Zufallsvariablen und Mengenoperationen

Dieser Abschnitt führt das Konzept der Zufallsvariablen ein und erläutert wichtige Mengenoperationen in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Eine Zufallsvariable X beschreibt das Ergebnis eines Zufallsexperiments durch reelle Zahlen. Sie wird formal als X = {x₁, x₂, ...} mit x₁ ∈ ℝ dargestellt.

Definition: Das Gegenereignis A' zu einem Ereignis A enthält alle Elemente aus der Ergebnismenge, die nicht zu A gehören. Es gilt: P(A) + P(A') = 1.

Weitere wichtige Konzepte sind die Schnittmenge A∩B (Ergebnisse, die sowohl in A als auch in B liegen) und die Vereinigungsmenge A∪B (Ergebnisse, die in A oder B liegen).

Vocabulary: Absolute Häufigkeit - Anzahl der Auftritte eines Ergebnisses bei n-facher Durchführung eines Zufallsexperiments.

Vocabulary: Relative Häufigkeit - Quotient aus absoluter Häufigkeit und Anzahl der Durchführungen (h = k/n).

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable wird durch die Formel M = Σ P(X=xᵢ) · xᵢ berechnet und gibt den durchschnittlich zu erwartenden Wert an.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

In diesem Kapitel wird das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit eingeführt, das für viele fortgeschrittene Anwendungen in der Stochastik von Bedeutung ist.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt, unter der Voraussetzung, dass Ereignis A bereits eingetreten ist. Sie wird durch die Formel P(B|A) = P(A∩B) / P(A) berechnet.

Example: Beim Basketballwurf auf den Korb kann die Wahrscheinlichkeit eines Treffers beim zweiten Wurf, unter der Bedingung, dass der erste Wurf erfolgreich war, als bedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet werden.

Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis komplexerer Wahrscheinlichkeitsberechnungen und finden Anwendung in vielen praktischen Situationen.

Erwartungswert und Sigma-Regeln

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße und die zugehörigen Sigma-Regeln werden eingeführt.

Definition: Der Erwartungswert einer Binomialverteilung beträgt M = n*p.

Highlight: Die Sigma-Regeln beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert herum.

Formula: Der Erwartungswert M = Σ(P(X=xi)*xi) beschreibt den durchschnittlich zu erwartenden Wert.