Versuchen auszuwählen.
Example: Bei dreimaligem Werfen einer Münze kann die Wahrscheinlichkeit für genau zwei "Kopf"-Ergebnisse mit der Bernoulli-Formel berechnet werden.
Die kumulative Verteilungsfunktion F(n,p)(k) = P(X ≤ k) gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens k Erfolge zu erzielen.
Der letzte Abschnitt behandelt den Erwartungswert und die Sigma-Regeln für binomialverteilte Zufallsgrößen.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist gegeben durch M = n·p, wobei n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit ist.
Highlight: Die Sigma-Regeln beschreiben die Wahrscheinlichkeit, dass eine binomialverteilte Zufallsgröße innerhalb bestimmter Intervalle um den Erwartungswert liegt.
Diese Konzepte sind wichtig für die Analyse und Interpretation von Daten aus Bernoulli-Experimenten und finden Anwendung in vielen Bereichen der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße und die zugehörigen Sigma-Regeln werden eingeführt.
Definition: Der Erwartungswert einer Binomialverteilung beträgt M = n*p.
Highlight: Die Sigma-Regeln beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert herum.
Formula: Der Erwartungswert M = Σ(P(X=xi)*xi) beschreibt den durchschnittlich zu erwartenden Wert.
Dieser Abschnitt führt in die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein. Es werden Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeitsverteilung Grundlagen erläutert, die für das Verständnis komplexerer Themen unerlässlich sind.
Ein Zufallsexperiment wird als ein Versuch definiert, dessen Ergebnis nicht vorhersagbar ist. Die Menge aller möglichen Ergebnisse bildet die Ergebnismenge Ω. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung legt die Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis fest, wobei zwei wichtige Regeln gelten: Die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis ist nie negativ, und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt immer 1 (oder 100%).
Definition: Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
Beispiel: Das Würfeln mit einem normalen sechsseitigen Würfel ist ein klassisches Laplace-Experiment. Die Ergebnismenge ist {1, 2, 3, 4, 5, 6}, und jedes Ergebnis hat die Wahrscheinlichkeit 1/6.
Die Summenregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A durch Addition der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse berechnet wird.
Highlight: Für Ereignisse, die nicht im betrachteten Ereignis A liegen, wird der Begriff des Gegenereignis A' eingeführt. Es gilt stets: P(A) + P(A') = 1.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Samantha Klich
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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Lotte
@charlottesauer
Ein umfassender Leitfaden zu Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeitsverteilung Grundlagen, der die mathematischen Konzepte von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsexperimenten detailliert erklärt. Der Fokus liegt besonders auf Laplace-Experimente erklären mit Beispielen sowie Mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme.
• Die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden... Mehr anzeigen
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In diesem Abschnitt werden mehrstufige Zufallsexperimente und Baumdiagramme behandelt, die eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielen.
Mehrstufige Zufallsexperimente können anschaulich durch Baumdiagramme dargestellt werden. Diese Diagramme visualisieren die verschiedenen möglichen Pfade und deren Wahrscheinlichkeiten. Es wird zwischen zwei Arten von Baumdiagrammen unterschieden: solche, bei denen sich die Wahrscheinlichkeiten ändern (z.B. Ziehen ohne Zurücklegen), und solche, bei denen die Wahrscheinlichkeiten konstant bleiben (z.B. Ziehen mit Zurücklegen).
Vocabulary: Pfadregel - Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades berechnet.
Vocabulary: Summenregel - Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller zugehörigen Ergebnisse.
Diese Regeln sind fundamental für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Experimenten und bilden die Grundlage für komplexere Analysen in der Stochastik.
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Dieser Abschnitt führt das Konzept der Zufallsvariablen ein und erläutert wichtige Mengenoperationen in der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Eine Zufallsvariable X beschreibt das Ergebnis eines Zufallsexperiments durch reelle Zahlen. Sie wird formal als X = {x₁, x₂, ...} mit x₁ ∈ ℝ dargestellt.
Definition: Das Gegenereignis A' zu einem Ereignis A enthält alle Elemente aus der Ergebnismenge, die nicht zu A gehören. Es gilt: P(A) + P(A') = 1.
Weitere wichtige Konzepte sind die Schnittmenge A∩B (Ergebnisse, die sowohl in A als auch in B liegen) und die Vereinigungsmenge A∪B (Ergebnisse, die in A oder B liegen).
Vocabulary: Absolute Häufigkeit - Anzahl der Auftritte eines Ergebnisses bei n-facher Durchführung eines Zufallsexperiments.
Vocabulary: Relative Häufigkeit - Quotient aus absoluter Häufigkeit und Anzahl der Durchführungen (h = k/n).
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable wird durch die Formel M = Σ P(X=xᵢ) · xᵢ berechnet und gibt den durchschnittlich zu erwartenden Wert an.
In diesem Kapitel wird das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit eingeführt, das für viele fortgeschrittene Anwendungen in der Stochastik von Bedeutung ist.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt, unter der Voraussetzung, dass Ereignis A bereits eingetreten ist. Sie wird durch die Formel P(B|A) = P(A∩B) / P(A) berechnet.
Example: Beim Basketballwurf auf den Korb kann die Wahrscheinlichkeit eines Treffers beim zweiten Wurf, unter der Bedingung, dass der erste Wurf erfolgreich war, als bedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet werden.
Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis komplexerer Wahrscheinlichkeitsberechnungen und finden Anwendung in vielen praktischen Situationen.
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Dieser Abschnitt behandelt Bernoulli-Experimente, eine spezielle Art von Zufallsexperimenten mit nur zwei möglichen Ausgängen.
Ein Bernoulli-Experiment liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt (oft als "Erfolg" und "Misserfolg" bezeichnet) und die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg bei jeder Durchführung gleich bleibt.
Definition: Die Bernoulli-Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei n Versuchen: P(X=k) = (n k) · p^k · (1-p)^(n-k)
Dabei ist (n k) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, k Erfolge aus n Versuchen auszuwählen.
Example: Bei dreimaligem Werfen einer Münze kann die Wahrscheinlichkeit für genau zwei "Kopf"-Ergebnisse mit der Bernoulli-Formel berechnet werden.
Die kumulative Verteilungsfunktion F(n,p)(k) = P(X ≤ k) gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens k Erfolge zu erzielen.
Der letzte Abschnitt behandelt den Erwartungswert und die Sigma-Regeln für binomialverteilte Zufallsgrößen.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist gegeben durch M = n·p, wobei n die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit ist.
Highlight: Die Sigma-Regeln beschreiben die Wahrscheinlichkeit, dass eine binomialverteilte Zufallsgröße innerhalb bestimmter Intervalle um den Erwartungswert liegt.
Diese Konzepte sind wichtig für die Analyse und Interpretation von Daten aus Bernoulli-Experimenten und finden Anwendung in vielen Bereichen der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie.
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Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße und die zugehörigen Sigma-Regeln werden eingeführt.
Definition: Der Erwartungswert einer Binomialverteilung beträgt M = n*p.
Highlight: Die Sigma-Regeln beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert herum.
Formula: Der Erwartungswert M = Σ(P(X=xi)*xi) beschreibt den durchschnittlich zu erwartenden Wert.
Dieser Abschnitt führt in die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein. Es werden Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeitsverteilung Grundlagen erläutert, die für das Verständnis komplexerer Themen unerlässlich sind.
Ein Zufallsexperiment wird als ein Versuch definiert, dessen Ergebnis nicht vorhersagbar ist. Die Menge aller möglichen Ergebnisse bildet die Ergebnismenge Ω. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung legt die Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis fest, wobei zwei wichtige Regeln gelten: Die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis ist nie negativ, und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt immer 1 (oder 100%).
Definition: Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
Beispiel: Das Würfeln mit einem normalen sechsseitigen Würfel ist ein klassisches Laplace-Experiment. Die Ergebnismenge ist {1, 2, 3, 4, 5, 6}, und jedes Ergebnis hat die Wahrscheinlichkeit 1/6.
Die Summenregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A durch Addition der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse berechnet wird.
Highlight: Für Ereignisse, die nicht im betrachteten Ereignis A liegen, wird der Begriff des Gegenereignis A' eingeführt. Es gilt stets: P(A) + P(A') = 1.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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