Stochastische Matrizen - Grundlagen und Anwendung
Stochastische Matrizen sind spezielle Matrizen, die prozentuale Übergänge zwischen verschiedenen Zuständen beschreiben. Du kannst sie dir wie eine Art "Wechsel-Tabelle" vorstellen - sie zeigen, mit welcher Wahrscheinlichkeit etwas von einem Zustand in einen anderen übergeht.
Diese Matrizen haben drei wichtige Eigenschaften: Sie sind immer quadratisch, alle Werte liegen zwischen 0 und 1, und die Summe jeder Spalte (oder Zeile) ergibt immer 1. Das macht Sinn, weil die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Übergänge zusammen 100% ergeben müssen.
Mit dem Verteilungsvektor berechnest du, wie sich ein Zustand über die Zeit entwickelt. Für das erste Jahr multiplizierst du M · v⃗ = v⃗₁, für das zweite Jahr M · v⃗₁ = v⃗₂ und so weiter. Je öfter du multiplizierst, desto weiter schaust du in die Zukunft.
Stabile Verteilungen entstehen, wenn sich nach einem Übergang nichts mehr ändert - der Fixvektor bleibt gleich. Die Grenzmatrix M^∞ führt jeden beliebigen Startvektor direkt zu diesem stabilen Endzustand, wobei alle Spalten aus dem Fixvektor bestehen.
Merktipp: Eine stochastische Matrix ist wie ein Navigationsgerät für Wahrscheinlichkeiten - sie zeigt dir alle möglichen Wege und ihre Wahrscheinlichkeiten!